Điều kiện cực trị bậc 2 và độ nhạy nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HUẾ ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************** NGUYỄN THỊ HUẾ ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Văn Tuyên Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Tốn giúp đỡ em q trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Trong q trình nghiên cứu, khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo toàn thể bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Huế LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Huế Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Tập lồi hàm lồi 1.1.1 Tập lồi tính chất tập lồi 1.1.2 Hàm lồi số tính chất hàm lồi Các tập tiếp xúc 1.2.1 Nón tiếp tuyến 1.2.2 Tập tiếp xúc bậc hai Điều kiện cực trị bậc 14 Điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm 16 2.1 Điều kiện tối ưu 16 2.2 Độ nhạy nghiệm 26 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 32 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Lời mở đầu Lý thuyết tối ưu hình thành với tư cách lý thuyết tốn độc lập Có thể nói lý thuyết tối ưu toán quy hoạch tuyến tính, tiếp tốn quy hoạch lồi Đối tượng nghiên cứu lý thuyết tối ưu mở rộng hình thành hướng nghiên cứu khác ngày có nhiều ứng dụng thực tế Trong lý thuyết tối ưu, điều kiện cực trị bậc thường đóng vai trò điều kiện cần tối ưu Các điều kiện cực trị bậc hai bổ sung cho điều kiện cực trị bậc mà đóng vai trò quan trọng điều kiện đủ việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm tối ưu Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn tối ưu, đặc biệt tốn tối ưu có ràng buộc, chọn nghiên cứu đề tài: “Điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc” Mục đích khóa luận trình bày cách có hệ thống, kiến thức quan trọng điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc Các kết khóa luận trình bày dựa sách chuyên khảo [3] Nonlinear Optimization năm 2006 Khóa luận gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức tập lồi hàm lồi, tập tiếp xúc, điều kiện cực trị bậc Chương trình bày điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế tốn có ràng buộc Mục 2.1 trình bày điều kiện cực trị bậc hai Mục 2.2 trình bày độ nhạy nghiệm tối ưu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Tập lồi hàm lồi Tập lồi tính chất tập lồi Định nghĩa 1.1 Một tập X Rn gọi tập lồi x, y ∈ X ta có λx + (1 − λ) y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Nghĩa x, y ∈ X đoạn thẳng [x.y] ∈ X Đặc biệt, n = tập lồi khoảng đoạn hay nửa n khoảng Nếu α1 , , αn số thực không âm, αi = i=1 n x= αi xi i=1 gọi tổ hợp lồi x1 , , xn Định lý 1.1 Một tập X ⊂ Rn tập lồi tổ hợp điểm X nằm X Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Định lý 1.2 Nếu {Xi } , i ∈ J họ tập lồi X = ∩i∈J Xi tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho X tập Rn Khi bao lồi X ký hiệu convX, giao tất tập lồi chứa X Bao lồi X tập lồi Định lý 1.3 Cho X tập Rn Khi bao lồi X tập tất tổ hợp lồi phần tử X Định nghĩa 1.3 Một điểm x0 tập lồi X gọi điểm cực biên x0 không điểm đoạn thẳng nằm X Tức không tồn hai điểm x1 , x2 ∈ X λ ∈ (0; 1) để x0 = λx1 + (1 − λ) x2 Định lý 1.4 Cho X ⊆ Rn tập lồi, compact Khi X bao lồi tất điểm cực biên 1.1.2 Hàm lồi số tính chất hàm lồi Các hàm lồi định nghĩa tập lồi Định nghĩa 1.4 Cho X tập lồi Rn hàm f : X → R (i) f gọi hàm lồi f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) với x, y ∈ X với λ ∈ [0; 1] (ii) f gọi hàm lồi chặt (1.3) bất đẳng thức ngặt với điểm x, y phân biệt λ ∈ (0; 1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế (iii) Nếu hàm −f lồi (lồi chặt) ta nói f hàm lõm (lõm chặt) (iv) Nếu f vừa hàm lồi vừa hàm lõm ta nói f hàm affine Thực ra, λ = λ = (1.3) ln tiện, ta cần xét λ ∈ (0; 1) 1.2 Các tập tiếp xúc 1.2.1 Nón tiếp tuyến Định nghĩa 1.5 Hướng d gọi tiếp xúc tập X ⊂ Rn điểm x ∈ X tồn dãy điểm xk ∈ X dãy số τk > 0, k = 1, , cho τk ↓ xk − x d = lim k→∞ τk Từ định nghĩa ta có xk → x, ngược lại giới hạn khơng tồn Bổ đề 1.1 Cho X ∈ Rn x ∈ X Tập TX (x) tập tất hướng tiếp xúc X x tập nón đóng Bổ đề 1.2 Cho X ∈ Rn tập lồi x ∈ X Khi TX (x) = KX (x), đó, KX (x) := {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0} Kí hiệu X tập hợp cho hệ X = {x ∈ X0 : g(x) ∈ Y0 }, (1.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Định lý 2.2 Giả sử X0 tập lồi đa diện điểm cực tiểu địa phương xˆ ∈ X toán (3.72) thỏa mãn điều kiện Robinson Khi với s ∈ TX (ˆ x) cho ∇f (ˆ x) , s = điều kiện sau max ˆ x) (λ,µ)∈Λ(ˆ s, ∇2xx L (ˆ x, λ, µ) s ≥ 0, (2.5) ˆ µ ˆ (ˆ Λ x) tập giá trị tối ưu nhân tử Lagrange λ, ˆ toán (2.3) Chứng minh Trước bắt đầu chứng minh, ta để ý điều kiện ˆ (x) tập compact cực đại (2.5) Robinson tập Λ tồn Xét tốn (2.4) Bởi Bổ đề 1.5, TX2 (ˆ x, s) = TTX0 (ˆx) (s) Hơn nữa, ta có TTX0 (ˆx) (s) ⊃ TX0 (ˆ x) Vì tốn ∇f (ˆ x) , w + s, ∇2 f (ˆ x) s với giả thiết w ∈ TX0 (ˆ x) , (2.6) 00 ∇gi (ˆ x) , w ≤ − s, ∇ gi (ˆ x) s , i ∈ I (ˆ x, s) , ∇hi (ˆ x) , w = − s, ∇2 hi (ˆ x) s , i = 1, , p, hạn chế tốn (2.6) giá tị tối ưu khơng âm Theo điều kiện Robinson tập khả thi toán (2.6) rỗng Bài tốn (2.6) có hàm mục tiêu tuyến tính ràng buộc đa diện Vì có nghiệm 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế tối ưu: w ˆ ¯ i , i ∈ I 00 (ˆ Ký hiệu λ x, s) µ ¯i , i = 1, , p, cho nhân tử Lagrange liên kết ràng buộc Điều kiện cần đủ định lí tối ưu cho toán (2.6) p ¯ i ∇gi (ˆ λ x) − −∇f (ˆ x) − ◦ µ ¯i ∇hi (ˆ x) ∈ TTX0 (ˆx) (w) , i=1 i∈I 00 (ˆ x,s) ¯ i [ ∇gi (ˆ λ x) , w + s, ∇2 gi (ˆ x) s = 0, i ∈ I 00 (ˆ x, s) , ¯ ≥ λ Vì tập giá trị tối ưu nhân tử Lagrange cho toán (2.6) bao ˆ (ˆ gồm tập Λ x) giá trị tối ưu nhân tử Lagrange toán ¯ i = với i ∈ (2.3) (chúng ta xác định λ / I 00 (ˆ x, s) Hơn giá trị tối ưu toán (2.6) với giá trị Lagrangian : ¯ µ L1 w, ˆ λ, ¯ = ∇f (ˆ x) , wˆ + s, ∇2 f (ˆ x) s ¯i λ + ∇gi (ˆ x) , wˆ + s, ∇2 gi (ˆ x) s i∈I 00 (ˆ x,s) p + µ ¯i ∇hi (ˆ x) , wˆ + s, ∇2 hi (ˆ x) s i=1 Ta có TTX0 (ˆx) (w) = TX0 (ˆ x) + {αw : α ∈ R} ¯ µ Nếu tối thiểu Lagrange L1 ·, λ, ¯ TX0 (ˆ x) w, ˆ p ¯ i ∇gi (ˆ λ x)+ ∇f (ˆ x) + µ ¯i ∇hi (ˆ x) , wˆ i=1 i∈I 00 (ˆ x,s) 20 = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Số hạng tiên Lagrangian biến kết luận ¯ i s, ∇2 gi (ˆ λ x) s ¯ µ L1 w, ˆ λ, ¯ = s, ∇2 f (ˆ x) s + i∈I 00 (ˆ x,s) p ¯ µ µ ¯i s, ∇2 hi (ˆ x) s = s, ∇2xx L xˆ, λ, ¯ s + i=1 Giá trị tối ưu không âm biểu thức chứng minh Chúng ta đề cập đến giả thiết X0 đa diện cho phép sử dụng rõ ràng cấu trúc tập tiếp xúc bậc Nó chấp nhận để phát triển điều kiện bậc cho tập lồi X0 chúng bao hàm lẫn Trong phát triển điều kiện đủ bậc cho tốn (2.3) Chúng ta giả định rõ ràng hạn chế, khả điều kiện giả thiết tồn tối ưu nhân tử Lagrange Tập (1.11) rộng tiếp xúc hình nón ký hiệu TX Chúng ta không giả thiết câu trúc đặc biệt tập X0 trừ tính lồi tính xác Định lý 2.3 Giả thiết điểm xˆ thỏa mãn điều kiện tối ưu bậc ˆ µ ˆ (ˆ toán (2.3) Λ x) tập nhân tử Lagrange λ, ˆ toán Giả thiết với s = tập (1.11) cho ∇f (ˆ x) , s = 0, ta có ˆ µ sup s, ∇2xx L xˆ, λ, ˆ s > ˆ ˆ λ,ˆ µ ∈ Λ(ˆ x ) ( ) (2.7) Khi xˆ cực tiểu địa phương (2.3) Chứng minh Chúng ta chứng minh phản chứng, giả sử xˆ khơng 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế cực tiểu địa phương Khi tồn dãy điểm khả thi y k cho y k → x f y k < f (x) với k (2.8) Chúng ta xác định dãy y k − xˆ s = k y − xˆ k ký hiệu hội tụ điểm s Nó tồn sk bị chặn Với i ∈ I (ˆ x) khai triển hàm số gi (·) gần xˆ: x) , y k − xˆ + o y k − xˆ , ≥ gi y k = ∇gi (ˆ với o (z) / z → cho z → Chia vế y k − xˆ qua giới hạn dãy với sk → s, thu ∇gi (ˆ x) , s ≤ 0, i ∈ I (ˆ x) Sự phân tích tương tự ràng buộc quan hệ ∇hi (ˆ x) , s = 0, i = 1, , p Do s phần tử hình nón (1.11) Từ điều kiện cần tối ưu mà ∇f (ˆ x) , s ≥ Theo (2.8), ∇f (ˆ x) , s = ˆ µ ˆ (ˆ Bằng giả thiết (2.7), chọn λ, ˆ ∈Λ x) cho ˆ µ s, ∇2xx L xˆ, λ, ˆ s > 22 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Theo công thức Taylor f y k = f (ˆ x)+ ∇f (ˆ x) , y k − xˆ + với δ y k − xˆ y k − xˆ k y − xˆ, ∇2 f (ˆ x) y k − xˆ +δ y k − xˆ , (2.10) → Tương tự x) + ∇gi (ˆ x) , y k − xˆ gi y k =gi (ˆ k + y − xˆ, ∇2 gi (ˆ x) y k − xˆ hi y k + γi y k − xˆ , (2.11) k =hi (ˆ x) + ∇hi (ˆ x) , y − xˆ k + y − xˆ, ∇2 hi (ˆ x) y k − xˆ + δi y k − xˆ , ˆi γi δi vô hạn nhỏ y k − xˆ Chúng ta nhân λ µ ˆi tương ứng (2.11) ta (2.10) Tổng số hạng thứ vế phải thỏa mãn điều kiện tối ưu bậc nhất: m m ˆ i ∇gi (ˆ λ x) + ∇f (ˆ x) + i=1 µ ˆi ∇hi (ˆ x) , y k − xˆ ≥ 0, i=1 Bởi y k ∈ X0 Vì tổng (2.10) -(2.11) nêu bất đẳng thức f y k ≥ f (ˆ x) + k ˆ µ y − xˆ, ∇2xx L xˆ, λ, ˆ y k − xˆ + δ¯ y k − xˆ , δ¯ y k − xˆ vô hạn nhỏ với y k − xˆ Sử dụng (2.8) chia vế cho y k − xˆ ta thu k đủ lớn cho mối liên hệ δ¯ y k − xˆ k k ˆ s , ∇xx L xˆ, λ, µ ˆ s + < y k − xˆ 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Khi mà k → ∞ ( dãy thích hợp), sk → s Theo ˆ µ s, ∇2xx L xˆ, λ, ˆ s ≤ 0, điều mâu thuẫn với (2.9) Định lý 2.3 sử dụng để thu phiên tương tự điều kiện đủ bậc Chẳng hạn, với điểm xˆ thỏa mãn điều kiện ˆ µ ˆ (ˆ đủ bậc nửa mạnh (semi-strong), tồn nhân tử λ, ˆ ∈Λ x) thỏa mãn ˆ µ s, ∇2xx L xˆ, λ, ˆ s > 0, (2.12) với s = thu mặt phẳng: ˆ x) = {s ∈ Rn : D(ˆ gi (ˆ x), s = với i cho λˆ0 > 0, hi (ˆ x), s = 0, i = 1, , p} Chúng ta điều kiện từ giả thiết định lí 2.3 Giả sử s phần tử khác không TX (ˆ x) cho ∇f (ˆ x) , s = Điều kiện cần bao hàm rằng: p ˆ i ∇gi (ˆ λ x) + ∇f (ˆ x) + µ ˆi ∇hi (ˆ x) , s ≥ i=1 i∈I (ˆ x) Từ ∇f (ˆ x) , s = ∇hi (ˆ x) , s = 0, suy λi ∇gi (ˆ x) , s ≥ i∈I (ˆ x) Tất số hạng vế trái không âm với s ∈ TX (ˆ x) chúng phải 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế ˆ i > khơng Điều đưa đến ∇gi (ˆ x) , s = mà λ ˆ (ˆ Như s ∈ D x) Vì giả thiết định lí 2.3 thỏa mãn Ví dụ 2.1 Cho Q ma trận đối xứng n chiều Xem xét tốn tối cực tiểu dạng tồn phương mặt cầu đơn vị S: x, Qx với giả thiết − x = Chúng ta phân tích tốn sau, tìm điều kiện tối ưu bậc Qx − µx = 0, thỏa mãn vecto riêng Q tương ứng giá trị riêng giá trị nhân tử Lagrange µ Chúng ta điều kiện bậc để tìm nghiệm tối ưu Cho µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn giá trị riêng Q cho z1 , , zn vector trực giao tương ứng có độ dài đơn vị Giả thiết xˆ = zk µ ˆ = µk Mặt phẳng tiếp tuyến mặt cầu S xˆ có dạng: ˆ (ˆ D x) = {d ∈ Rn : xˆ, d = 0} = {d ∈ Rn : zk , d = 0} Vì hướng tiếp tuyến d tổ hợp vector riêng d= αi zi i=k Lagrangian có cấu trúc : L (x, µ) = x, Qx − µ x 25 = x, (Q − µI) x , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế dạng Hessian zk µk trở thành ∇2 L (x, µ) = Q − µk I Điều kiện cần tối ưu bậc định lí 2.2 kết : d, (Q − µk I) d ≥ với hướng tiếp xúc d Đặc biệt đặt d = zi , với i = k thu zi , (Q − µk I) zi = µi − µk ≥ Vì cực tiểu địa phương vector riêng tương ứng giá trị riêng nhỏ Q 2.2 Độ nhạy nghiệm Chúng ta xét toán với tham số b ∈ Rm c ∈ Rp : f (x) với giả thiết gi (x) ≤ bi i = 1, , m, hi (x) = ci i = 1, , p (2.13) Chúng ta giả thiết f : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, , m hi : Rn → R, i = 1, , p hàm số khả vi liên tục đến cấp hai Chúng ta quan tâm phụ thuộc nghiệm giá trị tối ưu toán tham số b c Giả thiết x0 cực tiểu địa phương (2.13) cho b = b0 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế c = c0 Theo định nghĩa tập bất đẳng thức ràng buộc hoạt I x0 = ≤ i ≤ m : gi x0 = b0i Chúng ta giả thiết x0 thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc ký hiệu nhân tử Lagrange x0 λ0 , µ0 Chúng ta phân tích độ nhạy toán (2.13) cách xét hệ điều kiện cực trị bậc điều kiện đủ bậc hai bán mạnh Định lý 2.4 Giả thiết gradient tất ràng buộc hoạt độc lập tuyến tính x0 λ0i > với i ∈ I x0 Thêm điều kiện đủ bậc hai bán mạnh (2.12) thỏa mãn x0 Khi tồn lân ˆ i (b, c) , i ∈ cận U b0 , c0 xác định hàm số xˆ (b, c) , λ I x0 µ ˆi (b, c) , i = 1, , p, cho xˆ(b, c) nghiệm cực tiểu địa ˆ (b, c) , µ phương tốn (2.13) (λ ˆ (b, c)) vector tương ứng ˆ (b, c) µ nhân tử Lagrange Hơn hàm số xˆ (b, c) , λ ˆ (b, c) khả vi b0 , c0 df xˆ b0 , c0 db = −λ0 , df xˆ b0 , c0 dc = −µ0 Chứng minh Đơn giản ký hiệu, giả thiết p = (đẳng thức không ràng buộc) I x0 = {1, , m0 } Xác định Jacobian 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế hàm số ràng buộc hoạt:    A (x) =    T (∇g1 (x)) (∇gm0 (x))T     Nếu ràng buộc không hoạt x0 điều kiện cần cực trị bậc là: ∇f (x) + A(x)T λ = (2.14) Chúng ta giả định bất đẳng thức hoạt x0 thỏa mãn phương trình với b gần b0 : gi (x) = bi , i = 1, m0 (2.15) Jacobian hệ phương trình (2.14)-(2.15) x0 , λ0 có dạng  J0 =  ∇2xx L 0 x ,λ A x A x 0 T   (2.16) Bởi điều kiện bậc đủ mạnh điều kiện bất đẳng thức tuyến tính, khơng suy biến ma trận Thật vậy, giả sử  J0  s u   = 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Khi A x0 s = Hơn  sT uT J0   s u  =sT ∇2xx L x0 , λ0 s + 2sT A x0 T u =sT ∇2xx L x0 , λ0 s Nếu s = 0, điều kiện bậc đưa đến tính dương biểu thức (mâu thuẫn) Thật s =  J0  s u  T  = A x0 u = 0, hàng khơng phụ thuộc tuyến tính A x0 đưa u = Từ Jacobian không suy biến, hệ 2.15 - 2.16 xác định lân ˆ (b) Nó đạo hàm b0 thỏa mãn cận b0 hàm ẩn xˆ (b) , λ phương trình :  J0  dˆ x(b0 ) db ˆ (b0 ) dλ db   = I   Sử dụng (2.16) thu liên hệ: ∇2xx L 0 x ,λ dˆ x b0 + A x0 db A x T ˆ b0 dλ = 0, db dˆ x b0 = I db Chúng ta sử dụng phương trình để tính đạo hàm xˆ (b) ˆ (b) b0 Chúng để lại vận dụng cho người đọc và λ tập trung phương trình bậc Dễ thấy gi (ˆ x (b)) = b, i = 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế T 1, , m0 Nhân vế phương trình với λ0 Chúng ta có T λ A x dˆ x b0 T = λ0 db Sử dụng 2.16 b0 thu ∇f x T dˆ x b0 T = − λ0 db Vế trái phương trình chuyển vị đạo hàm hàm hợp f (ˆ x (b)) b0 df xˆ b0 db dˆ x b0 = db T ∇f x0 = −λ0 , ˆ (b) liên tục có : yêu cầu Hàm bao gồm xˆ (b) , λ gi (ˆ x (b)) < i ∈ / I x0 , λi (b) > 0, i ∈ I b0 , ˆ (b) cho phép thỏa với b đủ gần đến b0 Vì có cặp xˆ (b) , λ mãn điều kiện tối ưu bậc Còn lại xˆ (b) thực cực tiểu địa phương Để kết thúc chứng minh xˆ (b) thoản mãn điều kiện mạnh bậc hai với b đủ gần b0 Giả thiết ngược: với ε > tìm b s = cho b − b0 < ε A (ˆ x (b)) s = 0, ˆ (b) s ≤ s, ∇2xx L xˆ (b) , λ 30 (2.17) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Chúng ta ln chuẩn hóa s cho s = Ta xem xét dãy ε ↓ tương ứng với dãy bk sk thỏa mãn điều kiện bên Bằng cách xây dựng, có bk → b0 Sự liên tục hàm ˆ bk → λ0 Chọn dãy cần chúng ẩn đưa xˆ bk → x0 λ ta có hội tụ dãy sk đến giới hạn s¯ có độ dài Qua giới hạn (2.17)cùng với điều kiện thứ hai x0 , thu mâu thuẫn Chúng ta kết thúc chương với nhận xét điều kiện độc lập tuyến tính điều kiện đủ bán mạnh bậc bậc không thỏa mãn, hàm giá trị f (ˆ x (b, c)) khơng khả vi 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế Kết luận Khóa luận trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi, tập tiếp xúc, điều kiện cực trị bậc Sau đề cập đến điều kiện cực trị bậc hai tốn tối ưu có ràng buộc Cuối khóa luận trình bày độ nhạy nghiệm nghiệm tối ưu 32 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [3] A Ruszczy´ nski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, 2006 33 ... ổn định nghiệm tối ưu Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tối ưu, đặc biệt toán tối ưu có ràng buộc, tơi chọn nghiên cứu đề tài: Điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc Mục... Trong lý thuyết tối ưu, điều kiện cực trị bậc thường đóng vai trò điều kiện cần tối ưu Các điều kiện cực trị bậc hai bổ sung cho điều kiện cực trị bậc mà đóng vai trò quan trọng điều kiện đủ việc... xúc, điều kiện cực trị bậc Chương trình bày điều kiện cực trị bậc hai độ nhạy nghiệm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huế tốn có ràng buộc Mục 2. 1 trình bày điều kiện cực trị bậc hai Mục 2. 2