phương trình sóng cấp hai một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục Mở đầu 1 1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 3 1.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp hai trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Phương trình sóng thuần nhất 21 2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phương trình sóng một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R . . . . . . 22 2.4 Công thức d’ Alembert của bài toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 Công thức d’Alembert cho bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 25 2 2.4.2 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục khi một đầu thanh được giữ chặt . . . . . . . . . . 26 2.4.3 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục khi một đầu thanh để tự do . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán biên-giá trị ban đầu trên nửa trục với các điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . . . 30 2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet . . . . . . . . . 30 2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann . . . . . . . . . 30 2.6 Năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 31 2.6.1 Năng lượng của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai đầu cố định- Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây . 36 2.8 Một số bài toán biên-giá trị ban đầu khác của phương trình sóng trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9 Bài toán Goursat đối với phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 48 2.9.1 Một bài toán Goursat cho phương trình sóng . . . . . . . . . 48 2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng . 49 2.10 Sóng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Phương trình không thuần nhất- Nguyên lý Duhamel 52 3.1 Nguyên lý Duhamel trong các phương trình không thuần nhất . . . 52 3.1.1 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp một . . . . . . 52 3.1.2 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp hai . . . . . . 53 3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực . . . . . . . . . 55 3.3 Phương trình sóng không thuần nhất trên nửa trục thực . . . . . . 57 3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn-Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên thuần nhất . . . . . . . . . 64 3 4 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 68 4.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 4 Mở đầu Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương trình sóng rất đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v , và thuộc dạng hyperbolic. Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng hyperbolic thường là rất khó, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến. Do tính phức tạp nói trên, nên nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trình sóng chủ yếu được phát hiện đối với phương trình sóng cấp hai và có số chiều thấp. Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạng phương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu sâu hơn về phương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết. Đó chính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này. Bố cục của luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouvill Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề được đề cập tới trong luận văn, đó là vấn đề về chuỗi Fourier và khai triển vào chuỗi Fourier theo các hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phương pháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng. Chương 2: Phương trình sóng thuần nhất Chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất. Vấn đề chính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấp hai trên nửa trục. Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm của phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của phương trình sóng trên khoảng hữu hạn. Vận dụng công thức d’ Alambert, tìm nghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng. Chương 3: Phương trình sóng không thuần nhất-Nguyên lý Duhamel Chương này trình bày nguyên lý Duhamel giải các phương trình tuyến tính không thuần nhất trên cơ sở biết công thức nghiệm của phương trình thuần nhất tương 1 ứng. Tiếp đó, trình bày cách giải các phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực, trên nửa trục và trên một khoảng hữu hạn. Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng Nội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-6] dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiệm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Em cũng chân thành cảm ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Liên 2 Chương 1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1]. 1.1 Chuỗi Fourier thông thường 1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier Với hàm f ∈ L 1 [−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau a 0 2 + ∞  k=1 (a k cos kx + b k sin kx), (1.1) trong đó a k = 1 π π  −π f  x   cos kx  dx  , k = 1, 2, b k = 1 π π  −π f  x   sin kx  dx  , k = 1, 2, (1.2) Chuỗi 1.1 được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f(x) và mối quan hệ trên đây được ký hiệu là f (x) ∼ a 0 2 + ∞  k=1 (a k cos kx + b k sin kx). Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn giản là nó chỉ mối liên hệ (1.1)- (1.2) mà thôi. 3 Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự như trên. Trong đó các hệ số a k , b k được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π]. Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πx l , ta đưa về trường hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π. Để ý rằng vì f ∈ L 1 [−π, π] nên các tích phân trong (1.2) tồn tại. 1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier Ta nói hàm f(x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên một khoảng hữu hạn, nếu nó có biến phân hữu hạn và có một số hữu hạn các điểm cực trị trên khoảng đó. Định nghĩa 1.1. ( Điều kiện Dirichlet).Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet (i) Tồn tại f(a + ), f(b − ) và f có biến phân bị chặn trên [a, b]. (ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn[a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L 1 (a, b). Định lý 1.1. Cho f ∈ L 1 [−π, π]. Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về 1 2  f  x +  + f  x −  nếu x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về 1 2  f  −π +  + f  π −  tại x = ±π nếu f  π −  và f  −π +  tồn tại. 1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin 1.2.1 Khái niệm Cho f ∈ L 1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định nghĩa f trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x) . Khi đó, f ∈ L 1 [−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π) vì vậy có thể áp dụng kết quả phần trên. Ngoài ra, do f là hàm chẵn a 0 = 2 π π  0 f  x   dx  , a k = 2 π π  0 f  x   cos kx  dx  , b k = 0, k = 1, 2, Ta có định lý sau [1] 4 Định lý 1.2. Cho f ∈ L 1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó ta có chuỗi cosin 1 π π  0 f  x   dx  + 2 π ∞  k=1 cos kx π  0 f  x   cos kx  dx  (1.3) hội tụ về 1 2  f  x +  + f  x −  tại những điểm x ∈ (0, π) mà f  x +  và f  x −  tồn tại, hội tụ về f  0 +  tại x = 0 nếu f  0 +  tồn tại; hội tụ về f  π −  tại x = π nếu f  π −  tồn tại. Định lý 1.3. Cho f ∈ L 1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó, ta có chuỗi sin 2 π ∞  k=1 sin kx π  0 f  x   sin kx  dx  (1.4) hội tụ về 1 2  f  x +  + f  x −  tại những điểm x ∈ (0, π) mà f  x +  và f  x −  tồn tại, hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π. 1.2.2 Sự hội tụ Định lý 1.4. Cho f ∈ L 1 [0, π]. Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π). Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π). Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u, v) . Ví dụ 1.1. Cho f (x) = x 2 , −π ≤ x ≤ π ta khai triển f thành chuỗi Fourier như sau Ta có b n = 0, ∀n, do f là hàm chẵn, và a 0 = 1 π π  −π f  x   dx  = 2 π π  0 x  2 dx  = 2π 2 3 , a n = 1 π π  −π f  x   cos nx  dx  = 2 π π  0 x  2 cos nx  dx  = (−1) n 4 n 2 , n = 1, 2, Ngoài ra, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), f bị chặn, f (−π) = f (π) nên do các định lý 1.1 và 1.4, ta có chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f từng điểm trên [−π, π], sự hội tụ này là đều. Vậy, với x ∈ [−π, π], thì x 2 = π 2 3 − 4  cos x − cos 2x 2 2 + cos 3x 3 2 − ·· ·  . 5 [...]... Chương 2 Phương trình sóng thuần nhất Trong chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất Vấn đề chính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấp hai trên nửa trục Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm của phương trình sóng, trình bày phương. .. bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của phương trình sóng trên khoảng hữu hạn Vận dụng công thức d’ Alambert, tìm nghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng 2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya Xét phương trình đạo hàm riêng á tuyến hai biến (Phương trình Euler) Auxx + Buxy + Cuyy = F (x, y, u, ux ,... các hàm cho trước của các biến x, y Phương trình A dy dx 2 −B dy +C =0 dx (2.2) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (2.1) Đường cong tích phân của phương trình đặc trưng, tức là nghiệm của phương trình đặc trưng được gọi là đường đặc trưng của phương trình (2.1) Giả sử đường thẳng y = yo không phải là đương đặc trưng của phương trình (2.1) Xét phương trình (2.1) với các điều kiện u(x,... động của sóng âm Khi đó hàm u(x, t) trong (2.7) được hiểu là áp suất do sự nén-giãn của môi trường tại tọa độ x ở thời điểm t Phương trình utt − c2 uxx = 0, x ∈ R (2.8) được gọi là phương trình sóng thuần nhất, hay là phương trình dao động tự do (không có nguồn sóng) 2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R Xét phương trình sóng (2.8) 22 Định lý 2.1 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.8)... là những hàm tùy ý, ít nhất hai lần khả vi liên tục Chứng minh 1 )Phương pháp đưa về phương trình cấp một Phương trình (2.8) được viết ở dạng (∂t + c∂x )(∂t − c∂x )u = 0 Đặt v = ut − cux , ta có (∂t + c∂x )v = 0 Như vậy, v là nghiệm của phương trình dịch chuyển cấp một Nghiệm tổng quát của phương trình này là v = h(x − ct), trong đó h là hàm tùy ý (khả vi) Vậy ta có phương trình ut − cux = h(x − ct)... ý, do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.8) được cho bởi công thức (2.9) 2 )Phương pháp tọa độ đặc trưng Trên mặt phẳng (x, t) các đường đặc trưng của phương trình (2.8) được cho bởi phương trình ϕ(x, t) = 0, trong đó ϕ là nghiệm của phương trình (dx)2 − c2 (dt)2 = 0 Viết lại phương trình trên đây ở dạng (dx + cdt)(dx − cdt) = 0 Từ đây ta có các phương trình vi phân cấp 1 dx − cdt = 0 dx + cdt =... x ở thời điểm t thì phương trình sóng (phương trình dao động của thanh) có dạng ∂ 2u ∂ 2u − c2 2 = f (x, t), ∂t2 ∂x (2.7) trong đó f (x, t) là hàm đã biết, đặc trưng cho sự ảnh hưởng của nguồn sóng trong mội trường tại tọa độ x ở thời điểm t Ngoài sự dao động của thanh đàn hồi được mô tả bởi phương trình sóng (2.7), nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý cũng được mô tả bởi phương trình (2.7), chẳng... hạn, hoặc nếu q (x) là không khả tổng trên đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn y + p (x) y + [l (x) + λr (x)] y = 0, (1.8) ở đó hàm r (x) dương trên đoạn [a, b], có thể rút gọn được về dạng (1.6) Nếu chúng ta giả sử rằng đạo hàm cấp một của p (x) và đạo hàm cấp hai của r (x) là liên tục, 11 khi đó (1.8) có thể được rút gọn... các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình y − 2x−1 y + λ + 2x−2 y = 0 với các giá trị biên y (1) = 0 và y (2) = 0 Lời giải Lấy y = xu (x) Các đạo hàm của nó là y = xu + u, y = xu + 2u Thay thế chúng vào phương trình, ta được xu + 2u − 2x−1 xu + u + λ + 2x−2 xu = 0, phương trình này được rút về xu + λxu = 0, hay u + λu = 0 Khi đó, nghiệm tổng quát đối với phương trình trên là u (x) = a cos b sin... duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.6), sao cho ϕ (a, λ) = sin α và ϕ (a, λ) = −cosα Với bất kì x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ 1.5 1.5.1 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp hai trên khoảng hữu hạn Các ví dụ đơn giản Ví dụ 1.5 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình y + λ2 y = 0 với các giá trị biên y (0) . NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN. đầu Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương trình sóng rất đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng. tả dưới dạng phương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu sâu hơn về phương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết. Đó chính là đề tài học