Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng (LV01221)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN QUY TẮC NHÂN TỬ HĨA MỜ CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn, thầy, phịng Sau đại học thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tất người hỗ trợ tơi để hồn thành Luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để tơi hồn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả Đặng Thị Thanh Huyền Lời cam đoan Luận văn kết thân em đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả Đặng Thị Thanh Huyền Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm không gian Banach 1.2 Hàm không gian Banach 1.3 Dưới vi phân Fréchet 1.4 Quy tắc tổng mờ 13 Chương Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng 22 2.1 Bài toán tối ưu 22 2.2 Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng 28 2.2.1 Bài toán cực tiểu với hữu hạn ràng buộc 28 2.2.2 Ứng dụng 35 2.2.3 Bài tốn cực tiểu với vơ hạn ràng buộc 38 2.2.4 Ứng dụng 40 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích khơng trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho tốn với kiện khơng trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đưa thường gọi tên “dưới vi phân” như: vi phân suy rộng Clark, vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Đặc biệt việc mở rộng tiêu chuẩn, quy tắc biết đạo hàm cổ điển sang cho đạo hàm suy rộng Toán học tính tốn để tìm “tối ưu” nhằm phục vụ người Một toán tối ưu quan trọng tìm cực trị có điều kiện hàm vô hướng Đối với trường hợp hàm mục tiêu ràng buộc trơn, Lagrange cho quy tắc nhân tử hóa tuyệt vời để chuyển tốn cực trị có điều kiện toán cực trị tự Vấn đề đặt hàm mục tiêu kiện khơng trơn, nói cách khác sử dụng vi phân quy tắc nhân tử hóa nào? Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vi phân Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống, tổng hợp kiến thức vi phân Fréchet số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet ứng dụng Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu Những đóng góp Luận văn Trình bày hệ thống số kết vi phân Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm không gian Banach, vi phân Fréchet quy tắc tổng mờ 1.1 Một số khái niệm không gian Banach Trong luận văn này, nói tới khơng gian Banach ln hiểu khơng gian Banach thực, thường kí hiệu X, với chuẩn X hay đơn giản Cho X không gian Banach Kí hiệu hình cầu đơn vị (đóng) mặt cầu đơn vị X tập hợp BX := {x ∈ X : x ≤ 1}, SX := {x ∈ X : x = 1} Ví dụ 1.1 ([1],[4],[8]) Ta có: Khơng gian tuyến tính Rk với chuẩn x = k i=1 |xi | không gian Banach Cho Ω ⊂ Rk tập đo Lebesgue Khi khơng gian tuyến tính Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞) tất hàm số thực đo x = x(t) Ω cho p Ω |x(t)| dt < ∞ với chuẩn x = 1/p p Ω |x(t)| dt không gian Banach Khơng gian tuyến tính L∞ (Ω) tất hàm số thực đo x = x(t) Ω cho esssupΩ |x(t)| < +∞ với chuẩn x = supΩ |x(t)| không gian Banach Không gian tuyến tính lp (1 ≤ p < ∞) tất dãy số thực x = ∞ |x(i)| hội tụ với chuẩn x = (x(i)) cho chuỗi 1/p ∞ p i=1 p |x(i)| i=1 không gian Banach Không gian tuyến tính l∞ tất dãy số thực x = (x(i)) cho supi |x(i)| < +∞ với chuẩn x = supi |x(i)| không gian Banach Không gian tuyến tính C[a, b] hàm thực liên tục đoạn [a, b] với chuẩn x = max |x(t)| không gian Banach [a,b] Với không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗ tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian đối ngẫu X Nếu x∗ ∈ X ∗ x ∈ X giá trị x∗ x kí hiệu x∗ , x Định lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78 ) Không gian đối ngẫu X ∗ không gian định chuẩn X với chuẩn xác định ∗ x | x∗ , x | = sup x x=0 khơng gian Banach Ví dụ 1.3 ([1], trang 108, 110) Không gian đối ngẫu Lp (Ω), lp (1 < p < ∞) không gian Lq (Ω), lq với q số mũ liên hợp p, tức 1/p + 1/q = Đặc biệt không gian đối ngẫu L1 (Ω), l1 tương ứng L∞ (Ω), l∞ Định nghĩa 1.4 Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai không gian định chuẩn X kí hiệu X ∗∗ Như X ∗∗ = (X ∗ )∗ Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ, X = X ∗∗ Ví dụ 1.6 ([1, 8]) Các không gian Lp (Ω), lp (1 < p < ∞) không gian phản xạ Theo Định lý 1.2, X phản xạ X không gian Banach Định nghĩa 1.7 Không gian Banach X gọi tách có tập đếm trù mật Ví dụ 1.8 ([8], trang 103) Các không gian Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞), C[a, b] không gian tách được; không gian L∞ (Ω), l∞ không tách 1.2 Hàm không gian Banach Cho X, Y không gian Banach, f : X → Y ánh xạ Định nghĩa 1.9 Ánh xạ f gọi khả vi Fréchet (hay đơn giản khả vi) x ∈ X tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục A : X ∗ → Y ∗ cho lim h→0 f (x + h) − f (x) − Ah = h Khi A gọi đạo hàm Fréchet f x kí hiệu Df (x) hay f (x) Định lý 2.5 ([6], Định lý 3.3) Cho X không gian Banach phản xạ, C tập đóng X, fi hàm l.s.c với i = 0, M , fi liên tục với i = M + 1, N Giả sử x nghiệm địa phương P Khi với ε > 0, lân cận yếu V X ∗ , tồn (xi , fi (xi )) ∈ (x, fi (x)) + εBX×R , i = 0, N xN +1 ∈ x + εBX cho N µi D− (τi fi ) (xi ) + N (C, xN +1 ) + V 0∈ i=1 với µi ≥ 0, i = 0, N khơng đồng thời Chứng minh [Định lý 2.3] Vì x nghiệm địa phương P nên cực tiểu địa phương N f0 + δC∩(∩N Si ) = f0 + i=1 δSi + δC , i=1 Si =   {x : fi (x) ≤ 0} , i = 1, M  {x : f (x) = 0} , i = M + 1, N i Do N 0∈D − f0 + δSi + δC (x) i=1 Áp dụng quy tắc tổng mờ địa phương yếu (Định lý 1.31) ta có điều kiện theo vi phân f0 nón pháp Si , i = 1, N nón pháp C Vấn đề cịn lại biểu diễn nón pháp Si theo vi phân hàm fi tương ứng Điều khơng tầm thường cho hai định lý sau: Định lý 2.6 ([6], Định lý 3.4) Cho X không gian Banach phản xạ, f : X → R hàm nửa liên tục dưới, ξ ∈ N (S, x) với S = {x : f (x) ≤ 0} 30 Khi (C1 ) : ∀ε, η > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + ηBX×R cho D− f (x) ∩ εBX ∗ = ∅ (C2 ) : ∀ε > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x))+εBX×R , ∃ζ ∈ D− f (x) λ > cho λζ − ξ < ε Định lý 2.7 ([6], Định lý 3.5) Cho X không gian Banach phản xạ, f : X → R liên tục, ξ ∈ N (S, x) với S = {x : f (x) ≤ 0} Khi (D1 ) : ∀ε, η > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + ηBX×R cho D− f (x) ∪ D− (−f ) (x) ∩ εBX ∗ = ∅ (D2 ) : ∀ε > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + εBX×R , ζ ∈ D− f (x) ∪ D− (−f )(x) λ > cho λζ − ξ < ε Dưới chứng minh dạng Định lý 2.6 Định lý 2.7 không gian Hilbert cách sử dụng vi phân gần kề nón pháp gần kề Chứng minh đầy đủ định lý tìm thấy [7] Định nghĩa 2.8 Cho X không gian Hilbert, f : X → R hàm l.s.c., S ⊂ X tập đóng Ta nói, f khả vi gần kề với đạo hàm gần kề x∗ x tồn δ > cho g(x) = x∗ , x − δ x thỏa mãn f − g đạt cực tiểu địa phương x Tập đạo hàm 31 gần kề gọi vi phân gần kề (proximal subdifferential) f x − ký hiệu DP f (x) Nón pháp gần kề tập đóng S x là: − NP (S, x) := DP δS (x) Với định nghĩa ta có mơ hình Định lý 2.6, 2.7 không gian Hilbert sau X : Định lý 2.9 ([6], Định lý 3.6) Cho X không gian Hilbert, f : X → R hàm nửa liên tục dưới, ξ ∈ NP (S, x) với S = {x : f (x) ≤ 0} Khi (C1 ) : − ∀ε, η > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + ηBX×R cho DP f (x) ∩ εBX ∗ = ∅ (C2 ) : − ∀ε > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x))+εBX×R , ∃ζ ∈ DP f (x) λ > cho λζ − ξ < ε − Chứng minh Giả sử (C1 ) không Khi ∈ Dp f (x) Lấy r, σ > cho với x ∈ S ∩ (x + r ξ BX ), ≥ ξ, x − x − σ x − x Vì f nửa liên tục nên cách lấy r nhỏ cần, ta giả sử f bị chặn −m x + r ξ BX với số dương m Chọn η ∈ (0, r/4) số cho ξ, x − x − σ x − x (x + 2ηξ + 2η ξ BX ) \ {x} f dương 32 dương Với α < min{η, 1/m}, đặt hα (x) := α−1 max{0, x − x − ηξ − η ξ }2 Chú ý hα hàm trơn Lipschitz x, tức có đạo hàm Lipschitz x cho hα (x) = (đặc biệt x) Xét pα (z) := f (z) + hα (z) + δx+r ξ BX (z) Vì khơng đạo hàm gần kề f x nên inf pα < X Đặt eα := min{α/2, − inf X pα /2} Theo nguyên lý biến phân trơn Borwein2eα /α ≤ ε = eα , tồn Preiss, Định lý 1.23 với p = 2, λ = yα , ωα ∈ X với yα − ωα < cho pα (yα ) < inf pα + eα < X z → pα (z) + α z − ωα 2 đạt cực tiểu tồn cục yα Vì pα (yα ) < nên yα ∈ x + r ξ BX hα (yα ) ≤ hα (yα ) + α yα − ω α 2 < −f (yα ) ≤ m Do vậy, yα − x − ηξ ≤ √ mα + η ξ √ Nghĩa yα nằm bên hình cầu x + ηξ + ( mα + η ξ )BX 33 Mặt khác, f (yα ) < (vì pα (yα ) < 0) nên yα nằm ngồi hình cầu x + 2ηξ + 2η ξ BX Từ ta suy lim yα = x α→0 Hơn nữa, f (yα ) ≤ pα (yα ) ≤ inf pα + eα ≤ f (x) + eα , X sử dụng tính l.s.c f ta suy f (yα ) → f (x) α → Dễ thấy rằng, α đủ nhỏ yα thuộc phần hình cầu x + r ξ BX nên α z − ωα 2 đạt cực tiểu địa phương yα Hệ véctơ k(α) đạo z → f (z) + hα (z) + hàm gần kề f yα ,   −1 2α ( yα − x − ηξ − η ξ )/ yα − x − ηξ , hα (yα ) > 0, k(α) :=  0, hα (yα ) = Do (C1 ) không nên ta phải có lim inf α→0 k(α) ≥ trái − lại tồn dãy αj → làm cho DP f (yα ) ζαj → Do ζα := ηk(α) = ξ + o(1) α → Chọn α đủ nhỏ cho (yα , f (yα )) ∈ (x, f (x)) + εBX×R ζα /ηk(α) − ξ < ε Đặt x := yα , λ := 1/ηk(α) ζ := ζα ta có điều phải chứng minh Theo cách tương tự chứng minh Định lý 2.10 ([6], Định lý 3.7) Cho X không gian Hilbert, f : X → R liên tục, ξ ∈ NP (S, x) với S = {x : f (x) ≤ 0} Khi (D1 ) : ∀ε, η > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + ηBX×R cho − − DP f (x) ∪ DP (−f ) (x) ∩ εBX ∗ = ∅ 34 (D2 ) : − ∀ε > 0; ∃ (x, f (x)) ∈ (x, f (x)) + εBX×R , ζ ∈ DP f (x) ∪ − DP (−f )(x) λ > cho λζ − ξ < ε 2.2.2 Ứng dụng Trong mục này, trình bày ứng dụng quy tắc nhân tử hóa mờ toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc việc quy tắc mờ liên quan đến vi phân hàm hợp, tích thương hai hàm Cho f1 , , fN : X → R hàm l.s.c., f : RN → R hàm l.s.c., không giảm theo M biến (M ≤ N ) Giả sử f (f1 , , fN ) đạt cực tiểu địa phương x Khi ta kiểm tra rằng: (x, f1 (x) , , fN (x)) nghiệm địa phương tốn cực tiểu sau X × RN : f (y) với điều kiện:   fn (x) − yn ≤ 0, n = 1, M  f (x) − y = 0, n = M + 1, N n n Áp dụng quy tắc nhân tử mờ (Định lý 2.6) ta có quy tắc dây chuyền mờ sau: Định lý 2.11 (Quy tắc dây chuyền mờ) Giả sử f1 , , fM : X → R hàm l.s.c., fM +1 , , fN liên tục, f : RN → R hàm l.s.c., khơng 35 giảm theo M biến (M ≤ N ) Giả sử (f1 , , fN ) đạt cực tiểu địa phương x Khi với ε > 0, lân cận yếu∗ U X ∗ tồn (xn , fn (xn )) ∈ (x, fn (x)) + εBX×R , n = 0, 1, , N ; (y, f (y)) ∈ (y, f (y))+εBRN +1 , y = (f1 (x) , fN (x)) , µ = (µ1 , , µN ) ∈ D− f (y) + εBRN cho N D− (µn fn )(xn ) + U 0∈ n=0 Hệ sau hiển nhiên: Hệ 2.12 Giả sử f1 , , fN : X → R C −hàm, f : RN → R hàm Lipschitz Giả sử f (f1 , , fN ) đạt cực tiểu địa phương x Khi với ε > 0, lân cận yếu∗ U X ∗ , tồn (y, f (y)) ∈ (y, f (y)) + εBRN +1 , y = (f1 (x) , fN (x)) , µ = (µ1 , , µN ) ∈ D− f (y) + εBRN cho N 0∈ µn fn (x) + U n=0 Nhận xét 2.13 ([6], Nhận xét 3.11) Khi f1 , , fN - Lipschitz, ta có kết luận sắc là: N 0∈D − µn fn + εBX ∗ n=0 Tuy nhiên ví dụ sau cho thấy điều khơng trường hợp tổng quát: 1 Ví dụ 2.14 Cho X = R, N = Z, f1 (x) := x , f2 (x) := −x , f (y1 , y2 ) := max (y1 , y2 ) Khi f (f1 , f2 ) đạt cực tiểu x = Do ∈ D− f (f1 , f2 ) (0) 36 Với ∀y = (y1 , y2 ) , D− f (y) ⊂ A := {(a1 , a2 ) := a1 + a2 = 1, a1 , a2 ≥ 0} Với ∀ε ∈ 0, cố định (µ1 , µ2 ) ∈ A + εBR2 ta kiểm tra trực tiếp rằng: D− (µ1 f1 + µ2 f2 ) (0) = ∅ với x = D− (µ1 f1 + µ2 f2 ) (x) = µ1 − µ2 − x − x → ∞, x → Nhận xét 2.15 Trong Nhận xét 2.4 (a), f C ta có giá trị cụ thể µ = f (y) Mơ hình trơn quy tắc dây chuyền hữu ích việc dẫn quy tắc khác Chẳng hạn, cách N đặt f (f1 , , fN ) := fn ta nhận lại quy tắc tổng mờ yếu n=1 Định lý 1.31 Khi Ví dụ 1.33 gián tiếp lân cận yếu∗ tùy ý kết luận quy tắc dây chuyền quy tắc nhân tử hóa mờ khơng thể đổi thành lân cận theo chuẩn Tương tự, cách đặt N fn f (f1 , f2 ) := f (f1 , , fN ) := n=1 f1 f2 ta dẫn quy tắc tích quy tắc thương sau: Định lý 2.16 (Quy tắc tích mờ) Cho f1 , , fN : X → R hàm N fn đạt cực trị địa phương x Khi với ε > l.s.c Giả sử n=1 lân cận yếu∗ U X ∗ tồn (xn , fn (xn )) ∈ (x, fn (x)) + εBX×R , n = 1, · · · , N cho N D− (f1 (x) · · · fn−1 (x) fn (.) fn+1 (x) · · · fN (x)) (xn ) + U 0∈ n=1 Định lý 2.17 (Quy tắc thương mờ) Cho f1 : X → R hàm l.s.c., f2 : X → R liên tục Giả sử f1 /f2 đạt cực tiểu địa phương x f2 (x) = Khi với ε > 0, lân cận yếu∗ U X ∗ 37 tồn (xn , fn (xn )) ∈ (x, fn (x)) + εBX×R , n = 1, cho D− [f2 (x) f1 (.)] (x1 ) + D− [−f1 (x) f2 (.)] (x2 ) 0∈ + U f2 (x) 2.2.3 Bài toán cực tiểu với vơ hạn ràng buộc Xét tốn tối ưu hóa số ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức PI : f0 (x) với điều kiện   fs (x) ≤ 0,  f (x) = 0, t s∈S t ∈ T, S T tập tùy ý Ta lại sử dụng đại lượng τs = 1, s ∈ S τt ∈ {−1, 1} , t ∈ T để đơn giản hóa kí hiệu Định lý 2.18 Cho X không gian Banach phản xạ, fs l.s.c với s ∈ S, ft liên tục với t ∈ T Giả sử x nghiệm địa phương PI Giả sử lim inf d (D− fs (x), 0) > với s ∈ S x→x − lim inf d (D ft (x) ∪ D− (−f )(x), 0) > với t ∈ T Khi với ε > 0, x→x lân cận yếu∗ U X ∗ tồn tập hữu hạn Sε,U ∈ S Tε,U ∈ T cho (xi , fi (xi )) ∈ (x, fi (x)) + εBX×R , i ∈ Sε,U ∪ Tε,U ∈ D− f0 (x0 ) + µi D− (τi fi ) (xi ) + U, i∈Sε,U ∪Tε,U µi ≥ 0, i ∈ Sε,U ∪ Tε,U không đồng thời không Chứng minh Trước hết ta đưa tốn tốn có hữu hạn ràng buộc Khơng tính tổng qt, ta giả sử εBX ∗ ⊂ U Gọi L 38 không gian hữu hạn chiều X cho L⊥ ⊂ U Để ý rằng, x nghiệm PI nghiệm toán PI với f0 thay f = f0 + δK , K := x + L ∩ BX Do đó, {x : f (x) ≤ f0 (x)−ε2 } [∩s∈S {x : fs (x) ≤ bs }] [∩t∈T {x : ft (x) = bt }] = ∅ Vì f có tập mức compact nên tồn hữu hạn tập Sε,U ∈ S Tε,U ∈ T (những tập phụ thuộc vào ε L, phụ thuộc U ) cho {x : f (x) ≤ f0 (x) − ε2 } [∩s∈Sε,U {x : fs (x) ≤ bs }] [∩t∈Tε,U {x : ft (x) = bt }] = ∅ Bằng cách bỏ số phần tử từ Sε,U cần thiết, ta giả sử fs (x) = bs với s ∈ Sε,U Đặt C := [∩s∈Sε,U {x : fs (x) ≤ bs }] [∩t∈Tε,U {x : ft (x) = bt }] Khi f (x) < inf f + ε2 C Chọn ε < ε/2 cho fs (x) − ε/2 < fs (x) với x ∈ x + ε BX s ∈ Sε,U ∪ {0} |ft (x) − ft (x)| < ε/2 với x ∈ x + ε BX t ∈ Tε,U Theo nguyên lý biến phân trơn, Định lý 1.23, tồn xε ∈ x + ε BX C −hàm g với g(xε ) < ε/3 cho f + g + δC đạt x = xε Nói cách khác, xε nghiệm tốn tối ưu hóa sau: f (x) + g(x) với ràng buộc fs (x) ≤ bs , s ∈ Sε,U ; ft (x) = bt , t ∈ Tε,U Áp dụng quy tắc nhân tử hóa mờ, Định lý 2.3, tồn (xi , fi (xi )) ∈ (xε , fi (xε )) + ε BX×R , i ∈ Sε,U ∪ Tε,U y0 đủ gần xε 39 cho g(y0 ) < ε/3 ∈ D− f (y0 ) + g(y0 ) + i∈Sε,U ∪Tε,U µi D− (τi fi )(xi ) + U, µi ≥ 0, i ∈ Sε,U ∪ Tε,U khơng đồng thời không Do xε ∈ C nên ta có fs (x) − ε/2 < fs (xε ) ≤ bs = fs (x) Vậy (xi , fi (xi )) ∈ (x, fi (x)) + εBX×R , i ∈ Sε,U ∪ Tε,U Áp dụng quy tắc tổng mờ yếu Định lý 1.31 f ta có D− f (y0 ) ⊂ D− f0 (x0 ) + U, x0 điểm chọn cho (x0 , f0 (x0 )) gần với (y0 , f0 (y0 )) để (x0 , f0 (x0 )) ∈ (xε , f0 (xε )) + ε BX×R ⊂ (x, f0 (x)) + εBX×R Khi ∈ D− f (x0 ) + U + g(y0 ) + ⊂ D− f (x0 ) + i∈Sε,U ∪Tε,U µi D− (τi fi )(xi ) + U µi D− (τi fi )(xi ) + U i∈Sε,U ∪Tε,U 2.2.4 Ứng dụng Trong mục tìm hiểu ứng dụng quy tắc nhân tử hóa mờ tốn cực tiểu với vơ hạn ràng buộc nghiên cứu vi phân hàm “sup” Cụ thể, cho f (x) := sup {fs (x) : s ∈ S} Khi đó, f đạt cực tiểu địa phương x (x, f (x)) nghiệm địa phương tốn tối ưu có ràng buộc: y 40 với điều kiện fs (x) − y ≤ 0, s ∈ S Từ quy tắc nhân tử hóa mờ Định lý 2.3 ta có cơng thức vi phân cho hàm sup Định lý 2.19 (Dưới vi phân hàm sup, [6], Định lý 3.18) Cho fs : X → R, s ∈ S hàm l.s.c., f (x) := sup {fs (x) : s ∈ S} Giả sử f đạt cực tiểu địa phương x Khi với ε > 0, lân cận yếu∗ U X ∗ tồn tập hữu hạn Sε,U S, số khơng âm µs xs ∈ x + εBX , s ∈ Sε,U cho µs D− (fs ) (xs ) + U 0∈ i∈Sε,u µs − < ε i∈Sε,u 41 Kết luận Trong Luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày cách hệ thống số nội dung sau: -Dưới vi phân Fréchet hàm nửa liên tục không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet -Quy tắc tổng mờ địa phương: quy tắc cho phép đánh giá cỡ vi phân Fréchet tổng hai hàm nửa liên tục -Bài tốn tối ưu có (hữu hạn vơ hạn) ràng buộc với kiện nói chung nửa liên tục -Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng việc tìm quy tắc dây chuyền mờ, quy tắc tích mờ, quy tắc thương mờ quy tắc liên quan đến vi phân hàm sup Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Phạm Phúc Long (2010), Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn Thạc sỹ Toán học, ĐHSP-Đại học Thái Nguyên [3] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [6] J M Borwein and Q J Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol 38, p 687-773 43 [7] J M Borwein, J S Treiman and Q J Zhu (), Necessary conditions for constrained optimization problems with semicontinuous and continuous data, Transactions of the American Mathematical Society Vol 350, No (Jun., 1998), pp 2409-2429 [8] H Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer [9] R Deville, G Godefroy and V Zizler (1993), Smoothness and renormings in Banach spaces, Longman Scientific Technical [10] A Ya Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp 3325-3358 [11] R T Rockafellar (1993), Lagrange multipliers and optimality, SIAM review, Vol 35, No 2, pp 183-238 [12] R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational analysis, Springer, Berlin - Heidelberg 44 ... đề tài nghiên cứu: ? ?Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng? ?? Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vi phân Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng chúng Nhiệm vụ... kiện nói chung nửa liên tục -Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng việc tìm quy tắc dây chuyền mờ, quy tắc tích mờ, quy tắc thương mờ quy tắc liên quan đến vi phân hàm sup Tài... tổng mờ địa phương thỏa mãn x = 21 Chương Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng 2.1 Bài toán tối ưu Bài toán tối ưu thường phát biểu dạng: Tìm nghiệm tối ưu toán f (x), x∈D (2.1) D tập khơng gian định