Điều kiện tối ưu điểm karush kuhn tucker cho bài toán tối ưu vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ CHÂU ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐIỂM KARUSH-KUHN-TUCKER CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ CHÂU ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐIỂM KARUSH-KUHN-TUCKER CHO BÀI TỐN TỐI ƯU VÉCTƠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Luận văn thạc sĩ “Điều kiện tối ưu kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho toán tối ưu véctơ” kết trình cố gắng khơng ngừng thân tác giả giúp đỡ, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè đồng nghiệp người thân Tác giả xin cảm ơn T.S Nguyễn Văn Tuyên trực tiếp tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy giáo giảng viên Khoa Tốn, thầy phòng Sau Đại học thầy Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện tác giả hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu khoa học Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, đơn vị cơng tác, gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả luận văn Nguyễn Thị Châu Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón tiếp tuyến 1.2 Dưới vi phân 11 1.3 Khái niệm nghiệm 16 1.4 Điều kiện quy 18 Điều kiện tối ưu 24 2.1 Bài toán trơn 24 2.1.1 Điều kiện Karush–Kuhn–Tucker yếu 24 2.1.2 Điều kiện Karush–Kuhn–Tucker mạnh 28 2.2 Bài tốn khơng trơn 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 40 Một số ký hiệu N tập số tự nhiên R tập số thực R := R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n-chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn x∗ , x tích vơ hướng Rn x chuẩn véctơ x domF miền xác định F {xn }, (xn ) dãy số thực, dãy véctơ Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ N (x) tập tất lân cận điểm x NB (x) tập tất lân cận cân điểm x Lim sup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich Ω x¯ N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∇f (x) đạo hàm Fréchet f x ∂f (x) ˆ (x) ∂f vi phân Mordukhovich f x vi phân Fréchet f x Ω x → x¯ x ∈ Ω f x → x¯ f (x) → f (¯ x) x −→ x¯ x −→ x¯ α↓α ¯ α→α ¯ α A⊂B A tập B A∩B giao hai tập hợp A B A∪B hợp hai tập A B B tích Descartes hai tập A B A\B hiệu hai tập A B int A phần tập hợp A A, cl A bao đóng tập hợp A conv (A) bao lồi tập hợp A cone (A) bao nón tập hợp A ✷ kết thúc chứng minh α ¯ Mở đầu Lý chọn đề tài Một vấn đề quan trọng lý thuyết tối ưu nghiên cứu điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu Các điều kiện tối ưu khơng hữu ích việc xác định nghiệm toán tối ưu mà đóng vai trò cốt yếu việc xây dựng thuật tốn để tìm nghiệm xấp xỉ tốn Trong luận văn này, chúng tơi tập trung nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc cho toán tối ưu véctơ (VP) có dạng sau minRl+ f (x) với ràng buộc x ∈ Q0 := {x ∈ Rn : g(x) 0}, f := (fi ), i ∈ I := {1, , l}, g := (gj ), j ∈ J := {1, , m} hàm véctơ xác định không gian Euclide Rn Như biết fi , gj hàm khả vi Fréchet x¯ ∈ Q0 x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VP), tồn nhân tử Lagrange (λ, µ) ∈ Rl × Rm thỏa mãn l m λi ∇fi (¯ x) + i=1 (0.1) 0, µj gj (¯ x) = 0, (0.2) j=1 µ = (µ1 , , µm ) λ = (λ1 , , λl ) µj ∇gj (¯ x) = 0, 0, (λ, µ) = 0; (0.3) xem [11, Theorem 7.4] Các điều kiện (0.1)–(0.3) gọi điều kiện cần bậc kiểu F.-John Tính dương nhân tử ứng với hàm mục tiêu cho ta thấy ảnh hưởng mục tiêu việc xác định nghiệm tối ưu tốn Nếu có nhân tử Lagrange λi dương, ta nói toán thỏa mãn điều kiện cần bậc kiểu Karush–Kuhn–Tucker (KKT ) yếu (W KKT ) Khi mà tất nhân tử Lagrange hàm mục tiêu dương, ta nói tốn thỏa mãn điều kiện (KKT ) mạnh (SKKT ) Điều kiện (KKT ) mạnh tất hàm mục tiêu có vai trò định việc xác định nghiệm tối ưu Để đạt điều kiện tối ưu kiểu (KKT ) tốn phải thỏa mãn số điều kiện quy Trong lý thuyết tối ưu, có hai kiểu giả thiết quy đặt lên ràng buộc mục tiêu toán Các giả thiết gọi điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (constraint qualifications (CQ)) đặt lên phiếm hàm ràng buộc toán Chúng gọi điều kiện quy (regularity conditions (RC)) mà chúng đặt lên phiếm hàm ràng buộc hàm mục tiêu Trong [18, 20], tác giả sử dụng điều kiện CQ tương tự tối ưu mục tiêu để đưa điều kiện tối kiểu KKT cho tốn (VP) Tuy nhiên, điều kiện khơng đủ để nhận điều kiện tối ưu kiểu SKKT Năm 1994, Maeda [16] người đề xuất điều kiện quy kiểu Guignard suy rộng thiết lập điều kiện cần SKKT cho tốn tối ưu trơn Sau đó, điều kiện quy kiểu Guignard suy rộng sử dụng để thiết lập điều kiện tối ưu bậc bậc hai kiểu KKT cho toán tối ưu véctơ trơn (xem [3, 4]) không trơn (xem [10, 13, 19]) Burachik Rizvi [5,6] đề xuất số điều kiện quy (điều kiện quy Guignard (GRC) điều kiện quy Abadie suy rộng (GARC)) yếu điều kiện quy đề xuất Maeda [16] Sau đó, tác giả nhận số điều kiện cần bậc W KKT cho nghiệm hữu hiệu yếu điều kiện SKKT cho nghiệm hữu hiệu thường theo nghĩa Geoffrion Borwein toán tối ưu véctơ trơn Gần đây, kết báo [5] mở rộng cho lớp tốn tối ưu véctơ khơng trơn sử dụng vi phân Clarke [21] vi phân Mordukhovich [14] Trên sở tài liệu tham khảo trích dẫn trên, luận văn khảo sát điều kiện tối ưu bậc kiểu W KKT SKKT cho toán tối ưu véctơ với hai trường hợp liệu trơn liệu khơng trơn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện tối ưu bậc cho toán tối véctơ Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện quy điều kiện cần tối ưu bậc kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho toán tối ưu véctơ với trường hợp liệu trơn liệu Lipschitz Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện tối ưu bậc Chú ý điều kiện (2.10) mạnh điều kiện (EARC) kể Qi M i tập lồi Tuy nhiên, điều kiện (EARC) khơng suy điều kiện (SKKT) Ví dụ chứng tỏ điều Ví dụ 2.2 Cho f : R2 → R3 xác định f (x) := (x1 , x2 , (x1 + 2x2 )(x1 + 0.5x2 )) với ràng buộc x ∈ R2 , Ta có, x¯ = (0, 0) nghiệm hữu hiệu toán Xét tập sau M = x ∈ R2 | f1 (x) := x1 = f1 (¯ x) , M = x ∈ R2 | f2 (x) := x2 = f2 (¯ x) M = x ∈ R2 | f3 (x) := (x1 + 2x2 )(x1 + 0.5x2 ) Ta có = f3 (¯ x) T (M i ; x¯) = d ∈ R2 | d1 0, d2 , i=1 L(M ; x¯) = d ∈ R | d1 0, d2 T (M i ; x¯) = i=1 Do đó, điều kiện (EARC) thỏa mãn Dễ thấy ∇f1 (¯ x) = (1, 0), ∇f2 (¯ x) = (0, 1) ∇f3 (¯ x) = (0, 0) Tuy nhiên, ta kiểm tra tồn d ∈ d ∈ R2 | d1 < 0, d2 < thỏa mãn ∇f1 (¯ x)T d < 0, ∇f2 (¯ x)T d < 0, ∇f3 (¯ x)T d = Chú ý (2.10) khơng thỏa mãn, x¯ nghiệm hữu hiệu không thỏa mãn điều kiện (SKKT) Tuy nhiên, ta ý thêm x¯ = (0, 0) không nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion Thật vậy, lấy x = (−a, −a), a > 0, ta có −a f1 (x) − f1 (¯ x) = −9a2 = f3 (¯ x) − f3 (x) 9a 29 Giá trị 9a tiến tới+∞ cho a ↓ Vì vậy, x¯ = (0, 0) khơng nghiệm hữu hiệu thật theo nghĩa Geoffrion khơng nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein Tiếp theo chứng tỏ rằng, điều kiện (EARC), nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Karush–Kuhn–Tucker Định lý 2.3 Lấy x¯ ∈ S Giả sử (EARC) thoả mãn x¯ Nếu x¯ ∈ S nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein toán (VP), hệ sau ∇fi (¯ x)T d 0, ∃i0 ∈ {1, 2, , l} , cho ∇fi0 (¯ x)T d < 0, ∇gj (¯ x)T d 0, j ∈ I(¯ x), (2.11) (2.12) khơng có nghiệm d ∈ Rn Chứng minh Giử sử (2.11) (2.12) có nghiệm d ∈ Rn Khơng tính tổng quát, ta giả sử ∇f1 (¯ x)T d < 0, (2.13) ∇fi (¯ x)T d (2.14) 0, i ∈ {2, , l} Từ (2.13) (2.14), ta suy d ∈ L(M ; x¯) Do điều kiện (EARC), ta có d ∈ T (M i ; x¯), ∀i ∈ {1, 2, , l} Do đó, với i ∈ {2, 3, , l}, ta có d ∈ T (M i ; x¯) Suy tồn dãy {xn }n∈N ⊆ M i {sn } ⊂ R++ cho lim xn = x¯, lim sn (xn − x¯) = d n→∞ n→∞ 30 (2.15) Cố định i0 ∈ {2, 3, l} Với i0 này, ta lấy dãy {xn } ⊆ M i0 tương ứng Với dãy này, ta có fi0 (xn ) − fi0 (¯ x) Với n ∈ N, ta định nghĩa tập Jn := {k 2| fk (xn ) > fk (¯ x)} ⊂ {2, 3, l} Ta ý Jn = ∅ với n ∈ N Thật vậy, Jn = ∅ với n đó, tức với k (trường hợp đặc biệt, k = i0 ), ta có fk (xn ) fk (¯ x) Từ điều f1 (xn ) < f1 (¯ x), ta suy mâu thuẫn với x¯ nghiệm hữu hiệu (VP) Do đó, Jn = ∅ với n ∈ N Do Jn ⊂ {2, 3, , l} với n, nên có vơ số số n cho tập Jn Khơng tính tổng quát ta giả sử Jn = J với n Do Bổ đề 1.1, ta có ∇fk (¯ x)T d ∀k ∈ Jn = J, ∀n Theo bất đẳng thức (2.14) ta suy ∇fk (¯ x)T d = với k ∈ J Đặt rn = (−1/2sn ) ∇f1 (¯ x)T d, , ∇fl (¯ x)T d T ∈ Rl+ , (2.16) ˆ ∈ Rl sau với dãy {sn } (2.15) định nghĩa h ˆ = lim sn (f (xn ) + rn − f (¯ h x)) n→∞ (2.17) Từ (2.13) (2.16), ta có lim sn rn = (−1/2) ∇f1 (¯ x)T d, , ∇fl (¯ x)T d n→∞ 31 T ∈ Rl+ \ {0} (2.18) Dễ thấy lim sn (f (xn ) − f (¯ x)) = ∇f1 (¯ x)T d, , ∇fl (¯ x)T d n→∞ T (2.19) Do đó, kết hợp (2.17), (2.18), (2.19), ta thu ˆ = (1/2) ∇f1 (¯ h x)T d, , ∇fl (¯ x)T d T ∈ (−Rl+ )\ {0} ˆ ∈ T (f (S) + Rl , f (¯ ˆ = 0, mâu thuẫn với giả Từ (2.17) ta có h x)) h + thiết x¯ nghiệm hữu hiệu thật Borwein Do đó, hệ (2.11) (2.12) khơng có nghiệm Dưới hệ suy trực tiếp từ Định lí 2.3 Hệ 2.1 Cho x¯ ∈ S Nếu x¯ ∈ X nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion (VP) điều kiện (EARC) thỏa mãn điểm này, hệ (2.11) (2.12) khơng có nghiệm Chứng minh Chứng minh định lý suy trực tiếp từ Định lý 2.3 thực tế nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein (xem [1, Proposition 1]) Sử dụng Định lý 2.3 ta thiết lập điều kiện (SKKT) cho toán (VP) sau Định lý 2.4 Giả sử điều kiện Định lý 2.3 thỏa mãn Nếu x¯ ∈ X nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein tốn (VP), tồn véctơ u ∈ Rl , v ∈ Rm cho l m ui ∇fi (¯ x) + i=1 vj ∇gj (¯ x) = 0, j=1 vj gj (¯ x) = 0, j = 1, 2, , m, u > 0, (2.20) v 32 (2.21) Chứng minh Gọi x¯ nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein tốn (VP) Khi đó, từ Định lý 2.3 Định lý Tucker [17], tồn u ∈ Rl , ui > vj 0, j ∈ I(¯ x) thỏa mãn l ui ∇fi (¯ x) + i=1 vj ∇gj (¯ x) = j∈I(¯ x) Bằng cách đặt vj = 0, j ∈ / I(¯ x), ta có (2.20) Từ gj (¯ x) = với j ∈ I(¯ x), suy (2.21) định lý chứng minh Nhận xét 2.2 Hình 2.1 mô tả mối quan hệ nghiệm hữu hiệu thực điều kiện kiểu Karush-Kuhn-Tucker thực sự, A := giả thiết lồi (tức S lồi hàm fi , gj lồi) B := điều kiện quy kiểu Abadie suy rộng (EARC) Hình 2.1: Mối quan hệ nghiệm hữu hiệu thực (PKKT) 33 Theo Hệ 14.3 [27]), S tập lồi đa diện fi hàm tuyến tính Rn nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion Trong trường hợp nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Borwein trùng nhau; xem [8, Theorems 2.45; 2.48 ]) Do vậy, ta có hệ sau Hệ 2.2 Cho S tập lồi đa diện fi hàm tuyến tính Rn Lấy x¯ ∈ S giả sử điều kiện (EARC) thỏa mãn x¯ Nếu x¯ ∈ X nghiệm hữu hiệu tốn (VP), tồn vectơ u ∈ Rl , v ∈ Rm cho l m ui ∇fi (¯ x) + i=1 vj ∇gj (¯ x) = 0, j=1 vj gj (¯ x) = 0, j = 1, 2, , m, u > 0, 2.2 v Bài tốn khơng trơn Trong mục này, ta giả sử hàm fi , i ∈ I, gj , j ∈ J, Lipschitz địa phương Chúng ta thiết lập điều kiện cần tối ưu yếu (mạnh) kiểu KKT cho nghiệm hữu hiệu thực theo nghĩa Geoffrion Để nhận kết này, cần định lý dạng luân phiên suy rộng kiểu Motzkin Bổ đề 2.1 (Định lý luân phiên Motzkin mở rộng; xem [22]) Cho T, S, P tập (có thể vơ hạn), at , ap , as tương ứng ánh xạ từ T, S, P vào không gian hữu hạn chiều Giả sử tập conv {at , t ∈ T } + cone conv {as , s ∈ S} + span {ap , p ∈ P } 34 đóng Khi đó, khẳng định sau tương đương: (I) Hệ   at x > 0, t ∈ T, T =    as x ≥ 0, s ∈ S     a x = 0, p ∈ P p khơng có nghiệm x ∈ Rn ; (II) Điều kiện sau nghiệm 0n ∈ conv {at , t ∈ T } + cone conv {as , s ∈ S} + span {ap , p ∈ P } Trước hết chúng thiết lập điều kiện cần tối ưu kiểu WKKT cho nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion cho toán (VP) điều kiện quy (EARC) Định lý 2.5 Cho điểm x¯ ∈ S Giả sử điều kiện (EARC) điểm x¯ x¯ nghiệm hữu hiệu thật Geoffrion tốn (VP) Khi đó, với i ∈ I, hệ sau khơng có nghiệm d ∈ Rn   x), d < 0,   ∂fi (¯    ∂fk (¯ x), d 0, ∀k ∈ I\ {i} , ∂gj (¯ x), d 0, (2.22) ∀j ∈ J(¯ x) Chứng minh Giả sử phản chứng tồn i ∈ I cho hệ (2.22) có nghiệm d Khơng tính tổng qt, ta giả sử   x), d < 0,   ∂f1 (¯    ∂fk (¯ x), d 0, ∀k ∈ I\ {1} , ∂gj (¯ x), d 0, (2.23) ∀j ∈ J(¯ x) Từ (2.23), rõ ràng d ∈ L(M, x¯) Từ điều kiện (EARC), với i ∈ I, ta có d ∈ T (M i , x¯) 35 Do tồn dãy {(xn , tn )} ⊂ M i (¯ x) × R++ với lim xn = x¯ cho n→∞ lim tn (xn − x¯) = d n→∞ Theo định lý giá trị trung bình, tồn vni thuộc tập [¯ x, xn ) ξni ∈ ∂fk (vni ) cho fi (xn ) − fi (¯ x) ≤ ξni , xn − x¯ , ∀i ∈ I, vni = x¯ + λin (xn − x¯) với λin ∈ [0, 1) Khi đó, vni → x¯ Từ fi (x) hàm Lipschitz địa phương, dãy {ξni } có giới hạn Nên dãy có dãy hội tụ Khơng tính tổng qt, ta giả sử x), ∀i ∈ I Với {ξni } → {ξ0i }, i ∈ I Theo Mệnh đề 1.11, ta có ξ0i ∈ ∂fi (¯ tn > 0, i = 1, từ ∂f1 (¯ x), d < 0, ta có tn (f1 (xn ) − f1 (¯ x)) ξn1 , tn (xn − x¯) , lim tn (f1 (xn ) − f1 (¯ x)) n→∞ lim ξn1 , tn (xn − x¯) = ξ01 , d < 0, n→∞ tức là, với n > N0 ∈ N , ta có f1 (xn ) < f1 (¯ x) Hơn nữa, ta cố định r < cho ξ01 , d < r < 0, hay là, − ξ01 , d > −r > Với n ∈ N , xét tập sau Γn = {k | fk (xn ) > fk (¯ x)} Từ x¯ nghiệm hữu hiệu thật Geoffrion, ta có Γn = ∅ với n ∈ N Γn với n Theo Bổ đề 1.1, với k ∈ Γn , ta có véctơ ξko ∈ ∂fk (¯ x) cho ξko , d Từ (2.23), ξko , d = Do đó, ta có sup{ ξk , d | ξk ∈ ∂M fk (¯ x)} = 0, ∀k ∈ Γn 36 Khi đó, với k ∈ Γn ⊂ I\{1}, ta có ξnk , tn (xn − x¯) ; < tn (fk (xn ) − fk (¯ x)) lim ξnk , tn (xn − x¯) lim tn (fk (xn ) − fk (¯ x)) n→∞ = ξ0k , d n→∞ sup{ ξk , d |ξk ∈ ∂M fk (¯ x)} = Hiển nhiên, ta có x) fk (¯ x) − fk (xn ) fk (xn ) − fk (¯ = 0< f1 (xn ) − f1 (¯ x) f1 (¯ x) − f1 (xn ) ξnk , xn − x¯ − ξn1 , xn − x¯ Do vậy, với k ∈ Γn n > N0 , ta có fk (¯ x) − fk (xn ) lim n→∞ f1 (xn ) − f1 (¯ x) tn ξnk , xn − x¯ lim 1, x − x n→∞ −tn ξn ¯ n − lim ξnk , tn (xn −¯ x) = 0, r n→∞ tức là, f1 (xn ) − f1 (¯ x) = +∞, n→∞ fk (¯ x) − fk (xn ) lim điều mâu thuẫn với giả thiết x¯ nghiệm hữu hiệu thực Geofrion toán (VP) Định lý sau cho ta điều kiện cần tối ưu kiểu WKKT cho nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion cho tốn (VP) điều kiện quy (EARC) Định lý 2.6 Lấy điểm x¯ ∈ S Giả sử (EARC) thỏa mãn điểm x¯ với i ∈ I, tập sau     Di = conv (∂fi (¯ x)) + cone conv  ∂fk (¯ x)  ∂gj (¯ x) k=i j∈J(¯ x) đóng Khi đó, điểm x¯ nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion (VP), với i ∈ I ta có ∈ conv (∂fi (¯ x)) + coneconv ∂fk (¯ x) + coneconv k=i ∂gj (¯ x) j∈J(¯ x) 37 Chứng minh Gọi x¯ nghiệm hữu hiệu thật Geoffrion (VP) Khi đó, từ Định lý 2.5, với i ∈ I tất hệ sau   x), d < 0,   ∂fi (¯    ∂fk (¯ x), d 0, ∀k ∈ I\ {i} , ∂gj (¯ x), d 0, ∀j ∈ J(¯ x), khơng có nghiệm d ∈ Rn Với i ∈ I, theo Bổ đề 2.1, ta có ∈ Di Từ đó, với i ∈ I, ta dễ dàng suy ∈ conv (∂fi (¯ x)) + coneconv ∂fk (¯ x) + coneconv k=i ∂gj (¯ x) j∈J(¯ x) Định lý chứng minh Trong trường hợp tập ∂fi (¯ x) ∂gj (¯ x) lồi, ta thu điều kiện cần tối ưu kiểu SKKT cho toán (VP) sau Hệ 2.3 Trong Định lý 2.6, ∂fi (¯ x), i = 1, 2, , l, ∂gj (¯ x), j = 1, 2, , m tập lồi, tồn λ = (λ1 , λ2 , , λl ) > µ = (µ1 , µ2 , , µm ) cho l 0∈ m λi ∂fi (¯ x) + i=1 µj ∂gj (¯ x) j=1 µj gj (¯ x) = 0, j = 1, 2, , m Chứng minh Nếu ∂fi (¯ x), i = 1, 2, , l, ∂gj (¯ x), j = 1, 2, , m, lồi, theo Định lý 2.6, với i ∈ I, ta có ∈ conv (∂fi (¯ x)) + coneconv ∂fk (¯ x) + coneconv k=i ∂gj (¯ x) j∈J(¯ x) Do đó, ta có cơng thức sau m (i) λk ∂fk (¯ x) ∈ ∂fi (¯ x) + k=i,k∈I (i) + µj ∂gj (¯ x), j∈J(¯ x) 38 (i) đó, λk (i) 0, k, i ∈ I, k = i, µj thức ta  0∈ 0, j ∈ J(¯ x) Cộng với tất l hệ  (k) λi  ∂fk (¯ x) + 1 + i∈I (i) µj ∂gj (¯ x) j∈J(¯ x) i∈I k=i,k∈I (i) Khi j ∈ / J(¯ x), ta giả sử µj = Đặt  (i) µ= λl , , k=l,k∈I k=2,k∈I k=1,k∈I µ(i) m µ1 , , i∈I (k) λl  , (k) (k) λ2 , + λ = 1 +  i∈I Khi đó, ta có λ > 0, µ l 0∈ m λi ∂fi (¯ x) + i=1 µj ∂gj (¯ x) j=1 µj gj (¯ x) = 0, j = 1, 2, , m Hệ chứng minh Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày cách hệ thống điều kiện tối ưu bậc kiểu KKT cho tốn tối ưu véctơ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức tốn tối ưu véctơ, nón tiếp tuyến điều kiện quy bậc Chương trình bày điều kiện tối ưu bậc kiểu KKT cho toán tối ưu véctơ Mục 2.1 trình bày điều kiện tối ưu kiểu KKT cho nghiệm hữu hiệu (yếu, thực Geoffrion) tốn tối ưu véctơ trơn Mục 2.2 trình bày điều kiện tối ưu KKT cho nghiệm hữu hiệu thực Geoffrion toán tối ưu véctơ với liệu Lipschitz Một số ví dụ minh họa trình bày chương 40 Tài liệu tham khảo [1] J M Borwein (1977), “Proper efficient points for maximizations with respect to cones”, SIAM J Control optim., 15, 57–63 [2] J M Borwein, Q J Zhu (2005), “Techniques of Variational Analysis Springer”, New York [3] G Bigi (1999), “Optimality and Lagrangian regularity in vector optimization”, PhD thesis, Universita di Pisa [4] G Bigi, M Pappalardo (1999), “Regularity conditions in vector optimization”, J Optim Theory Appl., 102, 83–96 [5] R S Burachik, M M Rizvi (2012), “On weak and strong KuhnTucker conditions for smooth multiobjective optimization”, J Optim Theory Appl., 155, 477–491 [6] R S Burachik, M M Rizvi (2014), “Proper efficiency and proper Karush–Kuhn–Tucker conditions for smooth multiobjective optimization problems” Vietnam J Math., 42, 521–531 [7] S Chandra, J Dutta, C S Lalitha (2004), “Regularity conditions and optimality in vector optimization”, Numer Funct Anal Optim., 25, 479–501 [8] M Ehrgott (2005), “Multicriteria Optimization”, Springer, Berlin Heidelberg 41 [9] A M Geoffrion (1968), “Proper efficiency and the theory of vector maximization”, J Math Anal Appl., 22, 618–630 [10] G Giorgi, B Jimenez, V Novo (2009), “Strong Kuhn–Tucker conditions and constraint qualifications in locally Lipschitz multiobjective optimization problems”, Top, 17, 288–304 [11] J Jahn (2011), “Vector Optimization”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [12] H W Kuhn, A W Tucker (1952), “Nonlinear programming”, In: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, pp 481-492 University of California Press, Berkeley [13] X F Li, J Z Zhang (2005), “Stronger Kuhn–Tucker type conditions in nonsmooth multiobjective optimization: locally Lipschitz case”, J Optim Theory Appl., 127, 367–388 [14] J J Liu, K Q Zhao, X M Yang (2016), “Optimality and regularity conditions using Mordukhovich’s subdifferential”, J Nonlinear Convex Anal., 17, 827–839 [15] D T Luc (1989), “Theory of Vector Optimization”, Springer, Berlin [16] T Maeda (1994), “Constraint qualification in multiobjective optimization problems: differentiable case”, J Optim Theory Appl., 80, 483–500 [17] O.L Mangasarian (1994), “Nonlinear Programming”, SIAM Philadelphia [18] I Marusciac (1982), “On Fritz John type optimality criterion in multiobjective optimization”, Anal Numér Théor Approx., 11, 109– 114 42 [19] V Preda, I Chitescu (1999), “On constraint qualification in multiobjective optimization problems: semidifferentiable case”, J Optim Theory Appl., 100, 417–433 [20] C Singh (1987), “Optimality conditions in multiobjective differentiable programming”, J Optim Theory Appl., 53, 115–123 [21] K Q Zhao (2015), “Strong Kuhn–Tucker optimality in nonsmooth multiobjective optimization problems”, Pac J Optim., 11, 483–494 [22] M A Goberna, M A López (1998), “Linear semi-infinite optimization”, John Wiley and Sons, Chichester UK [23] B S Mordukhovich (1994), “Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis”, Trans Amer Math Soc., 343, 609–658 [24] B S Mordukhovich (2006), “Variational Analysis and Genneralized Differentiation I: Basic Theory”, Springer-Verlag, Berlin [25] J P Penot (2013), “Calculus Without Derivatives”, Springer, New York [26] A Ruszczy´ nski 2006, “Nonlinear Optimization”, Princeton University Press [27] D J White (1983), “Concepts of proper efficiency”, Eur J Oper Res., 13, 180–188 43 ... 16 1.4 Điều kiện quy 18 Điều kiện tối ưu 24 2.1 Bài toán trơn 24 2.1.1 Điều kiện Karush Kuhn Tucker yếu 24 2.1.2 Điều kiện Karush Kuhn Tucker. .. thuyết tối ưu nghiên cứu điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu Các điều kiện tối ưu hữu ích việc xác định nghiệm toán tối ưu mà đóng vai trò cốt yếu việc xây dựng thuật tốn để tìm nghiệm xấp xỉ toán. .. cứu điều kiện quy điều kiện cần tối ưu bậc kiểu Karush Kuhn Tucker cho toán tối ưu véctơ với trường hợp liệu trơn liệu Lipschitz Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện tối