Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HẢI NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HẢI NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn TS LÊ TÙNG SƠN Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mở đầu Trên thực tế nhiều toán khoa học kỹ thuật thơng qua mơ hình hóa tóan học đưa đến việc giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hịa lớp phương trình cịn thu hút quan tâm lớn nhiều nhà học, kỹ sư nhà tốn học Trong vịng thập niên qua nhiều phương pháp hữu hiệu giải phương trình nghiên cứu phát triển Cùng với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp số trở thành công cụ đắc lực để giải toán kỹ thuật nhiên có khơng tác giả sử dụng phương pháp gần giải tích phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm để giải lớp phương trình song điều hịa.Ngồi phương pháp số tác giả sử dụng phương pháp lặp để giải phương trình song điều hịa phương pháp phương pháp đáng lưu ý cần nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày kết lý thuyết thực nghiệm tính tốn phương pháp tìm nghiệm cho số tốn biên phương trình song điều hịa nhờ cơng cụ hỗ trợ tốn tử biên sơ đồ lặp hai lớp Samarski – Nikolaev Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung,phần kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày hệ thống kiến thức chuẩn bị, kết bổ trợ: số kiến thức không gian Sobolev, tổng quan ngắn toán biên phương trình đạo hàm riêng cấp hai cấp bốn, định tính tốn biên phương trình elliptic cấp hai phương trình kiểu song điều hịa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình tốn tử, hội tụ sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn giải số tốn biên phương trình elliptic cấp hai miền hình chữ nhật Chương 2: Trình bày phương pháp tìm nghiệm giải tích giải tốn biên phương trình song điều hịa gồm đề xuất phương pháp kết nghiên cứu áp dụng phương pháp cho mơ hình tốn tốn Vật lý: mô tả uốn mỏng với biên bị ngàm đàn hồi Chương 3: Trình bày tóm tắt kết nghiên cứu việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho toán biên phương trình song điều hịa nhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp Samarski – Nikolaev Một số thực nghiệm máy tính điện tử Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư phạm – Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt q trình tơi thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa TốnTin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quý thầy tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa (2012-2014) quan tâm giúp đỡ mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích suốt thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ kinh tế công nghiệp, đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ kinh tế công nghiệp tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành khóa học Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014 Người thực Trần Thị Hải Chương Các kiến thức chuẩn bị Các kiến thức trình bày chương để sử dụng chương sau tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16] 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian W1,p Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền giới nội Rn , p ∈ R, ≤ p ≤ +∞, ta định nghĩa     p p L (Ω) = f : Ω → R|f ; |f (x)| dx < +∞   Ω L∞ (Ω) = {f : Ω → R|f ; ∃C ∈ R∗+ : |f (x)| < C, ∀x ∈ Ω} Lploc (Ω) = f : Ω → R|f ∈ Lp (U ), ∀U : U ⊂ Ω Định lý 1.2 Cho p ∈ R, ≤ p ≤ +∞, Lp (Ω) không gian Banach với chuẩn  p   p |f (x)| dx , p < +∞ f Lp (Ω) = Ω   inf{C, |f (x)| ≤ C, x ∈ Ω}, p = +∞ Với p = 2, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vô hướng (f, g) = f (x)g(x)dx Ω Định lý 1.3 Không gian L2 (Ω) tách với ≤ p < +∞, lồi với < p < +∞ Bất đẳng thức Holder Cho ≤ p ≤ +∞, p số liên hợp số p, nghĩa 1 = − , < p < +∞, p p p = 1, p = +∞, p = +∞, |f (x)g(x)| dx ≤ f Khi p = Lp (Ω) g Lp (Ω) , ∀f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp (Ω) Ω Với p = ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Hệ 1.1 Với ≤ p ≤ q ≤ +∞ Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) f C f Lq (Ω) , số C phụ thuộc vào p, q Lp (Ω) ≤ Định lý 1.4 Cho ≤ p ≤ +∞ p số liên hợp với p, f ∈ [Lp (Ω)]∗ , tồn g ∈ Lp (Ω) cho g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ Lp (Ω), (f, ϕ)[Lp (Ω)]∗ ,Lp (Ω) = Ω g 1.1.2 Lp (Ω) = f ∗ [Lp (Ω)] Đạo hàm suy rộng không gian Wm,p (Ω) Cho Ω miền giới nội Rn , (n = 1, 2, ), kí hiệu ∂ α1 +α2 + +αn D = α1 α2 , α = (α1 , α2 , , αn ) ∂x1 ∂x2 ∂xαnn α đa số với thành phần αi số nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn , p ≥ 1, f ∈ Lp (U ) với tập mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω C0∞ (Ω) tập hàm f khả vi vô hạn lần Ω cho suppf ⊂ Ω, suppf giá trị hàm f Cho u, ω ∈ L1loc (Ω) ω gọi đạo hàm suy rộng u bậc α uDα ϕdx = (−1)|α| ωϕdx, ϕ ∈ C ∞ (Ω) Ω α Ω Kí hiệu ω = D u Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev Wm,p (Ω), m số nguyên dương, xác định Wm,p (Ω) = {u| u ∈ Lp (Ω), Dα u ∈ Lp (Ω), ∀α, |α| ≤ m} , với m = 0, đặt W0,p (Ω) = Lp (Ω), với p = 2, kí hiệu Wm,2 (Ω) = H m (Ω) Định lý 1.6 Không gian Wm,p (Ω) không gian Banach tương ứng với chuẩn   p1 f Wm,p (Ω) Dα f = p  Lp (Ω) , ≤ p < +∞ |α|≤m Không gian H m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (Dα f, Dα g)L2 (Ω) , ∀f, g ∈ H m (Ω) (f, g)H m (Ω) = |α|≤m Định lý 1.7 Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem) Cho Ω miền giới nội Rn có biên khả vi lớp C Khi 2n a) Nếu n ≥ H (Ω) ⊂ Lq (Ω), q ∈ 1, n−2 , b) Nếu n = H (Ω) ⊂ Lq (Ω), q ≥ 1, n c) H m (Ω) ⊂ C [m− −ε] (Ω), ε > 0, tốn tử nhúng a), b), c) compact Hệ 2.1 Với m1 > m > 0, ta có H m1 (Ω) ⊂ H m (Ω) ⊂ L2 (Ω) = H (Ω) Định lý 1.8 Định lý tính trù mật Cho ≤ p < +∞, D (Rn ) tập hàm có giá compact Rn D (Rn ) trù mật W1,p (Rn ), ∂Ω liên tục Lipschitz D(Ω) trù mật W1,p (Ω) Định lý 1.9 Định lý thác triển Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, tồn tốn tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H (Ω) vào H (Rn ) thỏa mãn i) Pu = u Ω, ii) Pu L2 (Rn ) ≤ C u L2 (Ω) iii) Pu H (Rn ) ≤ C u H (Ω) 1.1.3 Không gian H s (Ω), s ∈ R Trong mục này, ta đưa định nghĩa không gian H s (Ω) với s không nguyên Xét không gian S(Rn ) = u ∈ C ∞ (Rn )| ∀α, β > 0, xα Dβ u ≤ Cα,β , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , xα = xα1 xα2 xαnn Trong S(Rn ) xét chuẩn sau u 2S(Rn ) = (1 + |ξ|2 )s |u(ξ)|2 dξ, (1.1) Rn u biến đổi Fourier u điểm ξ , n e−i(x,ξ) u(x)dx u(ξ) = (2π)− Rn Định nghĩa 1.10 Không gian Sobolev H s (Rn ) với s ∈ R xác định H s (Rn ) = S(Rn ), bao đóng lấy theo chuẩn (1.1) Định nghĩa 1.11 Không gian Sobolev H0s (Ω), Ω miền giới nội Rn xác định H0s (Ω) = C0∞ (Ω), C0∞ (Ω) tập hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact Ω bao đóng lấy theo chuẩn (1.1) Định nghĩa 1.12 Không gian Sobolev H s (Ω) với s không nguyên xác định H s (Ω) = {u ∃u ∈ H s (Rn ), u|Ω = u, (u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)} , u H s (Ω) = inf u|Ω =u u H s (Rn ) 1.1.4 Vết hàm biên Định lý 1.13 Định lý vết Giả sử Ω miền mở Rn có biên ∂Ω liên tục Lipschitz, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục λ : H (Ω) → L2 (∂Ω) cho với u ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) ta có γ(u) = u|∂Ω Hàm γ(u) gọi Vết u ∂Ω Định lý 1.14 Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, i) H (∂Ω) không gian Banach với chuẩn u H (∂Ω) |u(x) − u(y)|2 dsx dsy |x − y| |u(x)| dsx + = ∂Ω ∂Ω ∂Ω ii) Tồn số Cγ (Ω) gọi số Vết iii) Nhúng H (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) compact iv) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật H (∂Ω) v) Tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H (∂Ω) → ug ∈ H (Ω), với γ(ug ) = g tồn số C1 (Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho ug H (Ω) ≤ C1 (Ω) g 1 H (∂Ω) , ∀g ∈ H (∂Ω) Công thức Green Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho u, v ∈ H (Ω), đó: ∂v ∂u u dx = − v dx + γ(u)γ(v)ni ds, ∂xi ∂xi Ω Ω ∂Ω với ≤ i ≤ N , n = (n1 , n2 , , nN ) véctơ pháp tuyến Ω Bất đẳng thức Poincare Tồn số CΩ cho u , ∇u = L2 (Ω) ≤ C(Ω) ∇u ∂u ∂u ∂u ∂x1 , ∂x2 , , ∂xn L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω) , CΩ số phụ thuộc vào đường kính Ω, gọi số Poincare H01 (Ω) = {u|u ∈ H (Ω), γ(u) = 0}, hàm biên υ0 tìm dạng ∞ υ0 = α e + (αn en + βn gn ), (2.39) n=1 α0 , αn , βn hệ số chưa biết Thay (2.38), (2.39) vào (2.37) ta thu ∞ µα0 e0 + B α0 e0 + ∞ (αn en + βn gn ) = a0 e0 + n=1 (an en + bn gn ), n=1 hay ∞ µα0 e0 + α0 λ0 e0 + ∞ (αn λn en + βn λn gn ) = a0 e0 + n=1 (an en + bn gn ), n=1 (2.40) Cân hệ số hàm sở (2.40), ta có α0 = an bn a0 ; αn = ; βn = , µ + λ0 µ + λn µ + λn (2.41) n = 1, 2, Trong a0 , an , bn hệ số khai triển hàm F (2.38), hệ số xác định qua hàm vế phải f (x) tốn gốc phương trình (2.5) Từ (2.21), theo [17], hàm F có biểu diễn F (s) = G(x, x) ∂G(x, x) f (x)dxdx ∂ns Ω Ω R 2π =− 2πR2 ∞ π r R2 − r 2 r + n=1 R − ψ) f (r, ϕ)dϕdr n+1 n cos sn(ϕ (2.42) Giả sử f (x) = f (r, ϕ) có khai triển ∞ c0 (r) f (r, ϕ) = + [cn (r) cos nϕ + dn (r) sin nϕ], n=1 vào (2.42), sau tính tốn, rút gọn, ta thu ∞ A0 F = + (An cos nψ + Bn sin nψ), n=1 33 (2.43) R A0 = 2R2 c0 (r)r R2 − r2 dr, R An = 2R2 (n + 1) r R n dn (r)r R2 − r2 r R n cn (r)r R − r dr, (2.44) R Bn = 2R2 (n + 1) dr, So sánh (2.43) (2.38), ta rút a0 = √ √ πR A0 , an = πRAn , bn = πRBn Thay (2.45) vào (2.41), ta có √ √ √ πR πR πR α0 = √ A0 , αn = An , βn = Bn , (µ + λn ) (µ + λn ) (µ + λ0 ) (2.45) (2.46) thay (2.46) vào (2.39), ta tìm hàm biên υ0 ∞ √ υ0 = πR A0 √ e0 + (µ + λ0 ) n=1 An Bn en + gn (µ + λn ) (µ + λn ) (2.47) Thay υ0 vào (2.8), giải liên tiếp hai toán (2.8), (2.9), u(x)) tính cơng thức u(x) = − G(x, x)υ(υ)dx, (2.48) Γ υ(x) = − ∂G(x, s) υ0 (s)dΓs , ∂ns G(x, x)f (υ)dx − Γ (2.49) Γ Như vậy, với υ tính (2.49), u tính (2.48) hàm biên υ0 thỏa mãn phương trình tốn tử (2.37), ta suy u nghiệm toán gốc (2.5) - (2.7), (q = 1, µ ≥ 0) 34 Để kiểm tra độ trơn nghiệm u tính (2.48), xét phương trình tốn tử (2.37) (µI + B) υ0 = F, ∂u + Bυ0 = ∂n , u nghiệm tìm từ tốn (2.15), (2.16) Γ + F = − ∂u ∂n Γ , u1 nghiệm tìm từ tốn (2.10), (2.11) Giả thiết f ∈ H s− (Ω), chứng minh F ∈ H s−1 (Γ), s ≥ Với F ∈ H s−1 (Γ) vế phải phương trình (2.37), ta chứng minh υ0 ∈ H s (Γ) Xét toán tử Laplace - Beltrami −∆Γ , Γ đường tròn tâm O, bán kính R với hệ tọa độ cực có gốc O, ∂ 2u −∆Γ u = − , ∂ϕ (2.50) Giả sử ωi hàm riêng toán tử −∆Γ tạo thành sở trực chuẩn L2 (Γ) ứng với giá trị riêng λi , tức −∆Γ ωi = λi ωi , i = 1, 2, (2.51) giả sử u hàm xác định Γ có khai triển ∞ u= ω i (2.52) i=1 Theo [14] (Nhận xét 7.1, Chương 1), ta có ∞ λti |ai |2 < +∞ t u ∈ H (Γ) ⇔ (2.53) i=1 Với sở trực chuẩn e0 = √ ; en = cos √ nψ ; gn = sin √ nψ 2πR πR πR 2 n en ; −∆Γ gn = n gn , n = , n = 1, 2, −∆Γ e0 = 0e0 , −∆Γ en = 1, 2, Như vậy, {e0 , en , gn } , n = 1, 2, dãy hàm riêng toán tử −∆Γ ứng với giá trị riêng λ0 = 0, λn = n2 Với F xác định công thức (2.43) ta có F = πR A0 e0 + ∞ √ √ πR.An en + i=1 35 πR.Bn gn (2.54) Vì F ∈ H s−1 (Γ), áp dụng (2.53) cho F tính (2.54), với t = s − 1, ta có ∞ n2(s−1) (A2n + Bn2 ) < +∞ πR (2.55) i=1 Áp dụng kết (2.53) cho υ0 xác định (2.47), với t = s, ta có ∞ s n2s υ0 ∈ H (Γ) ⇔ n=1 2 (An + Bn ) < +∞, µ ≥ (µ + n ) Với ∀µ ≥ 0, ta ln có ∞ (A2n + Bn2 ) ≤ n (µ + n2 ) n=1 2s ∞ ∞ n2s (An + Bn2 ) n n=1 ∞ 2(s−2) n (A2n + Bn2 ) n2(s−1) (A2n + Bn2 ) ≤ n=1 (2.56) n=1 Đối chiếu kết (2.55) (2.56), ta có υ0 ∈ H s (Γ), từ toán (2.8), (2.9), suy u ∈ H s+5/2 (Ω) Chương trình bày phương pháp tìm nghiệm giải tích giải tốn biên phương trình song điều hịa Trong q trình tìm lời giải cho tốn biên cụ thể (bài tốn (2.5)-(2.7)), cơng đoạn tìm sở trực chuẩn khơng gian L2 (Γ) hàm riêng toán tử B đóng vai trị quan trọng phải trải qua nhiều phép tính phức tạp Mặt khác, để có cơng thức giải tích nghiệm u(x) tốn gốc (2.5)-(2.7), suốt q trình tính tốn, địi hỏi tích phân phải tường minh, điều lúc thực miền Ω giới nội Rn Các khó khăn cho thấy, phương pháp mang tính khả thi cho lớp hẹp toán biên phương trình song điều hóa (2.1) 36 Chương Nghiệm xấp xỉ toán biên phương trình song điều hịa Trong chương tơi trình bày tóm tắt kết nghiên cứu việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn biên phương trình song điều hịa [1] nhờ việc sử dụng sơ đồ lặp Samarski - Nikolaev mà hội tụ sơ đồ lặp nghiệm gốc toán ban đầu đánh giá qua tính chất hồn tồn liên tục tốn tử biên xác định khơng gian Sobolev H s (∂Ω), s ≥ Phần cuối số thực nghiệm máy tính điện tử nhằm kiểm chứng hội tụ dãy lặp chứng minh mặt lý thuyết 3.1 Giới thiệu Trong [1], chúng tơi đưa cơng thức nghiệm giải tích cho tốn biên phương trình song điều hịa mơ tả dao động mỏng với điều kiện biên ngàm đàn hồi miền Ω hình trịn Đó tốn biên phương trình song điều hịa    ∆ u = f, x ∈ Ω, (3.1) u = 0, x ∈ Γ = ∂Ω,   µ∆u + q −1 ∂u/ = 0, x ∈ Γ = ∂Ω, ∂n 37 Ω miền giới nội Rn có biên ∂Ω đủ trơn, ∆ tốn tử Laplace, µ tham số không âm, q −1 hàm dương, n véctơ pháp tuyến biên Γ Sử dụng phương pháp tọa độ cực, với x, x hai điểm tùy ý thuộc Ω\Γ có tọa độ cực tương ứng (r, ϕ) , (r, ϕ) s, s hai điểm tùy ý thuộc biên Γ có tọa độ tương ứng (R, ψ) , R, ψ ns , ns véctơ pháp tuyến biên Γ điểm s, s Khi nghiệm gốc u tốn cho công thức G(x, x)ν(x)dx, ν(x) = − u(x) = − Ω Ω G(x, s) ν0 (s)dΓs , ∂ns G(x, x)ν(x)dx− Ω G(x, x) hàm Green toán tử Laplace ∆ G(x, x) = ln 2π R2 + r2 (r) R2 −2rrcos(ϕ−ϕ) r2 − (r) − 2rrcos(ϕ − ϕ) Hơn nữa, chúng tơi cịn chứng minh với f ∈ H s−3/2 (Ω) ν0 ∈ H s (Γ) đó, u ∈ H s+5/2 (Ω) Trong đó, H s−3/2 (Ω), H s (Γ), H s+5/2 (Ω) không gian Sobolev, s ≥ Dưới đây, giới thiệu phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ tốn Có thể tóm tắt sau: sau phân rã tốn gốc cấp bốn phương trình song điều hịa dãy toán biên cấp hai phương trình elliptic, xuất thêm ẩn hàm biên ν0 , ẩn hàm biên đưa vào phương trình tốn tử có dạng Aν0 = f Một phương pháp số tìm ν0 giải lặp phương trình Aν0 = f sơ đồ lặp hai lớp Samarski - Nikolaev giới thiệu [16] Sự hội tụ dãy nghiệm xấp xỉ nghiệm gốc phương trình tốn tử chủ yếu đánh giá qua hai định lý: định lý [8] Đặng Quang Á định lý [16] Samarski - Nikolaev Phần cuối chương, đưa kết thực nghiệm máy tính điện tử nhằm kiểm tra hội tụ dãy lặp chứng minh mặt lý thuyết Trong trình tìm nghiệm giải tích tốn (3.1), việc tìm dãy hàm riêng tốn tử sở trực chuẩn khơng gian đóng vai trò then chốt H (Ω) = L2 (Ω) Sẽ khó khăn Ω ⊂ Rn , n > Mặt khác, q trình tính tốn, địi hỏi tích phân phải tính 38 tường minh Điều lúc thực Các lý cho thấy, việc tìm nghiệm mang tính khả thi cho lớp hẹp tốn biên phương trình song điều hịa Phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn (3.1) mà tơi trình bày phần khắc phục khó khăn nói Mặt khác, nghiệm xấp xỉ tìm có đánh giá sai số đủ nhỏ với nghiệm gốc mang ý nghĩa thực tiễn sử dụng 3.2 Giải toán (3.1) 3.2.1 Đưa tốn (3.1) phương trình tốn tử biên Đặt ∆u = ν kí hiệu ν|Γ = ν0 , từ toán (3.1) ta dãy toán sau ∆ν = f, x ∈ Ω (3.2) ν = ν0 , x ∈ Γ = ∂Ω ∆u = ν, x ∈ Ω, u = 0, x ∈ Γ = ∂Ω (3.3) (3.2) (3.3) toán biên phương trình Poinsson với điều kiện biên Dirichlet, theo [14], với f ∈ H s−3/2 (Ω), ν0 ∈ H s (Γ), s ≥ (3.4) có nghiệm ν ∈ H s+ (Ω), (3.3) có nghiệm u ∈ H s+ (Ω) Ẩn hàm biên ν0 xác định phải thỏa mãn điều kiện: thay ν0 vào (3.2), giải liên tiếp hai toán (3.2), (3.3), ta nghiệm u toán (3.1) Trước hết, ta định nghĩa toán tử B xác định công thức: Bν0 = ∂u , ∂n Γ (3.4) đó, ν u nghiệm toán ∆ν = 0, x ∈ Ω , ν = ν0 , x ∈ Γ, (3.5) ∆u = ν, x ∈ Ω, u = 0, x ∈ Γ (3.6) 39 Sử dụng điều kiện thứ ba toán gốc, kết hợp với (3.4), ta có phương trình ∂u µqν0 + Bν0 = − , (3.7) ∂n Γ (3.7), u1 nghiệm dãy toán ∆ν1 = f, x ∈ Ω , ν1 = 0, x ∈ Γ, (3.8) ∆u1 = ν1 , x ∈ Ω, u1 = 0, x ∈ Γ (3.9) ∂u (*), với giả thiết f ∈ H s−3/2 (Ω), dễ dàng suy u1 ∈ Đặt F = − ∂n Γ H s+ (Ω) Vì vậy, theo định lý vết, F ∈ H s−1 (Γ), s ≥ Từ (3.5) (*), ta có phương trình Sν0 = F, (3.10) S = µqI + B (**), B xác định (3.4), I toán tử đơn vị cho việc xác định ẩn hàm biên ν0 , với vế phải F hoàn toàn xác định Định lý 3.1 (Xem [1]) Với B toán tử xác định (3.4), (3.5), (3.6) Khi đó, i) B tốn tử tuyến tính, đối xứng, dương không gian Hilbert L2 (Γ) với tích vơ hướng (ν0 , t0 )L2 (Γ) = ν0 t0 dΓ Γ ii) B : H s (Γ) → H s+1 (Γ) hoàn toàn liên tục, s ≥ H s (Γ), H s+1 (Γ) không gian Sobolev Nhận xét Từ kết Định lý 3.1, ta rút + Nếu µ = 0, q > S = B , S tốn tử tuyến tính, đối xứng, dương, hồn tồn liên tục + Nếu µ = 0, q ≥ q0 > S tốn tử tuyến tính, đối xứng, giới nội xác định dương 40 3.2.2 Phép lặp tìm nghiệm xấp xỉ tốn (3.1) Xét phương trình tốn tử (3.10) Từ nhận xét trên, với µ = 0, q > , ta có phương trình Bν0 = F, (3.11) đó, tốn tử B xác định bới (3.4), F xác định (*) Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp Samarski - Nikolaev giải lặp phương trình tốn tử (3.11) cho công thức: (k+1) ν0 (k) − ν0 (k) + Bν0 = F, k = 0, 1, 2, , τ (3.12) τ tham số lặp Vì B tốn tử tuyến tính, đối xứng, dương hồn tồn liên tục, nên theo Bổ đề [8], sơ đồ lặp (3.12) hội tụ nghiệm phương trình (3.11) Khi sơ đồ lặp (3.12) thực trình lặp sau cho việc tìm nghiệm xấp xỉ toán (3.1) (0) (0) Bước Cho giá trị xấp xỉ ban đầu ν0 ∈ L2 (Γ), chẳng hạn ν0 = (k) Bước Biết ν0 , k = 0, 1, 2, , giải liên tiếp hai toán ∆ν (k) = f, x ∈ Ω, (k) ν (k) = ν0 , x ∈ Ω (3.13) ∆u(k) = ν (k) , x ∈ Ω, u(k) = 0, x ∈ Ω (3.14) Bước Tính xấp xỉ (k+1) ν0 = (k) ν0 ∂u(k) +τ , x ∈ Γ ∂n (3.15) Với k , gọi ν (k) , u(k) nghiệm tốn (3.13), (3.14), hàm u, ν có phân tích u = u1 + u2 , ν = ν1 + ν2 , đó, ν1 , u1 nghiệm toán (3.8), (3.9), cịn ν2 , u2 thỏa mãn tốn ∆ν2 = 0, x ∈ Ω, (3.16) ν2 = ν0 , x ∈ Γ 41 ∆u2 = ν2 , x ∈ Ω, u2 = 0, x ∈ Γ, (3.17) nên từ (3.16) (3.17), kết hợp với phương trình (3.4), ta có Bν0 = Mặt khác, ∂u ∂n = ∂u1 ∂n + ∂u2 ∂n , x ∂u2 ∂n Γ (3.18) ∈ Γ nên bước lặp thứ k , ta ln có (k) ∂u1 ∂u2 ∂u(k) = + , x ∈ Γ ∂n ∂n ∂n (3.19) từ (3.18) ta thu (k) (k) Bν0 ∂u2 = ∂n (3.20) Γ Từ (3.19) (3.20), ta suy ∂u1 ∂u(k) (k) = + Bν0 , x ∈ Γ ∂n ∂n (3.21) Thay (3.21) vào (3.15), ta nhận sơ đồ lặp (3.12) 3.3 Một số thực nghiệm kết Tôi tiến hành số thực nghiệm máy tính nhằm kiểm tra hội tụ q trình lặp (3.13) - (3.15) chứng minh mặt lý thuyết Miền Ω lựa chọn làm thực nghiệm hình vng đơn vị Phủ Ω lưới có cỡ bước lưới h = h1 = h2 = 32 , tương ứng với lưới 65 × 65, h = h1 = h2 = 128 , tương ứng với lưới 129 × 129 Các hàm u chọn trước làm nghiệm gốc tốn (3.1) , từ hàm vế phải tính theo u cho thỏa mãn điều kiện biên Các toán vi phân (3.13), (3.14) xấp xỉ bậc hai lưới, đạo hàm theo pháp tuyến đạo hàm riêng xấp xỉ cơng thức sai phân có độ xác bậc Các hệ phương trình thu sau sai phân giải phương pháp thu gọn khối lượng tính tốn [16] Tiêu chuẩn dừng lặp cho q trình lặp (3.13) - (3.15) u(k+1) − u(k) ∞ < ε = O(h2 ) 42 h bước lưới Thông qua đường thực nghiệm, nhận thấy: chọn giá trị tham số lặp τ dần đến số lần lặp K thực thuật tốn giảm nhỏ τ = 1, thực nghiệm đây, tham số lặp τ chọn trước Sai số Erro = u − uapp ∞ , uapp nghiệm xấp xỉ q trình tính tốn Các thực nghiệm thực PC Pentium CPU 1.80Ghz môi trường MATLAB Các kết thực nghiệm thống kê qua bảng u = x2 − y − Bảng Lưới 33X33 65X65 129X129 K Error Thời gian(giây) 1.02e − 4.13 11 2.35e − 7.36 14 4.18e − 12.09 u = sin(πx).cos(πy) Bảng Lưới 33X33 65X65 129X129 K Error Thời gian(giây) 6.33e − 2.53 3.72e − 4.17 15 2.09e − 9.55 u = x2 − ey + y − ex Bảng Lưới 33X33 65X65 129X129 K Error Thời gian(giây) 5.21e − 2.43 1.37e − 5.12 3.09e − 8.40 u = 0.25x4 + 0.5y + x2 + y Bảng Lưới 33X33 65X65 129X129 K Error Thời gian(giây) 1.78e − 1.27 2.62e − 4.41 8.07e − 6.03 43 Qua kết thực nghiệm nhận thấy phủ Ω lưới dày hơn, chẳng hạn thay lưới 65 × 65 lưới 129 × 129, số mắt lưới tăng lên, đó, số lần thuật toán buộc phải tăng lên, tỉ lệ thuận với giá trị K thời gian thực hiện, sai số nghiệm gốc nghiệm xấp xỉ giảm xuống, tức độ xác tăng lên Cũng cần lưu ý thời gian thực thuật toán loại PC khơng nhau, tùy thuộc vào cấu hình tốc độ xử lí loại 44 Kết luận Nội dung trình bày luận văn bao gồm: - Đưa vào số kiến thức chuẩn bị: khái niệm không gian Sobolev, định lý Vết, định lý thác triển, định lý tính trù mật, định lý Nhúng, định lý Lax - Milgram, bất đẳng thức Holder, nghiệm toán Dirchlet toán Neumann - Nghiên cứu phương pháp để tìm nghiệm tốn biên phương trình song điều hòa: phương pháp lặp - Đưa số kết thực nghiệm máy tính điện tử để kiểm tra tính hội tụ phương pháp lặp Trong luận văn tơi xét tốn Vật lý có thật mơ hình hóa tốn học tìm phương pháp tìm nghiệm giải tích tốn Nhưng khơng phải lúc ta tìm nghiệm xác tốn Nhờ phương pháp sai phân ta cịn tìm nghiệm xấp xỉ Như tốn tơi hai cách tìm nghiệm Hy vọng luận văn tư liệu có ích cho quan tâm tới toán biên phương trình song điều hịa Thái Ngun, ngày 11 tháng 10 năm 2014 Người thực Trần Thị Hải 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn, Xây dựng nghiệm giải tích tốn biên phương trình song điều hịa, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, 4(20):66-71.2001 Tài liệu tiếng Anh [2] Aubin J P Approximation of elliptic boundary value problem, Wiley - Interscience.1971 [3] Adams R Sobolev Spaces, Acad Press, New York - San Francisco - London.1975 [4] Cioranescu D.and Patrizia D An Introduction to Homoge - nization, Oxford Press.1999 [5] Dang Quang A , Boundary operator method for approxi-mate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math 12(22):114-120.1994 [6] Dang Quang A , Mixed boundary-domain operator method in approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Jour-nal of Math 3(26):243-252.1998 [7] Dang Quang A , Iterative method for solving the second boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí Tin học Điều khiển học, No 4:66-72.1998 [8] Dang Quang A ,Construction of iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmonic equation, Procced-ings of the Fifth Mathematical Conference of Vietnam, Sci.And Tech Publ House, Hanoi,47 - 55 1999 [9] Dang Quang A , Stabtility analysis of an approximate method for biharmonic equation, Vietnam Journal of Math, 3(31):137-142.2003 46 [10] Dang Quang A , Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2(196):634-643.2006 [11] Dang Quang A , Iterative method for solving boundary value problem for biharmonic equation, International Conference on High Performance Scientific Computing, March, 6-10, Hanoi,Vietnam.2006 [12] Dang Quang A, Le Tung Son, Iterative method for solving a boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí Tin học Điều khiển học, 3(22):229-234.2006 [13] Dang Quang A, Le Tung Son , Iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmonic equation, In book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds N M Chuong et al World Scientific Publishing Co, 103-113.2007 [14] Lion J L and Magenes E Problemes aux limites non honogenes et applications, Vol 1, Dunod, Paris.1968 [15] Samarski A A The Theory of Diference Schemes, New York, Marcel, Dekker.2001 [16] Samarski A A and Nikolaev E S Numerical Methods for Grid equation, Vol 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel Boston Berlin.1989 [17] Tikhonov N A and Smarski A A Mathematical Physical Equations, "Nauka", McGraw-Hill, New York.1972 47 ... tốn biên phương trình song điều hóa (2.1) 36 Chương Nghiệm xấp xỉ tốn biên phương trình song điều hịa Trong chương tơi trình bày tóm tắt kết nghiên cứu việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho toán biên. .. liên tiếp toán (2.2), (2.3), ta tìm cơng thức biểu diễn nghiệm giải tích u(x)) tốn gốc (2.1) 2.2 Nghiệm giải tích tốn biên phương trình song điều hịa Xét tốn biên phương trình song điều hòa ∆2 u(x)... KHOA HỌC TRẦN THỊ HẢI NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên