Đa tạp nehari cho bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến

Luận văn thạc sĩ toán học về Đa tạp nehari cho bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến Kèm file nguồn Tex cho các bạn dễ dàng tham khảo cách gõ cũng như cách trình bày luận văn bắng Latex

Mục lục Phần mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu hệ 1.2 Sơ 1.3 Kết tính lồi-lõm trường hợp tới hạn Sự tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến 15 2.1 15 2.2 Các kết trường hợp tới hạn 2.1.1 Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ = 16 2.1.2 Trường 22 2.1.3 Trường 2N N −2 , < q < −1) ∗ hợp tới hạn (b): q = 2∗b = 2(N N −2 , < p < 2b ∗ hợp điểm tới hạn (c): p = 2∗ = N2N −2 , q = 2b = 2(N −1) N −2 25 Kết rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1 tham số Chú ý toán (1.1) có số hạng phi tuyến Một số hạng |u|p−2 u lấy từ phương trình số hạng |u|q−2 u lấy từ điều kiện biên Ở đây, số mũ p q thỏa mãn: 1 cho toán (1.1) có nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3 ) Trường hợp lại q = 2, ta có toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứ Bài toán giá trị riêng hiểu toán Steklov   −∆u + u = Ω, (S)   ∂u = λu ∂Ω ∂n Giá trị riêng thứ λ1S toán (S) phải số tốt phép nhúng không gian Sobolev H (Ω) → L2 (∂Ω) theo nghĩa λ1S |u|2L2 (∂Ω) u Ta sử dụng phương pháp đa tạp Nehari để giải toán (1.1) với < q < Định lí 1.5 Nêú λ thỏa mãn < λ < λ1S q = 2, < p < toán (1.1) có nghiệm uλ cho uλ > Ω lim− uλ −→ ∞ λ→λ1S đó, λ1S giá trị riêng thứ toán Steklov 1.2 Sơ Ý tưởng luận văn này, ta kí hiệu X không gian Banach với chuẩn · X, X ∗ không gian đối ngẫu X Lp (Ω), Lp (∂Ω) không gian Lebesgue với chuẩn thường |·|p,Ω , |·|p,∂Ω H (Ω) không gian Sobolev với chuẩn · , ·, · cặp đối ngẫu không gian X ∗ X Ta kí hiệu ( tương ứng −→) hội tụ yếu (tương ứng với hội tụ mạnh) Điều hiểu nghiệm (1.1) tương ứng với điểm tới hạn hàm J xem (1.3) Khi J bị chặn không gian Banach H (Ω), J có cực tiểu H (Ω), điểm tới hạn J Trong nhiều trường hợp, hàm (1.3) không bị chặn H (Ω) bị chặn tập H (Ω), gọi đa tạp Nehari Ta kí hiệu N đa tạp Nehari N = u ∈ H (Ω)\ {0} : J (u), u = , đó, , đối ngẫu thường H (Ω)∗ H (Ω) Rõ ràng tất điểm tới hạn J phải nằm N N tập bé so với H (Ω) Bởi dễ dàng nghiên cứu hàm J N Dễ thấy u ∈ N u |u|p dx − λ − Ω |u|q ds = (1.4) ∂Ω Giống phương pháp sử dụng Brown-Zhang [8] BrownWu [2], ta xét ánh xạ hàm thớ φu : t −→ J(tu) t > định nghĩa bởi: t2 u φu (t) = 2 − p tq |u| dx − λ q p Ω |u|q ds ∂Ω Nếu u ∈ H (Ω), ta có φu (t) = t u − tp−1 |u|p dx − λtq−1 Ω |u|q ds, ∂Ω (1.5) φu (t) = u − (p − 1)tp−2 |u|p dx − λ(q − 1)tq−2 Ω |u|q ds ∂Ω Từ (1.4) (1.5) dễ thấy u ∈ N ⇔ φu (1) = tu ∈ N ⇔ φu (t) = 0, , điểm dừng N tương ứng với điểm dừng ánh xạ hàm thớ φu Do u ∈ N , từ (1.4) ta có φu (1) = u |u|p dx − λ(q − 1) − (p − 1) Ω ∂Ω |u|p dx + λ(2 − q) = (2 − p) Ω = (2 − q) u |u|q ds |u|q ds ∂Ω |u|p dx − (p − q) Ω = (2 − p) u + λ(p − q) |u|q ds ∂Ω Do đó, ta chia đa tạp Nehari N thành phần: N + = {u ∈ N : φu (1) > 0} N − = {u ∈ N : φu (1) < 0} (1.6) N = {u ∈ N : φu (1) = 0} tương ứng với điểm cực tiểu địa phương, điểm cực đại địa phương điểm uốn Ta chứng minh tồn nghiệm toán (1.1) cách tồn điểm cực tiểu hàm J tập N Mặc dù N tập nhỏ H (Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương đa tạp Nehari N điểm tới hạn J Bổ đề sau điều Bổ đề 1.6 Giả sử u0 điểm cực tiểu địa phương J N u0 ∈ N Khi đó, u0 điểm tới hạn hàm J Chứng minh ta xem Binding [15] Brown-zhang [8] Bây ta giới thiệu điều kiện (P S)c Vì c < − 2∗b 2∗ b ∗ ∗ max S˜ 2∗ −2 , S˜ 2b −2 2∗ −2 b λ suy L1 = L2 = Do un −→ u0 H (Ω) Điều phải chứng minh Tương tự Mệnh đề 2.5, chứng minh tồn u ∈ H (Ω) \ {0} cho sup J(tu) < t≥0 1 − ∗ 2b max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 2∗ b 2∗ −2 b λ 2∗ −2 b Xét hàm cắt cụt ϕ ∈ C ∞ (Ω) cho ≤ ϕ ≤ 1, (x , xN ) ∈ Ω ⊂ RN −1 × R ϕ = lân cận Định nghĩa uε = ωε ϕ uε υε = (2.18) |uε |22∗ ,Ω = |u1 |22∗ ,RN+ + O(εN ), (2.19) |uε |22∗ ,Ω + |uε |22∗ ,∂Ω b Khi ước lượng chứng minh sau | υε |22,Ω = S˜ + O(εN −2 ), ∗ ∗ ∗ ∗ |uε |22∗b ,∂Ω = |u1 |22∗ ,∂RN+ + O(εN −1 ), |vε |22,Ω =   o(ε), với N ≥ 4;  O(ε), với N = Tiếp theo, sử dụng lập luận tương tự [11] có kết sau Mệnh đề 2.9 Tồn v ∈ H (Ω) λ∗∗ > cho với λ ∈ (0, λ∗∗ ), có sup J(tv) < t>0 1 − ∗ 2b max S 2∗ 2∗ −2 ,S 2∗ b ∗ −2 b λ 2∗ −2 b Nói riêng α3− < 1 − ∗ 2b max S 28 2∗ 2∗ −2 ,S 2∗ b 2∗ −2 b λ 2∗ −2 b Chứng minh Theo định nghĩa vε (xem (2.18)) với t > t2 J(tvε ) = vε ∗ ∗ t2 − ∗ 2 t2b |vε | dx − λ ∗ 2b 2∗ Ω ∗ |vε |2b ds (2.20) ∂Ω Vì J(tvε ) −→ −∞ t −→ ∞ J(tvε ) > với t đủ nhỏ, tồn t0 > cho sup J(tvε ) = J(t0 vε ) t≥0 Khi vε − t20 ∗ 2∗ −2 ∗ −2 ∗ |vε |2 dx − λt0b Ω |vε |2b ds = o(1) (2.21) ∂Ω Từ (2.21) (2.19) có ∗ t20 −2 2∗ −2 , λt0b ≤ vε 2∗ ∗ |vε |22∗ ,Ω + |vε |2b∗ ,∂Ω b = α uε (2.22) 2∗ ∗ ∗ α2∗ |uε |22∗ ,Ω + α2b |uε |2b∗ ,∂Ω b uε α ≤ , ∗ ∗ {α2∗ , α2b } |uε |2∗∗ + |uε |2b∗ ,Ω ,∂Ω b α = |uε |22∗ ,Ω +|uε |22∗ ,∂Ω b Điều dễ thấy α −→ +∞ ε −→ Khi tồn α > cho α2 < ∗ ∗ ∗ ε−→0 {α2 , α2b } |u |2∗ + |u |2b 2∗ ,Ω 2∗ ,∂Ω lim b Do từ (2.22) có ∗ 2∗ −2 t02 −2 , λt0b < S˜ nghĩa t0 < max S˜ t20 S˜ < max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 29 2∗ b 2∗ −2 b λ 2∗ −2 2∗ −2 b , S˜ 2∗ −2 b λ 2∗ −2 b , Từ (2.20) ta có t2 J(t0 vε ) = vε 2∗ ∗ t2 − 0∗ tb ∗ |vε |2 dx − λ 0∗ |vε |2b ds 2b Ω ∂Ω  t20 1 ∗ ∗ 2∗ ≤ vε − max ∗ , ∗ t20 |vε |2 dx + λt0b 2 2b ∗ Ω = 1 − max ∗ , ∗ 2 2b < 1 − ∗ 2b  ∗ |vε |2b ds ∂Ω t20 S˜ max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 2∗ b 2∗ −2 b 2∗ −2 b λ Lấy ε đủ nhỏ cho sup J(tv) < t>0 1 − ∗ 2b max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 2∗ b ∗ −2 b λ 2∗ −2 b , cuối với λ ∈ (0, λ∗∗ ) có α− < 1 − ∗ 2b max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 2∗ b ∗ −2 b λ 2∗ −2 b Điều phải chứng minh Lấy λ3 = {λ∗∗ , λ∗ } Tương tự chứng minh Định lý 1.2, có tồn nghiệm toán với hai số mũ tới hạn Chứng minh Định lý 1.4 Chứng minh tương tự Định lý 1.2, sử dụng Mệnh đề 2.9 thay cho Mệnh đề 2.5 2.2 Kết rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1 ,  Ω   −λ |u|2 ds >    ∂Ω Tương tự, định nghĩa B− , B0 , L− , L0 thay “> ”bởi “< ”hoặc “= ” Do có hai trường hợp sau: Trường hợp (I) u |u|2 ds > 0; −λ ∂Ω Trường hợp (II) u −λ |u|2 ds < ∂Ω Chúng ta ý rằng, trường hợp (I), φu (t) < với t đủ nhỏ φu (t) −→ +∞ t −→ ∞ với u ∈ B+ ∩ L+ ánh xạ thớ φu (t) có cực tiểu địa phương điểm  tmin   =   u p |u| dx Ω −λ  2−p     |u|2 ds  , ∂Ω thỏa mãn tmin u ∈ N Đồ thị φu xem hình Trong trường hợp (II), có u ∈ B+ ∩ L− φu (t) ngặt giảm với 32 t > 0, φu điểm chuyển hướng u nằm N Đồ thị φu xem hình Giả sử < λ < λ1s , u −λ |u|2 ds > u |u|2 ds ≥ − λ1 ∂Ω ∂Ω với u ∈ H (Ω) \ {0} , L− L0 rỗng Khi có kết sau Mệnh đề 2.10 Giả sử < λ < λ1S Khi N + bị chặn J bị chặn N + Chứng minh Giả sử {un } ⊆ N + không bị chặn Khi tồn dãy con, kí hiệu {un } ⊆ N + cho un −→ ∞ n −→ ∞ Lấy = un un , không tính tổng quát giả sử tồn v0 ∈ H (Ω) cho v0 H (Ω) −→ v0 L2 (∂Ω) Lp (Ω), < p < Từ un ∈ N + , có   − λ |vn |2 ds = un − λ un ∂Ω  |un |2 ds ∂Ω p |vn |p dx un 2−p |un | dx = un = Ω (2.24) Ω −→ n −→ ∞ Bây chứng minh −→ v0 H (Ω) Giả sử ngược lại Khi v0 < lim inf n−→∞ v0 −λ |v0 |2 ds < lim inf n−→∞ ∂Ω −λ ∂Ω 33 |vn |2 ds = Do đó, v0 v0 ∈ L− , điều L− = ∅ Do −→ v0 H (Ω) Do đó, v0 = v0 |v0 |2 ds = 0, −λ ∂Ω v0 ∈ L0 điều không xảy L0 = ∅ Do N + bị chặn Bây chứng minh J bị chặn N + Với un ∈ N + , theo Định lý phép nhúng Sobolev thực tế N + bị chặn, có J(un ) = 1 − p |un |p dx Ω ≥ (2.25) 1 − C1p un p , p C1 số phép nhúng Sobolev Bởi J bị chặn N + Điều phải chứng minh Mệnh đề 2.11 Giả sử < λ < λ1s Khi tồn cực tiểu J N + Chứng minh Từ J bị chặn N + , lấy dãy cực tiểu {un } ⊆ N + cho inf J(u) = lim J(un ) u∈N + n−→∞ Từ Mệnh đề 2.2.1, dãy {un } bị chặn, không tính tổng quát giả sử tồn u0 cho un u0 H (Ω), un −→ u0 L2 (∂Ω) Lp (Ω), < p < Từ hình tồn t0 cho t0 u0 ∈ N + J(t0 u0 ) < Bây chứng minh un −→ u0 H (Ω) Giả sử ngược lại 34 Khi u0 < lim inf un Do đó, với un ∈ N + , n−→∞   lim φun (t0 ) = lim t0 un n−→∞ − tp−1 n−→∞ |un |p dx − λt0 Ω > t0 u0 − t0p−1 ∂Ω |u0 |p dx − λt0 Ω |un |2 ds |u0 |2 ds ∂Ω = φu0 (t0 ) = 0, Suy φun (t0 ) > với n đủ lớn Từ un = · un ∈ N + , từ hình 2, dễ thấy φun (t) < với t ∈ (0, 1) φun (1) = với n Do phải có t0 > Mặt khác, φu0 (t) giảm (0, t0 ) J(t0 u0 ) < J(u0 ) < lim J(un ) = inf+ J(u), n−→∞ u∈N Điều mâu thuẫn Do un −→ u0 H (Ω) Suy J(un ) −→ J(u0 ) = inf+ J(u) n −→ ∞ u∈N Do đó, u0 điểm cực tiểu J N + Khẳng định chứng minh Với < p < 2, hiểu toán (2.23) tuyến tính tiệm cận tương ứng với toán biên phi tuyến S(Ω) Từ L− = ∅ với λ < λ1S , từ Mệnh đề 2.11 suy J có điểm cực tiểu N + với λ < λ1S Kết tương ứng với nghiệm dương rẽ nhánh từ vô số điểm bên |ϕ|p dx > 0, ϕ1 hàm riêng tương ứng với giá trái λ = λ1S Ω trị riêng λ1S Bây chứng minh Định lý 1.5 Chứng minh Định lý 1.5 Từ Mệnh đề 2.10, 2.11 Bổ đề 1.6, toán (1.1) có nghiệm không tầm thường uλ ∈ N + Vì J(uλ ) = J(|uλ |) |uλ | ∈ N + nên uλ nghiệm dương toán (1.1) với < p < 35 q = Mặt khác, từ < λ < λ1S , có ϕ1 |ϕ1 |2 ds = (λ1S − λ) −λ ∂Ω |ϕ1 |2 ds > 0, ∂Ω ϕ1 ∈ L+ ∩ B+ , cụ thể là, ϕ1 −λ |ϕ1 |2 ds |ϕ1 |p dx Ω ∂Ω dấu Do từ phân tích trường hợp (I), ánh xạ thớ φϕ1 có điểm chuyển hướng  tϕ1   =   ϕ1 p |ϕ1 | dx Ω −λ ∂Ω 36  2−p     |ϕ1 |2 ds  , cho tϕ1 ϕ1 ∈ N +   J(tϕ1 ϕ1 ) = 1  − t ϕ1 p ϕ1 |ϕ1 |2 ds −λ ∂Ω  =  2−p |ϕ1 |p dx  1   − p   ϕ1     |ϕ1 |2 ds  Ω −λ   ϕ1  −λ |ϕ1 |2 ds ∂Ω ∂Ω  2−p   |ϕ1 |p dx = 1 − p Ω p  2−p   ϕ1 |ϕ1 |2 ds −λ ∂Ω  2−p  = 1 − p λ1S − λ  |ϕ1 |p dx p 2−p Ω   p  2−p |ϕ1 |2 ds ∂Ω Nghĩa lim inf J(uλ ) −→ −∞ u ∈N + λ−→λ− 1S λ Từ uλ ∈ N + , có 1 − C2p uλ p p ≤ 1 − p |uλ |p dx = J(uλ ) −→ −∞ Ω + λ −→ λ− 1S với C2 > Do với uλ ∈ N có uλ −→ ∞ λ −→ λ− 1S Điều phải chứng minh Chú ý 2.12 Phương pháp sử dụng chứng minh Định lý 1.5 áp dụng với điều kiện < p < 2∗ , q = tức p thay cho số 37 hạng lồi Chứng minh kết tồn lập luận giống [8] với < p < 2∗ Nếu λ > λ1 tập L− có phần tử ϕ1 Suy L− = ∅ L− ∩ B+ = ∅ Khi từ Bổ đề báo [3], có J không bị chặn N Các kết không tồn cho phương trình (1.1) biết Chú ý 2.13 Với λ > λ1S , tồn nghiệm dương u phương trình (1.1), lấy ϕ1 hàm thử, có up−1 ϕ1 dx + λ ( u ϕ1 + uϕ1 ) dx = Ω Ω uϕ1 ds, ∂Ω (λ1S − λ) up−1 ϕ1 dx > 0, uϕ1 ds = Ω ∂Ω ϕ1S hàm riêng liên kết với giá trị riêng λ1S Suy λ < λ1S Do đó, phương trình (1.1) nghiệm dương với λ > λ1S 38 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày sơ ánh xạ thớ đa tạp Nehari • Trình bày kết tính lồi lõm trường hợp độ tăng trưởng tới hạn: < q < < p < 2∗ • Trình bày tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến trường hợp: số mũ tới hạn vế phải, số mũ tới hạn biên số mũ tới hạn kép • Trình bày toán rẽ nhánh trường hợp q = 2, < p < 39 Tài liệu tham khảo [1] A Ambrosetti, H Brezis and G Cerami, Combined effects of concave and convex non-linearities in some elliptic problem, J Funct Anal 122 (1994) 519–543 [2] K.J Brown, T.F Wu, A fibering map approach to a semilinear elliptic boundar Elec J Diff Equation 69 (2007) 1–9 [3] H.Brezis, L Nirengerg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm Puer Appl Math 36 (1983) 437–477 [4] P Drabek, S.I Pohozaev, Positive solutions for the p-Laplacian: application of the fibrering methods, Proc Royalo Soc Edinburgh 127 (1997) 703–726 [5] H Fan, X Liu, Multiple positive solutions for degenerate elliptic equations with critical cone Sobolev exponent on singular manifolds, Elec J Diff Equations 181 (2013 )1–22 [6] P.L Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of variations The limit case, Rev Mat Iberoamericana, (1985) 145– 201, and (1985) 45–121 [7] T X Li, T F Wu, Multiple positive solutions for a Dirichlet problem involving critical Sobolev exponent, J Math Anal Appl 369 (2010) 245–257 [8] T F Wu, A semilinear elliptic problem involving nonlinear boundary condition and sign-changing potential, Elec J Diff Equations 131 (2006) 1–15 40 [9] T F Wu, Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problem in RN involving sign-changing weight, J Funct Anal 258 (2010) 99-131 [10] J Zhang, X Liu, The Nehari manifold for a semilinear elliptic problem with the nonlinear boundary condition, J Math Anal Appl 400 (2013) 100–119 [11] Emerson A.M Abreu, P.C Carrião and O Hiroshi, Remarks on a class of Neumann problems involving critical exponents, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 66 (2005) 1–15 [12] D Pierotti, S Terracini, On a Neumann problem with critical exponents and critical nonlinear on boundary, Comm Part Diff Euqations 20 (1995) 1155–1187 [13] Z Nehari, On a class of nonlinear second-order differential equations, Trans Amer Math Soc 95 (1960) 101–123 [14] S.I Pohozeav, Nonlinear variational probelms via the fibering method, Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, Vol.5, Elsevier (2008) 49–209 [15] P A Binding, P Drabek and Y.X Huang, On Neumann boundary value problems for some quasilinear elliptic equations, Elec J Diff Equations (1997) 1–11 [16] M Willem, Minimax Theorems, Birkhauser, Boston, 1996 [17] K.J Brown, The Nehari manifold for a semilinear elliptic equation involing a sublinear term, Calc Var 22 (2005) 483–494 41 [?] 42 [...]... tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến 2.1 Các kết quả trong trường hợp tới hạn Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiên cứu đã được dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu cho toán tử −∆ và −∆p với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [7] Để chứng minh các kết quả của sự tồn tại, do thiếu tính compact trong bao hàm... trị riêng chính của bài toán tuyến tính có trọng − u = λa(x)u với x ∈ Ω, u = 0 với x ∈ ∂Ω Trong bài báo đó, người ta đưa ra một sự giải thích thú vị của kết quả rẽ nhánh từ mối liên hệ giữa đa tạp Nehari và ánh xạ thớ Thực tế, tính tự nhiên của đa tạp Nehari thay đổi khi tham số λ cắt giá trị rẽ nhánh Trong mục này, chúng ta sẽ coi λ như một tham số thực và p là số cố định sao cho 1 < p < 2 Do đó chúng... Do đó chúng ta xét nhiễu dưới tuyến tính của bài toán biên phi tuyến    −∆u + u = |u|p−2 u ∂u = λu ∂n   trong Ω, (2.23) trên ∂Ω Nếu 1 < p < 2 thì bài toán (2.23) là tuyến tính tiệm cận và trong trường hợp rẽ nhánh xảy ra khi λ = λ1s , ở đây λ1s là giá trị riêng chính của bài toán Steklov    −∆u + u = 0 trong Ω, ∂u = λu trên ∂Ω ∂n Giá trị riêng thứ nhất λ1s của bài toán S(Ω) có thể được mô tả... tương tự Định lý 1.2, ở đây chúng ta sử dụng Mệnh đề 2.9 thay cho Mệnh đề 2.5 2.2 Kết quả rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1 0, tu... trình và trong điều kiện biên  ∗   −∆u + u = |u|2 −2 u trong Ω, (2.14) ∂u  2∗b −2  = λ|u| u trên ∂Ω ∂n Định nghĩa hàm Euler-Lagrange J : H 1 (Ω) −→ R liên kết với bài toán (2.14) với cặp số mũ tới hạn, J(u) = 1 u 2 2 − 1 2∗ ∗ |u|2 dx − Ω λ 2∗b ∗ |u|2b ds ∂Ω Từ [18] bài toán S˜ = inf | u|22,RN+ : |u|22∗ ,RN+ + |u|22∗b ,∂R+ = 1 25 (2.15) đạt được bởi N −2 2 ε ε2 + |x |2 + |xN |2 ωε (x) = N với x = (x1... nghiên cứu số hạng phi tuyến có độ tăng trưởng tới hạn trong phương trình và dưới tuyến tính trên biên, đó là:  2N   −∆u + u = |u| N −2 −2 u trong Ω, ∂u   = λ|u|q−2 u trên ∂Ω, ∂n ở đó λ là tham số thực dương và 1 < q < 2 ∗ Chú ý rằng phép nhúng H 1 (Ω) → L2 (Ω) liên tục và không compact, chúng ta không thể mong đợi điều kiện (P S)c xảy ra Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh điều kiện địa phương... Sb λ N −2 2 , Điều này không xảy ra Do đó νj = µj = 0, suy ra un −→ u0 trong H 1 (Ω) Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.3 Chứng minh Định lý 1.3 Chứng minh tương tự Định lý 1.2 Chỉ khác là ở đây sử dụng Mệnh đề 2.7 thay cho Mệnh đề 2.4 2.1.3 Trường hợp điểm tới hạn (c): p = 2∗ = 2N N −2 , q = 2∗b = 2(N −1) N −2 Trong phần này, chúng ta xét tính giải được của bài toán biên phi tuyến (1.1) với số mũ tới... tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, 1.11 và Định lý 1.1, bài toán (1.1) có hai nghiệm dương u3 và u4 trong H 1 (Ω) sao cho − u+ n −→ u3 , un −→ u4 khi n −→ ∞ J(u3 ) = inf+ J(u), J(u4 ) = inf− J(u) u∈N u∈N Cuối cùng, N + ∩ N − = ∅ suy ra u3 và u4 là các nghiệm dương phân biệt của bài toán (1.1) trong trường hợp (I) Ta có kết quả tương tự cho bài toán sau:   −∆u = λ|u|q−2 u + |u|2∗ −2 u trong Ω, (PN