Đang tải... (xem toàn văn)
Vì vậy, trong bài báo này sẽ trình bày cách áp dụng thừa số Lagrange và phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do chịu tải trọng tĩ[r]
(1)ÁP DỤNG THỪA SỐ LAGRANGE PHÂN TÍCH KẾT CẤU DÀN PHẲNG
CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐA BẬC TỰ DO CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH
TS PHẠM VĂN ĐẠT
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Tóm tắt: Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp quan trọng, sử dụng thường xuyên thiếu người kỹ sư phân tích thiết kế kết cấu Tuy nhiên, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự ln vấn đề khó Vì vậy, báo trình bày cách áp dụng thừa số Lagrange phương pháp phần tử hữu hạn để giải tốn kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh
Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Biên đa bậc tự do, Thừa số lagrange
Abstract: Finite element method (FEM) is now an important and frequently indispensable method of engineering analysis and design structure; However, using finite element method for ananysis of multifreedom equality constraints structures is always a difficult problem Consequently, this paper will present combined finite element method and lagrange multiplier to analyse two demensional trusses with multi-freedom constraints under dead loads
Keywords: Finite Element Method; Multi-Free Constaints; Lagrange Multiplier
1 Đặt vấn đề
Kết cấu dàn kết cấu có nhiều ưu điểm như:
tiết kiệm vật liệu, vượt độ lớn, nhẹ, kinh tế
đặc biệt vềphương diện kiến trúc tạo nhiều hình dáng khác Vì vậy, kết cấu dàn dạng kết cấu sử dụng rộng rãi để xây dựng nhiều công trình nhiều ngành
khác : cơng trình dân dụng cơng nghiệp, cơng trình cầu đường,…
Các kết cấu dàn thực tế thường có số lượng dàn lớn bậc siêu tĩnh cao, phương pháp mà Kỹsư thiết kếthường sử dụng để phân tích nội lực, chuyển vị kết cấu dàn phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp
phần tử hữu hạn phương pháp rời rạc hóa kết cấu thành phần tử liên kết với nút phần tử, phương trình cân cho tồn hệ kết cấu cuối thường đưa viết phương
trình dạng ma trận Các phép tính viết dạng ma trận thực dễ dàng phần mềm tính tốn tốn học, nên việc giải tốn có sốẩn lớn khơng cịn vấn đề khó cơng nghệ thơng tin điện tử phát triển
Các kết cấu thực tếthường có điều kiện biên
đa dạng, dạng điều kiện biên
điều kiện biên làm cho chuyển vị thẳng nút biên chuyển vị theo phương cho trước, mà
phương không trùng với trục tọa độ hệ trục tọa độ tổng thể Điều dẫn đến nút biên có bậc tự khác không không độc lập, mà với ràng buộc Những
nút biên có điều kiện gọi nút có điều kiện biên đa bậc tự Ví dụ cho kết cấu dàn chịu lực hình 1, nút C hệ trục tọa độ tổng thể
có thành phần chuyển vị, hai thành phần
này không độc lập với mà ràng buộc nhau, nên
nút C gọi nút có điều kiện biên đa bậc tự Việc phân tích kết cấu có điều kiên biên đa bậc tự theo phương pháp phần tử hữu hạn vấn đề khó [7] tài liệu trình bày vềphương pháp phần tử hữu hạn xuất Việt Nam tác giả chưa thấy tài liệu trình bày [2,4,5] Vì nội dung báo này, tác giả
sẽ trình bày cách áp dụng thừa sốLagrage để giải tốn kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự theo
phương pháp phần tử hữu hạn
2 Phương pháp thừa số Lagrage
Phương pháp thừa sốLagrange phương pháp đểđưa tốn quy hoạch tốn học có ràng buộc
(2)Hàm mục tiêu: ZF(x , x , , x )1 2 n min(1a)
Các ràng buộc:
j n
g (x , x , , x )0 j m;
(1b)
Theo phương pháp thừa số Lagrange [3,10] tốn quy hoạch tốn học có ràng buộc tương đương với quy hoạch tốn học khơng ràng buộc với:
Hàm mục tiêu mở rộng:
m
1 n j j n
j
L(X, ) F(x , x , , x ) g (x , x , , x )
(2) Trong hàm mục tiêu Lagrange L(X, ) , ta xem thừa số Lagrange ẩn số tốn,
điều kiện cần để hàm L(X, ) có cực trị là:
i
j
L
0 i n;
x L
0 j m;
(3)
Khai triển (3) ta hệ phương trình gồm
(n+m) phương trình độc lập, tương ứng với (n+m) ẩn là: x , x , , x ,1 2 n 1, 2, ,m Giải hệ phương trình (3) tìm giá trị ẩn số toán
3 Áp dụng thừa số Lagrange giải tốn kết
cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự theo
phương pháp phân tử hữu hạn
Giả sử hệ kết cấu dàn rời rạc thành m phần tử
với tổng số bậc tự toàn hệ n Theo nguyên lý toàn phần [1,6,8,9], thếnăng toàn phần hệ là:
m
T T
T T
e
e e e e
e
1
' H K ' H ' ' H F '
2
(4)
trong đó: e
K ' : ma trận độ cứng phần tử
trong hệ trục tọa độ chung; ' : véctơ chuyển vị
nút toàn hệ hệ trục tọa độ chung; F ' e: tải trọng tác dụng nút phần tử hệ trục tọa
độ chung; T
e
H : ma trận định vị phần tử hệ
kết cấu
Khi tốn khơng có điều kiện biên đa bậc tự do, dựa vào nguyên lý dừng thếnăng toàn phần hệ kết cấu ta xây dựng phương trình cân cho tồn hệ kết cấu có dạng:
K ' ' F ' (5)
trong đó:
' ' '
11 12 1n
' ' '
21 22 2n
' ' '
n1 n2 nn
k k k
k k k
K ' ;
k k k
' '1 '2 'nT; T
1 n
F ' F ' F ' F '
Khi biên kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự giả sử gọi 'i, 'i 1 số hiệu bậc tự nút biên, lúc đó:
' '
i k i 1
(6)
(3)Điều kiện ràng buộc:
' '
i i
g( ') k 0
(8) Áp dụng phương pháp thừa số Lagrange trình bày mục vào, sẽđưa tốn quy hoạch tốn học có ràng buộc đưa tốn quy hoạch tốn học khơng ràng buộc thêm ẩn số thừa số Lagrange, hàm Lagrange toán lúc là:
m
T T
T T ' '
i i e
e e e e
e
1
L ' H K ' H ' ' H F ' k
2
(9)
Sốẩn số toán lúc thêm ẩn số so với sốẩn sốban đầu Như tốn lúc có (n+1)
ẩn số: ' '1 '2 'n T
Từ biểu thức (9) ta có:
T
1 n n
L
L L L L L
' ' ' ' '
(10)
Từđiều kiện (10) ta sẽđược phương trình:
' ' ' ' ' '
11 1i 1(i 1) 1n 1
' ' ' ' ' '
i1 ii i(i 1) in i i
' ' ' ' '
(i 1)1 (i 1)i (i 1)(i 1) (i 1)n i i
' ' ' ' '
n1 ni n(i 1) nn n
0
k k k k F
k k k k F
k k k k k F
k k k k
0 k 0
'
' n
F
(11)
Như giải tốn kết cấu dàn phẳng có biên có điều kiện biên đa bậc tự do, giả
sử gọi 'i, 'i 1 số hiệu bậc tự nút
biên có điều kiện ràng buộc (6) lúc phương
trình cân cho tồn hệ có kể đến điều kiện
biên đa bậc tựdo viết dạng ma trận
biểu thức (11) Theo biểu thức này, ma trận độ cứng kết cấu kểđến điều kiện biên đa bậc tự
do mở rộng thêm hàng cột so với ma trận độ cứng kết cấu chưa kểđến điều kiện biên đa bậc tự Các thừa số hàng cột
được mở rộng ma trận độ cứng xác định
như sau: kn 1,i' k'i,n 1 1; k'n 1,i 1 ki 1,n 1' k0,
thừa số lại “0” Véctơ tải trọng tác dụng nút
được mở rộng thêm hàng, giá trị thừa số
véctơ tải trọng tác dụng hàng mở rộng thêm
là Fn 1' 0
Mở rộng hệcó r điều kiện biên đa bậc tự ma trận độ cứng mở rộng thêm r hàng, r cột;
véctơ chuyển vị, véctơ tải trọng tác dụng nút thêm r hàng giá trị cột hàng ma trận mở rộng xác định tương tựnhư với hệ có điều kiện biên đa bậc tự
4 Một số ví dụ phân tích
Ví dụ 1: Cho kết cấu dàn chịu lực hình 1, biết: Mơ đun đàn hồi vật liệu thanh:
E 2.10 kN / cm ; diện tích mặt cắt ngang thanh: A10 cm 2; tải trọng tác dụng: P= 10 (kN) Hãy xác định thành phần chuyển vị nút nội lực dàn
(4)
D y'
4m A
3m C
x'
4m B
P
C(3,4)
B(1,2)
4m
3m
D(5,6)
1
x'
3
A(0,0) y'
4m
2
4
Hình Ví dụ Hình Số hiệu bậc tự phần tử
Lời giải:
Kết cấu dàn rời rạc hóa thành phần tử Số hiệu phần tử số hiệu mã bậc tự thành phần chuyển vị nút hệ tọa độ chung đánh sốnhư hình
Phương trình cân toàn hệkhi chưa kểđến điều kiện biên đa bậc tự C:
B
B
C
C
D
D
u
512 đx
v
0 954,667
u
0 192 756
v
256 144 192 144
u
192 500 1000
v 10
0 666,667 0 666,667
Điều kiện biên biên C: tan 30 '0 3 '4 0
Vì vậy, kểđến điều kiện biên đa bậc tự C ma trận độ cứng, ma trận tải trọng phương
trình cân toàn hệđược mở rộng thêm Sau mở rộng thêm, phương trình cân tồn hệđược viết lại sau:
B
B
C
C
D
D
512 đx
u
0 954,667
v
0 192 756
u
256 144 192 144
v
192 500 1000
u
0 666,667 0 666,667
v 10
3 0
0 0
3
Kết phân tích thành phần chuyển vị nội lực toán sau:
B
B
C
C
D
u 0,0043(cm)
v 0,0404(cm)
u 0,0151(cm)
;
v 0,0087(cm)
u 0,0076(cm)
1
2
3
4
N 8,333(kN)
N 8,333(kN)
N 3,780(kN)
N 3,780(kN)
N 10(kN)
-1000 100 200 300 400 500 600 700 800
100 200 300
(cm) Tr í c biÕn d¹ ng
(5)Bảng Bảng so sánh kết nội lực
Nội lực
1
N (kN) N (kN)2 N (kN)3 N (kN)4 N (kN)5
Phương pháp PTHH -8,3333 -8,3333 3,7799 3,7799 10
Phương pháp tách mắt -8,3333 -8,3333 3,7799 3,7799 10
Theo kết so sánh (trong bảng 1) thấy: Khi áp dụng thừa sốLagrange để giải tốn kết cấu dàn có
điều kiện biên đa bậc tự theo phương pháp phần tử hữu hạn cho kết trùng khớp
Ví dụ 2: Cho kết cấu chịu lực hình biết: có mơ đun đàn hồi: E2.104kN / cm2; diện tích
mặt cắt ngang là: A 18 cm 2 A 18 cm 2; tải trọng tác dụng: P20 kN Hãy xác định nội lực
P x' (3,4) P (9,10) P (17,18) P 20 21 10 (4,6) 12 (11,12) 18 (19,20) 19 y' (0,0) (13,14) (21,22) 16 17 (1,2) 11 (7,8) 13 (15,16) 14 15 1m 1 m 1m 1m
1m 1m 1m
Hình Ví dụ
Lời giải
Kết cấu dàn rời rạc hóa thành phần tử Số
hiệu phần tử số hiệu mã bậc tự thành phần chuyển vị nút hệ tọa độ chung
được đánh sốnhư hình
Điều kiện biên đa bậc tự A :
0
1
tan 30 ' ' 0
Điều kiện biên đa bậc tự C : '11 '12 0
Phương trình cân toàn hệ sau kểđến điều kiện biên A B:
' ' ' ' '
1,1 1,2 1,11 1,12 1,22
' ' ' ' '
2,1 2,2 2,11 2,12 2,22
' ' ' ' '
11,1 11,2 11,11 12,12 11,22
' ' ' ' '
12,1 12,2 12,11 12,12 12,22
' ' ' ' '
22,1 22,2 22,11 22,12 22,22
k k k k k tan30
k k k k k
k k k k k
k k k k k
k k k k k
tan30
' ' 1 ' ' 2 ' ' 11 11 ' ' 12 12 ' ' 22 22 1 F F 11 F 12 F 22 F 23
0 0
Phương trình cân tồn hệ sau kểđến điều kiện biên A, B C :
'
' ' ' '
1 1,1 1,2 1,11 1,12
'
' ' ' '
2 2,1 2,2 2,11 2,12
'
' ' ' '
11 11,1 11,2 11,11 12,12
'
' ' ' '
12 12,1 12,2 12,11 12,12
0
1
k k k k tan 30
k k k k
k k k k
k k k k
tan30 0 0
0 1 0
' ' ' 11 ' 12 F F 11 F 12 F 23 24
(6)Giải phương trình sẽxác định thành phần chuyển vị nút, sau xác định thành phần chuyển vị sẽxác định nội lực kết nội lực dàn thể bảng
Bảng Kết nội lực dàn
Thanh 1 2 3 4 5 6 7
N(kN) 8,281 8,281 -12,531 -20,812 0 -27,710
Thanh 8 9 10 11 12 13 14
N(kN) -19,188 -19,188 -19,188 -19,188 -27,710 20
Thanh 15 16 17 18 19 20 21
N(kN) -40,812 20 -0,574 28,859 28,859 -0,574
Kết hình dáng kết cấu dàn trước sau biến dạng thể hình
0 100 200 300 400 500 600
-50 50 100
Hình Hình dạng kết cấu dàn trước sau biến dạng
5 Kết luận
Qua nội dung trình bày báo,
rút kết luận sau đây:
- Việc áp dụng thừa số Lagrange để giải tốn phân tích tuyến tính kết cấu dàn phẳng có điều kiện
biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnhtương đối đơn
giản thay đổi lại giá trị số hạng ma trận độ cứng, véctơ tải trọng tác dụng nút
- Kết phân tích tuyến tính tốn kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh áp dụng phương pháp thừa số
Lagrange tin cậy Vì vậy, phương pháp trình bày nội dung báo áp dụng phân tích tĩnh,
tuyến tính kết cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự khác
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Văn Đạt (2017), Tính tốn kết cấu hệ theo
phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng [2] Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp
phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng
[3] Lê Xuân Huỳnh (2006), Tính tốn kết cấu theo lý thuyết tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật
[4] Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật
[5] Nguyễn Trâm (2013), Phương pháp phần tử hữu hạn và dải hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng
[6] Bathe K.J (1996), Finite Element Procedure, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458
[7] Felippa C (2016), Introduce Finite Element Method, Public web site for the graduate core course ASEN 5007
[8] Hutton D.V (2004), Fundamentals of Finite Element Analysis, The McGraw−Hill Companies
[9] Reza B, Farhad S (2013), Advanced Finite Element Method, Public web site for the graduate core course ASEN 6367
[10] William R S, Kieth M.M (2009), Structural Optimization, Springer Science+Business Media
Ngày nhận bài: 09/11/2017
Ngày nhận sửa lần cuối: 07/02/2018
(cm)
(cm) Tr í c biÕn d¹ ng