Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

B GIÁO D O

I H C DÂN L P H I PHÒNG -

Ti n s Ti n s và cho nhi u ch d n khoa h c

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong

tâm góp ý cho b n lu c hoàn thi n

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng,

M C L C

L i

L I C iii

M C L C iv

M U 1

1 Tính c p thi t c tài 1

2 M u 2

3 Ph m vi nghiên c u 2

u 2

5 B c c c tài 2

NG QUAN V PHÂN TÍCH K T C U DÀN 4

1.1 M t s i l c và chuy n v cho bài toán k t c u dàn, khi ch u t i tr 4

4

t c t 5

t c t ph i h p 6

- Gi Maxwell - Cremona 6

c 7

n v 7

[1,7,12] 8

1.2 Các cách x u ki n biên c a k t c u khi gi i b ph n t h u h n 9

1.2.1 Khi biên có thành ph n chuy n v [1,7] 9

1.2.2 Khi biên có thành ph n chuy n v c m t giá tr [1,7] 10

1.2.3 Khi biên là g i [1] 11

u ki c t do 11

1.3 M t s nh n xét 14

N T H U H N S D NG TH A S

KI C T DO 15

n t h u h n [1] 15

gi n t h u h n 16

2.1.2 R i r c hóa k t c u 18

2.1.3 Xây d ng ma tr c ng c a các ph n t trong h t riêng 28

2.1.4 Phép chuy n tr c t 41

2.1.5 Xây d ng các ma tr c ng c a ph n t trong h t chung 46 2.1.6 Cách ghép n i các ph n t 47

2.2 Hàm Largrange [4] 50

2.3 S d ng hàm s gi i bài toán k t c u ki b c t do b n t h u h n 51

2.4 S d ng ph n m t u ki c t do 57

M T S VÍ D PHÂN TÍCH K T C U DÀN PH NG CÓ U KI C T DO 61

3.1 Ví d phân tích k t c u dàn ph u ki c t do 61

3.2 Ví d phân tích k t c u dàn ph ng có 2 u ki c t do 72

3.3 Ví d phân tích k t c u dàn ph u ki c t do và m u ki n biên là g i 75

K T LU N VÀ KI N NGH 79

TÀI LI U THAM KH O 80

t h u h c xu t b n t i Vi t Nam ng gi i thi u cách gi i

b c t do theo chuy n v th ng trong h tr c t t ng th c a k t c u t i

Nh m có m n v cách gi i bài toán k t c u có u ki n

Áp d ng th a s Largrange gi i bài toán k t c u dàn ph ng có u ki n biên

d ng hàm s Largrange gi i bài toán tuy n tính k t c u dàn ph ng u

ki n biên làm các b c t do theo chuy n v th ng trong h t t ng th t i

c nhau khi ch u t i tr t li u làm vi c trong giai i

bài toán

gi i bài toán k t c u có u ki c t dopháp ph n t h u h n

công trình sau khi xây d ng, n u c t n t i thì l xây d ng

trình xây d ng m i d a vào kinh nghi i xây d ng không

ch c ch c các công trình này có t n t i không, ho c các b ph n c a

c u dàn, k t c u khung khi ch u t i tr có th chia thành m t s nhóm

- Thay th tác d ng c a các thanh b c t b ng l c d

khi thay th t i m i nút ta có m t h l ng quy

- Kh o sát s cân b ng c a t ng nút chúng ta s xây d c m t

h ng các nút mà n s c a các h này là l c d c trong các thanh dàn

ho c ph n bên trái) T n b ng s suy ra n i l c c n tìm

N u k t qu mang d u n i l ng theo chi u gi nh, t c

c l i n u k t qu mang d u âm thì chi u n i l c chi u gi nh, t c là nén

t c t ph i h p N

- Trong m i m t c t, thi t l p m ng sao cho các l c

n tìm không tham gia

- Gi Maxwell - Cremona N

ph n l c, n i l c cho h nh Cách gi c trình bày toàn

b trên hình v g i là gi Maxwell Remona

giác l c c a h ng quy này ph i khép kín L t áp d u ki n này cho t ng nút c a dàn b tách ra theo th t sao cho t i m i nút c a dàn ch có

hai n i l t tr s ã bi c n i l c

c a t t c các thanh dàn

c N

c áp d ng trong vi c tính toán h dàn siêu

xoay và chuy n v th ng c a các nút trong h (nh ng liên k t ph g m hai

lo i: liên k t mômen và liên k t l c) H n có th là h ng

ho c h ng N u s liên k t thêm vào h b ng s b c siêu

ng thì h n là h ng N u s liên k t thêm vào h

N u h ng có n liên k t thêm, l t ký hi u các chuy n

v Z1,Z Z Zn v i Zklà chuy n v ng b c t i liên k t th t vào h Các chuy n v này gi vai trò là n s c n v

n i suy Các p là c chia thành 2 nhóm chính: Nhóm r i r c hóa v m t toán h c

phân h u h n); Nhóm r i r c hóa v mô hình v t th nghiên c u

Trong th c t khi phân tích k t c ng g u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr nh

- n v cho toàn b h , nh ng thành ph n chuy n t i

c a chuy n v nút theo th t n v nút c a toàn h ch bao g m các chuy n v nút còn l i

1.2.2 Khi biên có thành ph n chuy n v c m t giá tr [1,7]

Khi thành ph n chuy n v t i m c m t giá tr xác

nh, thí d m= a (hay liên k ng v i các thành ph n chuy n v nút

m ch u chuy n v ng b c có giá tr b ng a) Lúc này ta có th gi i quy t bài toán này theo 2 cách:

4m

C(3,4) B(1,2)

th t Tuy nhiên, hai b c ( ' , ' )3 4 c l p v i nhau mà

4m 3m

D

A 4m

H

B

4m C

4mHình 1.3 Ví d 1.2

(0,0,0)

3m

C (7,8,9) 5

D

4

Hình 1.4 S hi u b c t do và ph n t

Ta th y t i g i H (biên H) trong h tr c t chung (x không có chuy n v th ng theo c t c t ngang t i H không xoay

c t do trong h t chung l t là: (0,0,0) (hình 1.4)

v th ng theo c t c t ngang t i K không xoay i biên

K c t do trong h t chung l t là: (13,14,0) (hình 1.4) Tuy nhiên, hai b c ( ' , ' )13 14 c l p v i nhau mà ràng bu c v i

b t l i khi phân tích bài toán k t c u ki n ph c t p b

ch áp d n phân tích b ng tay, không áp d ng

c các bài toán có nhi u biên ph c t p t ng quát [15]

qu c a bài toán s ph thu c r t l n vào vi c ch n giá tr c a tr ng s w

Trong m t s u ki n biên không quá ph c t p thì vi c ch n tr ng

s này có th theo quy t c t s bài toán ph c t p thì

i ph i th c hi n b d n s r t m t th i gian và nhi u khi v c k t qu phù h p do sai l ch c a s t h p nghi m

c bi t trong bài toán có nhi u u ki c t do thì m u ki n biên ph i s lý quá trình l p m t l n và các s hi u phân t c

1.3 M t s nh n xét

pháp th a s Largrange c m t s tài li c ngoài gi i

Các tài li u v n t h u h c xu t b n t i Vi t Nam thì h u nào gi i thi u chi ti t v pháp th a sLargrange x lý u ki c t do khi gi i bài toán k t c u b ng

d ng th a s Largrange gi i bài toán k t c u dàn ph ng có u ki c

cho bài toán k t c u dàn ph ng có u ki c t do

: N T H U H N S D NG TH A S LARGRANGE GI I BÀI TOÁN K T C U DÀN PH NG

h c l p cho toàn b v t th nghiên c u mà hàm x p x ch c

l p cho t ng ph n t tính các giá tr chuy n v , n i l

ph n t khi bi t các thông s i nút ph n t

i v c v t r n bi n d ng, tu theo cách ch n n s c a hàm x p x là chuy n v , ng su t mà có th khi phân tích bài toán chia thành các lo i mô hình sau:

: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n chuy n v t i các nút c a ph n t ng c n tìm và hàm n i suy bi u

di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

2 Mô hình cân b ng: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n ng su t (n i l c) t i các nút c a ph n t là n s c a bài toán Hàm n i suy bi u di n

g ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t

3 Mô hình h n h p: Khi phân tích k t c ng chuy n v

và ng su t là 2 y u t c l p riêng bi t Các hàm x p x bi u di n g

d ng phân b c a c chuy n v l n ng su t trong ph n t

Trong 3 mô hình v c trình bày trên, hi i b ph n khi áp

s mã theo th t t n t ng s ph n t , các nút c a ph n t

t n t ng s b c t do c a k t c u theo h t chung

B c 2: Ch n hàm x p x : Hàm x p x (hàm n i suy) là hàm mô t ng chuy n v bên trong ph n t , sao cho n u bi c giá tr c a hàm ho o hàm c a nó t i v trí các nút c a ph n t s c giá tr hàm ho o hàm

c a nó t m b t k bên trong phân t p x c ch n sao cho

v trí nút và s ng các nút trên biên c a ph n t mà phân bi t ph n t h u

quan tâm và phát tri n m nh m phân tích các k t c u khác nhau Vì v y

n t h u h c chia thành nhi ng nghiên c u

s n t có s i

n t h u h n gián

a) PhÇn tö tam gi¸ c 6 nót b) PhÇn tö tø gi¸ c

c) PhÇn tö l¨ ng trô tam gi¸ c d) PhÇn tö khèi lôc diÖn

Hình 2.4 M t s lo i ph n t ng tham s2.1.2.2 B c t do - n v nút c a ph n t và c a toàn h k t c u

- Chuy n v th u chi u chuy n v cùng chi u v i chi u

a tr c t Chuy n v th ng là âm n u chi u chuy n v c chi u v i chi c a tr c t

h Chuy n v góc là âm n u góc xoay cùng chi u v i chi ng h

x p x ph c ch n sao cho mô t g ng c n tìm trong

ph m vi m i ph n t Hàm x p x có th ch i d c ho c

vì các lý do sau:

c tho mãn yêu c c l p tuy u c a Ritz, Galerkin

- Hàm x p x d th ng d tính toán, d thi t l p công th c

c a các thành ph n chuy n v t i các nút ph n t K t qu c hàm

chuy n v mà các h s c c bi u di n qua chính giá tr (hay giá tr

BËc ®a thøc H»ng sè TuyÕn tÝnh BËc 2 BËc 3 BËc 4

Hình 2.5 Tam giác Pascal cho bài toán 2D

x 2

y y2z

y 2 z

BËc ®a thøc H»ng sè

- c x p x c n tho u ki n h i t u quan

b c ph n t gi m thì k t qu s h i t n nghi m chính xác

i v i bài toán 2 chi u (hình 2.5) ho i v i bài toán 3 chi u (hình 2.6)

- S tham s c c x p x ph i b ng s b c t do c a ph n t ,

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t Yêu c u này cho kh

c c a hàm x p x theo giá tr ng c n tìm, t c là theo giá tr các thành ph n chuy n v t m nút c a ph n t

* Hàm d ng:

tài này, ch t p trung phân tích k t c u h thanh ph ng Nên

thanh ch u kéo - nén d c tr c và ph n t thanh ch u u n

ng h p 1: Xét ph n t thanh th ng ij là thanh th ng ch u kéo

- D M m trong thanh ch t n t i chuy n v d c tr c u(x) ph n t có 2 b c t do là 2 thành ph n chuy n v d c tr c t m nút,

n v nút c a ph n t có d ng:

i e j

i e

Hình 2.9 Ph n t thanh u n ngang ph ng

Khi ph n t ch u u n, tr ng thái chuy n v t m b t kì có to x bao

g m chuy n v th ng vuông góc v i tr c d m v(x) và chuy n v xoay (x)

Vì chuy n v xoay (x) c a ti t di n có th tính theo chuy n v th ng vuông

3 4

a a

a a

Vi i d ng ma tr n:

1 2

2 3

3 2 4

ng h p ph n t ch u t i tr ng t p trung t i nút ng v i chuy n v nút và ch u t i tr ng phân b trên b m t ph n t

y

q q

q Thi t l p bi u th c tính th n ec a ph n t theo công c a ngo i l c We và th n d ng Ue c a ph n t

e 0

Thay e theo (2.30) vào (2.34) và áp d ng phép l i

theo chi u dài thanh (hình 2.11)

Thanh ch u t i tr ng: l c phân b r(x) d c tr c thanh, l c t p trung T d c

H tr c riêng c a ph n t x0y có tr c x trùng v i tr c thanh, có tr c y vuông góc v i tr c thanh, g c t i i M i nút c a ph n t có 1 b c t do vì v y toàn b ph n t ch có 2 b c t do là 2 chuy n v th ng d c tr c t u

hay: u(x) N e (2.36)

i 1

e

j 2

u u

Hàm d ng c a ph n t thanh ch u kéo - nén theo (3.9) ta có:

l e 0

j 4 P

B

A

v B

u= -y v x

v x

v x

Hình 2.13 Ph n t d m ch u u n Hình 2.14 Bi n d ng ph n t d m ch u u nXét ph n t thanh th ng i-j, có chi c ng ch ng u n EI

i d c theo chi u dài thanh Thanh ch u t i tr ng: l c phân b q(x) vuông góc tr c thanh, l c t p trung P vuông góc tr c thanh và mômen t p

.Xét trong h tr c t riêng xoy c a ph n t , tr c ox trùng v i tr c thanh còn tr c oy vuông góc v i tr c thanh M i nút c a ph n t có 2 b c t

do vì v y toàn b ph n t có 4 b c t do là 2 chuy n v th ng vuông góc v i

tr c thanh t u, nút cu i và 2 góc xoay t u, nút cu i (hình 2.13)

n v ng:

(2.43)Hàm d ng c a ph n t thanh ch u u n ngang ph ng theo (3.15b):

i v i bài toán m t chi u, ta có: { } = x;

Theo lý thuy t tính toán d m ch u u n trong S c b n v t li u dv

Thay [B]T, [D] = E, [B] vào công th c:

'' ''

1 1 l '' '' '' ''

1 2

-6EI l

x

k =24 2EI

l 2

k =22 4EI

l

k =21 6EI

l21

3

3 a)

Xét ph n t thanh th ng i-j, có chi c ng EA và EI là không

i d c theo chi u dài thanh Ph n t thanh i- c n i v i các ph n t thanh lân c n b ng nút c ng Khi xét riêng ph n t này, liên k t c coi là ngàm

- L c t p trung P vuông góc tr c thanh, l c t p trung T d c tr c thanh và mômen t p trung M.

H tr c t riêng x0y có tr c x trùng v i tr c thanh, có tr c y vuông góc v i tr c thanh, g c t i i (hình 2.16)

1 2

a a

(2.48)

Vi i d ng ma tr n:

1 2 3 e

4

2 3

5 2 6

i v i bài toán m t chi u, ta có: { } = x;

K t h ng h p : thanh ch u kéo - nén và thanh ch u u n, ta có:

1 2

N yN yN

N yN yN

1 1 v

I y dA là mômen quán tính c a m t c t ngang l y v i tr c z

- Nh ng tích phân có th a s (-y), ví d k21, khi khai tri n tích phân có

này v trên cùng m t h tr c t và h tr c t c g i là h tr c

t chung (h tr c t t ng th ) c a k t c u H tr c t chung

ng không trùng v i h tr c t riêng, vì v

c i tr ng tác d ng nút c a ph n t v h tr c t riêng chúng ta

ph i th c hi n phép chuy n tr c t

H tr c t ng là tùy ý, tuy nhiên khi ch n h tr c t

chung cho m t bài toán c th ng ch n h tr c t chung sao cho vi c chuy n tr c t c a các ph n t là ít nh t ho c trùng v n v

Xét ph n t thanh i-j trong bài toán ph u nút c ng, sau khi ch u

l c thanh b bi n d ng và chuy n d i t i v - to riêng c a ph n

Xét ph n t thanh i-j trong bài toán ph u kh p ch u kéo (nén)

ui

i

j

ujv'j

Thay (2.42), (2.66) vào (2.60 c ma tr c ng ph n t thanh

ch u kéo-nén trong h tr c t chung:

Thay (2.56), (2.64) vào (2.60 c ma tr c ng ph n t thanh

ch u kéo-nén trong h tr c t chung:

T

2 2 3

ng cho t t c m ph n t trong h to riêng c a

t ng ph n t Sau khi chuy n v h t chung c a toàn k t c u, ti n t i g p

ng c a t ng ph n t trong c htrình cân b ng cho toàn h k t c u trong h t chung:

(2.69)

e - là ma tr nh v c a h n t e, nó cho th y hình nh s p x p các thành ph n c

1 e 2

n

'

' 0

- c 4: Ti n hành ghép n i ma tr c i tr ng tác d ng nút c a các ph n t thành ma tr c i tr ng tác d ng nút c a toàn b h k t c u trong h t chung theo công th c.

(2.80)

v i (n+m) n là: x , x , , x , , , ,

2.3 S d ng hàm s Largrange gi i bài toán k t c u có u ki n biên

y khi áp d ng nguyên lý d ng th n vào bài toán, ta

s c bài toán quy ho ch toán h c:

Áp d ng hàm Largrange (2.79) vào s ho ch toán h c

có ràng bu c v bài toán quy ho ch toán h c không ràng bu c b ng các thêm

n s là hàm s Largrange , Hàm Largrange c a bài toán lúc này là:

S n s c a bài toán lúc này s thêm 1 n s so v i s n s ba u

y bài toán lúc này có (n+1) n s :

T bi u th c (2.87) ta có:

1 e 2

n

'

'

0 '

F a

Ví d 2.1: Gi s bi t ng toàn h c a h k t c u 6 b c t

do là:

' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6

4 8

Hãy vi ng cho toàn h bi t h có 2 u ki n biên

4 8

e ' - n v t i các nút c a ph n t

Công th c tính ma tr n

echo m t s lo i ph n t thanh:

- Ph n t thanh dàn ph ng:

e e e

Kh i th 1: Khai báo các bi n s và h ng s là các thông s v t li u,

thông s hình h c c a k t c vào có s li u hình h c c a k t c u

và h ng s c a bài toán

Kh i th 2: Thi t l p mã hi u ph n t , mã hi u các b c t do và cách

ghép n i các ph n t v i nhau

Kh i th 3: Thi t l p ma tr c ng c a các ph n t trong h tr c t a chung và ma tr c ng t ng th c a toàn k t c u: kh i này, ta xác

cá c thành phần chuyển vị của cá c nút

Thiết lập ma trận độ cứng của cá c phần tử và ma trận độ cứng của toàn bộ kết cấu trong hệ trục tọa độ chung

Thiết lập véctơ tải trọng tá c dụng nút của toàn hệ kết cấu trong hệ trục tọa độ chung.

Thiết lập và giải ph- ơng trình cân bằng của kết cấu có kể đến điều kiện biên.

Kh i th 5: X u ki n biờn c a bài toỏn: Trong kh i này ta ph i

x u ki n biờn c a bài toỏn bao g u ki n biờn cú thành

ph n chuy n v b u ki n biờn làm cho cỏc thành ph n

chuy n v th ng t ràng bu c nhau theo cách s d ng hàm sLargrange

B B C C D D

ti n cho vi c áp d ng phân tích bài toán k t c u b n t

h u h ng s d ng các ngôn ng l t ng hóa tính toán

5

Hình 3.3 S hi u b c t do và ph n t

Chuyenvians =1.0000 02.0000 03.0000 0.00434.0000 -0.04045.0000 0.01516.0000 0.00877.0000 0.00768.0000 -0.05549.0000 5.0000phanluc

ans =1.0000 2.88682.0000 5.0000Noi luc

ans =-8.3333-8.33333.77993.779910.0000

K t qu hình dáng k t c c và sau khi bi n d ng:

(cm)