phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Biên liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . 11 1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . 12 1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 17 1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . 17 1.3.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . 20 2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán cấp hai và cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền . . . . . . . . . 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 45 3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất . . . . 45 3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann . 51 3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên . . . . . 58 3.4 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Danh mục công trình đã công b ố . . . . . . . . . . . . . 67 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Toán tử elliptic. R n Không gian Euclide n chiều. Ω Miền giới nội trong không gian R n . ∂Ω Biên trơn Lipschitz. C k (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục. L 2 (Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích. W 1,p (Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p. H 1/2 (∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2. H 1 0 (Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω. H −1 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1 0 (Ω). H −1/2 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω).  .  V Chuẩn xác định trên không gian V . (.) V Tích vô hướng xác định trên không gian V . C γ (Ω) Hằng số vết. C Ω Hằng số Poincare. E Ma trận đơn vị. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoà xuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngang của tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng vớ i mô hình dòng chảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng không nén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện mô hình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấm đàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, một thành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng. Đây là một mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quan tâm. Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P. Gervasio đã mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xác định nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp. Ngoài phương pháp trên, để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương pháp phân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán song điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm của hai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền. Cơ sở lý thuyết này đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong cá c năm qua. Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán, nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thực hiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 đối với phương trình elliptic, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm cơ sở để trình bày và nghiên cứu về lý thuyết các mô hình toán học được trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền tổng quát, các kết quả lý thuyết của phương pháp chia miền đối với phương trình elliptic cấp hai dựa trên tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân cách, lý thuyết về phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán song điều hòa. Đây là những kết quả đã được các tác giả Việt Nam công bố trong các năm qua. Các kết quả này là cơ sở lý thuyết chính để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không thuần nhất trong chương 3 của luận văn. Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất, trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tác giả P. Gervasio đề xuất. Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luận văn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toán không thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán so ng điều hoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử. Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P. Gervasio đã đưa ra. Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB với nhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đề xuất. Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R n và Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn  u  C k (Ω) =  α=k max | D α u(x) |, (1.1) trong đó α = (α 1 , α 2 , , α n ) được gọi là đa chỉ số, là vecto với các tọa độ nguyên không âm, | α |= α 1 + α 2 + + α n , D α u = ∂ α 1 +α 2 + +α n u ∂x α 1 1 ∂x α n n . Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian L p (Ω) Giả sử Ω là một miền trong R n và p là một số thực dương. Ta ký hiệu L p (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho  Ω | f(x) | p dx < ∞. (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Trong L p (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các phần tử của L p (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì | f(x) + g(x) | p ≤ (| f(x) | + | g(x) |) p ≤ 2 p (| f(x) | p + | g(x) | p ) nên rõ ràng L p (Ω) là một không gian vecto. Ta đưa vào L p (Ω) phiếm hàm  .  p được xác định bởi  u  p =   Ω | f(x) | p dx  1 p . (1.3) Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨oder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L p (Ω), v ∈ L p (Ω) thì uv ∈ L p (Ω) và  Ω | u(x)v(x) | dx ≤ u(x)  p .  v(x)  p  , (1.4) trong đó p  = p p − 1 , tức là 1 p + 1 p  = 1, p  được gọi là số mũ liên hợp đối với p. Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 < p < ∞ thì  f + g  p ≤ f  p +  g  p . (1.5) Định lí 1.3. Không gian L p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach. 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong R n . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x 0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x 0 để u(x) khả tích trong ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... và trình bày các kết quả về một số phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà, lý thuyết về bài toán không thuần nhất sẽ được đưa ra trong các chương tiếp theo của luận văn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương 2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán cấp hai và cấp bốn 2.1 2.1.1 Phương. .. f, x ∈ Ω2 Các phương trình ba và bốn trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên biên phân chia Về mặt ý nghĩa vật lý, các phương trình mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung Γ giữa hai miền con Ω1 và Ω2 Như vậy, việc giải bài toán trong miền Ω được đưa về việc giải bài toán trong hai miền con Nghiệm của hai bài toán trong hai miền con phải đảm bảo điều kiện chuyển... mở rộng điều hoà của ξ vào Ωi , 1/2 1 ξ ∈ H00 (Γ) = {v|Γ : v ∈ H0 (Ω)} Phương trình (2.6) gọi là phương trình Steklov-Poincaré Ta cũng sử dụng các toán tử Si−1 (i = 1, 2) và gọi là các toán tử Poincaré-Steklov Xuất phát từ công thức đa miền, phương trình Steklov-Poincaré, toán tử Steklov-Poincaré, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuất các phương pháp lặp cơ sở để xét một dãy các bài toán trong... yk , của phương trình (1.8) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá trị yk+1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: yk , yk−1 , Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ yk+1 có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước đó Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp... cấp bốn 2.1 2.1.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia miền Cơ sở của phương pháp chia miền Lý thuyết về phương pháp chia miền đã được đưa ra trong khoảng 20 năm trở lại đây, cơ sở của lý thuyết này dựa trên các khái niệm về các điều kiện chuyển tiếp của hàm và đạo hàm qua biên phân chia, các công thức biến phân, các sơ đồ lặp ở mức vi phân và ứng dụng của toán tử Steklov-Poincare... ∀v ∈ H, trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và 1 z ≤ F α Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 ( Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F (v) có 1 duy nhất nghiệm z ∈ H thoả mãn z ≤ F ) α • Bài toán Dirichlet thuần nhất Xét bài toán − u = f, x ∈ Ω, (1.32) u = 0, x ∈ ∂Ω, 1 trong đó f ∈ L2 (Ω) Bài toán (1.31) có nghiệm yếu là... (∂Ω) Kết hợp các điều trên ta suy ra u 1 H0 (Ω) ≤ C1 f L2 (Ω) +C2 ϕ H 1/2 (∂Ω) Kết luận Nội dung chương 1 đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức Poincare, khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình elliptic, định lý Lax-Milgram về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, cơ sở về lý thuyết các sơ đồ lặp giải phương trình toán tử Đây là... trong đó γ1 , γ2 là các tham số gia tốc không âm thoả mãn γ1 + γ2 > 0 2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic Nội dung chính của phương pháp là xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia để xây dựng sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ Phương pháp này được coi là ngược với sơ đồ DirichletNeumann (Được đề xuất bởi Đặng Quang Á và Vũ Vinh Quang năm 2004) Cho Ω là miền... của phương trình (1.23), tức là u ∈ H 1 (Ω) và ta có (1.25) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C 2 (Ω) ta suy ra ( u + f )ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω) Ω Vì D(Ω) trù mật trong L2 (Ω), u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên u + f = 0 trong L2 (Ω) Nhưng vì u liên tục nên u + f ≡ 0 trong C(Ω) Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.23) 1.3.2 Phát biểu các bài toán biên • Bài toán Dirichlet Xét bài toán. .. hai Khái niệm nghiệm yếu của phương trình Xét phương trình − u=f (1.23) Giả sử u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.23) thoả mãn trong miền Ω Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.23) ∞ Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C0 (Ω) nhân với hai vế của (1.23) rồi lấy tích phân ta được uϕ dx = Ω f ϕ dx (1.24) Ω Áp dụng công thưc Green vào (1.24) và kết hợp với điều kiện ϕ|∂Ω=0 ta có n ∂ϕ . KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số. một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toán không thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán so ng điều hoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặp xác