phương trình sóng cấp hai một chiều

16 2 Phương trình sóng thuần nhất 21 2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya.. 28 2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 3

1.1 Chuỗi Fourier thông thường 3

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 3

1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 4

1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin 4

1.2.1 Khái niệm 4

1.2.2 Sự hội tụ 5

1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 7

1.3.1 Dãy trực giao 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 8

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville 11

1.4.1 Khái niệm 11

1.4.2 Tính chất 12

1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp hai trên khoảng hữu hạn 13

1.5.1 Các ví dụ đơn giản 13

1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn 16

2 Phương trình sóng thuần nhất 21 2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya 21

2.2 Phương trình sóng một chiều 22

2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R 22

2.4 Công thức d’ Alembert của bài toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu 25

2.4.1 Công thức d’Alembert cho bài toán Cauchy 25

2.4.2 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên

nửa trục khi một đầu thanh được giữ chặt 26

2.4.3 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục khi một đầu thanh để tự do 28

2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán biên-giá trị ban đầu trên nửa trục với các điều kiện biên không thuần nhất 30

2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet 30

2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann 30

2.6 Năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm 31

2.6.1 Năng lượng của sóng 31

2.6.2 Tính duy nhất nghiệm 32

2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn 33

2.7.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai đầu cố định- Bài toán biên Dirichlet 33

2.7.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây 36 2.8 Một số bài toán biên-giá trị ban đầu khác của phương trình sóng trên khoảng hữu hạn 40

2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann 40

2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp 44

2.9 Bài toán Goursat đối với phương trình sóng 48

2.9.1 Một bài toán Goursat cho phương trình sóng 48

2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng 49 2.10 Sóng cầu đối xứng 50

3 Phương trình không thuần nhất- Nguyên lý Duhamel 52 3.1 Nguyên lý Duhamel trong các phương trình không thuần nhất 52

3.1.1 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp một 52

3.1.2 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp hai 53

3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát 54

3.2 Phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực 55

3.3 Phương trình sóng không thuần nhất trên nửa trục thực 57

3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn-Phương pháp tách biến 59

3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất 59

3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên thuần nhất 64

4 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 684.1 Các khái niệm 684.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng 69

Mở đầu

Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của

lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán Phương trình sóng rất

đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v , và thuộc dạnghyperbolic Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng hyperbolic thường

là rất khó, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến Do tính phức tạpnói trên, nên nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trìnhsóng chủ yếu được phát hiện đối với phương trình sóng cấp hai và có số chiều thấp.Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạngphương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều Do đó việc tìm hiểu sâu hơn vềphương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết Đóchính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này

Bố cục của luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouvill

Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề được đề cập tớitrong luận văn, đó là vấn đề về chuỗi Fourier và khai triển vào chuỗi Fourier theocác hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phươngpháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng

Chương 2: Phương trình sóng thuần nhất

Chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất Vấn đềchính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bàitoán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấphai trên nửa trục Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệmcủa phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên củaphương trình sóng trên khoảng hữu hạn Vận dụng công thức d’ Alambert, tìmnghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng

Chương 3: Phương trình sóng không thuần nhất-Nguyên lý DuhamelChương này trình bày nguyên lý Duhamel giải các phương trình tuyến tính khôngthuần nhất trên cơ sở biết công thức nghiệm của phương trình thuần nhất tương

ứng Tiếp đó, trình bày cách giải các phương trình sóng không thuần nhất trêntrục thực, trên nửa trục và trên một khoảng hữu hạn.

Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóngNội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-6] dưới sựhướng dẫn tận tình và nghiệm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học,Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Em cũng chân thành cảm ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại họckhoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đãtận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Liên

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm f ∈ L1[−π, π], nghĩa làf khả tích Lesbesgue trên[−π, π], ta định nghĩachuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau

a0

2 +

∞Xk=1

trong đó

ak = 1π

πZ

−π

f x0
cos kx0dx0, k = 1, 2,

bk = 1π

πZ

(akcos kx + bksin kx).

Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơngiản là nó chỉ mối liên hệ (1.1)- (1.2) mà thôi

Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tựnhư trên Trong đó các hệ số ak, bk được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π].

Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πxl , ta đưa về trườnghợp tuần hoàn với chu kỳ 2π

Để ý rằng vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (1.2) tồn tại

1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Ta nói hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên một khoảng hữu hạn, nếu

nó có biến phân hữu hạn và có một số hữu hạn các điểm cực trị trên khoảng đó

Định nghĩa 1.1 ( Điều kiện Dirichlet).Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xácđịnh trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet

(i) Tồn tại f (a+), f (b−) và f có biến phân bị chặn trên [a, b].

(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn[a, b] sao cho khi bỏ đi các lâncận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lạicủa đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L1(a, b).

Định lý 1.1 Cho f ∈ L1[−π, π]

Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽhội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về1

2



f x+
+ f x−
 nếuxlà điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về 12f −π+
+ f π−


tại x = ±π nếu f π−
và f −π+
tồn tại

1.2.1 Khái niệm

Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Ta định nghĩa f

trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x)

Khi đó, f ∈ L1[−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π)vì vậy có thể

áp dụng kết quả phần trên Ngoài ra, do f là hàm chẵn

a 0 = 2π

πZ

0

f x0
dx0,

ak = 2π

πZ

0

f x0
cos kx0dx0,

bk = 0, k = 1, 2,

Ta có định lý sau [1]

Định lý 1.2 Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Khi đó

ta có chuỗi cosin

1 π

πZ

0

f x0
dx0+ 2

π

∞Xk=1

cos kx

πZ

∞Xk=1

sin kx

πZ

Ví dụ 1.1 Cho f (x) = x2, −π ≤ x ≤ π ta khai triển f thành chuỗi Fourier nhưsau

Ta có b n = 0, ∀n, do f là hàm chẵn, và

a0= 1

π

πZ

−π

f x0
dx0 = 2

π

πZ

−π

f x0
cos nx0dx0= 2

π

πZ

0

x02cos nx0dx0 = (−1)n 4

n 2 , n = 1, 2,

Ngoài ra, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), f bị chặn, f (−π) = f (π)

nên do các định lý 1.1 và 1.4, ta có chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f từng điểmtrên [−π, π], sự hội tụ này là đều Vậy, với x ∈ [−π, π], thì

Ví dụ 1.2 Cho f (x) = x, −π ≤ x ≤ π.

Ta có

an = 0, n = 0, 1, 2, do f lẻ,

bn = 2π

πZ

2πZ

0

x0dx0 = 2π,

an = 1π

2πZ

0

x0cos nx0dx0= 0, n ≥ 1,

b n = 1π

2πZ

1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2

1.3.1 Dãy trực giao

Xét không gian L2 các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π]

Trong L2, dãy hàm {ϕ n |n ∈N} được gọi là một hệ trực giao nếu

πZ

−π

ϕm(x) ϕn(x) dx = 0, ∀m 6= n

và nếu hệ {ϕ n |n ∈ N} có thêm tính chất

πZ

σn2(x) dx − 2

πR

−π

 nPk=0

akϕk(x)

2

dx − 2

πR

−π

f (x)

nPk=0

−π

nPk=0

a2kϕ2k(x)dx +

πR

a2k− 2

nPk=0

(ak− ck)2−

nPk=0

c2k là các hằng số Do đó, δn đạt cực tiểu khi và chỉ khin

ckϕk là chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực

chuẩn{ϕn} Khi đó

πZ

−π

f2(x) dx ≥

∞Xk=0

−π

f2(x) dx −

nPk=0

−π

f2(x) dx, do đó chuỗi

nPk=0

c2k hội tụ và ta có điều phải chứngminh

Vậy với hệ {ϕn} trực chuẩn thì mọi hàm f ∈ L2 đều thỏa mãn bất đẳng thứcBessel Vấn đề được xét tiếp là khi nào bất đẳng thức Bessel xảy ra dấu bằng

Định nghĩa 1.2 Hệ trực chuẩn {ϕn} được gọi là đầy đủ trong L2 nghĩa là

nXk=0

c2k =

πZ

−π

f2(x) dx, ∀f ∈ L2.

Sau đây ta xét một tiêu chuẩn đơn giản cho biết một hệ trực chuẩn là đầy đủ.

Định lý 1.6 Cho hệ trực chuẩn {ϕn} trong L2 Hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu

c2k ≤

πZ

−π

f2(x) dx −

nXk=0

c2k

=

πZ

−π

"

f (x) −

nXk=0

ckϕk(x)

#2

dx ≤

πZ

−π

f2(x) dx =

∞Pk=0

c2k. Trường hợp ngược lại, nghĩa là hệ

(ancos nx + bnsin nx) như

định nghĩa trong mục 1.2 thì

1 π

πZ

−π

f2(x) dx = a

2 0

2 +

∞Xk=1

a2k+ b2k
.

Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức Parseval

Chứng minh Chof là hàm số bất kỳ liên tục trên đoạn [−π, π]và cho trước ε > 0,khi đó f bị chặn bởi M > 0 Đặt

δ = minε2/32M2, π > 0.

Đặtg là hàm số liên tục trên đoạn[−π, π]sao chog bằngf trên đoạn[−π + δ, π − δ],

g (−π) = g (π) = 12[f (−π) + f (π)] và g tuyến tính trên hai đoạn [−π, −π + δ] và

[π − δ, π]

Suy ra g bị chặn bởi M và |f − g| < 2M.

Ngoài ra ta xem như g tuần hoàn với chu kì 2π và liên tục trên R nghĩa là g thỏamãn giả thiết của định lý Fejér, nên ta có một đa thức lượng giác tổng quát (tổngFejér-Césaro của g) σn thỏa mãn

+





πZ

< ε

2 +

ε

2 = ε,

tức là tiêu chuẩn (1.5) thỏa mãn

Do đó hệ trực chuẩn đang xét là đầy đủ

Định lý 1.8 Chuỗi Fourier của hàm f ∈ L2[−π, π] sẽ hội tụ trung bình về f theođịnh nghĩa

lim

n→∞

πZ

(akcos kx + bksin kx)

!#2

dx = 0.

Chứng minh Ta có

πZ

−π

[f (x) − a0

2 +

nXk=1

a2k+ b2k

#

dẫn đến điều phải chứng minh, do bất đẳng thức Parseval

1.4.1 Khái niệm

Cho Llà một toán tử tuyến tính được xác định trên một không gian tuyến tính

đã biết của các phần tử Một phần tửy 6= 0 được gọi là một vectơ riêng củaL nếu

Ly = λy, và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L

Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụnglà

L = − d

2

dx 2 + q (x)

Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b]

Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là

1 y (a) cosα + y0(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y0(b) sin β = 0, ở đóα và β là hai số thựctùy ý, và

được biết đến như là bài toán Sturm-Liouville Bài toán Sturm-Liouville được gọi

là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm q (x) là khả tổng trên đoạn đó.Ngược lại, nếu đoạn[a, b] là vô hạn, hoặc nếuq (x)là không khả tổng trên đoạn đó,hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị

Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn

y00+ p (x) y0+ [l (x) + λr (x)] y = 0, (1.8)

ở đó hàmr (x) dương trên đoạn[a, b], có thể rút gọn được về dạng (1.6) Nếu chúng

ta giả sử rằng đạo hàm cấp một của p (x) và đạo hàm cấp hai củar (x) là liên tục,

Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường y (x, λ1) 6= 0 với λ1

đã biết, thì khi đóλ1 được gọi là một giá trị riêng, và y (x, λ1) 6= 0 được gọi là hàmriêng của (1.6), (1.7)

Bổ đề 1.1 Hai hàm riêngy (x, λ1) 6= 0 và y (x, λ2) 6= 0 tương ứng với những giá trịriêng khác nhau là trực giao, tức là

πZ

0

Lf.g (x)dx = W π {f, g} − W 0 {f, g} +

πZ

f (x) g (x)

f0(x) g0(x)

.

Lấy f (x) = y (x, λ1) và g (x) = y (x, λ2) Từ điều kiện biên (1.7) ta có W0{f, g} =

Wπ{f, g} = 0. Do đó, từ (1.10), ta có

(λ1− λ2)

πZ

0

y (x, λ1)y (x, λ2) dx = 0.

Vì λ1 6= λ2 nên ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.2 Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.6), (1.7) là thực

Chứng minh Lấy λ1 = u + iv là một giá trị riêng phức Vì q (x) có giá trị thực và

α, β là thực, nên λ2 = λ1 = u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàmriêng y (x, λ1) Khi đó, từ bổ đề trước ta có

πZ

phân cấp hai trên khoảng hữu hạn

1.5.1 Các ví dụ đơn giản

Ví dụ 1.5 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y (0) = 0 và y (L) = 0

Lời giải Nghiệm tổng quát là

Chúng ta không xétn = 0 vì khi n = 0, ta cóλ0= 0, và khi đó một hàm riêng sẽ là

y0 = sin (0) = 0 Tuy nhiên, theo định nghĩa thì hàm riêng không đồng nhất bằng

0, vì vậy đây không phải là hàm riêng

Ví dụ 1.6 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y0(0) = 0 và y0(L) = 0

Lời giải Nghiệm tổng quát là

y (x) = a cos λx + b sin λx.

Khi đó, từ điều kiện biên y0(0) = 0, ta có b = 0 Từ điều kiện biên y0(L) = 0 vàcùng với b = 0, ta có 0 = aλ sin λL Giả sử a 6= 0, khi đó 0 = sin λL Từ đó, chúng tacó

Ví dụ 1.7 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y (0) = 0 và y0(L) = 0

Lời giải Nghiệm tổng quát là

hoặc chúng ta cũng có thể viết

λ = 2n − 12L π, n = 1, 2, 3,

Ví dụ 1.8 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y (0) = y (L), y0(0) = y0(L)

Lời giải Nghiệm tổng quát là



(cos λL − 1) a + (sin λL) b = 0, (sin λL) a + (1 − cos λL) b = 0.

Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên ta có

cos λL − 1 sin λL, sin λL 1 − cos λL

... trị ban đầu phương trìnhsóng cấp hai nửa trục Tiếp đó, trình bày lượng sóng tính duynhất nghiệm phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải bàitoán biên phương trình sóng khoảng hữu... data-page="26">

Chương 2

Phương trình sóng nhất

Trong chương trình bày phương trình sóng cấp hai chiều nhất.Vấn đề chương trình bày cơng thức d’ Alambert biểu diễn... tìm nghiệm số tốn Goursat phương trình truyềnsóng

riêng cấp hai định lý Cauchy- Kovalevskaya

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến hai biến (Phương trình Euler)

Au