Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp
1 Bộ Giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Viện Công nghệ Thông tin Vũ Vinh Quang Phơng pháp chia miền giải phơng trình Elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 62.46.30.01 Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học Hà Nội 6/2007 2 Công trình đợc hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Ngời hớng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Đặng Quang á 2. PGS. TS. Hoàng Đình Dung Phản biện 1: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Hữu Công Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 3: TS. Nguyễn Đình Bình Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nớc Họp tại: Viện Công nghệ Thông tin Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi 16 giờ 00 ngày 22 tháng 06 năm 2007 Có thể tìm hiểu luận án tại: Th viện Quốc gia Khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Thái Nguyên 3 Phần mở đầu 1. Tính cấp thiết của đề tài Phơng pháp chia miền đợc phát triển để giải quyết các bài toán biên trong miền hình học phức tạp, t tởng chính của phơng pháp là đa bài toán trong miền phức tạp về một dy các bài toán trong miền đơn giản từ đó nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp. Các tác giả trên thế giới đ đề xuất nhiều phơng pháp lặp xuất phát từ t tởng xác định giá trị hàm trên biên phân chia để xây dựng các thuật toán chia miền khác nhau. Đối với lớp phơng trình bậc cao, phơng pháp chia miền cha thật sự phát triển. Một hớng cần nghiên cứu về phơng pháp chia miền là xây dựng các sơ đồ lặp với t tởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia và phơng pháp chia miền đối với các lớp phơng trình bậc cao. Vì những lý do trên, luận án lựa chọn đề tài Phơng pháp chia miền giải phơng trình elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp. 2. Mục đích và phơng pháp nghiên cứu Mục đích của luận án là đề xuất các phơng pháp chia miền dựa trên t tởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia áp dụng đối các bài toán elliptic cấp hai và bài toán song điều hoà, đồng thời mở rộng các phơng pháp đề xuất khi miền hình học là phức tạp và điều kiện biên phức tạp. Phơng pháp nghiên cứu trong luận án là đề xuất các sơ đồ lặp, sử dụng lý thuyết toán tử chứng minh sự hội tụ của các sơ đồ ở mức vi phân và kiểm tra tính đúng đắn của lý thuyết bằng các thực nghiệm tính toán. 3. Những đóng góp mới của luận án + Xây dựng hoàn chỉnh th viện chơng trình TK2004 giải số bài toán elliptic cấp hai trong miền chữ nhật làm công cụ cài đặt tất cả các thuật toán đề xuất trong luận án. + Đa ra một phơng pháp chia miền mới ngợc với sơ đồ Dirichlet- Neumann, trong trờng hợp bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên Dirichlet đ chứng minh đợc sơ đồ lặp đa ra là hội tụ và thiết lập đợc tham số tối u khi miền hình học là miền chữ nhật. + Đa ra một phơng pháp chia miền mới đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh, trong trờng hợp bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh đ chứng minh đợc sơ đồ lặp hội tụ và tham số lặp tối u có thể xác định từ thực nghiệm tính toán. + Mở rộng phơng pháp chia miền đ đề xuất khi miền hình học là phức tạp đồng thời khảo sát tính gián đoạn mạnh của đạo hàm tại điểm phân chia giữa hai loại điều kiện biên. + Trên cơ sở các kết quả đạt đợc đối với phơng pháp chia miền, đ đề xuất giải pháp thiết kế thuật toán song song dựa trên t tởng chia miền. + Mở rộng các kết quả đ nghiên cứu, đề xuất các phơng pháp chia miền đối với bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phơng trình elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp. 4 4. Bố cục của luận án Luận án gồm phần mở đầu, 3 chơng nội dung, phần kết luận, tài liệu tham khảo và phần phụ lục đợc cấu trúc nh sau: Chơng 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và đa ra các kết quả xây dựng th viện chơng trình giải số bài toán elliptic cấp hai trong miền chữ nhật, làm công cụ cài đặt các thuật toán đề xuất trong luận án. Chơng 2 trình bày cơ sở toán học về phơng pháp chia miền, đề xuất phơng pháp chia miền mới đối với bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với các bài toán biên hỗn hợp yếu, bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miền hình học phức tạp. Khảo sát tính gián đoạn mạnh của đạo hàm và đồng thời đề xuất giải pháp song song đối với thuật toán chia miền trong miền hình học phức tạp và điều kiện biên phức tạp. Chơng 3 trình bày các kết quả nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với lớp bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phơng trình elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà. Phần phụ lục của luận án là các chơng trình nguồn của th viện TK2004. Trong luận án, các kết quả lý thuyết đợc kiểm tra bằng các chơng trình thực nghiệm lập trình trong môi trờng Matlab trên máy tính PC. Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Dựa trên các tài liệu của các tác giả D. Cioranescu và P. Donato, R. Adams, G. I. Marchuk, trong chơng 1 đa ra một số các khái niệm cơ bản cùng các kết quả lý thuyết quan trọng về không gian Sobolev và phơng trình elliptic. Các kiến thức và kết quả này sẽ đợc sử dụng trong luận án. Không gian Sobolev + Các định nghĩa về các không gian: W 1,p () , H 1 () , H 1/2 () , H 1 () và H 1/2 () , khái niệm về biên Lipschitz. + Định lý vết, công thức Green, bất đẳng thức Poincare cùng các khái niệm về hằng số vết C () , hằng số Poincare C . Phơng trình elliptic + Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán Robin. + Khái niệm về nghiệm yếu. + Định lý Lax-Milgram và các định lý tồn tại duy nhất nghiệm. 1.2 Kết quả bổ trợ Việc tìm nghiệm bằng số các bài toán biên là một trong những nhiệm vụ quan trọng đối toán học tính toán. Trong phần này sẽ trình bày các kết quả thiết kế th viện chơng trình giải số các bài toán biên cho phơng 5 trình vi phân dạng u(x) + cu(x) = f(x), x , c 0, u(x) = g(x), x (1.1) trong đó là miền chữ nhật, là toán tử điều kiện biên. 1.2.1 Phơng pháp thu gọn khối lợng tính toán Xét bài toán biên u(x) = f (x), x , u(x) = g(x), x (1.2) trong đó là miền chữ nhật có kích thớc L 1 và L 2 , là toán tử điều kiện biên với giả thiết bài toán có nghiệm duy nhất. Đa vào không gian lới h 1 h 2 = {x ij = (ih 1 , jh 2 ), i = 0, 1, , M, j = 0, 1, , N} với h 1 = L 1 M , h 2 = L 2 N . Tuỳ theo dạng của toán tử điều kiện biên, bài toán vi phân (1.2) đợc đa về các hệ phơng trình vectơ ba điểm dạng thứ nhất Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N 1, Y 0 = F 0 , Y N = F N (1.3) và dạng thứ hai CY 0 2Y 1 = F 0 , j = 0, Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N 1, 2Y N1 + CY N = F N , j = N (1.4) trong đó Y j là các vectơ giá trị của nghiệm trên một hàng, F j là các vectơ vế phải, F 0 và F N là các vectơ điều kiện biên, C là ma trận hệ số có tính chéo trội. Giả thiết N = 2 n , n > 0 . Xuất phát từ phơng pháp khử chẵn lẻ, các tác giả Samarskij-Nikolaev đ đa ra các thuật toán thu gọn khối lợng giải các hệ phơng trình (1.3) và (1.4) với độ phức tạp tính toán O(MNlogN) . 1.2.2 Xây dựng th viện chơng trình. Trên cơ sở mở rộng các thuật toán thu gọn khối lợng tính toán, chúng tôi tiến hành xây dựng th viện chơng trình TK2004 giải số các bài toán biên dạng (1.1). Đa vào không gian lới h 1 h 2 , kí hiệu b1, b2, b3, b4 lần lợt là các vectơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các cạnh trái, phải, dới và trên của miền chữ nhật, r = h 2 1 h 2 2 , d = 2(1 + r) + ch 2 2 . Lựa chọn ngôn ngữ cài đặt các thuật toán là Matlab version 6.5.1. Bài toán biên Dirichlet u(x) + cu(x) = f(x), x , u(x) = g(x), x . 6 Từ phơng pháp sai phân với độ chính xác O(h 2 1 + h 2 2 ) , chuyển bài toán vi phân về bài toán sai phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N 1, Y 0 = F 0 , Y N = F N trong đó Y j là các vectơ nghiệm, F j là các vectơ cấp (M 1) , C là ma trận hệ số cấp (M 1) ì (M 1). Trên cơ sở của thuật toán thu gọn, thiết kế hàm T K0000(, b1, b2, b3, b4, c, L 1 , L 2 , M, N, n) thực hiện thuật toán thu gọn, hàm u0000(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) . Bài toán biên Neumann u(x) + cu(x) = f(x), x , u(x) = g(x), x trong đó tồn tại ít nhất điều kiện biên trên một cạnh hình chữ nhật có dạng Neumann. Trờng hợp 1: Điều kiện biên trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann. Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp đ biết vectơ F 0 , thiết kế hàm T K0001(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n) thực hiện thuật toán thu gọn, hàm u0001(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) . Khi biên Neumann là một trong các biên còn lại, các hàm u0010( ), u0100( ), u1000( ) đợc xây dựng tơng tự qua hàm T K0001( ) và phơng pháp biến đổi toạ độ. Trờng hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N, Y 0 = F 0 , 2Y N1 + CY N = F N trong đó Y j là các vectơ nghiệm, F j là các vectơ cấp M, C là ma trận hệ số cấp (M ì M) . Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp khi đ biết F 0 , thiết kế hàm T K0002(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n) thực hiện thuật toán thu gọn, hàm u0101(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) . Trong trờng hợp khi biên Neumann là hai trong các biên còn lại, các hàm u1010( ), u1001( ) , u0110( ), đợc xây dựng tơng tự qua hàm T K0002( ) và phơng pháp biến đổi toạ độ. Trờng hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh phải, dới và trên của hình chữ nhật là dạng Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm CY 0 2Y 1 = F 0 , Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N, 2Y N1 + CY N = F N . Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp cha biết F 0 . Thiết kế hàm T K0003(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n) thực hiện thuật toán 7 thu gọn, hàm u0111(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) . Trong trờng hợp khi biên Neumann là ba trong các biên còn lại, các hàm u1110( ), u1101( ), đợc xây dựng tơng tự qua hàm T K0003( ) và phép biến đổi toạ độ. Trờng hợp 4: Trên các cạnh của hình chữ nhật đều cho điều kiện biên Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm CY 0 2Y 1 = F 0 , Y j1 + CY j Y j+1 = F j , 1 j N, 2Y N1 + CY N = F N . Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp tổng quát. Thiết kế hàm T K0004(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n) thực hiện thuật toán, hàm u1111(, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) . Qua thực nghiệm tính toán, các hàm thiết kế đ đảm bảo độ chính xác tính toán O(h 2 1 + h 2 2 ) và độ phức tạp tính toán là O(MN log N) . Trong luận án, các chơng trình thiết kế giải số các bài toán biên bằng phơng pháp chia miền đều sử dụng các hàm trong th viện chơng trình TK2004. Các kết quả xây dựng th viện chơng trình đ đợc công bố trong công trình [5]. Kết luận: Nội dung chơng 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chơng sau và đặc biệt đ thiết kế hoàn chỉnh th viện chơng trình TK2004. Đây là công cụ rất quan trọng để cài đặt các thuật toán sẽ đề xuất trong chơng 2 và chơng 3 của luận án. Chơng 2 Phơng pháp chia miền giải phơng trình elliptic cấp hai 2.1 Giới thiệu về phơng pháp chia miền Hình 2.1 Xét bài toán Poisson trong đó là miền với biên Lipschitz , chia miền bởi biên , kí hiệu u i là nghiệm trong miền i (i = 1, 2) , n là vectơ pháp tuyến ngoài của 1 trên , (hình 2.1). Khi đó bài toán đợc viết dới dạng 8 đa miền nh sau: u 1 = f, x 1 , u 1 = 0, x 1 , u 1 = u 2 , x , u 2 n = u 1 n , x , u 2 = 0, x 2 , u 2 = f, x 2 . Các phơng trình ba và bốn trong bài toán đa miền chính là các điều kiện liên hợp trên biên, về mặt ý nghĩa vật lý các phơng trình mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung giữa hai miền. Kí hiệu là giá trị cha biết của hàm u trên biên phân chia , khi đó bài toán đa miền sẽ đợc giải quyết nếu xác định đợc giá trị của . Các phơng pháp chia miền chủ yếu đều tìm cách xác định giá trị xấp xỉ của trên biên phân chia. 2.2 Các sơ đồ lặp cơ bản 2.2.1 Sơ đồ Dirichlet-Neumann Cho trớc (0) , với mỗi k 0 giải liên tiếp hai bài toán u (k+1) 1 = f, x 1 , u (k+1) 1 = 0, x 1 , u (k+1) 1 = (k) , x . u (k+1) 2 = f, x 2 , u (k+1) 2 = 0, x 2 , u (k+1) 2 n = u (k+1) 1 n , x . Tính lại giá trị (k+1) theo công thức (k+1) = u (k+1) 2 + (1 ) (k) trong đó là tham số lặp cần lựa chọn để sơ đồ lặp hội tụ. 2.2.2 Sơ đồ Neumann - Neumann. Cho trớc (0) , với mỗi k 0 giải liên tiếp các bài toán u (k+1) i = f, x i , u (k+1) i = 0, x i , u (k+1) i = (k) , x . (k+1) i = f, x i , (k+1) i = 0, x i , (k+1) i n = u (k+1) 1 n u (k+1) 2 n , x . Hiệu chỉnh (k+1) = (k) ( 1 (k+1) 1 2 (k+1) 2 ) trong đó > 0 là tham số lặp, 1 và 2 là hai hệ số ớc lợng trung bình dơng. 9 2.2.3 Sơ đồ Robin Xuất phát từ u (0) 2 với mỗi k 0 , giải các bài toán u (k+1) 1 = f, x 1 , u (k+1) 1 = 0, x 1 , u (k+1) 1 n + 1 u (k+1) 1 = u (k) 2 n + 1 u (k) 2 , x . u (k+1) 2 = f, x 2 , u (k+1) 2 = 0, x 2 , u (k+1) 2 n 2 u (k+1) 2 = u (k+1) 1 n 2 u (k+1) 1 , x trong đó 1 và 2 là các tham số gia tốc không âm thoả mn 1 + 2 > 0 . 2.3 Phơng pháp chia miền giải bài toán biên Dirichlet Xuất phát từ cơ sở của phơng pháp chia miền, nhiều tác giả trên thế giới đ đề xuất hàng loạt phơng pháp lặp. Một trong các phơng pháp phổ biến đợc biết đến đó là phơng pháp Dirichlet-Neumann. Trong phơng pháp này, mỗi lần lặp cần giải quyết bài toán Dirichlet trong 1 và sau đó giải bài toán Neumann trong 2 . Một tiếp cận khác để giải bài toán là phơng pháp Neumann-Neumann bằng cách giải song song hai bài toán Dirichlet trong các miền con và sau đó giải song song hai bài toán Neumann. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc đa ra một phơng pháp chia miền giải bài toán biên Dirichlet. Sự khác biệt so với tất cả các phơng pháp đ biết là tại mỗi bớc lặp, có hai bài toán đợc giải quyết trớc hết là bài toán Neumann trong 1 và sau đó là bài toán Dirichlet trong 2 . Do vậy phơng pháp chúng tôi đa ra có thể xem là ngợc với sơ đồ Dirichlet-Neumann. Các kết quả này đ đợc công bố trong công trình [1]. 2.3.1 Mô tả phơng pháp Cho R 2 với biên Lipschitz , xét bài toán u = f, x , u = , x . Giả thiết f L 2 (), H 1 2 () . Chia = 1 2 , 1 2 = với biên trơn , kí hiệu 1 = 1 \ , 2 = 2 \ , u i là nghiệm trong miền i , i là vectơ pháp tuyến ngoài của miền i (i = 1, 2) . Đặt g = u 1 1 , khi đó giá trị của g đợc xác định bởi sơ đồ lặp: 1. Cho g (0) L 2 (), g (0) = 0, x . 2. Với g (k) trên , với mọi k = 0, 1, 2, tiến hành giải hai bài toán u (k) 1 = f, x 1 , u (k) 1 = , x 1 , u (k) 1 1 = g (k) , x . u (k) 2 = f, x 2 , u (k) 2 = , x 2 , u (k) 2 = u (k) 1 , x . (2.1) 10 3. Tính toán lại xấp xỉ mới g (k+1) = (1 )g (k) u (k) 2 2 , x (2.2) trong đó là tham số lặp cần lựa chọn. 2.3.2 Nghiên cứu sự hội tụ Ta viết lại sơ đồ (2.2) dới dạng g (k+1) g (k) + g (k) + u (k) 2 2 = 0, (k = 0, 1, 2, ). (2.3) Đặt e (k) i = u (k) i u i (i = 1, 2), (k) = g (k) g. Định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare S 1 , S 2 nh sau: S i = v i i , x , (i = 1, 2) trong đó v i là nghiệm của bài toán v i = 0, x i , v i = 0, x i , v i = , x . (2.4) Hàm v i là sự mở rộng điều hoà của trong i đợc kí hiệu là H i . Khi đó các toán tử nghịch đảo S 1 i = w i | (i = 1, 2) trong đó w i là nghiệm của bài toán w i = 0, x i , w i = 0, x i , w i i = , x . (2.5) Từ các công thức suy ra e (k) 1 = S 1 1 (k) , e (k) 2 2 = S 2 e (k) 1 . Sử dụng các toán tử đ định nghĩa ở trên, (2.3) đợc viết dới dạng (k+1) (k) + (I + S 2 S 1 1 ) (k) = 0, (k = 0, 1, ). Tác động S 1 1 lên cả hai vế của phơng trình trên ta nhận đợc e (k+1) 1 e (k) 1 + (I + S 1 1 S 2 )e (k) 1 = 0, (k = 0, 1, ). (2.6) Đặt B = I + S 1 1 S 2 , khi đó e (k+1) 1 = (I B)e (k) 1 . (2.7) [...]... toán song song trên t tởng chia miền 6 Mở rộng hớng nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với b i toán song điều hòa v b i toán hỗn hợp giữa phơng trình elliptic cấp hai v b i toán song điều ho trong miền hình học phức tạp Các kết quả của luận án đ khẳng định tính u việt của phơng pháp chia miền khi giải quyết các b i toán biên trong miền hình học phức tạp v điều kiện biên phức tạp Các hớng phát triển của... tính phức tạp của miền hình học Các kết quả với nhiều cấu hình khác đ đợc công bố trong công trình [4] 21 Kết luận: Chơng 2 trình b y các kết quả nghiên cứu mới về phơng pháp chia miền đối với b i toán biên elliptic cấp hai trong miền hình học phức tạp trong trờng hợp điều kiện biên l Dirichlet, điều kiện biên hỗn hợp yếu v hỗn hợp mạnh Đây l những đóng góp quan trọng đối với phơng pháp chia miền, ... nghiên cứu về phơng pháp chia miền giải các lớp b i toán biên bậc cao trong miền hình học phức tạp Chơng 3 Phơng pháp chia miền giải b i toán song điều ho B i toán song điều ho đ đợc một số tác giả trên thế giới quan tâm, việc tìm nghiệm xấp xỉ trong một số dạng b i toán đặc biệt có thể xác định bằng phơng pháp khai triển qua các h m mẫu dới dạng toạ độ cực hoặc sử dụng phơng pháp chia miền bằng cách xây... phơng pháp lặp giải b i toán Một hớng tiếp cận khác để giải b i toán biên hỗn hợp mạnh l sử dụng phơng pháp chia miền Trên cơ sở của các kết quả đ đạt đợc khi nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với b i toán biên Dirichlet, trong phần n y chúng tôi sẽ trình b y một số kết quả nghiên cứu đối với việc giải các b i toán biên elliptic cấp hai khi điều kiện biên l hỗn hợp mạnh trong miền hình học phức tạp. .. toán trong các miền hình học phức tạp 2.4.2 Các kết quả thực nghiệm trong miền hình học phức tạp Sử dụng các kí hiệu 0 chỉ điều kiện biên dạng Dirichlet, 1 chỉ điều kiện biên dạng Neumann, l sai số lớn nhất giữa nghiệm đúng v nghiệm gần đúng, a v b l kích thớc của hình chữ nhật cơ sở, K l số lần lặp Xét b i toán biên hỗn hợp yếu trong đó cho bởi hình 2.2 Hình 2.2 Chia trong th nh ba miền i bởi hai. .. cứu về sự hội tụ của các phơng pháp lặp giải b i toán song điều ho , khẳng định rằng các sơ đồ lặp đ đa ra l hội tụ 3.2 Các kết quả áp dụng trong miền hình học phức tạp Khi miền hình học l miền phức tạp, việc giải các b i toán đợc thực hiện tơng tự nh các sơ đồ lặp đ đề xuất Xét b i toán (3.3) với miền cho bởi hình 3.1, kết quả thực hiện thuật toán đợc cho trong bảng 3.2 Hình 3.1 Bảng 3.2: M ì N = 64... toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Đ chứng minh sơ đồ lặp hội tụ, tham số lặp tối u đợc xác định từ thực nghiệm tính toán 4 Mở rộng phơng pháp chia miền đối với các b i toán biên hỗn hợp yếu, hỗn hợp mạnh trong miền hình học phức tạp v khảo sát tính gián đoạn mạnh của đạo h m tại điểm phân chia giữa hai loại điều kiện biên 5 Đề xuất giải pháp thiết kế thuật toán song song trên... trên hội tụ với 1 v 2 trong khoảng (0.1, 0.9), giá trị opt 0.5 Các kết quả với cấu hình phức tạp hơn đ đợc đa ra trong công trình [2], các kết quả thu đợc đ khẳng định tính hữu hiệu của phơng pháp đề xuất giải quyết các b i toán biên hỗn hợp yếu trong các miền hình học phức tạp 2.5 Phơng pháp chia miền giải b i toán biên hỗn hợp mạnh Xét b i toán u = f (x) trong , u = g(x) trên trong đó R2 Ta xét... của luận án + Nghiên cứu phơng pháp chia miền cho lớp phơng trình bậc cao + Nghiên cứu các phơng pháp khác giải b i toán biên trong miền hình học phức tạp, so sánh với phơng pháp chia miền + Nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với các lớp b i toán không dừng 27 Các công trình đ công bố [1] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem,... số kết quả ứng dụng phơng pháp chia miền giải b i toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, Tạp chí Khoa học v Công nghệ Đại học Thái nguyên, T.4(40): 37-45 [7] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang (2006), Phơng pháp chia miền giải b i toán biên hỗn hợp mạnh, Tạp chí Tin học v Điều khiển học, T.22, S.4: 307-318 [8] Vũ Vinh Quang (2003), Hiện thực hoá một phơng pháp chia miền đối với b i toán biên . và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Viện Công nghệ Thông tin Vũ Vinh Quang Phơng pháp chia miền giải phơng trình Elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền hình học phức. các bài toán elliptic cấp hai và bài toán song điều hoà, đồng thời mở rộng các phơng pháp đề xuất khi miền hình học là phức tạp và điều kiện biên phức tạp. Phơng pháp nghiên cứu trong luận án. với thuật toán chia miền trong miền hình học phức tạp và điều kiện biên phức tạp. Chơng 3 trình bày các kết quả nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với lớp bài toán song điều hòa và bài toán hỗn