Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG CẤP HAI MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục Mở đầu 1 Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville 1.1 Chuỗi Fourier thơng thường 1.1.1 Khái niệm chuỗi Fourier 1.1.2 Sự hội tụ chuỗi Fourier 1.2 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier- Sin 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Sự hội tụ 1.3 Sự hội tụ chuỗi Fourier L2 1.3.1 Dãy trực giao 1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 1.4 Khái niệm toán Sturm-Liouville 1.4.1 Khái niệm 1.4.2 Tính chất 1.5 Một số ví dụ hàm riêng giá trị riêng cho toán tử vi phân hai khoảng hữu hạn 1.5.1 Các ví dụ đơn giản 1.5.2 Các ví dụ phức tạp cấp Phương trình sóng 2.1 Bài tốn Cauchy lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai định lý Cauchy- Kovalevskaya 2.2 Phương trình sóng chiều 2.3 Nghiệm tổng quát phương trình R 2.4 Cơng thức d’ Alembert tốn Cauchy toán biên giá trị ban đầu 2.4.1 Cơng thức d’Alembert cho tốn Cauchy 3 4 7 11 11 12 13 13 16 21 21 22 22 25 25 2.4.2 Cơng thức d’Alembert cho tốn biên giá trị ban đầu nửa trục đầu giữ chặt 2.4.3 Cơng thức d’Alembert cho tốn biên giá trị ban đầu nửa trục đầu để tự 2.5 Công thức d’Alembert toán biên-giá trị ban đầu nửa trục với điều kiện biên không 2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet 2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann 2.6 Năng lượng sóng tính nghiệm 2.6.1 Năng lượng sóng 2.6.2 Tính nghiệm 2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng khoảng hữu hạn 2.7.1 Nghiệm hình thức tốn dao động dây có hai đầu cố định- Bài tốn biên Dirichlet 2.7.2 Tính đắn nghiệm toán dao động dây 2.8 Một số tốn biên-giá trị ban đầu khác phương trình sóng khoảng hữu hạn 2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann 2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp 2.9 Bài tốn Goursat phương trình sóng 2.9.1 Một toán Goursat cho phương trình sóng 2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng 2.10 Sóng cầu đối xứng Phương trình khơng nhất- Ngun lý Duhamel 3.1 Ngun lý Duhamel phương trình khơng 3.1.1 Nguyên lý Duhamel phương trình cấp 3.1.2 Nguyên lý Duhamel phương trình cấp hai 3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát 3.2 Phương trình sóng khơng trục thực 3.3 Phương trình sóng khơng nửa trục thực 3.4 Phương trình sóng khơng khoảng hữu hạn-Phương pháp tách biến 3.4.1 Trường hợp điều kiện biên 3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên 26 28 30 30 30 31 31 32 33 33 36 40 40 44 48 48 49 50 52 52 52 53 54 55 57 59 59 64 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 4.1 Các khái niệm 4.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng 68 68 69 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 Mở đầu Phương trình sóng phương trình quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vật lý tốn Phương trình sóng đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v , thuộc dạng hyperbolic Các tốn phương trình thuộc dạng hyperbolic thường khó, phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến Do tính phức tạp nói trên, nên nhiều tính chất quan trọng lý thú nghiệm phương trình sóng chủ yếu phát phương trình sóng cấp hai có số chiều thấp Trong thực tế có nhiều tượng học vật lý mô tả dạng phương trình sóng tuyến tính cấp hai chiều Do việc tìm hiểu sâu phương trình sóng thơng qua phương trình sóng cấp hai chiều cần thiết Đó đề tài học tập nghiên cứu luận văn Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouvill Chương trình bày kiến thức bổ trợ cần thiết cho vấn đề đề cập tới luận văn, vấn đề chuỗi Fourier khai triển vào chuỗi Fourier theo hàm riêng toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng phương pháp tách biến giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng Chương 2: Phương trình sóng Chương trình bày phương trình sóng cấp hai chiều Vấn đề chương trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm toán Cauchy toán biên giá trị ban đầu phương trình sóng cấp hai nửa trục Tiếp đó, trình bày lượng sóng tính nghiệm phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải toán biên phương trình sóng khoảng hữu hạn Vận dụng cơng thức d’ Alambert, tìm nghiệm số tốn Goursat phương trình truyền sóng Chương 3: Phương trình sóng khơng nhất-Ngun lý Duhamel Chương trình bày ngun lý Duhamel giải phương trình tuyến tính không sở biết công thức nghiệm phương trình tương ứng Tiếp đó, trình bày cách giải phương trình sóng khơng trục thực, nửa trục khoảng hữu hạn Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng Nội dung luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [1-6] hướng dẫn tận tình nghiệm khắc Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em chân thành cảm ơn tới thầy cô Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ chúng em trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Liên Chương Chuỗi Fourier toán Sturm-Liouville Chương trình bày sở lý thuyết chuỗi Fourier hàm lượng giác ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền hữu hạn Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu [1] 1.1 1.1.1 Chuỗi Fourier thông thường Khái niệm chuỗi Fourier Với hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa f khả tích Lesbesgue [−π, π], ta định nghĩa chuỗi Fourier f chuỗi hàm lượng giác sau a0 + ∞ (ak cos kx + bk sin kx), (1.1) k=1 π ak = π f x cos kx dx , k = 1, 2, −π π bk = π f x sin kx dx , k = 1, 2, (1.2) −π Chuỗi 1.1 gọi chuỗi lượng giác hàm f (x) mối quan hệ ký hiệu a0 f (x) ∼ + ∞ (ak cos kx + bk sin kx) k=1 Lưu ý ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa hội tụ chuỗi trên, đơn giản mối liên hệ (1.1)- (1.2) mà thơi Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π , ta có định nghĩa chuỗi Fourier f tương tự Trong hệ số ak , bk tính đoạn tùy ý [a, a + 2π] Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, phép đổi biến t = πx l , ta đưa trường hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π Để ý f ∈ L1 [−π, π] nên tích phân (1.2) tồn 1.1.2 Sự hội tụ chuỗi Fourier Ta nói hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng hữu hạn, có biến phân hữu hạn có số hữu hạn điểm cực trị khoảng Định nghĩa 1.1 ( Điều kiện Dirichlet).Cho f hàm số (thực phức) xác định (a, b) Các điều kiện sau gọi điều kiện Dirichlet (i) Tồn f (a+ ), f (b− ) f có biến phân bị chặn [a, b] (ii) Có nhiều hữu hạn điểm thuộc đoạn[a, b] cho bỏ lân cận bé tùy ý điểm f có biến phân bị chặn phần lại đoạn [a, b], f ∈ L1 (a, b) Định lý 1.1 Cho f ∈ L1 [−π, π] Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet (−π, π) chuỗi Fourier f hội tụ f (x) điểm x ∈ (−π, π) mà hàm f liên tục, hội tụ + + f x− x điểm gián đoạn thông thường, hội tụ 12 f −π + + f π − f x x = ±π f π − f −π + tồn 1.2 1.2.1 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier- Sin Khái niệm Cho f ∈ L1 [0, π] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (0, π) Ta định nghĩa f (−π, 0) công thức f (x) = f (−x) Khi đó, f ∈ L1 [−π, π] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (−π, π) áp dụng kết phần Ngoài ra, f hàm chẵn π a0 = π f x dx , π ak = π f x cos kx dx , bk = 0, k = 1, 2, Ta có định lý sau [1] Định lý 1.2 Cho f ∈ L1 [0, π] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (0, π) Khi ta có chuỗi cosin π f x dx + π π π ∞ f x cos kx dx cos kx k=1 (1.3) hội tụ 12 f x+ + f x− điểm x ∈ (0, π) mà f x+ f x− tồn tại, hội tụ f 0+ x = f 0+ tồn tại; hội tụ f π − x = π f π − tồn Định lý 1.3 Cho f ∈ L1 [0, π] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (0, π) Khi đó, ta có chuỗi sin π π ∞ k=1 (1.4) f x sin kx dx sin kx hội tụ 12 f x+ + f x− điểm x ∈ (0, π) mà f x+ f x− tồn tại, hội tụ x = hay x = π 1.2.2 Sự hội tụ Định lý 1.4 Cho f ∈ L1 [0, π] Giả sử f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet (−π, π) Giả sử f liên tục khoảng (u, v) ⊂ (−π, π) Khi đó, chuỗi Fourier f hội tụ f đoạn [a, b] ⊂ (u, v) Ví dụ 1.1 Cho f (x) = x2 , −π ≤ x ≤ π ta khai triển f thành chuỗi Fourier sau Ta có bn = 0, ∀n, f hàm chẵn, π a0 = π π f x dx = π −π π x dx = π f x cos nx dx = π an = π 2π , −π x cos nx dx = (−1)n , n = 1, 2, n2 Ngoài ra, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet (−π, π), f bị chặn, f (−π) = f (π) nên định lý 1.1 1.4, ta có chuỗi Fourier f hội tụ f điểm [−π, π], hội tụ Vậy, với x ∈ [−π, π], π2 cos 2x cos 3x x = − cos x − + −··· 22 32 ... phương trình sóng cấp hai có số chiều thấp Trong thực tế có nhiều tượng học vật lý mô tả dạng phương trình sóng tuyến tính cấp hai chiều Do việc tìm hiểu sâu phương trình sóng thơng qua phương trình. .. biên giá trị ban đầu phương trình sóng cấp hai nửa trục Tiếp đó, trình bày lượng sóng tính nghiệm phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải toán biên phương trình sóng khoảng hữu hạn... tham khảo 76 Mở đầu Phương trình sóng phương trình quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vật lý tốn Phương trình sóng đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v ,