Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✷ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻ ✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ✶✳✷✳ ▲ý t❤✉②Õt ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✶✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ✈➭ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➡ ❜➯♥ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ✷ ✷✽ ✷✳✶✳ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛ ✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✲❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✷✳✹✳ P❤➢➡♥❣ ề t ỗ ợ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ò tệ ề trì s ề ò ✸✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ✺✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ♣❤➞♥ r➲ ✈Ò ❞➲② ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✸✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✸✳✹✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ề ệ ỗ ợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ✽✶ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✽✸ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ë ➤➬✉ ❚r➟♥ t❤ù❝ tÕ✱ ♥❤✐Ò✉ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❦ü t❤✉❐t t❤➠♥❣ q✉❛ ♠➠ ❤×♥❤ ❤ã❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣✳ ❚r♦♥❣ ➤ã r✃t Ýt t trờ ợ ề ì ❤ä❝ ❧➭ ♠✐Ị♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ư sè ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ệ số ó tể tì ợ ệ t➢ê♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤✳ ❈ß♥ ➤➵✐ ➤❛ số trờ ợ tì ệ tờ ❝ã ❤♦➷❝ r✃t ♣❤ø❝ t➵♣✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ t❤ù❝ tÕ ❝❤Ø ②➟✉ ❝➬✉ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ t➵✐ ♠ét sè ➤✐Ó♠ rê✐ r➵❝ ♥➭♦ ➤ã✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✉é❝ ♣❤➯✐ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❣➬♥ ➤ó♥❣✱ ❝❤đ ②Õ✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ s❛✐ ♣❤➞♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♣❤➬♥ tư ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② rê✐ r➵❝ ❤ã❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ❤➬✉ ❤Õt ➤Ị✉ ➤➢❛ ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ì ❧í♥✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♥❤✉ ❝➬✉ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➢í✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❦❤✐ ♠✐Ị♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❧➭ ♠✐Ị♥ ♣❤ø❝ t➵♣✱ ❞÷ ❧✐Ư✉ ❤♦➷❝ ❝➳❝ ❤Ư sè ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥ t❤× ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭♦ ➤ã ❝❤♦ ❝➯ ♠✐Ị♥ sÏ ❣➷♣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ❱× ✈❐② tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ♥➝♠ q✉❛✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ✈➭ ➤❛♥❣ ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ✈í✐ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤➢❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♣❤ø❝ t➵♣ ✈Ị ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ĩ ❝ã t❤Ĩ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠✐Ị♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ♥➭②✳ ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tr➟♥ ❝ã t➟♥ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ✭❉♦♠❛✐♥ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s✮✳ ❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ề tì ị ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❜✐➟♥ tr➟♥ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ t❤➠♥❣ q✉❛ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ➤Ĩ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ♣❤ø❝ t➵♣ ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♠✐Ò♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ tõ ➤ã t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❣è❝✳ ❚r♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ♥➝♠ q✉❛✱ ❧ý t❤✉②Õt ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ➤➲ ✈➭ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ➤➢ỵ❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥✳ ❈➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ➤Õ♥ ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣ ❧➭ ♠✐Ò♥ Lu = f, x ∈ Ω✱ tr♦♥❣ ➤ã L ❧➭ t♦➳♥ tö ❡❧❧✐♣t✐❝✱ Ω d ❝❤✐Ị✉ (d = 2, 3) ✈í✐ ❜✐➟♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ∂Ω✱ f ❧➭ ❤➭♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L2 (Ω)✳ ●✐➯ sư ♠✐Ị♥ Ω ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♠✐Ị♥ ❝♦♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ Ω1 , Ω2 ✳ ❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ Γ = Ω1 ∩ Ω2 ✱ ❣✐➯ sö Γ ❧➭ ❜✐➟♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ (d − 1) ❝❤✐Ò✉✳ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤❛ ♠✐Ị♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❙t❡❦❧♦✈✲P♦✐♥❝❛r❡✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ tõ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➡ ❜➯♥ s❛✉✿ ✶✳ ❙➡ ➤å ❉✐r✐❝❤❧❡t✲◆❡✉♠❛♥♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ λ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❝❤➢❛ ❜✐Õt tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ò♥✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω1 ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ◆❡✉♠❛♥♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω2 ✳ ❚õ ➤ã✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ①➞② ❞ù♥❣ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤Ĩ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ➤Õ♥ ❜ë✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❇❥♦rst❛❞ ✈➭ ❲✐♥❞❧✉♥❞ ✭✶✾✽✻✮✱ ❇r❛♠❜❧❡✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✻✮✱ ❋✉♥❛r♦✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✽✮✱ ▼❛r✐♥✐ ✈➭ ◗✉❛rt❡r♦♥✐ ✭✶✾✽✽✱ ✶✾✽✾✮✳ ✷✳ ❙➡ ➤å ◆❡✉♠❛♥♥✲◆❡✉♠❛♥♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ λ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❝❤➢❛ ❜✐Õt tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ị♥✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω1 ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ Ω2 ✳ ❱✐Ư❝ ①➞② ❞ù♥❣ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤Ĩ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ♣❤➯✐ ❞ù❛ ✈➭♦ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➵♥❣ ◆❡✉♠❛♥♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ị♥✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❆❣♦s❤❦♦✈✱ ▲❡❜❡❞❡✈ ✭✶✾✽✺✮✱ ❇♦✉r❣❛t✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✾✮✳ ✸✳ ❙➡ ➤å ❘♦❜✐♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ (0) u2 tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ Ω2 ✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❘♦❜✐♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ị♥ Ω1 , Ω2 ✳ ❱✐Ư❝ ệ ỉ trị tr ợ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤➠♥❣ q✉❛ s➡ ➤å ❧➷♣ ❦❤✐ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤ã✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ t➳❝ ❣✐➯ ❆❣♦s❤❦♦✈ ✭✶✾✽✽✮✱ ▲✐♦♥ ✭✶✾✾✵✮✳ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ❝➡ së ❝đ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tr➟♥ ➤Ị✉ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ✈✐Ư❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❞➵♥❣ ❤❛✐ ❧í♣ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư✳ ❱✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ sư ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈➭ t♦➳♥ tư ❙t❡❦❧♦✈✲P♦✐♥❝❛r❡✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝✃♣ t ể trì s ề ò trì ò t út q✉❛♥ t➞♠ r✃t ❧í♥ ❝đ❛ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn r✃t ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ ❝➡ ❤ä❝✱ ❦ü s➢ ✈➭ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ❚r♦♥❣ ✈ß♥❣ ❜❛ t❤❐♣ ♥✐➟♥ q✉❛ ♥❤✐Ị✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ữ ệ trì tr ợ ❝ø✉ ✈➭ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥✳ ❈ï♥❣ ✈í✐ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♠➵♥❤ ♠Ï ❝đ❛ ♠➳② tÝ♥❤ ➤✐Ư♥ tư ✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝ơ ➤➽❝ ❧ù❝ ➤Ĩ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦ü t❤✉❐t t✉② ♥❤✐➟♥ ✈➱♥ ❝ã ❦❤➠♥❣ Ýt t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝ù❝ t✐Ĩ✉✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❧í♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛✳ ❱✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ trì s ề ò ột ĩ ự ❝➬♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ❤❛✐ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❤♦➷❝ ề ệ ỗ ợ t tở ệ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❤♦➷❝ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❝ã ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝✱ ❧ý t❤✉②Õt ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư✳ ➤➞② ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭♠ ♥Ị♥ t➯♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ sÏ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ❜❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❙❛✐t♦✲ ❋✉❥✐t❛✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✲❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t ỗ ợ tr sở ủ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ tỉ♥❣ q✉➳t✳ ❚r♦♥❣ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛ ①✉✃t ♣❤➳t tõ t➢ t➢ë♥❣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ t❤➠♥❣ q✉❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ tr➟♥ ❝➡ së s➡ ➤å ❧➷♣ ❉✐r✐❝❤❧❡t✲◆❡✉♠❛♥♥✱ ❝ß♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✲❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ✈✐Ư❝ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ị♥✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ◆❡✉♠❛♥♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω1 ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ Ω2 ✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸✿ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ tỉ♥❣ q✉❛♥ ✈Ị trì s ề ò trì ết q✉➯ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ➤è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛✱ tr➟♥ ❝➡ së ♣❤➞♥ r➲ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈Ị ❞➲② ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ï♥❣ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ❤❛✐✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✱ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❙❋ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❆◗❍✱ ❝➯✐ t✐Õ♥ ❝➳❝ s➡ ➤å ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ✈➭ s♦ s➳♥❤ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ỗ ợ ết q tự ệ tí t♦➳♥ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ sư ❞ơ♥❣ t❤➢ ✈✐Ư♥ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❚❑✷✵✵✹ tr➟♥ ❝➡ së t❤✉❐t t♦➳♥ t❤✉ ❣ä♥ ❦❤è✐ ❧➢ỵ♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝đ❛ ❙❛♠❛rs❦✐❥ ❆✳ ✲ ◆✐❦♦❧❛❡✈ ❊✳ ➤➢ỵ❝ ❧❐♣ tr×♥❤ tr♦♥❣ ♠➠✐ tr➢ê♥❣ ▼❛t❧❛❜ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤ P❈✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ r✃t ❝è ❣➽♥❣ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr ỏ ữ tế sót rt ợ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ❝❤♦ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤♦➭♥ ❝❤Ø♥❤ ❤➡♥✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❣➭② ✶✽ t❤➳♥❣ ✵✾ ọ ỗ ệ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ú t trì ữ ết q ý tết q✉❛♥ trä♥❣ ✈Ị ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✱ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ P♦✐♥❝❛r❡✱ ❧ý t❤✉②Õt ề trì t tử ữ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈➭ ❦Õt q✉➯ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tõ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬ ✹✱ ✺✱ ✻✱ ✼✱ ✶✶✱ ✶✼❪✳ ✶✳✶✳ ✶✳✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ¯ C k (Ω) ¯ Ω ❧➭ ♠ét ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐Ị✉ Rn ✈➭ Ω ¯ ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝đ❛ Ω✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉ C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝ã ➤➵♦ ●✐➯ sö ❤➭♠ ➤Õ♥ ❝✃♣ ¯ ✳ ❚❛ ➤➢❛ ✈➭♦ C k (Ω) ¯ ❝❤✉➮♥ k ❦Ó ❝➯ k tr♦♥❣ Ω✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ Ω u ¯ C k (Ω) max |Dα u(x)|, = |α|=k tr♦♥❣ ➤ã ¯ x∈Ω ✭✶✳✶✮ α = (α1 , , αn ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ ❝❤Ø sè ❧➭ ✈❡❝t➡ ✈í✐ ❝➳❝ tä❛ ➤é ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ |α| = α1 + · · · + αn , ∂ α1 +···+αn u D u= ∂x1 α1 ∂xn αn α ¯ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ✈➭ t✃t ❝➯ Ω ¯ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ (1.1) ➤➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ➤Õ♥ ❝✃♣ k ❦Ó ❝➯ k ✳ ❘â r➭♥❣ t❐♣ C k (Ω) ❙ù ❤é✐ tô t❤❡♦ ❝❤✉➮♥ ♥➭② ❧➭ sù ❤é✐ tơ ➤Ị✉ tr♦♥❣ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✶✳✶✳✷✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ●✐➯ sö LP (Ω) Ω ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ tr♦♥❣ Rn ✈➭ p ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉ LP (Ω) ❧➭ ợ f ị tr s❛♦ ❝❤♦ |f (x)|p dx < ∞ ✭✶✳✷✮ Ω ❚r♦♥❣ LP (Ω) t❛ ➤å♥❣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❤➬✉ ❦❤➽♣ tr➟♥ Ω✳ ◆❤➢ ✈❐② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ LP (Ω) ❧➭ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤♦ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✷✮ ✈➭ ❤❛✐ ❤➭♠ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❤➬✉ ❦❤➽♣ tr➟♥ (|f (x)| + |g(x)|)p |f (x) + g(x)|p ♥➟♥ râ r➭♥❣ Ω✳ ❱× 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) LP (Ω) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ❚❛ ➤➢❛ ✈➭♦ LP (Ω) ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ||.||p ợ ị 1/p p |u(x)| dx ||u||p =   ✭✶✳✸✮ Ω ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❍♦❞❡r✮✳ ◆Õ✉ < p < ∞ ✈➭ u ∈ LP (Ω), v ∈ LP (Ω) t❤× uv ∈ LP (Ω) ✈➭ |u(x)v(x)|dx ||u||p ||v||p, ✭✶✳✹✮ Ω tr♦♥❣ ➤ã ➤è✐ ✈í✐ p, = p/(p − 1)✱ tø❝ ❧➭ 1 + , = 1✱ p, p p ợ ọ số ũ ợ p ị í ✶✳✷ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼✐♥❦♦✇s❦✐✮✳ ◆Õ✉ ||f + g||p ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ < p < ∞ t❤× ||f ||p + ||g||p LP (Ω) ✈í✐ p ∞ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✭✶✳✺✮ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✶✳✶✳✸✳ W 1,p (Ω) ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❈❤♦ Ω ❧➭ ♠✐Ò♥ tr♦♥❣ Rn ✳ ❍➭♠ u(x) ợ ọ tí ị ế u(x) ột tr ỗ x0 Ω ➤Ị✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ω ❝đ❛ x0 ➤Ĩ u(x) ❦❤➯ tÝ❝❤ tr♦♥❣ ω ✳ ❈❤♦ Ω ❧➭ ♠✐Ị♥ tr♦♥❣ Rn ✳ ●✐➯ sư u(x), v(x) ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ Ω s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝ã ❤Ö t❤ø❝ ∂kϕ u dx = (−1)k k k n ∂x1 ∂xn Ω ➤è✐ ✈í✐ ♠ä✐ ➤ã✱ vϕdx Ω ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + + kn , ki ≥ (i = 1, 2, , n)✳ ❑❤✐ v(x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣ ❝✃♣ k ❝đ❛ u(x)✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ ∂ku v(x) = ∂x1 k1 ∂xn kn ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸ ●✐➯ sö ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ W 1,p (Ω) = p ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝✱ ≤ p < ∞✱ Ω ❧➭ ♠✐Ị♥ tr♦♥❣ Rn ✳ W 1,p (Ω) ➤➢ỵ❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿ u | u ∈ Lp (Ω), ∂u ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, , n , ∂xi tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥ ❧➭ ❝➳❝ ➤➵♦ ❤➭♠ s✉② ré♥❣✳ ❱í✐ p = 2✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ W 1,2 (Ω) = H (Ω)✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ H (Ω) = u | u ∈ L2 (Ω), ∂u ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, , n ∂xi ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶ ✐✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ W 1,p (Ω) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ n u W 1,p (Ω) = u Lp (Ω) + i=1 ✐✐✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ∂u ∂xi Lp (Ω) H (Ω) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ n (u, v)H (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + i=1 ∂u ∂v , ∂xi ∂xi , ∀u, v ∈ H (Ω) L2 (Ω) ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❇➢í❝ ✷✿ ●✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω2   (k) (k) (k)  ∆v2 − cv2 ❂ f + ϕ , x ∈ Ω2 ,    (k) v2 ❂ g1 , x ∈ Γ2 ,     (k) (k)  v2 ❂ v1 , x ∈ Γ ✭✸✳✹✹✮   (k) (k)  ∆u2 ❂ v , x ∈ Ω2 ,    (k) u2 ❂ g0 , x ∈ Γ2 ,     (k) (k)  u2 ❂ u1 , x ∈ Γ ✭✸✳✹✺✮ ❇➢í❝ ✸✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ (k) Φ (k+1) = θΦ (k) ∂ υ2 − (1 − θ) , x ∈ Γ, ∂ν2 u(k) (k+1) = ϕ1 − τ1 (ϕ1 + du1 ), (k+1) = ϕ2 − τ2 (ϕ2 + du2 ), ϕ1 ϕ2 (k) (k) (k) x ∈ Ω1 , (k) (k) (k) x ∈ Ω2 ✭✸✳✹✻✮ ❤❛②  (k)  ∂υ  (k+1) (k)  η = θη − (1 − θ) , x ∈ Γ,    ∂ν2   (k)  ∂u2  (k+1) (k) , x ∈ Γ, ξ = θξ − (1 − θ) ∂ν   (k+1) (k) (k) (k)   ϕ1 = ϕ1 − τ1 (ϕ1 + du1 ), x ∈ Ω1 ,      ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ2 (ϕ(k) + du(k) ), x ∈ Ω2 2 2 ✼✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✹✼✮ ∗ ❑Õt q✉➯ s♦ s➳♥❤ ❇➯♥❣ ✸✳✶✵✿ ❚❤❛♠ sè ❧➷♣ ❍➭♠ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ θ u∗ (x1 , x2 ) = sinx1 sinx2 ❙➡ ➤å ❝ò ❙➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ✵✳✶ 9.10−6 ✻✹ 1.10−4 ✷✼ ✵✳✷ 2.10−5 ✸✷ 6.10−5 ✶✸✳✾ ✵✳✸ 1.10−5 ✷✵ 9.10−5 ✼✳✾ ✵✳✹ 1.10−5 ✶✸ 5.10−5 ✺✳✸ ✵✳✺ 1.10−5 ✼✳✽ 1.10−6 ✸✳✻ ✵✳✻ 1.10−5 ✶✷✳✾ 2.10−5 ✺✳✸ ✵✳✼ 2.10−5 ✶✽✳✷ 6.10−5 ✽✳✵ ✵✳✽ 4.10−5 ✷✺✳✻ 7.10−5 ✶✸✳✶ ✵✳✾ 9.10−5 ✹✺ 1.10−4 ✷✼ ❇➯♥❣ ✸✳✶✶✿ ❍➭♠ ♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣ u∗ (x1 , x2 ) ❚❤❛♠ sè ❧➷♣ θ ❙➡ ➤å ❝ò = (1 − x1 )2 sinx2 +(1 − x2 )2 sinx1 ❙➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ✵✳✶ 3.10−5 ✻✾ 4.10−4 ✷✼✳✺ ✵✳✷ 4.10−5 ✸✸✳✹ 6.10−5 ✶✺✳✾ ✵✳✸ 4.10−5 ✷✵✳✻ 9.10−5 ✽✳✾ ✵✳✹ 4.10−5 ✶✹ 2.10−5 ✻✳✹ ✵✳✺ 4.10−5 ✽✳✵ 1.10−6 ✸✳✻ ✵✳✻ 4.10−5 ✶✸✳✼ 7.10−5 ✺✳✹ ✵✳✼ 4.10−5 ✶✾✳✵ 7.10−5 ✽✳✾ ✵✳✽ 6.10−5 ✷✼✳✵ 8.10−5 ✶✺✳✵ ✵✳✾ 8.10−5 ✺✷ 3.10−4 ✷✼ ✼✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❇➯♥❣ ✸✳✶✷✿ ❍➭♠ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❚❤❛♠ sè ❧➷♣ θ u∗ (x1 , x2 ) = ex1 sinx2 + ex2 sinx1 ❙➡ ➤å ❝ò ❙➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ❙❛✐ sè t ❣✐➞② ✵✳✶ 8.10−5 ✶✵✽ 1.10−5 ✺✸ ✵✳✷ 7.10−5 ✺✽ 1.10−5 ✷✷ ✵✳✸ 7.10−5 ✸✺ 9.10−5 ✶✶ ✵✳✹ 8.10−5 ✷✶ 7.10−5 ✻ ✵✳✺ 9.10−5 ✾✳✺ 1.10−4 ✸✳✻ ✵✳✻ 8.10−5 ✷✶ 7.10−5 ✻ ✵✳✼ 6.10−5 ✸✻ 8.10−5 ✶✷ ✵✳✽ 7.10−5 ✻✵ 2.10−5 ✷✶ ✵✳✾ 8.10−5 ✶✵✾ 8.10−4 ✺✵ ◆❤❐♥ ①Ðt ✲ ❙♦ s➳♥❤ s➡ ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✷✶✮✲✭✸✳✷✻✮ ✈í✐ s➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ ✭✸✳✷✼✮✲✭✸✳✸✶✮ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✃② ✈✐Ư❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❧➭ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✿ tr♦♥❣ s➡ ➤å ✭✸✳✷✶✮✲ ✭✸✳✷✻✮ ♣❤➯✐ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ①♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈í✐ ➤ã ♠í✐ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ v ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ s❛✉ u ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ➤è✐ ✈í✐ s➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ➤➢ỵ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ➤å♥❣ t❤ê✐ ✈í✐ u ✈➭ v tr➟♥ ỗ tự s s s ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✸✹✮✲✭✸✳✹✵✮ ✈í✐ s➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥ ✭✸✳✹✷✮✲ ✭✸✳✹✻✮ t❛ ❝ị♥❣ t❤✃② ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❧➭ ➤➢ỵ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤è✐ ✈í✐ ϕ, u ✈➭ v tr➟♥ ❝ï♥❣ ♠ét ❜➢í❝ ❧➷♣ tr♦♥❣ ❦❤✐ s➡ ➤å ✭✸✳✸✹✮✲✭✸✳✹✵✮ ♣❤➯✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧➬♥ ❧➢ỵt ✈í✐ ò r q trì tí t t ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥Õ✉ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤å♥❣ tờ ộ ợ ữ ệ tr ❧➷♣ tr➢í❝ ❝❤♦ ❝➳❝ ❧➬♥ ❧➷♣ s❛✉✱ ➤✐Ị✉ ➤ã ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ sÏ t➝♥❣ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣✳ ✲ ❱✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➯✐ t✐Õ♥ ✭✸✳✷✼✮✲✭✸✳✸✶✮ ✈➭ ✭✸✳✹✷✮✲✭✸✳✹✻✮ ❤é✐ tơ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ❞✐Ư♥ ❧ý t❤✉②Õt t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤ã✱ t✉② ♥❤✐➟♥ ✼✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn q✉❛ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➯✐ t✐Õ♥ ❝ị♥❣ ♥❤➢ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ❤➡♥ s♦ ✈í✐ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝ị✳ ✲ ❍♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❞ù❛ t❤❡♦ t➢ t➢ë♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛✳ ✸✳✹✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ề ệ ỗ ợ ét t u + c∆u = f, tr♦♥❣ ➤ã ➜➷t c≥0 ✭✸✳✹✽✮ Ω ∈ R2 ✈í✐ ❜✐➟♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ∂Ω, f (x) ❧➭ ❤➭♠ sè ❝❤♦ tr➢í❝✳ v = ∆u✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✹✽✮ ➤➢ỵ❝ ♣❤➞♥ r➲ ✈Ị ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ s❛✉✿ −∆v + cv = f, ∆u = v, x ∈ Ω, ✭✸✳✹✾✮ ✭✸✳✺✵✮ x ∈ Ω ❚❛ ①Ðt tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤✐ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❤♦➷❝ ❝➯ ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✹✾✮ ✈➭ ✭✸✳✺✵✮ ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ệ ỗ ợ ì Pt trể ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ①✉✃t ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❝➷♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✹✾✮✲✭✸✳✺✵✮ ✼✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s❛✉ ➤➞② ✭❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✾❪✮✿ ✸✳✹✳✶✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶   −∆v + cv =  v= • f, x ∈ Ω, ϕ, x ∈ ∂Ω,   ∆u =    u=     ∂u = ∂v v, x ∈ Ω, g, x ∈ ∂Ω\Γn , λ, x ∈ Γn ✭✸✳✺✶✮ ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❈❤✐❛ ♠✐Ò♥ Ω = Ω1 ∪ Ω2 ❜➺♥❣ ❜✐➟♥ ❝❤✉♥❣ Γ ✭❤×♥❤ ✸✳✶✮✳ ➜➷t η = ∂u | , t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➷♣ s❛✉ ➤➞②✿ ∂ν Γ ❇➢í❝ ✶✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ η (0) = 0, ∀k = 0, 1, 2, (k) ❇➢í❝ ✶✳✶✿ ●✐➯✐ ợt t tì v1 (k) (k)  −∆v + cv =  1    (k) v1 =  (k)   ∂v   = ∂ν f, x ∈ Ω1 , ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ, η (k) , ∂v | ,ξ = ∂ν Γ (k) , v2  (k) (k)  −∆v2 + cv2 ❂ f, x ∈ Ω2 ,    (k) v2 ❂ ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ,    (k) (k)  v2 ❂ v1 , x ∈ Γ x ∈ Γ ✭✸✳✺✷✮ ❇➢í❝ ✶✳✷✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ η (k) (k) ∂v η = θ1 η − (1 − θ1 ) | ∂ν Γ ❇➢í❝ ✷✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ξ (0) = 0, ∀l = 1, 2, (k+1) (l) ❇➢í❝ ✷✳✶✿ ●✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ v1  (l)  −∆u1 =     (l) u1 =  (l)   ∂u   = ∂ν (k) v1 , ϕ, (l) ξ , x ∈ Ω1 , x ∈ ∂Ω1 \Γ, x ∈ Γ ✭✸✳✺✸✮ (k+1) (l) , v2  (l)  −∆u  =    (l)   u2 =  (k) v2 , x ∈ Ω2 , ϕ, x ∈ ∂Ω2 \{Γ ∪ Γn }, λ, x ∈ Γn , (l)         ∂u2 = ∂ν2 (l) u2 = (l) u1 , x ∈ Ω ✭✸✳✺✹✮ ✼✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❇➢í❝ ✷✳✷✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ξ (l) (l) ξ • (l+1) = θ2 ξ (l+1) ∂u − (1 − θ2 ) | ∂ν Γ ✭✸✳✺✺✮ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ❙➡ ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✺✷✮✲✭✸✳✺✸✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✱ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ s ợ ị tr sè tè✐ ➢✉ ❝đ❛ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ị ý tết tr trờ ợ ề ữ t ❙➡ ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✺✹✮✲✭✸✳✺✺✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ t t ề ệ ỗ ợ ộ tụ ợ ị tr số tố ợ ị từ tự ệ ✈❐② sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ➤Ị ①✉✃t ợ ị ý tết tr trờ ợ tỉ♥❣ q✉➳t✳ ❇➯♥❣ ✸✳✶✸✿ ❑Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ a = b = 1, M × N = 64 × 64, err = 10−4 θ1 = θ2 sinx1 sinx2 x41 + x42 ex1 sinx2 + ex2 sinx1 ε n ε n ε n ✵✳✶ 1.10−4 ✸✵ 1.10−4 ✹✻ 9.10−5 ✷✷ ✵✳✷ 8.10−5 ✶✹ 1.10−4 ✹✺ 8.10−5 ✶✹✳✻ ✵✳✸ 7.10−5 ✽ 9.10−5 ✶✾ 7.10−5 ✶✶✳✽ ✵✳✹ 3.10−5 ✺ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✵ ✵✳✹✺ 7.10−5 ✹ 9.10−5 ✶✷ 6.10−5 ✼✳✽ ✵✳✺ 7.10−5 ✺ 9.10−5 ✶✼ 7.10−5 ✾✳✻ ✵✳✻ 5.10−5 ✽ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✷ ✵✳✼ 5.10−5 ✶✷ 1.10−4 ✹✻ 6.10−5 ✶✷ ✵✳✽ 8.10−5 ✶✾ 1.10−4 ✺✺ 6.10−5 ✶✺ ✼✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✳✹✳✷✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷   −∆v + cv =    v=   ∂v   = ∂ν • f, x ∈ Ω, ϕ, x ∈ ∂Ω\Γn , λ,   −∆u = v, x ∈ Ω, u= g, x ∈ ∂Ω  x ∈ Γn ✭✸✳✺✻✮ ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ Ω = Ω1 ∪ Ω2 ❜➺♥❣ ❜✐➟♥ ❝❤✉♥❣ Γ ✭❤×♥❤ ∂v ∂u ✸✳✶✮✳ ➜➷t η = | ,ξ = | , t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➷♣ s❛✉ ➤➞②✿ ∂ν Γ ∂ν Γ ❇➢í❝ ✶✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ η (0) = 0, ∀k = 0, 1, 2, (k) ợt t tì v1 (k) , v2  (k) (k)  −∆v + cv = f, x ∈ Ω2 ,  2    (k)    v2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \{Γ ∪ Γn },  (k) (k)  −∆v1 + cv1 = f, x ∈ Ω1 ,     (k) v1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ,  (k)   ∂v   = η (k) , x ∈ Γ ∂ν (k) ∂v2 = λ, x ∈ Γn , ∂ν2 (k) (k) v2 = v1 , x ∈ Γ         ✭✸✳✺✼✮ ❇➢í❝ ✶✳✷✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ η (k) (k) η (k+1) = θ1 η ❇➢í❝ ✷✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ξ (0) (k+1) ∂v − (1 − θ1 ) | ∂ν Γ = 0, ∀l = 1, 2, (l) ❇➢í❝ ✷✳✶✿ ●✐➯✐ ❧➬♥ ợt t tì v1 (l) u1 =     (l) u1 =  (l)     ∂u1 = ∂ν (k) ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ, ξ (l) , (l) , v2  (l)  ∆u2 =    (l) u2 =     u(l) = x ∈ Ω1 , v1 , ✭✸✳✺✽✮ x ∈ Γ (k) v2 , ϕ, (l) u1 , x ∈ Ω2 , x ∈ ∂Ω2 \Γ, x ∈ Ω ✭✸✳✺✾✮ ❇➢í❝ ✷✳✷✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ξ (l) (l) ξ (l+1) = θ2 ξ (l+1) ∂u − (1 − θ2 ) | ∂ν Γ ✼✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✻✵✮ • ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ❙➡ ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✺✼✮✲✭✸✳✺✽✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ệ ỗ ợ tt t ề ộ tụ ợ ị tr ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✺✾✮✲✭✸✳✻✵✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✱ sù ❤é✐ tơ ợ ị tr số tố ợ ị từ ý tết ết q tự ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ✸✳✶✹✳ ❇➯♥❣ ✸✳✶✹✿ ❑Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ a = b = 1, M × N = 64 × 64, err = 10−4 θ1 = θ2 ✸✳✹✳✸✳ x41 + x42 sinx1 sinx2 ex1 sinx2 + ex2 sinx1 ε t ε t ε t ✵✳✶ 9.10−5 ✶✼ 1.10−4 ✹✻ 9.10−5 ✷✷ ✵✳✷ 6.10−5 ✶✷ 1.10−4 ✹✺ 8.10−5 ✶✹✳✻ ✵✳✸ 4.10−6 ✶✷ 9.10−5 ✶✾ 7.10−5 ✶✶✳✽ ✵✳✹ 7.10−6 ✾ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✵ ✵✳✹✺ 9.10−6 ✼ 9.10−5 ✶✷ 6.10−5 ✼✳✽ ✵✳✺ 1.10−5 ✾ 9.10−5 ✶✼ 7.10−5 ✾✳✻ ✵✳✻ 6.10−6 ✶✷ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✷ ✵✳✼ 2.10−5 ✶✸ 1.10−4 ✹✻ 6.10−5 ✶✷ ✵✳✽ 3.10−5 ✶✹ 1.10−4 ✺✺ 6.10−5 ✶✺ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✸   −∆v + cv =    v=   ∂v   = ∂ν f, x ∈ Ω, ϕ, x ∈ ∂Ω\Γn , λ, x ∈ Γn   ∆u =    u=     ∂u = ∂ν v, x ∈ Ω, g, x ∈ ∂Ω\Γn , µ, x ∈ Γn ✼✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✻✶✮ • ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ Ω = Ω1 ∪ Ω2 ❜➺♥❣ ❜✐➟♥ ❝❤✉♥❣ Γ ✭❤×♥❤ ∂v ∂u ✸✳✶✮✳ ➜➷t η = | ,ξ = | , t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➷♣✿ ∂ν Γ ∂ν Γ ❇➢í❝ ✶✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ η (0) = 0, ∀k = 0, 1, 2, (k) ợt t tì v1 (k) , v2  (k) (k)  −∆v + cv = f, x ∈ Ω2 ,  2    (k)    v2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \{Γ ∪ Γn },  (k) (k)  −∆v + cv = f, x ∈ Ω1 ,  1    (k) v1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ,  (k)   ∂v   = η (k) , x ∈ Γ ∂ν (k) ∂v2 = λ, x ∈ Γn , ∂ν2 (k) (k) v2 = v1 , x ∈ Γ         ✭✸✳✻✷✮ ❇➢í❝ ✶✳✷✿ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ η (k) (k) η (k+1) = θ1 η ❇➢í❝ ✷✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ξ (0) ∂v − (1 − θ1 ) | ∂ν Γ (k+1) = 0, ∀l = 1, 2, (l) ❇➢í❝ ✷✳✶✿ ợt t tì v1 (l)  −∆u1 =     (l) u1 =  (l)     ∂u1 = ∂ν (k) v1 , ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ, (k) x ∈ Ω2 , v2 , ϕ, x ∈ ∂Ω2 \{Γ ∪ Γn }, µ, x ∈ Γn , (l)         x ∈ Γ ξ , (l) , v2  (l)  −∆u  =    (l)   u2 =  x ∈ Ω1 , (l) ✭✸✳✻✸✮ ∂u2 = ∂ν2 (l) u2 = (l) u1 , x ∈ Ω ✭✸✳✻✹✮ ❇➢í❝ ệ ỉ trị (l) (l) ã (l+1) = θ2 ξ (l+1) ∂u − (1 − θ2 ) | ∂ν Γ ✭✸✳✻✺✮ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ❈➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ✭✸✳✻✷✮✲✭✸✳✻✸✮ ✈➭ ✭✸✳✻✹✮✲✭✸✳✻✺✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ t ề ệ ỗ ợ tt t ề ộ tụ ợ ị tr♦♥❣ ❬✷❪✳ ❚❤❛♠ sè tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ✼✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ①➳❝ ➤Þ♥❤ tõ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ t❤Ĩ ❤✐Ö♥ tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ✸✳✶✺✳ ❇➯♥❣ ✸✳✶✺✿ ❑Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ a = b = 1, M × N = 64 × 64, err = 10−4 θ1 = θ2 sinx1 sinx2 x41 + x42 ex1 sinx2 + ex2 sinx1 ε t ε t ε t ✵✳✶ 9.10−5 ✶✼ 1.10−4 ✹✻ 9.10−5 ✷✷ ✵✳✷ 6.10−5 ✶✷ 1.10−4 ✹✺ 8.10−5 ✶✹✳✻ ✵✳✸ 4.10−6 ✶✷ 9.10−5 ✶✾ 7.10−5 ✶✶✳✽ ✵✳✹ 7.10−6 ✾ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✵ ✵✳✹✺ 9.10−6 ✼ 9.10−5 ✶✷ 6.10−5 ✼✳✽ ✵✳✺ 1.10−5 ✾ 9.10−5 ✶✼ 7.10−5 ✾✳✻ ✵✳✻ 6.10−6 ✶✷ 9.10−5 ✶✽ 5.10−5 ✶✷ ✵✳✼ 2.10−5 ✶✸ 1.10−4 ✹✻ 6.10−5 ✶✷ ✵✳✽ 3.10−5 ✶✹ 1.10−4 ✺✺ 6.10−5 ✶✺ ◆❤❐♥ ①Ðt✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ❱í✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ r➺♥❣ ✈✐Ư❝ ♠ë ré♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ➤è✐ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ệ ỗ ợ t t ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ➤ó♥❣ ➤➽♥ ❝đ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ề ý tết ợ ị ết q tự ệ tí t ị tí ữ ❤✐Ư✉ ❝đ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤➲ ➤Ị ①✉✃t✱ t❤❛♠ sè tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ θopt ≈ 0.45 ❱✐Ư❝ ♠ë ré♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝❤♦ ❧í♣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛ ✈í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ♣❤ø❝ t➵♣ ❤➡♥ ♥÷❛✳ ✽✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥✱ ♠ét ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♠✐Ị♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♣❤ø❝ t➵♣✱ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ➤➲ ✈➭ ➤❛♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ó rì tó ợ ết q q trä♥❣ ✈Ị ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣✱ ❧ý t❤✉②Õt ✈Ị ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ✈➭ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠✱ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ P♦✐♥❝❛r❡✱ t♦➳♥ tư ❙t❡❦❧♦✈✲P♦✐♥❝❛r❡✱ ❧ý t❤✉②Õt ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ trì t tử ữ ết q ❧ý t❤✉②Õt q✉❛♥ trä♥❣ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥✳ ✷✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ ❜❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥✿ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✲❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t ỗ ợ r s ❧➷♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❝ï♥❣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❜❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❧ý t❤✉②Õt t♦➳♥ tư ❝ï♥❣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ➤➢❛ r❛ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè tè✐ ➢✉ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt✳ ✸✳ ❚r➟♥ ❝➡ së ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ➤è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ❤❛✐✱ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✸✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ề ố ớ trì s ề ò ề ệ rt ề ệ ỗ ợ ự tr t tở ị trị ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ ❤➭♠ ❤♦➷❝ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✳ ➜➢❛ r❛ ♠ét ❧♦➵t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ tÝ♥❤ t♦➳♥ tr➟♥ ♠➠✐ tr➢ê♥❣ ▼❛t❧❛❜✱ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ➤❛ ❞➵♥❣✱ s♦ s➳♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❙❋ ✈➭ ❆◗❍✱ s♦ s➳♥❤ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝ị ✈➭ s➡ ➤å ❝➯✐ t✐Õ♥✳ ❍➢í♥❣ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ề ố t ỗ ợ ự t❤❡♦ t➢ t➢ë♥❣ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛ ✈➭ ❝➳❝ ✽✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♣❤ø❝ t➵♣✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ r✃t ❝è ❣➽♥❣ s♦♥❣ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr ỏ ữ s sót rt ợ sù ♣❤➟ ❜×♥❤✱ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝✳ ✽✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❆❪ ❚✐Õ♥❣ ❱✐Öt✳ ❬✶❪ ➜➷♥❣ ◗✉❛♥❣ ➳✱ ❱ị ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✧◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ư♠ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ỗ ợ tr ề ì ọ ứ t ❝❤Ý ❚✐♥ ❤ä❝ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❤ä❝✱ ❚✳✷✶✱ tr✳✷✶✻✲✷✷✾✳ ❬✷❪ ➜➷♥❣ ◗✉❛♥❣ ➳✱ ❱ò ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✧P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ề t ỗ ợ í ❚✐♥ ❤ä❝ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❤ä❝✱ ❚✳✷✷✱ tr✳✸✵✼✲✸✶✽✳ ❬✸❪ ➜➷♥❣ ◗✉❛♥❣ ➳✱ ❱ò ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✧▼ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t trì s ề ò ộ ị ❤ä❝ ❑û ♥✐Ö♠ ✸✵ ♥➝♠ ♥❣➭② t❤➭♥❤ ❧❐♣ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✳ ❬✹❪ P❤➵♠ ❑ú ❆♥❤ ✭✷✵✵✺✮✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ sè✱ ◆❳❇ ➤➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✺❪ ◆❣✉②Ô♥ ▼✐♥❤ ❈❤➢➡♥❣✱ ❍➭ ❚✐Õ♥ ◆❣♦➵♥✱ ◆❣✉②Ô♥ ▼✐♥❤ ❚rÝ✱ ▲➟ ◗✉❛♥❣ ❚r✉♥❣ ✭✷✵✵✵✮✱ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ơ❝✳ ễ ợ trì trì ❤➭♠ r✐➟♥❣✱ ◆❳❇ ➤➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✼❪ ❱ị ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧✲ ❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ❤❛✐ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ò tr ề ì ọ ứ t ế sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö t❤➠♥❣ t✐♥✱ ❍➭ ◆é✐✳ ✽✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❬✽❪ ❱ò ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✧▼ét sè ❦Õt q✉➯ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ t t ề ệ ỗ ợ ♠➵♥❤✧✱ ❚➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❚✳✹✭✹✵✮✱ tr✳✸✼✲✹✺✳ ❬✾❪ ❱ò ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣✱ ✭✷✵✵✼✮✱ ✧▼ét sè ❦Õt q✉➯ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ❣✐➯✐ t s ề ò ề ệ ỗ ❤ỵ♣ ♠➵♥❤✧✱ ❍é✐ t❤➯♦ ❦❤♦❛ ❤ä❝ t♦➭♥ q✉è❝ ❋❛✐r✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳ ❬✶✵❪ ❱ò ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣✱ ❚r➢➡♥❣ ❍➭ ❍➯✐ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❑Õt q✉➯ ❝➯✐ t✐Õ♥ s➡ ➤å ❝❤✐❛ ♠✐Ị♥ ➤è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❤ß❛✧✱ ❚➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❬❇❪ ❚✳✷✭✸✵✮✱ tr✳✷✵✲✸✵✳ ❚✐Õ♥❣ ❆♥❤✳ ❬✶✶❪ ❆❞❛♠s ❘✳ ✭✶✾✼✺✮✱ ❙♦❜♦❧❡✈ ❙♣❛❝❡s✱ ❆❝❛❞✳ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✲ ❙❛♥❢r❛♥❝✐s❝♦✲▲♦♥❞♦♥✳ ❬✶✷❪ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧■t❡r❛t✐✈❡ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❇♦✉♥❞✲ ❛r② ❱❛❧✉❡ Pr♦❜❧❡♠ ✭❇❱P✮ ❢♦r ❇✐❤❛r♠♦♥✐❝ t②♣❡ ❊q✉❛t✐♦♥✧✱ ❚➵♣ ❝❤Ý ❚✐♥ ❤ä❝ ✈➭ ➜✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❤ä❝✱ ✶✹✭✹✮✱ ♣♣✳✻✻✲✼✷✳ ❬✶✸❪ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✱ ❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣✱ ✧❆ ❞♦♠❛✐♥❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥♠❡t❤♦❞ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠✧✱ ▼❡t❤♦❞s ♦❢ ❈♦♠♣❧❡① ❛♥❞ ❈❧✐❢❢♦r❞ ❆♥❛❧②s✐s ✭Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ ✷✵✵✹ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✮✱ ❙❆❙ ■t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥✱ ❉❡❧❤✐✱ ♣♣✳✸✵✾✲ ✸✶✾✳ ❬✶✹❪ ❊❧❧✐♦t✐s ▼✳✱ ●❡♦r❣✐♦✉ ●✳✱ ❳❡♥♦♣❤♦♥t♦s ❈✳✭✷✵✵✺✮✱ ❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st✐❝❦✲ s❧✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ♠❡t❤♦❞✱ 5th ●❘❆❈▼ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❣r❡ss ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ▲✐♠❛ss♦❧✳ ❬✶✺❪ ●❡✈❛rs✐♦ P✳ ✭✷✵✵✺✮✱ ✧❍♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❛♥❞ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❞♦♠❛✐♥ ❞❡❝♦♠✲ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ♣❧❛t❡ ❜❡♥❞✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✧✱ ❈♦♠♣✉t✳ ▼❡t❤♦❞s ❆♣♣❧✳ ▼❡❝❤✳ ❊♥❣r❣✳ ✶✾✹✱ ♣♣✳ ✹✸✷✶✲✹✸✹✸✳ ✽✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❬✶✻❪ ❍❛✐✱ ❚r✉♦♥❣ ❍❛✱ ◗✉❛♥❣✱ ❱✉ ❱✐♥❤ ❛♥❞ ❆♥❤✱ ❉♦ ❉✐❡♣ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❚❤❡ r❡✲ s✉❧t ♦❢ ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ t✇♦ ❞♦♠❛✐♥ ❞❡❝♦♠s✐t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ❜✐❤❛r✲ ♠♦♥✐❝ ♣r♦❜❧❡♠✧✱ ❚➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❚✳✶✭✸✵✮✱ ♣♣✳✶✷✲✷✵✳ ❬✶✼❪ ▼❛r❝❤✉❦ ●✳■✳ ✭✶✾✽✷✮✱ ▼❡t❤♦❞s ♦❢ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✶✽❪ P♦✉❧❧✐❦❦❛s ❆✳✱ ❑❛r❛❣❡♦r❣❤✐s ❆✳✱ ●❡♦r❣✐♦✉ ●✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧▼❡t❤♦❞s ♦❢ ❢✉♥✲ ❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❤❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✧✱ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ▼❡❝❤❛♥✐❝s✱ ✭✷✶✮✱ ♣♣✳✹✶✻✲✹✷✸✳ ❬✶✾❪ ◗✉❛rt❡r♦♥✐ ❆✳ ❛♥❞ ❱❛❧❧✐ ❆✳ ✭✶✾✾✾✮✱ ❉♦♠❛✐♥ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ❈❧❛r❡♥❞♦♥ Pr❡ss✳ ❖①❢♦r❞✳ ❬✷✵❪ ❙❛✐t♦ ◆✳ ❛♥❞ ❋✉❥✐t❛ ❍✳ ✭✷✵✵✶✮✱ ❖♣❡r❛t♦r ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s t♦ ❉♦✲ ♠❛✐♥ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s✱ ✶✷t❤ ■♥t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❉♦♠❛✐♥ ❉❡❝♦♠♣♦s✐✲ t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s✱ ✻✸✲✼✵✱ ✇✇✇✳❞❞♠✳♦r❣✴❉❉■ ✷✴s❛✐t♦✳♣❞❢✳ ❬✷✶❪ ❙❛✐t♦ ◆✳ ❛♥❞ ❋✉❥✐t❛ ❍✳ ✭✷✵✵✵✮✱ ❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❚r❛❝❡ ♦❢ ❢✐♥❡❞ ✐♥ ❛ ❉♦♠❛✐♥ ✇✐t❤ ❝♦r♥❡rs✱ H ✲❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✲ ❏✳ ▼❛t❤✱ ❙❝✐✳ ❯♥✈✳ ❚♦❦②♦✱ ✭✼✮✱ ♣♣✳✸✷✺✲ ✸✹✺✳ ✽✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN