Bài viết Nghiệm giải tích của dầm Timoshenko FGM xốp chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của các liên kết đàn hồi xây dựng lời giải giải tích phân tích ứng xử uốn của dầm Timoshenko bằng vật liệu FGM xốp có các liên kết đàn hồi ở hai đầu dầm. Ba quy luật phân bố lỗ rỗng của vật liệu được xem xét bao gồm: Phân bố đều, phân bố đối xứng và phân bố bất đối xứng.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2022, 16 (3V): 86–99 NGHIỆM GIẢI TÍCH CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM XỐP CHỊU UỐN CÓ XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC LIÊN KẾT ĐÀN HỒI Chu Thanh Bìnha , Nguyễn Văn Longa,∗, Trần Minh Túa , Lê Thanh Hảia,b a Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, 55 đường Giải Phóng, Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, Nghệ An, Việt Nam Nhận ngày 24/5/2022, Sửa xong 06/7/2022, Chấp nhận đăng 07/7/2022 Tóm tắt Trong báo này, tác giả xây dựng lời giải giải tích phân tích ứng xử uốn dầm Timoshenko vật liệu FGM xốp có liên kết đàn hồi hai đầu dầm Ba quy luật phân bố lỗ rỗng vật liệu xem xét bao gồm: phân bố đều, phân bố đối xứng phân bố bất đối xứng Hệ trục tọa độ gắn với mặt trung hòa vật liệu sử dụng nhằm đơn giản hóa quan hệ nội lực-chuyển vị Hệ phương trình cân điều kiện biên cho dầm thiết lập sở nguyên lý biến phân Các kết kiểm chứng với kết có tài liệu, liên kết lý tưởng thơng dụng trường hợp đặc biệt thu Ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học độ cứng liên kết đàn hồi đến ứng xử tĩnh dầm khảo sát qua ví dụ số Từ khoá: liên kết đàn hồi; dầm FGM xốp; phân tích uốn; dầm Timoshenko ANALYTICAL SOLUTION OF TIMOSHENKO FG POROUS BEAM UNDER BENDING TAKING INTO ACCOUNT THE EFFECT OF ELASTIC END SUPPORTS Abstract This paper presents the analytical solutions for bending analysis of Timoshenko functionally graded porous beam having elastic supports at both ends Three porosity distribution patterns including uniform, non-uniform symmetric, and non-uniform asymmetric are considered The reference coordinate system coincides with the neutral surface and it is used to get a simple form of stress-displacement relations Equilibrium equations and boundary conditions are obtained via the energy variational principle The results are verified with available results in the literature, in which conventional perfect connections are particular cases The effect of material and geometry parameters, and stiffness of elastic support on the static behavior of the beam is investigated through numerical examples Keywords: elastic connections; FGM porous beam; bending analysis; Timoshenko beam https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2022-16(3V)-07 © 2022 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN) Mở đầu Vật liệu FGM xốp loại vật liệu có tính biến đổi trơn (functionally graded porous materialFGP) theo tọa độ không gian kết cấu, vơ hữu cơ, chứa lỗ rỗng (pores) dạng hốc (cavity), ống (chanel), hay khe hở (interstice) nằm sâu bề mặt Loại vật liệu sử dụng hệ thống hấp thụ lượng, cách âm, trao đổi nhiệt; làm màng lọc, lưới chắn bảo vệ điện từ (electromagnetic shielding); hay làm lớp vật liệu bảo vệ cách điện, cách nhiệt, cách âm, ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@huce.edu.vn (Long, N V.) 86 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các kết cấu nhẹ sử dụng vật liệu xốp (porous material) sử dụng rộng rãi nhiều ngành công nghiệp hàng không vũ trụ, cơng nghệ đóng tàu, tơ, xây dựng dân dụng lĩnh vực y sinh [1–4] Do có tính ứng dụng cao sở hữu nhiều đặc tính trội nên kết cấu sử dụng vật liệu xốp nói chung dầm vật liệu xốp nói riêng, thu hút quan tâm nghiên cứu nhà khoa học nước, thể qua số công bố thời gian gần Sử dụng lời giải theo phương pháp Ritz mơ hình dầm Timoshenko, Chen [5] nghiên cứu ứng xử uốn ổn định đàn hồi dầm FGM xốp với hai dạng phân bố lỗ rỗng bất đối xứng Babaei [6] sử dụng lý thuyết dầm bậc cao để phân tích ứng xử tĩnh ổn định dầm FGM xốp với ba dạng phân bố lỗ rỗng, ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng, dạng phân bố, đàn hồi đến lực tới hạn, chuyển vị thành phần ứng suất khảo sát Sử dụng lời giải giải tích Phuong cs [7] phân tích uốn dầm vật liệu FGM có vi bọt rỗng đặt đàn hồi, sử dụng hệ quy chiếu mặt trung hoà Cũng với cách tiếp cận Long cs [8] phân tích tĩnh dầm FGM có lỗ rỗng vi mô với điều kiện biên khác Trong thực tế, liên kết đa dạng thường không liên kết lý tưởng, mơ hình hóa kết cấu, liên đàn hồi thường đưa vào Liên kết đàn hồi kết cấu khung phẳng đề cập đến tài liệu Liên Khiêm [9] nghiên cứu Hào Khuyến [10], Liên cs [11] Ứng xử kết cấu dầm có xét đến ảnh hưởng liên kết đàn hồi tác giả quan tâm nghiên cứu, chủ yếu với dầm đẳng hướng Chun [12] nghiên cứu dao động tự dầm đầu khớp-đàn hồi, đầu tự Maurizi cs [13] nghiên cứu dao động tự dầm tiết diện không đổi, đầu khớp-đàn hồi, đầu tự bị hạn chế chuyển vị tịnh tiến Dao động dầm đặt đàn hồi gián đoạn thực Doyle Pavlovic [14] Abbas [15] nghiên cứu dao động dầm Timoshenko với hai đầu dầm liên kết đàn hồi Dao động tự ứng xử ổn định dầm, cột tiết diện khơng đổi với lị xo xoắn làm việc đàn hồi phi tuyến hai đầu dầm nghiên cứu Rao and Naidu [16] Dao động tự dầm Euler–Bernoulli nằm đàn hồi Winkler nghiên cứu Kacar cs [17] Kim, H.K Kim, M.S [18] nghiên cứu dao động dầm có điều kiện liên kết tổng quát sử dụng chuỗi Fourier Li cs [19] nghiên cứu đặc trưng tần số dao động dầm đẳng hướng có liên kết đàn hồi hai đầu dầm Yayli cs [20] nghiên cứu dao động riêng dầm Euler–Bernoulli đàn hồi với liên kết đàn hồi hai đầu dầm Qua nghiên cứu tổng quan, thấy rằng, tốn uốn cho dầm FGM xốp sử dụng liên kết đàn hồi hạn chế, cần tiếp tục nghiên cứu đánh giá chi tiết Trong báo này, lý thuyết dầm Timoshenko sử dụng để phân tích dầm FGM xốp có liên kết đàn hồi xét đến yếu tố mặt trung hịa vật liệu Các phương trình cân dầm thiết lập sở nguyên lý cực tiểu Ba quy luật phân bố lỗ rỗng bao gồm: phân bố đều, không đối xứng không bất đối xứng theo chiều cao dầm thực phân tích Các kết số cho thấy ảnh hưởng tham số vật liệu hệ số rỗng quy luật phân bố lỗ rỗng, tham số hình học độ cứng liên kết đàn hồi lên đáp ứng độ võng mô men uốn dầm FGM xốp Mơ hình dầm vật liệu FGM xốp Trong nghiên cứu này, dầm FGM xốp có chiều dài L liên kết đàn hồi đầu mút dầm Các trục tọa độ x, y nằm mặt phẳng ngang, trục z theo phương chiều cao dầm Do có tính thay đổi theo tọa độ chiều cao dầm, mặt trung hịa dầm khơng trùng với mặt trung bình Để rõ vị trí mặt trung hịa dầm FGM xốp, hai mặt phẳng khác sử dụng cho tọa độ z: zms zns tương ứng tọa độ tính từ mặt trung bình mặt trung hịa (xem Hình 1) Giả thiết rằng, 87 cao dầm Do có tính thay đổi theo tọa độ chiều cao dầm, mặt trung hòa dầm khơng trùng với mặt trung bình Để rõ vị trí mặt trung hịa dầm FGM xốp, hai mặt phẳng khác sử dụng cho tọa độ z: zms zns tương ứng tọa độ tính từ mặt trung bình mặt (xem Hìnhhọc1) Giả thiết rằng, tốn uốn Bình,trung C T., vàhịa cs / Tạp chí Khoa Cơng nghệ Xây dựng phẳng, liên kết đàn hồi đầu đặc trưng hai lị xo có độ cứng uốn độ toán uốn phẳng, liên kết đàn hồi đầu đặc trưng hai lị xo có độ cứng uốn độ L L k L , k L đầu mút phải dầm (z = L) cứng xoắn:k10k, 1k020, ktại đầu trái (zdầm (zvà = k0), cứng xoắn: mút mút trái dầm = 0), đầu , k2 1đầu2mút phải dầm (z = L) Mơ hình FGMxốp xốp có có liên đànđàn hồi hồi haiởđầu Hình 1.Hình Mơ1.hình dầmdầm FGM liênkếtkết hai đầu Các sốliệu vậtbiến liệuthiên biếnliên thiên liênchiều tục theo chiều dầm, phụđộ thuộc Các số vật tục theo cao dầm, phụcao thuộc vào mật phân vào bố lỗmật rỗng [21,phân 22]: bố lỗ rỗng [21, 22]: độ Phân bố - Dạng 1: 12 − e0 −2 + 1 Phân bố - Dạng 1: E, G = E1 , G1(1 − e0 1) ; 1= − e0 1e0−e0 − + − {E, G} = {E1 , G1 } (1 − e0 χ) ; χ = e0 e0 π π (1) (1) Phân bố đối xứng - Dạng 2: πzms h (2) πzms π + 2h (3) {E(zms ), G(zms )} = {E1 , G1 } − e0 cos Phân bố bất đối xứng - Dạng 3: {E(zms ), G(zms )} = {E1 , G1 } − e0 cos đó, hệ số mật độ lỗ rỗng e0 xác định bởi: e0 = − E2 /E1 = − G2 /G1 ; E1 , G1 E2 , G2 giá trị lớn nhỏ mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt (Gi = Ei / [2 (1 + ν)] ; i = 1; 2) Hệ số Poisson coi không thay đổi theo tọa độ chiều dày: ν = conts Vị trí mặt trung hịa dầm FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng khơng trùng mặt trung bình, xác định từ điều kiện [23]: h/2 h/2 h/2 (zms − C) E(zms )dzms = ⇒ C = (4) E(zms )dz zms E(zms )dz / −h/2 −h/2 −h/2 Các hệ thức phương trình chủ đạo Sử dụng khái niệm mặt trung hòa, trường chuyển vị theo lý thuyết dầm Timoshenko [24]: u(x, zns ) = u0 (x) + zns θ x (x); w(x, zns ) = w0 (x) (5) u0 , w0 tương ứng chuyển vị màng độ võng điểm mặt trung hịa; θ x góc xoay mặt cắt ngang quanh trục y dầm 88 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Theo đó, thành phần biến dạng bao gồm: ε x = u,x = u0,x + zns θ x,x = ε0x + zns κ0x ; γ xz = w,x + u,z = w0,x + θ x = γ0xz (6) Dấu (,) kèm thành phần chuyển vị đạo hàm riêng theo biến tương ứng Đối với dầm vật liệu FGM xốp, quan hệ ứng suất biến dạng: σ x = Q11 ε x ; τ xz = Q66 γ xz (7) đó: Q11 = E(zns ); Q66 = G(zns ) Áp dụng nguyên lý cực tiểu [24]: δU + δV = (8) Biến phân biến dạng đàn hồi dầm: L δU = (σ x δε x + τ xz δγ xz ) dAdx + k10 w0 δw0 + k20 θ x δθ x x=0 + k1L w0 δw0 + k2L θ x δθ x x=L A L = Nx (9) ∂δθ x ∂δw0 ∂δu0 + Mx + Q xz + δθ x dx ∂x ∂x ∂x + k10 w0 δw0 + k20 θ x δθ x x=0 + k1L w0 δw0 + k2L θ x δθ x x=L đó: N x , M x Q xz thành phần nội lực, chúng liên hệ với thành phần chuyển vị: N x = A11 u0,x ; M x = D11 θ x,x ; h/2−C với: A11 = b s Q xz = A55 w0,x + θ x h/2−C E(zns )dzns ; D11 = b −h/2−C (10) h/2−C s z2ns E(zns )dzns ; A55 = bk s −h/2−C −h/2−C E(zns ) dzns (1 + ν) Hệ số hiệu chỉnh cắt k s = 5/6 sử dụng nghiên cứu Biến phân tải trọng uốn q: L δV = − (11) qδw0 dx Thay biểu thức xác định δU δV từ (9) (11) vào (8), tích phân phần, ta được: L = (N x δu0 + M x δθ x + Q xz δw0 ) + k10 w0 δw0 + k20 θ x δθ x x=0 L N x,x δu0 + M x,x − Q xz δθ x + Q xz,x + q δw0 dx − + k1L w0 δw0 + k2L θ x δθ x x=L (12) Cho hệ số biến phân chiều dài dầm L khơng, hệ phương trình cân thu có dạng: δu0 : N x,x = 0; δw0 : Q xz,x + q = 0; δθ x : M x,x − Q xz = (13) 89 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Thay (10) vào (13), hệ phương trình cân theo chuyển vị nhận sau: + Lq = 0; D11 θ x,xx − A55 w0,x L− A55 θ x = (14) 55 θ x,x 0; +LA( Q TạiA11x u=0,xxL:= 0;N xAu550 w=0,xx xz − k1 w0 ) w0 = 0; L ( M x − k x ) w0 = Tại x = L: N x u0 = 0; ( Qxz − k1 Lw0 ) w0 = 0; ((MMwrútx0x−ra=−k0;ktừ2 2L(12): x ) w0 = 0L số kiện biên: lực có N xxđiều =u0L: = 0;N − 0; k1 vị, w(0 Q w TạiCác x =tham L:Tại −0 k=1L0; w0 thể k20 x ) w0 = (Quchuyển ) xzwcũng ) x()M x 0xz = x 0− = Dưới đây, báo xem xét trường hợp liên kết thường gặp sau (xem Hình 2): L Dưới đây, báo xem trường liên0 kết+thường sau (xem Hình 2): M x + k2Lgặp θgặp 0xem = Nxét δu0các + Q xz + hợp khợp |các x δθ xsau (xem Hình 2): xxét δw x=L wtrường Dưới đây,Dưới báo trường liênx=L kết thường đây, báo xem xét hợp liên kết thường 2): Trường hợp 1: Dầm có các0liên kết đàn hồi ở01 đầu,x=Lđầugặp cịnsau lại (xem tự(15) Hình (SĐ1): Trường hợp 1: Dầm có liên kết đàn hồi đầu, đầu lại tự (SĐ1): − M x − k2 θ x δθ x −N x δu0 | x=0 − Q xz − k1 w0 δw0 x=0 x=0ở đàn Trường hợp 1: Dầm cácchỉ liên kết đàn hồi đầu, lạiđầu tự cịn (SĐ1): Trường hợpchỉ 1: có Dầm liên kết hồiđầu 1còn đầu, lại tự (SĐ1) 1 ,có 0; = (17) 2 =0 , 0; = = (17) 2 Theo đó, phương trình kiện biên: 11 ,điều 0; = = ,2 20; 2 = 2 = (17) (17 Dầm trở thành có liên kết 1đầu1 ngàm đầu tự (CF) khi: 0 Dầm trở thành có kết khi: Tạiliên x = 0: N x1 δuđầu = 0;ngàm Q xz1−đầu k1 w0tựδwdo 0; M =(CF) x − k2 θ x δθ x = Dầm trở thành có liên kếtcó 10liên đầu kết ngàm đầu tự (CF) khi: (16) Dầm trở thành đầu ngàm đầu tự (CF) khi: 1;= Q1xz==+ = M xdo (18) Tại x = L:N x=δu0 ==0; k1L; w=002δw=0=2 0; + k2L θ x δθ x = (18) 11 = 1 = ;1 =22 1==2 = (18) ; = 2 = (18 s s s s chỉliên có kết đàn Dầm (b) Dầm chỉkết cóđàn liênhồi kếtbởi đàn2 hồi (a) Dầm(a) chỉDầm có kết liên đàn hồi hồi ở(b) có liên lị lị (a) Dầm có liên kết đàn hồi (b) Dầm có liên kết đàn hồi (a) Dầm có liên kết đàn hồi (b) Dầm có liên kết đàn hồi Dầm cóđầu liên đàn hồi (b) Dầm có liên(SĐ2) kết đàn lị hồi lò lại tự (SĐ1) xo đứng đầu, lại tựdo dokết (SĐ1) lò xochỉ đứng (SĐ2) đầu, (a) đầuđầu, cònđầu lại tự docác (SĐ1) xo đứng (SĐ2) đầu, đầu tựcòn (SĐ1) xo đứng (SĐ2) đầu,lại đầu lại tự (SĐ1) xo đứng (SĐ2) (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại có (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi (c) Dầm(c) đầu đầu lại Dầm (d) tựaDầm 2bởiđầu vàxoay liênvàkết Dầmngàm đầu ngàm cứng, cịn lại(d)chỉ 2cóđầu cóđàn liênhồi kết đàn hồi liên kếtcứng, đàn hồi lò xo đứngđầu (SĐ3) lòtựa xo (SĐ4) (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi Dầm đầulị ngàm cứng, đầu lại (d)2 Dầm (SĐ4) đầu có(SĐ4) liên kết đàn hồi có liên kết đàn hồi1đàn xobởi đứng (SĐ3) lị xo xoay có(c) liên kết hồi lò xo đứng (SĐ3) bởitựa lò xo xoay có liên kếtcóđàn hồi lị xo đứng lị xo xoay (SĐ4) Hình Sơ đồ tính(SĐ3) số dầm chịu uốnbởi phẳng có liên kết đàn hồi liênSơkết đàn hồi lò số xodầm đứng (SĐ3) lị xo xoay (SĐ4) Hình Hình đồ2.tính mộtcủa uốnchịu phẳng cóphẳng liên kết Sơ đồ tính chịu số dầm uốn cóđàn liênhồi kết đàn hồi Hình 2.đây, Sơ đồ tính số dầm uốn phẳng Dưới báo xem xétmột trường hợpchịu liên kết thường gặp có sau liên (xem kết Hìnhđàn 2): hồi Sơ đồ tính hồi số dầm2chịu uốn phẳng có liên kết đàn hồi Trường hợpHình 2: Dầm có liên kết lị (SĐ2): Trường hợp 1: Dầm2: chỉDầm có liên kếtđàn đàn hồi đầu,hồi đầuxo cịnđứng lại tự (SĐ1): Trường hợp có liên kếtởbởi đàn lò xo đứng (SĐ2): Trường hợp 2: Dầm liênchỉ kếtcóđàn hồi lị xobởi đứng Trường hợpchỉ 2: có Dầm liên kết đàn hồi lị(SĐ2): xo đứng (SĐ2):(17) , 0; = = ξ , η 0; ξ = η = (19) 11, 121 0;2 21 22 = (19) 1 , 2 0; 1 = 2 = (19) 1 ,1đầu 0; (CF) (19 = =0 Dầm trở thành có liên đầu ngàm khi: Dầm trở thành liên kết khớp 2khớp đầu2 (SS) khi: Dầm trởcóthành cókếtliên kết tự2 đầu (SS) khi: Dầm trở thành có liên kết khớp đầu (SS) khi: Dầm trở thành có liên khớp ξkết η1 = ∞;ở 2ξ2đầu = η2(SS) = khi: (18) 1; = (20) = = = 2 = (20) = = ; 1 = 2 = 1 = 2 = ; 1 = 90 (20) =0 1 = 2 = ; 1 = 2 = TrườngTrường hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, đầu đầu lại cólại liên kết đàn hồi lịhồi (20 hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, có liên kết đàn lị Trường hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, đầu cịn lại có liên kết đàn hồi lò xo đứng (SĐ3): xo(SĐ3): đứngTrường (SĐ3): hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại có liên kết đàn hồi lị xo đứng xo đứng (SĐ3): Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Trường hợp 2: Dầm có liên kết đàn hồi lò xo đứng (SĐ2): ξ1 , ξ2 η1 = η2 = 0; (19) Dầm trở thành có liên kết khớp đầu (SS) khi: ξ1 = ξ2 = ∞; η1 = η2 = (20) Trường hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, đầu cịn lại có liên kết đàn hồi lò xo đứng (SĐ3): ξ1 = η1 = ∞; ξ2 0, η2 = (21) Dầm trở thành có liên kết đầu ngàm đầu khớp (CS) khi: ξ1 = η1 = ξ2 = ∞; η2 = (22) Trường hợp 4: Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi lò xo xoay (SĐ4): ξ1 , ξ2 = ∞; η1 , η2 (23) Dầm trở thành có liên kết ngàm đầu (CC) khi: ξ1 = ξ2 = ∞; η1 = η2 = ∞ (24) đó, độ cứng lị xo khơng thứ ngun xác định bởi: ξ1 = k10 L3 , E1 I ξ2 = k1L L3 , E1 I η1 = k20 L , E1 I η2 = k2L L ; E1 I I= bh3 12 (25) Lời giải xác Phương trình thứ (14) chứa ẩn u0 , nghiệm phương trình là: u0 = B1 x + B2 (26) đó: B1 , B2 số tích phân, xác định theo điều kiện biên tốn Hai phương trình cịn lại (14) gồm hai ẩn số w0 , θ x ; sau số biến đổi ta được: s s A55 D11 w0,xxxx = A55 q − D11 q,xx ; θx = − D11 D11 w0,xxx − w0,x − s q,x s A55 A55 (27) Phương trình thứ (27) cịn ẩn w0 , ta tìm nghiệm phương trình trước; sau giải w0 ta suy θ x từ phương trình thứ hai Khi dầm chịu tác dụng tải trọng phân bố q = q0 , ta nghiệm chuyển vị: q0 x x3 x2 + C1 + C2 + C3 x + C4 ; D11 24 q0 x x2 q0 D11 θx = − − C1 − C2 + s x − C1 s + C3 D11 A55 A55 w0 = 91 (28) Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Khi dầm chịu tác dụng tải trọng phân bố hình sin q = q0 sin s w0 = A55 + D11 πx , ta nghiệm chuyển vị: L x3 x2 π2 q0 L πx sin + C + C + C3 x + C4 ; s D L L2 π4 A55 11 2 s π D q π π q L q L 11 0 s cos πx θ x = A55 + D11 − A + D − 11 55 s 2 s s L L L πA55 L π A55 D11 A55 − C1 (29) x2 D11 − C2 x − C1 s − C3 A55 Các số C1 , C2 , C3 , C4 phụ thuộc vào điều kiện biên (16), trình bày phần Phụ lục A Kết số thảo luận Với nghiệm giải tích thiết lập phần trên, chương trình máy tính Matlab viết để thực ví dụ số Trong nghiên cứu này, ứng xử uốn thực cho dầm FGM xốp, có xét đến ảnh hưởng liên kết đàn hồi hai đầu dầm Bảng Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên dầm FGM xốp (L/h = 5), liên kết lý tưởng với hệ số lỗ rỗng quy luật phân bố lỗ rỗng khác Phân bố lỗ rỗng Điều kiện biên Nguồn SS e0 0,2 0,4 0,6 Nguyen cs [25] Bài báo 0,056 0,0556 0,066 0,0660 0,083 0,0825 CF Nguyen cs [25] Bài báo 0,186 0,1868 0,221 0,2216 0,276 0,2771 CS Nguyen cs [25] Bài báo 0,026 0,0267 0,030 0,0317 0,038 0,0397 CC Nguyen cs [25] Bài báo 0,016 0,0157 0,018 0,0186 0,023 0,0233 SS Nguyen cs [25] Bài báo 0,053 0,0525 0,058 0,0575 0,065 0,0635 CF Nguyen cs [25] Bài báo 0,176 0,1763 0,194 0,1927 0,216 0,2128 CS Nguyen cs [25] Bài báo 0,025 0,0255 0,027 0,0282 0,032 0,0317 CC Nguyen cs [25] Bài báo 0,015 0,0151 0,017 0,0169 0,020 0,0192 Dạng Dạng 92 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 5.1 Kiểm chứng độ võng cho dầm FGM xốp Để kiếm chứng độ tin cậy nghiệm giải tích thiết lập báo, kết số trường hợp dầm FGM xốp (E1 = 200 GPa; v = 1/3; b = h = 0,1 m, L/h = 5) với trường hợp liên kết lý tưởng thực Dầm chịu uốn tác dụng tải trọng phân bố q = q0 = 104 N/m L Các kết tính tốn độ võng không thứ nguyên dầm w¯ = 104 w /h với hệ số lỗ rỗng quy luật phân bố lỗ rỗng khác trình bày Bảng Có thể nhận thấy, kết thu từ báo hoàn toàn phù hợp với nghiệm bán giải tích theo phương pháp Ritz sử dụng lý thuyết dầm biến dạng cắt ẩn cải tiến tác giả Nguyen cs [25] 5.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số độ cứng liên kết đàn hồi, vật liệu, kích thước hình học lên ứng xử uốn dầm Trong phần này, dầm vật liệu FGM xốp (E1 = 200 GPa, v = 1/3, h = 0,1 m, b/h = 0,5) có kể đến ảnh hưởng liên kết đàn hồi hai đầu mút dầm Dầm chịu uốn tác dụng tải trọng phân bố q; hai trường hợp tải trọng xem xét bao gồm: tải phân bố tải phân bố hình sin Bảng Độ võng mô men uốn lớn dầm FGM xốp với tham số độ cứng lò xo khác Sơ đồ dầm Độ võng wmax [mm] Mô men uốn Mmax [Nm] SĐ1: ξ2 = η2 = ξ1 = η1 = 10 ξ1 = η1 = 50 ξ1 = η1 = 102 ξ1 = η1 = 103 ξ1 = η1 = 109 4,0417 2,6017 2,4217 2,2597 2,2417 5000 5000 5000 5000 5000 SĐ2: η1 = η2 = ξ1 = ξ2 = 10 ξ1 = ξ2 = 50 ξ1 = ξ2 = 102 ξ1 = ξ2 = 103 ξ1 = ξ2 = 109 0,8369 0,3569 0,2969 0,2429 0,2369 1250 1250 1250 1250 1250 ξ2 = 10 ξ2 = 50 ξ2 = 102 ξ2 = 103 ξ2 = 109 0,3756 0,1424 0,1218 0,1047 0,1029 1870,107 1385,649 1314,339 1247,711 1240,158 η1 = η2 = 10 η1 = η2 = 50 η1 = η2 = 102 η1 = η2 = 103 η1 = η2 = 109 0,0741 0,0569 0,0545 0,0523 0,0521 734,0568 811,3864 822,2134 832,2078 833,3333 SĐ3: ξ1 = η1 = ∞, η2 = SĐ4: ξ1 = ξ2 = ∞ Trong Bảng 2, tác giả tiến hành khảo sát độ võng mô men uốn lớn dầm FGM xốp, chịu tác dụng tải trọng phân bố q = q0 = 104 N/m với tham số độ cứng lị xo khác Đồ thị mơ tả quy luật biến thiên độ võng w0 mô men uốn M x dầm thể 93 4 N/m với trongsố dầm FGM xốp, chịu tác dụngĐồ tảimô trọng phân bốđều q= =qq0 0độ =10 10 dầm FGM chịu tác dụng tải trọng phân bố qthiên =độ N/m vớivàcác tham số độ cứngxốp, lịxo xo khác Đồ thị mơ quy luật biến thiên võng mơ tham độ cứng lị khác thị tảtảquy luật biến võng ww mô 0và thamuốn sốđộ độ lịxo xođược khácthể Đồ thịHình mơtảtả quy luậtbiến biến thiên độ võng w0thấy, vàmô mô tham số lịdầm khác Đồ thị mơ luật thiên độ võng wthấy, 0và men uốn Mxcứng củadầm thể Hình vàHình Hình 4.Các Các kết cho với xcứng men M 33quy kết cho với men uốnMMxhợp củasơ dầm thểhiện trênđộ Hình Hình Các kếtcủa quảdầm chogiảm thấy,dần với men uốn dầm Hình 33và Hình 4.4.độ Các kết cho thấy, với xhợp trường sơ đồđược dầm,thể tăngdần dần độ cứng xo, độ võng dầm giảm dần 44trường đồ dầm, tăng cứng lòlòxo, võng giảm dần xo, độ võng dầm giảm 3nghệ cả4tiến 4tiến trường hợp sơ đồ dầm, tăng dần độ lò trường hợp đồ dầm, dần độ lò xo, độ võng = dầm = 10 1cứng = = 10 tớihội hội độ cứng xo lớn (cứng với SĐ1, với dần SĐ2, Bình, C T., cs.đủ /đủ Tạp chí Cơng Xây dựng tới tụtụsơ độ cứng lòlòtăng xo lớn (Khoa 1=học 1= 10 với SĐ1, 1 1= 2= 10 với SĐ2, 33 33 2dần 10cứng 1 1==1 hợp 10 tớihội 3xo vàtiến hội tụkhi cứng lò xo đủSĐ4) lớn4(trường (Trong với SĐ1, vớiSĐ2, SĐ2, của 10 10 tụ đủ lớn với SĐ1, với 3thấy, 2== 1== 11== 33tới vàvới Hình Các kết với sơđó, đồ dầm, khităng độ lò =tiến 10 độ=cứng cho = lò 10 SĐ3 độ với ảnh hưởng độ cứng lịxo xo Hình lị 2= 10 với SĐ3 1 1= 2= 10 với SĐ4) Trong đó, ảnh hưởng độ cứng 3 3 xo, độ võng dầm giảm dần tiến tới hội tụ độ cứng lò xo đủ lớn (ξ = η = 10 với SĐ1, 1 2 2==10 10 với =10 10 với với3SĐ3 SĐ3 với SĐ4) Trong khiđó, đó, ảnh hưởng độcứng xo lên 1khác 2 2=nhau: SĐ4) Trong ảnh hưởng độ lịlị xo 1== mơ men uốn mơvà men uốn khơng phụ thuộc độcủa cứng lịcứng lên uốn làlà khác nhau: mô men độ cứng xoxocủa ξ1 =mô ξ2 =men 10 với SĐ2, ξ2 = 10 với SĐ3 η1 =uốn η2 =không 103 với phụ SĐ4).thuộc Trong đó, ảnh lị hưởng độ lên mơ men uốnmen làkhác khác nhau: môM men uốn không phụtrường thuộc độ cứng lị xo lên mơ men uốn mô men uốn phụ thuộc độ cứng trường hợp SĐ1, SĐ2; mô mennhau: uốn M giảm dầntrong trường hợp SĐ3 vàxo tăng dần max cứng lòhợp xo lên mô uốn lànhau: khác mô men uốnkhông không phụ thuộc độhợp cứng lị xolị trường trường SĐ1, SĐ2; mơ men uốn giảm dần SĐ3 tăng dần max hợp SĐ1, SĐ2; mô SĐ2; men Mtăng giảm dần trường hợp SĐ3 trường vàtrường tăng dần trường hợp dần SĐ4 trường hợp SĐ1, SĐ2; mô men uốn giảm dần hợp SĐ3 tăng dần trường hợp SĐ1, mô men uốn MMmax dần hợp SĐ3 vàvàtăng max max trường hợp SĐ4uốn tăng độ cứng xo trường hợp SĐ4 độ cứng lòlògiảm xo tăng độ cứng lò xo trongtrường trườnghợp hợpSĐ4 SĐ4khi khităng tăngđộ độcứng cứnglịlịxo xo (a)Dầm Dầmchỉ chỉcó cócác cácliên liênkết kếtđàn đànhồi hồiởở11 (a) (a) Dầm có liên kết đàn hồi đầu, (a) liên kết (a)Dầm Dầmđầu, chỉcó có liên kết đàn hồiởở11 đầu, đầu lại hồi đầu tựtựđàn đầu lạilại tự đầu, đầu,đầu đầucòn cònlại lạitựtựdo (b)Dầm Dầmchỉ chỉcócóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởi2 2lịlị (b) (b) Dầm có liên kết đàn hồi lị xo đứng (b) kết (b)Dầm Dầmchỉ chỉcócóliên liên kếtđàn đànhồi hồibởi bởi22lòlò xođứng đứng xo xo xođứng đứng (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu cịn lại có liên kết đàn hồi lò xo đứng (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi lị xo xoay Hình Biến thiên độ võng w0 dầm với tham số độ cứng lò xo khác Hình khảo sát ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng e0 quy luật phân bố lỗ rỗng lên độ võng dầm FGM xốp tựa đầu có liên kết đàn hồi lò xo xoay (L/h = 10, η1 = η2 = 100) Hai trường hợp tải phân bố xem xét bao gồm: Tải phân bố tải phân bố hình sin Các kết cho thấy, với loại tải trọng xét, phân bố đối xứng có độ võng nhỏ cả, hai quy luật phân bố lại (phân bố phân bố bất đối xứng) cho kết độ võng khác không nhiều Khi hệ số lỗ rỗng tăng, độ võng tăng với trường hợp quy luật phân bố lỗ rỗng: Phân bố đối xứng có độ võng 94 (c)(c)Dầm Dầm1 1đầu đầungàm ngàmcứng, cứng,đầu đầucòn cònlạilạichỉ (d)(d)Dầm Dầmtựa tựa2 2đầu đầuvàvàcócóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồi (c) đầu ngàm cứng, đầu lại (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi (c)Dầm Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi cócóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởilịlịxoxođứng đứng bởi2 2lịlịxoxoxoay xoay cócóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởilòlòxo xođứng đứng bởi22lòlòxo xoxoay xoay Hình dầm Hình3.3.Biến Biếnthiên thiênđộđộvõng võngw0wcủa dầmvới vớicác cáctham thamsốsốđộđộcứng cứnglịlịxoxokhác khácnhau Hình độ w dầm với tham số độ cứng lò xo khác Hình3.3.Biến Biếnthiên thiênBình, độvõng võng w dầm với tham số độ cứng lò xo khác 0 C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (a)(a)Dầm Dầmchỉ chỉcócócác cácliên liênkết kếtđàn đànhồi hồiở ở1 (a) Dầm có liên kết đàn hồi đầu, đầu lạilại tự (a)Dầm Dầmđầu, cóđầu liên kết đàn hồiởở11 (a) có liên kết đàn đầu, cịn tựdo hồi đầu lại tự đầu,đầu đầucòn cònlại lạitựtựdo đầu, (b)(b)Dầm Dầmchỉ chỉcócóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởi2 2lịlị (b) Dầm có liên kết đàn hồi lị xo đứng đứng (b)Dầm Dầmchỉ chỉcó cóxo liên kếtđàn đànhồi hồibởi bởi22lòlò (b) liên kết xo đứng xođứng đứng xo nhanh-phi bố lên lên độ độ nhanh-phi tuyến Hệ số lỗ rỗng lớn ảnh hưởng quy luật phân bố võng kết quả độ độ võng rõ ràng Các kết cho thấy, tải phân bố ln cho kết võng Ví dụ, dụ, với với võng lớn so với dầm chịu tác dụng tải phân bố hình sin tương ứng Ví hệ hình sin sin cho cho hệ số số lỗ rỗng e00 = 0,5, trường hợp phân bố bất đối xứng, tải phân bố hình (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu cịn lại có liên kết (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi lò xo Dầm ngàm cứng, đầu Dầm tựa vàvàphân cócóliên đàn hồi (c) Dầm 1đầu đầu ngàm cứng, đầu cònlại (d)(d) Dầm tựa2 2đầu đầu liên đàn hồi kết độ1võng dầm làlạichỉ 0,0458 cho kết kết(c)quả mm, tải bốkếtkết cho kết đàn hồi lò xo đứng xoay có liên kết đàn hồi lị xo đứng lị xo xoay có liên kết đàn hồi lò xo đứng lò xo xoay (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi (c) Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại (d) Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi 4.0,545 mmmô (tăng độ độ võng Hình Biến thiên men19,2%) uốn M x dầm với tham số độ cứng lị xo khác có liên kết đàn hồi lòxo xoM đứng lòcứng xoxoay xoay có4.liên kếtthiên đàn hồi lịuốn đứng 22độ lị xo Hình dầm số cứng lị Hình 4.Biến Biến thiênmô mômen men uốn M dầmvới vớicác cáctham tham sốđộ lịxoxokhác khácnhau x x Hình 4.Biến Biến thiên mô men uốnM Mxcủa dầm với sốđộ độ cứng xo khác xcủa Hình thiên mơ men uốn với số cứng lịlị xo Hình 5khảo sát ảnh hưởng hệhệdầm số rỗng e0tham quy luật phân bố lỗkhác rỗng lên Hình khảo sát ảnh hưởng sốlỗlỗ rỗng etham quy luật phân bố lỗ rỗng lên độđộvõng FGM xốp tựa kết hồi 2luật xo (L/h = =10, võng dầm FGM xốp tựa2 2đầu đầuvà vàcó kếtđàn 2lịlị xoxoay xoay 10, Hình khảo sátảnh ảnh hưởng hệ sốliên lỗrỗng rỗng e0 0và vàhồi quy phân bốlỗ lỗ(L/h rỗng lên Hình 55dầm khảo sát hưởng hệ sốcó lỗliên eđàn quy luật phân bố rỗng lên = = 100 ) Hai trường hợp tải phân bố xem xét bao gồm: Tải phân bố = = 100 ) Hai trường hợp tải phân bố xem xét bao gồm: Tải phân bố độ võng củadầm dầmFGM FGMxốp xốptựa tựa22đầu đầuvà vàcó cóliên liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởi22lịlịxo xoxoay xoay(L/h (L/h==10, 10, 1võng 2 độ =phân 2 2== 100 ).Hai Hai trường hợp tải phân bốvới xét bao gồm: Tải phân bốbố tải phân bố sin Các cho thấy, 2xem tảitải trọng xét, phân 100 ).hình trường hợp tải phân bố xem xét bao gồm: Tải phân bố bốhình sin Cáckết kết cho thấy, vớicảcả 2loại loại trọng xét, phân bốđối đối 1= 1tải xứng có độđộ võng nhỏ cả,cho hai quy luật phân bốbố cịn lạilại(phân vàvà phân xứng ln có võng nhỏ cả, hai quy luật (phân bốđều tải phân bố hình sin Các kết cho thấy, với cảphân loại tải trọng đượcbố xét, phân bốphân đối tải phân bố hình sin Các kết thấy, với 22loại tải trọng xét, phân bố đối bố bất đối xứng) cho kết độ võng khác không nhiều Khi hệ số lỗ rỗng tăng, bố bất đối xứng) cho kết độ võng khác không nhiều Khi hệ số lỗ rỗng tăng, xứngln lncócóđộ độvõng võngnhỏ nhỏhơn hơncả, cả,hai haiquy quyluật luậtphân phânbố bốcòn cònlại lại(phân (phânbố bốđều đềuvà vàphân phân xứng độ võng tăng với trường hợp quy luật phân bố lỗ rỗng: Phân bố đối xứng có độđộ độbất võng với cảkết 3kết trường hợp quy luậtnhau phânkhông bố lỗ nhiều rỗng: bố đối bố bất đốităng xứng) cho quảđộ độ võng khác khơng nhiều.Phân Khihệ hệsố số rỗngcó tăng, bố đối xứng) cho võng khác Khi lỗlỗxứng rỗng tăng, võng tăng gần tuyến tính, hai bốbốcịn lạilại cho độđộ võng tăng võng tăng gần tính,trong khiluật haiquy quyluật luật võng độ võng tăng với cảtuyến trường hợp quy luật phân bốphân lỗrỗng: rỗng: Phân bốcho đối xứng cótăng độ độ võng tăng với 33trường hợp quy phân bố lỗphân Phân bố đối xứng có độ võngtăng tănggần gầnnhư nhưtuyến tuyếntính, tính,trong trongkhi khihai haiquy quyluật luậtphân phânbố bốcòn cònlại lạicho chođộ độvõng võngtăng tăng võng (a) Tải phân bố (a) Tải phân bố (b) Tải phân bố hình sin (b) Tải phân bố hình sin sin Hình Ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng quy luật phân bố lỗ rỗng lên độ võng dầm Hình Ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng quy luật phân bố lỗ rỗng lên độ võng Hình võng của dầm dầm 95 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng tăng gần tuyến tính, hai quy luật phân bố cịn lại cho độ võng tăng nhanh-phi tuyến Hệ số lỗ rỗng lớn ảnh hưởng quy luật phân bố lên độ võng rõ ràng Các kết cho thấy, tải phân bố cho kết độ võng lớn so với dầm chịu tác dụng tải phân bố hình sin tương ứng Ví dụ, với hệ số lỗ rỗng e0 = 0,5, trường hợp phân bố bất đối xứng, tải phân bố hình sin cho kết độ võng dầm 0,0458 mm, tải phân bố cho kết độ võng 0,545 mm (tăng 19,2%) Hình khảo sát ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng e0 tham số độ cứng lò xo lên độ võng tâm dầm FGM xốp có liên kết tựa đầu có liên kết đàn hồi lò xo xoay (L/h = 10, η1 = η2 = η) Như mong đợi, với(a) giáphân trị củabốtham hệ lỗ rỗng, độbốvõng củasin dầm tăng Tải đềusố độ cứng lị xo, tăng(b) (b)số Tải phânbố hình (a) Tải phân bố Tải phân hình sin Đồng thời, với hệ số lỗ rỗng vật liệu, tăng độ cứng lò xo xoắn, độ võng dầm giảm; độ võng giảm nhanh η rỗng ≤rỗng 50, sau võng giảm chậm dần lại vàđộ tiến tới hội tụdầm Hình 5.Ảnh Ảnhhưởng hưởngtrong củakhoảng hệsố sốlỗlỗ vàquy quyđộ luật phân bố rỗng lên độ võng dầm Hình hệ luật phân bố lỗlỗrỗng lên võng η ≥ 100 Hình Ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng độ cứng lị Hình6.6.Ảnh Ảnh hưởngcủa củahệ hệsố sốlỗlỗrỗng rỗngvà Hình hưởng xo lên độ võng dầm Hình Ảnh hưởng tỷ số kích thước L/h độ Hình7.7.cứng Ảnh hưởngcủa củatỷtỷsốsốkích kíchthước thước Hình Ảnh hưởng lị xo lên độ võng dầm độcứng cứnglò lòxo xolên lênđộ độvõng võngcủa củadầm dầm độ L/hvàvàđộ độcứng cứnglịlịxoxolên lênđộđộvõng võngcủa củadầm dầm L/h Hình khảo sát ảnh hưởng tỷ số kích thước L/h tham số độ cứng lò xo lên độ võng Hình 66khảo rỗng e0e0vàvà Hìnhxốp khảo sátảnh ảnh hưởng củahệ hệsố sốlỗ2lỗlò rỗng tham độηcứng cứnglòlòxoxolên lênđộđộ dầm FGM tựa sát đầu cóhưởng liên kếtcủa đàn hồi xo xoay (e0tham = 0,5;sốsố η1độ = = η) Trong khảo sát này, độ cứng xo không xác22định võng tâm dầm xốp có liên tựa đầu vàvàcócóliên võng tạicác tâm dầmlịFGM FGM xốpthứ cóngun liênkết kết tựa đầubởi: liênkết kếtđàn đànhồi hồibởi bởi2 2lòlòxoxo xoay mong với giá 0L xoay (L/h (L/h==10, 10,k0L113==2 2==).k).LNhư mong đợi, vớimỗi giátrịtrịcủa củatham thamsốsốđộ độ3cứng cứnglòlòxo, xo, LNhư kđợi, kL L bh 0 ξ = , ξ = , η = , η = ; L = 10h; I= (30) 2 I E1 I Etăng I Ethời, I với 12rỗng độ Đồng khităng tănghệ hệsố sốlỗlỗErỗng, độvõng võng củadầm dầm Đồng vớimỗi mỗihệhệsốsốlỗlỗ rỗngcủa củavật vật 1rỗng, 1tăng 1thời, liệu, tăng lòlòvới xo xoắn, độ giảm; giảm nhanh liệu,Các khikết tăng độ cứng xomỗi xoắn, độ võng dầm giảm; độvõng võng giảm nhanh quảđộ chỉcứng rằng, tham sốvõng độ cứng lòdầm xo, tăng độ chiều dài dầm (đồng nghĩa với việc tăng tỷ số kích thước L/h), độ võng dầm tăng, độ võng tăng nhanh L/h ≥ 20 khoảng sau độ võng giảm chậm dần lại tiến tới hội tụ 50, 100 khoảng 50, sau độ võng giảm chậm dần lại tiến tới hội tụ 100 Kết luận Bài báo xây dựng mơ hình tính tốn chuyển vị, nội lực dầm FGM xốp, chịu uốn có xét đến ảnh hưởng liên kết đàn hồi Nghiệm giải tích thiết lập cho dầm xem xét yếu tố mặt trung hịa; chương trình tính viết Matlab kiểm chứng, cho thấy đủ tin cậy Các khảo sát số cho phép đánh giá ảnh hưởng tham số hình học, vật liệu, tham số độ cứng liên kết đàn hồi đến độ võng ứng suất dầm Rõ ràng quy luật phân bố lỗ rỗng hệ số lỗ rỗng vật liêu có ảnh hưởng đáng kể lên độ cứng dầm, phân bố lỗ rỗng trường hợp không đối xứng có tác dụng tăng cứng giảm độ võng dầm so với hai quy luật lại Độ cứng lị 96 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng xo có ảnh hưởng rõ rệt lên độ võng, lị xo có độ cứng lớn làm tăng độ cứng kết cấu, dẫn đến giảm độ võng Các lị xo khơng ảnh hưởng lên mơ men uốn hệ tĩnh định làm thay đổi mô men uốn hệ siêu tĩnh Các kết nhận hữu ích cho cơng tác nghiên cứu, thiết kế kết cấu dầm làm vật liệu FGM có lỗ rỗng Tài liệu tham khảo [1] Smith, B H., Szyniszewski, S., Hajjar, J F., Schafer, B W., Arwade, S R (2012) Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties Journal of Constructional Steel Research, 71:1–10 [2] Badiche, X., Forest, S., Guibert, T., Bienvenu, Y., Bartout, J.-D., Ienny, P., Croset, M., Bernet, H (2000) Mechanical properties and non-homogeneous deformation of open-cell nickel foams: application of the mechanics of cellular solids and of porous materials Materials Science and Engineering: A, 289(1-2): 276–288 [3] Rabiei, A., Vendra, L (2009) A comparison of composite metal foam's properties and other comparable metal foams Materials Letters, 63(5):533–536 [4] Lefebvre, L.-P., Banhart, J., Dunand, D (2008) Porous metals and metallic foams: Current status and recent developments Advanced Engineering Materials, 10(9):775–787 [5] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2015) Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 133:54–61 [6] Babaei, M., Asemi, K., Safarpour, P (2019) Buckling and static analyses of functionally graded saturated porous thick beam resting on elastic foundation based on higher order beam theory Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME, 20(1):94–112 [7] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Long, N V (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - HUCE, 13(1):33–45 [8] Long, N V., Tú, T M (2019) Nghiệm xác dầm Timoshenko FGM có vi bọt rỗng chịu uốn đặt đàn hồi xét đến vị trí mặt trung hịa Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc - Kỷ niệm 40 năm thành lập Viện Cơ học, 218–225 [9] Liên, T V., Khiêm, N T (2017) Phương pháp độ cứng động lực phân tích chẩn đốn kết cấu Nhà xuất Xây dựng [10] Hào, T A., Khuyến, H T (2017) Phân tích kết cấu khung phẳng có liên kết đàn hồi nút Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 4(1):65–73 [11] Liên, T V., Thắng, N T., Bình, N T (2013) Phân tích kết cấu khung phương pháp phần tử hữu hạn khoảng Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, 15(3):18–28 [12] Chun, K R (1972) Free vibration of a beam with one end spring-hinged and the other free Journal of Applied Mechanics, 39(4):1154–1155 [13] Maurizi, M J., Rossi, R E., Reyes, J A (1976) Vibration frequencies for a uniform beam with one end spring-hinged and subjected to a translational restraint at the other end Journal of Sound and Vibration, 48(4):565–568 [14] Doyle, P F., Pavlovic, M N (1982) Vibration of beams on partial elastic foundations Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 10(5):663–674 [15] Abbas, B A H (1984) Vibrations of Timoshenko beams with elastically restrained ends Journal of Sound and Vibration, 97(4):541–548 [16] Rao, G V., Naidu, N R (1994) Free vibration and stability behaviour of uniform beams and columns with non-linear elastic end rotational restraints Journal of Sound and Vibration, 176(1):130–135 [17] Kacar, A., Tan, H., Kaya, M (2011) Free vibration analysis of beams on variable winkler elastic foundation by using the differential transform method Mathematical and Computational Applications, 16(3): 773–783 [18] Kim, H K., Kim, M S (2001) Vibration of beams with generally restrained boundary conditions using Fourier series Journal of Sound and Vibration, 245(5):771–784 97 Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [19] Li, Z Z., Tang, D G., Li, W W (2013) Analysis of vibration frequency characteristic for elastic support beam Advanced Materials Research, 671-674:13241328 ă ur Yayli, M., Aras, M., Aksoy, S (2014) An efficient analytical method for vibration analysis of a [20] Ozgă beam on elastic foundation with elastically restrained ends Shock and Vibration, 2014:1–7 [21] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108-109:14–22 [22] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [23] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [24] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press [25] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-N., Nguyen, T.-K., Vo, T P (2022) A new two-variable shear deformation theory for bending, free vibration and buckling analysis of functionally graded porous beams Composite Structures, 282:115095 Phụ lục A Các số tích phân cơng thức (28), (29) a Trường hợp 1: Dầm có liên kết đàn hồi đầu, đầu lại tự - Với tải trọng phân bố đều: −q0 L ; C1 = D11 C2 = s L2 −q0 2D11 − A55 s D 2A55 11 ; C3 = s L2 − 2E Iη −q0 L A55 1 s E Iη 2A55 1 ; C4 = −q0 L E1 Iξ1 - Với tải trọng phân bố hình sin: s D L2 + A s E IL2 η − π2 D E Iη −q0 L π2 A55 11 1 11 −q0 L q0 L2 −2q0 L4 55 C1 = ; C2 = ; C3 = ; C = s D E Iη πD11 πD11 πE1 Iξ1 π3 A55 11 1 b Trường hợp 2: Dầm có liên kết đàn hồi hai lị xo đứng - Với tải trọng phân bố đều: s D L2 (ξ − ξ ) + 12D + A s L2 E Iξ ξ q0 L 12A55 11 11 1 −q0 L −q0 −q0 L4 55 C1 = ; C2 = s ; C3 = ; C = s D E Iξ ξ 2D11 A55 24A55 2E1 Iξ1 11 1 - Với tải trọng phân bố hình sin: C1 = 0; C2 = 0; C3 = −q0 L3 (ξ1 − ξ2 ) ; πE1 Iξ1 ξ2 C4 = −q0 L4 πE1 Iξ1 c Trường hợp 3: Dầm đầu ngàm cứng, đầu lại có liên kết đàn hồi lị xo đứng - Với tải trọng phân bố đều: C1 = C2 = C3 = s D L2 + 5A s E Iξ −q0 L 12D11 E1 Iξ2 − 24A55 11 55 s D L2 + A s E IL2 ξ 8D11 3D11 E1 Iξ2 − 3A55 11 55 ; s D L4 − E Iξ A s L4 − 24A s D2 L2 + 8E Iξ A s D L2 + 24E Iξ D2 −q0 12A55 11 55 55 11 11 55 11 s D s s 2 8A55 11 3D11 E Iξ2 − 3A55 D11 L + A55 E IL ξ2 s D L2 + 5A s E IL2 ξ q0 L 12D11 E1 Iξ2 − 24A55 11 55 s 3D E Iξ − 3A s D L2 + A s E IL2 ξ 8A55 11 2 55 11 55 98 ; C4 = ; Bình, C T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng - Với tải trọng phân bố hình sin: C1 = C2 = C3 = s q L3 π2 D − E Iξ 3A55 11 s D L2 + A s E IL2 ξ π3 D11 3D11 E1 Iξ2 − 3A55 11 55 s q L4 π2 D − E Iξ −3A55 11 s D L2 + A s E IL2 ξ π3 D11 3D11 E1 Iξ2 − 3A55 11 55 s A L2 + A s E IL2 ξ −q0 L3 3π2 D211 − 3A55 11 55 s D L2 + A s E IL2 ξ π3 D11 3D11 E1 Iξ2 − 3A55 11 55 ; ; ; C4 = d Trường hợp 4: Dầm tựa đầu có liên kết đàn hồi hai lò xo xoay - Với tải trọng phân bố đều: s s 12D211 E1 I (η1 + η2 ) − 12A55 D211 L2 − 12D11 + A55 L E12 I η1 η2 −q0 L s + (5η1 + 3η2 ) A55 D11 E1 IL2 C1 = ; s s 12D211 E1 I (η1 + η2 ) − 12A55 D211 L2 − 12D11 + A55 L E12 I η1 η2 2D11 s + (4η1 + η2 ) A55 D11 E1 IL2 s s 144D311 E1 I (η1 + η2 ) − 144A55 D311 L2 + A55 L − 144D211 E12 I η1 η2 −q0 s s +48A55 D211 E1 IL2 (η1 + η2 ) − 6A55 D11 E1 IL4 η1 C2 = ; s s 12D211 E1 I (η1 + η2 ) − 12A55 D211 L2 − 12D11 + A55 L E12 I η1 η2 s 12A55 D11 s +4A55 D11 E1 IL2 (η1 + η2 ) q0 L C3 = s s s 72D211 E1 I (η1 + η2 ) − 6A55 D11 L4 − 72A55 D211 L2 + A55 E1 IL4 η2 − 72D11 E12 I η1 η2 s s s E12 I L2 η1 η2 + 30A55 D11 E1 IL2 η1 + 30A55 D11 E1 IL2 η2 −6A55 s 12A55 s s 12D211 E1 Iη1 − 12A55 D211 L2 + 12D211 E1 Iη2 − 12D11 E12 I η1 η2 − A55 E12 I L2 η1 η2 s +4A55 D11 E1 IL2 (η1 + η2 ) C4 = - Với tải trọng phân bố hình sin: C1 = C2 = s E IL3 q (η − η ) −12A55 1 s D L2 (η + η ) − 12A s D2 L2 − 12D + A s L2 E I η η π3 4E1 I 3D211 + A55 11 11 55 11 55 s D L2 + A s E IL2 η −2E1 IL2 η1 q0 12D11 E1 Iη2 − 6A55 11 55 s s 12D211 E1 I (η1 + η2 ) − 12A55 D211 L2 − 12D11 + A55 L E12 I η1 η2 s +4A55 D11 E1 IL2 (η1 + η2 ) π3 D11 C3 = s D L2 (2η + η ) − 12D + A s L2 E Iη η −E1 Iq0 L3 2A55 11 11 1 55 s s 12D211 E1 I (η1 + η2 ) − 12A55 D211 L2 − 12D11 + A55 L E12 I η1 η2 π3 D11 s +4A55 D11 E1 IL (η1 + η2 ) 99 ; ; ; C4 = ; ... ch? ?liên có kết đàn Dầm (b) Dầm ch? ?kết có? ?àn liênhồi kếtbởi đàn2 hồi (a) Dầm( a) ch? ?Dầm có kết liên đàn hồi hồi ở(b) có liên lị lị (a) Dầm có liên kết đàn hồi (b) Dầm có liên kết đàn hồi (a) Dầm có. .. xo (a )Dầm Dầmchỉ ch? ?có c? ?các cácliên liênkết kết? ?àn đànhồi hồi? ??ở11 (a) (a) Dầm có liên kết đàn hồi đầu, (a) liên kết (a )Dầm Dầmđầu, ch? ?có có liên kết đàn hồi? ??ở11 đầu, đầu lại hồi đầu tựt? ?đàn đầu... cịnlại lạitựtựdo (b )Dầm Dầmchỉ chỉcóc? ?liên liênkết kết? ?àn đànhồi hồibởi bởi2 2lịlị (b) (b) Dầm có liên kết đàn hồi lò xo đứng (b) kết (b )Dầm Dầmchỉ chỉcóc? ?liên liên kết? ?àn đànhồi hồibởi bởi22lịlị