Mối liên hệ giữa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình Hyperbolic cấp hai

i LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Manh Hùng.Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Nguyen Manh Hùng, ngưòi quan tâm, đ®ng viên tác giá hưóng dan tác giá q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hiắu Trũng hoc S pham H Nđi 2, Phũng Sau đai hoc, Khoa Tốn To Giái tích vói thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá chân thành cám ơn Só GD ĐT Hà Nđi, Trũng THPT Liờn H ó tao moi ieu kiắn giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân ban bố ó đng viờn v tao ieu kiắn e tỏc giỏ hon thnh luắn ny H Nđi, thỏng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Bích Liên ii LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Manh Hùng Lu¾n văn khơng he trựng lắp vúi e ti khỏc H Nđi, thỏng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Bích Liên Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Trung bình hóa 1.1.2 Đao hàm suy r®ng 1.1.3 Không gian W m (Ω), ≤ p < ∞ 1.1.4 Không gian op Wpm (Ω) , ≤ p < ∞ 12 1.2 Thác trien yeu 13 1.3 Tốn tú đóng 13 Hắ phng trỡnh Hyperbolic oi xNng cap mđt 2.1 %nh ngha hắ phng trỡnh Hyperbolic oi xỳng cap mđt 2.2 Nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh Hyperbolic oi xúng cap m®t 14 14 16 2.3 Sn ton tai nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh Hyperbolic oi xỳng cap mđt 20 2.4 Sn nhat nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh Hyperbolic oi xúng cap m®t 22 2.4.1 Tốn tú tích phân ma tr¾n 22 2.4.2 Sn nhat nghi¾m suy r®ng 30 Phương trình hyperbolic cap hai 32 3.1 Đ%nh nghĩa phương trình hyperbolic cap hai 32 3.2 Moi liên h¾ giua hắ phng trỡnh hyperbolic oi xỳng cap mđt v phng trình hyperbolic cap hai 34 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham kháo 46 Mé ĐAU Lý chon đe tài Phương trình đao hàm riêng m®t mơn quan cna Tốn hoc Lý thuyet phương trình đao hàm riêng có hai đ¾c thù bán Thú nhat moi liên h¾ trnc tiep vói tốn V¾t lý, q trình nghiên cúu tốn V¾t lý dan đen tốn phương trình đao hàm riêng Nhung nhà tiên phong lĩnh vnc là: J.D’Alembert (17171783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (17361813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (17681830) .Thú hai moi liên h¾ m¾t thiet cna phương trình đao hàm riêng vói ngành Tốn hoc khác như: Giái tích hàm, Lý thuyet hàm, Tơpơ, Đai so, Giái tích phúc Phương trình đao hàm riêng tuyen tính hi¾n đai gom có: phương trình loai eliptic, phương trình loai parabolic, phương trình loai hyperbolic Khơng gian nghi¾m đoi vói ba loai phương trình m®t van đe bán vi¾c nghiên cúu ve đao hàm riờng tuyen tớnh Nghiắm co ien v nghiắm suy rđng có moi liên h¾ m¾t thiet vói nhau.Vói moi loai phương trình nghiên cúu bao giò đ¾t cõu húi: nghiắm suy rđng cna phng trỡnh cú ton tai khơng, có nhat khơng, phu thu®c liên tuc vào du ki¾n cho cna tốn khơng? Trong phương trình loai hyperbolic có nhieu dang: h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t, phương trình hyperbolic cap hai, phương trình hyperborlic manh Khi nghiên cúu ve loai hyperbolic tuyen tính ta thay phương trình hyperbolic cap hai có moi quan h¾ m¾t thiet vói h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t Đe làm sáng tó moi quan h¾ góp phan giúp cho nhung ngưòi hoc phương trình đao hàm riêng, nhung ngưòi u phương trình đao hàm riêng hieu rõ hơn, sâu nên nhò sn giúp đõ, hưóng dan cna GS.TSKH Nguyen Manh Hùng chon nghiên cúu đe tài “Moi liên hắ giẹa hắ phng trỡnh hyperbolic oi xNng cap mđt vái phương trình hyperbolic cap hai” Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna đe tài tìm hieu sâu ve phương trình đao hàm riêng tuyen tính, cu the là: Moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: - Nghiên cúu ve h¾ phương trình hyperbolic đoi xỳng cap mđt - Nghiờn cỳu ve nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh hyperbolic oi xỳng cap mđt -Nghiờn cúu phương trình hyperbolic cap hai -Nghiên cúu ve moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu cna đe tài nghiên cúu ve h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t, nghiên cúu phương trình hyperbolic cap hai, nghiên cúu moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai Phương pháp nghiên cNu - Phương pháp hàm trung bình - Phương pháp đánh giá bat thúc - Phương pháp đánh giá h®i tu NhĐng đóng góp mái ve khoa hoc, thNc tien cúa đe tài Đe tài nghiên cúu ve moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai Chương Kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Khơng gian Sobolev Trung bình hóa Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú θ(x) m®t hàm khơng âm thu®c cho ¸ θ(x) = θ(−x), θ(x) = neu |x| > θ(x) = Rn Hàm θ(x) đưoc goi nhân trung bình hóa  Ví dn 1.1.1 Hàm θ (x) = Ce   − , |x| < 1, 1−|x| 0, |x| ≥ vói hang so C đưoc chon thích hop đe đieu ki¾n đ%nh nghĩa1.1.1 đưoc thố mãn o ∞ C (Rn) Vói h > , ta đ¾t θ (x) = h−nθ x , x R ∈ h h n Khi o ∞ θh ∈ C (Rn) , θh (x) ≥ 0, θh (x) = neu |x| h,á h (x) dx = 1.Do vắy θh (x) = h −n Rn x θ h goi nhân trung bình hóa (có bán kính h) Đ%nh nghĩa 1.1.2 Neu hàm u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, hàm ¸ u(y)dy −n x − y uh(x) = h θ Ω h đưoc xác đ%nh Rn trơn vơ han Khi đó, hàm uh(x) đưoc goi trung bình hóa hay hàm trung bình cna hàm u Đ%nh lý 1.1.1 Giá sú hàm u ∈ Lp(Ω) vói p ≥ Khi đó, lim "uh − u"Lp(Ω) = h→0 Chúng minh Đ¾t u(x) = đoi vói x ∈ Rn/Ω Khi đó, ¸ ¸ θ(z)u(x + hz)dz −n x − y u(y)dy = uh(x) = h θ Ω h Rn Búi vắy, uh(x) u(x) = (z)[u(x + hz) − u(x)]dz Rn ¸ p |uh(x) − u(x)| ≤ C p |z|