Trong các mô hình tính toán kết cấu hệ thanh hiện nay, liên kết nút giữa các thanh thường giả thiết là cứng tuyệt đối, việc xét đến liên kết nút đàn hồi còn ít được áp dụng trong tính toán thực tiễn mặc dù các liên kết đàn hồi thường xuyên xuất hiện trong kết cấu công trình thực. Bài báo này trình bày các tính toán kết cấu khung có xét đến các liên kết nút đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn, từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các liên kết đàn hồi đến sự phân bố nội lực và chuyển vị trong kết cấu. Các kết quả nhận được có thể áp dụng vào tính toán thực tiễn.
PHÂN TÍCH KẾT CẤU KHUNG PHẲNG CĨ LIÊN KẾT ĐÀN HỒI TẠI NÚT ThS Trịnh Anh Hào Công ty cổ phần đầu tư, tư vấn thi công xây dựng Việt Nam KS Hoàng Trọng Khuyến Trường Đại học Xây dựng Tóm tắt: Trong mơ hình tính tốn kết cấu hệ nay, liên kết nút thường giả thiết cứng tuyệt đối, việc xét đến liên kết nút đàn hồi áp dụng tính tốn thực tiễn liên kết đàn hồi thường xuyên xuất kết cấu cơng trình thực Bài báo trình bày tính tốn kết cấu khung có xét đến liên kết nút đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn, từ nghiên cứu ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực chuyển vị kết cấu Các kết nhận áp dụng vào tính tốn thực tiễn Summary: Frame structure analysis model with the flexible connections is no usually applied in structural analysis for practical design However, the flexible connection joints are often seen in real structure Nowadays, with the support of the theoretical calculation and the numerical example carried out by the developed computer program, mathematical analysis software with range of different products to analyze the limits of the joints on the elements with the matrix of loading, stiffness, displacement and the results allow us to create the structures close to the practical needs of the structure works Mở đầu Khi tính tốn kết cấu khung, ta thường giả thiết liên kết cứng với nút Trên thực tế, nút cứng tuyệt đối mà liên kết đàn hồi, nghĩa độ cứng liên kết thay đổi từ đến (cứng tuyệt đối) Khi đó, vấn đề đặt việc tính tốn kết cấu khung có liên kết đàn hồi ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực kết cấu sao? Theo hướng nghiên cứu này, tác giả Nguyễn Xuân Hùng xây dựng ma trận độ cứng động lực véc tơ tải trọng quy nút phần tử thẳng có liên kết đàn hồi nút [2], tác giả Cao Văn Mão xây dựng tốn phân tích kết cấu khung thép phẳng có nút cứng liên kết đàn hồi (hay nửa cứng) [3], tác giả Nguyễn Hồng Sơn xây dựng siêu phần tử cho tốn phân tích kết cấu thép có kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt [4] Trong báo này, tác giả đề cập đến việc tính tốn kết cấu khung có liên kết đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn, từ nghiên cứu ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực kết cấu Để làm điều này, tác giả xây dựng mơ hình phần tử có liên kết đàn hồi hai đầu, sau lập chương trình phân tích kết cấu dạng có liên kết đàn hồi theo phương pháp phần tử hữu hạn mụi trng MatLab Tạp chí khoa học công nghệ xây dùng 65 Mơ hình tính tốn Mơ hình kết cấu hệ tổng quát bao gồm liên kết với nút, liên kết nút khớp, ngàm cứng, liên kết đàn hồi Đối với kết cấu hệ phẳng hình 1, liên kết nút (1) (2) liên kết đàn hồi với lò xo đàn hồi có độ cứng cu, cv, c Khi độ cứng lò xo có giá trị hay , ta nhận liên kết ngàm cứng (cu=cv=c=), khớp (cu=cv=,c=0), ngàm trượt (cu=c=,cv=0), cv (1) cu (2) c Hình Trong tiêu chuẩn AISC-ASD [4], Eurocode [5] đề xuất dạng liên kết tính tốn cấu kiện thép là: liên kết cứng, nửa cứng, khớp thông thường đàn hồi Việc xác định giá trị độ cứng lò xo liên kết đàn hồi nút gắn liền với tiêu chuẩn sử dụng vật liệu khả cấu tạo thực tế liên kết Do bổ sung nghiên cứu xác định độ cứng liên kết có thực tế để áp dụng vào mơ hình tính tốn làm tăng tính ứng dụng phương pháp Hình 2a ví dụ liên kết chân cột thép với móng bê tơng cốt thép bu lơng, cơng thức tính giá trị lò xo liên kết đàn hồi uốn c [6],[7] c = t E t H rb + c − f 20 2 mỈt (1) mặt cắt cột thép tf Hc Z rb thép đáy t bê tông Hỡnh 2a Trng hợp kết cấu thép có dầm liên kết với cột theo dạng hình 2b - (1),(2),(3),(4) ,(5),(6) cơng thức thực nghiệm cho độ cứng lò xo đầu dầm [6], [7]: r = c1 (M )1 + c2 (M )3 + c3 (M )5 ; c = M / r (2) Trong đó: c1,c2,c3 k tương ứng hệ số liên kết hệ số tiêu chuẩn cho bảng (1) 66 (2) T¹p chÝ khoa học công nghệ xây dựng \ (3) (4) (5) (6) Hình 2b Bảng Các hệ số liên kết Dạng liên kết Các hệ số liên kết ci c1 = 3.66 x 10-4 c2 = 1.15 x 10-6 c3 = 4.57 x 10-8 c1 = 2.23 x 10-5 c2 = 1.85 x 10-8 c3 = 3.19 x 10-12 c1 = 8.46 x 10-4 c2 = 1.01 x 10-4 c3 = 1.24 x 10-8 c1 = 1.83 x 10-3 c2 = 1.04 x 10-4 c3 = 6.38 x 10-6 c1 = 1.79 x 10-3 c2 = 1.76 x 10-4 c3 = 2.04 x 10-4 Hệ số tiêu chuẩn =d −2.4 −1.81 a a t g 0.15 = d −1.287t −1.128tc−0.415l −0.694 g 1.35 a = d −1.5t −0.5l −0.7 db1.5 a = d g−2.4t −p0.4db−1.5 = d g−2.4t −p0.6 Hình ví dụ kết cấu khung tầng hai nhịp có liên kết đàn hồi nỳt Hỡnh Tạp chí khoa học công nghệ xây dùng 67 Mơ hình phần tử hữu hạn thẳng có tiết diện khơng đổi với liên kết đàn hồi nút 3.1 Thanh thẳng chịu kéo nén Xét phần tử thẳng có tiết diện khơng đổi A, chiều dài L, mô đun đàn hồi E liên kết đàn hồi hai đầu hình Ký hiệu cu1 , cu2 độ cứng liên kết đàn hồi qui ước; U’1, U’2 tương ứng chuyển vị tiết diện 1’ 2’; U1, U2 tương ứng chuyển vị tiết diện ; N1, N2 tương ứng lực tác dụng tiết diện 1’ 2’ Tại trạng thái cân bằng, lực tác dụng tiết diện 1’ 2’ lực tác dụng lên tiết diện tương ứng y N1 cu1 P1 (1) 1’ P2 U1 U’1 cu2 N2 (2) 2’ U’2 U2 L x Hình Quan hệ chuyển vị U1 U’1, U2 U’2 biểu diễn phương trình sau: U 1 U N1 cu1 = + U 2 U N cu U = U −U * hay là: (3) đó: U = (U1 U ) ; U = (U1 U 2 ) ; U * = (N1 cu1 T T N cu ) ; N = (N1 T N2 ) T Đối với phần tử đàn hồi 1-2, quan hệ lực nút N, tải trọng quy nút P ma trận độ cứng K0 phần tử có dạng [8]: K 0U = P + N (4) đó: K0 = N P EA − 1 ; N = ; P = L −1 N2 P2 (5) Thay (3) vào (4), ta có: K 0U − K 0U * = P + N ~ KN = K 0U − P hay là: với: ~ 1 0 k + K = 0 1 k 11 12 c u1 c u1 k k 12 22 (6) EA c u c u1 L = + cu − EA c L u1 EA cu L EA cu L − (7) Vì K khả nghịch nên (6) viết thành: 68 T¹p chÝ khoa học công nghệ xây dựng ~ ~ N = K −1 K 0U − K −1 P hay dạng (4): KU = N + P td (8) với ma trận độ cứng K có dạng: ~ K = K −1 K = cu c c + u0 + u0 cu1 cu − 1 EA ; cu = L −1 (9) véc tơ lực quy nút Ptd phần tử chịu kéo nén có liên kết đàn hồi đầu : ~ P td = K −1 P (10) Đối với trường hợp tải trọng dọc phân bố theo trục với cường độ p0, ta có : P= p0 L 1 td p0 L ; P = 1 1+ cu cu + cu1 cu 1 1 3.2 Thanh thẳng chịu uốn Xét thẳng có tiết diện khơng đổi chịu uốn với liên kết đàn hồi hình Ký hiệu cv1, c(1, cv2, c(2 độ cứng liên kết đàn hồi qui ước; U’1, U’2, U’3, U’4 tương ứng chuyển vị tiết diện 1’ 2’; U1, U2, U3, U4 tương ứng chuyển vị tiết diện ; M1, Q1, M2,Q2 tương ứng lực tác dụng tiết diện 1’ 2’ Tại trạng thái cân bằng, lực tác dụng tiết diện 1’ 2’ lực tác dụng lên tiết diện tương ứng P2 y M1 Q1 U’1 P4 P1 P3 cv1 M2 cv2 (1) c1 1’ U’2 U1 (2) c2 U2 U3 U4 x Q2 2’ U’4 U’3 L Hình Quan hệ chuyển vị nút U U’ có dạng tương tự (1): U1 = U1 − hay là: Q1 M Q M ; U = U 2 − ; U = U 3 − ; U = U 4 − cv1 c1 cv c U = U −U * (11) đó: Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 69 U = (U U U U ) ; U = (U 1 U 2 U 3 U 4 ) T T Q ;U = c v1 * M1 c1 Q2 cv M c T Đối với phần tử 1-2, quan hệ lực nút R, tải trọng quy nút P ma trận độ cứng K0 phần tử có dạng tương tự (4) K 0U = P + R (12) đó: L − 12 L Q1 P1 12 2 EI z L L − L L M1 P2 K0 = ; R = ; P = Q P L − 12 − L 12 − L 3 L L2 − L L2 M P 2 4 (13) Thực biến đổi tương tự trường hợp phần tử chịu kéo nén, ta được: ~ KR = K 0U − P (14) với: 1 ~ 0 K = 0 1 0 = 0 0 k110 0 k210 + k310 0 k310 0 k140 c k240 c k340 c cv1 k420 c1 k430 cv k440 c L c1 − 12 cv L c 0 12 cv1 2 0 EI z L cv1 L c1 − L cv 2 L c + − L c L3 − 12 cv1 − L c1 12 cv 2 6L c L c − L c L c v v cv1 k120 c1 k130 cv cv1 k220 c1 k230 cv cv1 k320 c1 k330 cv (15) Vì K khả nghịch nên (14) viết thành: hay duới dạng (4): ~ ~ R = K −1 K 0U − K −1 P (16) KU = R + P td (17) với ma trận độ cứng K có dạng: ~ K = K −1 K (18) véctơ lực quy nút Ptd phần tử chịu uốn có liên kết đàn hồi đầu là: ~ P td = K −1 P (19) Giả thiết biến dạng kéo nén uốn độc lập nhau, ta nhận ma trận độ cứng véc tơ tải trọng quy nút phần tử thẳng có liên kết đàn hồi nút tổ hợp phần tử chịu kéo nén phần tử dầm chịu uốn hệ tọa độ địa phương Các thủ tục chuyển ma trận độ cứng véc tơ tải trọng quy nút từ hệ tọa độ địa phương hệ tọa độ tổng thể, lắp ghép giải toán phần tử hữu hạn tương tự trình bày [1] 70 Tạp chí khoa học công nghệ xây dùng Ví dụ tính tốn Để xét ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực kết cấu, ta xét khung phẳng cho hình 6a với tham số: mơđun đàn hồi E = 2x107kN/m2; mơmen qn tính diện tích tiết diện CA, AB I1 = I2= 12x10-5m4; A1 = A2 = 0,03m2; mơmen qn tính diện tích tiết diện BD I3 = 15x10-5m4; A3 = 0,035m2 Khung chịu tải trọng ngang phân bố với cường độ 50kN/m tải trọng tập trung nút A với giá trị 400kN Ta xét số trường hợp: a Khi liên kết với nút đàn hồi với độ cứng lò xo: c = 5000 kNm; cv = 40 000 kN/m Kết tính thành phần ứng lực thể hình 6: mơmen uốn (hình 6b), lực dọc (hình 6c) lực cắt (hình 6d) b Xét thay đổi chuyển vị xoay dầm AB đầu sát nút A, chuyển vị thẳng tiết diện dầm AB, mômen đầu A AB c thay đổi từ 500kNm đến 250000kNm với gia số 1000kNm Hình 7a biểu đồ thể thay đổi chuyển vị xoay dầm AB đầu sát nút A theo c, hình 7b biểu đồ chuyển vị tiết diện dầm theo c, hình 7c biểu đồ mơmen uốn A theo c Ta có số nhận xét: - Khi c((=0 hệ trở thành biến hình khơng có khả chịu lực, véc tơ chuyển vị nút không xác định - Khi c= liên kết nút với cứng tuyệt đối, nút trở thành nút cứng - Khi c tăng dần lên chuyển vị xoay nút A, chuyển vị thẳng dầm AB, mômen nút A tiệm cận gần giá trị trường hợp nút cứng tuyệt đối a) b) c) d) Hình Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 71 a) b) c) Hình c Khảo sát thay đổi mômen uốn c thay đổi Hình biểu đồ mơmen uốn c=1000kNm (hình 8a), c=100 000kNm (hình 8b) nút cứng tuyệt đối c = cv= (hình 8c) Ta nhận thấy độ cứng liên kết đàn hồi tăng lên mơmen uốn đầu tiến dần kết trường hợp nút cứng tuyệt đối (hình 8c) Về liên kết với nút đàn hồi với độ cứng lò xo k EI L , cụ thể k600, nội lực hệ kết cấu thay đổi không đáng kể chuyển vị nút tăng nhanh, k 20 EI L , cụ thể k≥12000, nội lực kết cấu so với trường hợp nút cứng tuyệt đối tương đối gần Do vậy, tính tốn kết cấu nên cân nhắc kể đến ảnh hưởng nút đàn hồi có độ cứng lò xo nằm khoảng 20 EI L k EI L , (trong toán k nằm khoảng 600 đến 10000kNm xem thích hợp, xem hình 7c) a) b) c) Hình Kết luận Trong báo này, tác giả trình bày việc xây dựng ma trận độ cứng véc tơ tải trọng quy nút phần tử thẳng chịu kéo, nén, uốn tác dụng tải trọng tĩnh phương pháp phần tử hữu hạn Khi đó, ma trận độ cứng véc tơ lực quy nút phần tử có liên kết đàn hồi hai đầu phụ thuộc vào ma trận độ cứng véc tơ lực quy nút phần tử có liên kết hàn cứng hai đầu độ cứng lò xo liên kết hai đầu Từ tác giả lập chương trình tính MatLab để nghiên cứu ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực kết cấu Kết phân tích cho thấy: - Sự có mặt liên kết đàn hồi đầu ảnh hưởng đáng kể đến phân phối lại nội lực kt cu h 72 Tạp chí khoa học công nghƯ x©y dùng - Khi độ cứng liên kết đàn hồi tăng lên giá trị tuyệt đối nội lực tiến dần trường hợp nút cứng tuyệt đối (c = cv = ) Tuy nhiên độ cứng liên kết đàn hồi giảm xa so với độ cứng chuyển vị nút phát triển nhanh bất thường, điều phù hợp kết cấu bị phá hoại Để áp dụng thực tế tính tốn thiết kế cần áp dụng tiêu chuẩn công thức số liệu thực nghiệm cho liên kết đàn hồi sát với điều kiện làm việc kết cấu cơng trình - Trong tính tốn kết cấu nên cân nhắc kể đến ảnh hưởng nút đàn hồi có độ cứng lò xo nằm khoảng 20 EI L k EI L Tài liệu tham khảo Vũ Quốc Anh (2004), Nghiên cứu phương pháp phân tích tính tốn khung thép với liên kết đàn hồi, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Nguyễn Xn Hùng (2002), Tính tốn xác kết cấu máy vi tính Chương trình ADS 2001, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Cao Văn Mão (2005), Phân tích kết cấu khung phẳng có nút cứng liên kết mềm, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trường Đại học Thủy lợi Nguyễn Hồng Sơn (2007), Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng phi tuyến, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Nguyễn Mạnh Yên (1996), Phương pháp số học kết cấu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội American Institute of Steel Construction (1989), Manual of steel construction, allowable stress design Chicago Eurocode Design of Steel Structures Part I: General rules and rules for buildings Comite European de Normalisation (CEN) Brussels, Belgium, 1992 Hensmann, J.S., Nethercot, D.A (2001), “Numerical study of unbraced composite frames: generation of data to validate use of the wind moment method of design”, Journal of Constructional Steel Research, Vol 57, pp 791-809 Frye M.J., Morris G.A (1975), “Analysis of flexibly connected steel frames”, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol 2, p 280-291 10.Sekulovic M., Salatic R (2001), ”Nonlinear analysis of frames with fexible connections”, Computers and Structures, Vol 79 (11), p 1097-1107 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 73 ... hình kết cấu hệ tổng quát bao gồm liên kết với nút, liên kết nút khớp, ngàm cứng, liên kết đàn hồi Đối với kết cấu hệ phẳng hình 1, liên kết nút (1) (2) liên kết đàn hồi với lò xo đàn hồi có độ... Mão (2005), Phân tích kết cấu khung phẳng có nút cứng liên kết mềm, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trường Đại học Thủy lợi Nguyễn Hồng Sơn (2007), Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng... nút phần tử có liên kết hàn cứng hai đầu độ cứng lò xo liên kết hai đầu Từ tác giả lập chương trình tính MatLab để nghiên cứu ảnh hưởng liên kết đàn hồi đến phân bố nội lực kết cấu Kết phân tích