Một số tích chất của độ cong theo phương hai chiều và độ cong ricci luận văn thạc sỹ toán học

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH phạm thị mai anh một số tính chất của độ cong theo phơng hai chiều và độ cong ricci Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang Vinh - 2011 2 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẤU .2 CHƯƠNG I : ĐA TẠP RIEMANN 4 I.Đa tạp Riemann 4 II. Phép đẳng cự .19 CHƯƠNG II:CÁC ĐỘ CONG CƠ BẢN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 I.Tenxơ độ cong .21 II. Độ cong Ricci .32 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO .36 3 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Rimann ra đời từ những năm 1850 và được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Lobasevsky, do nhà toán học Rimann xây dựng. Từ đó đến nay, hình học Rimann cùng với các phép tính tenxơ đã và đang được nghiên cứu rộng rãi bởi các nhà toán học. Trong đó, ta không thể không nhắc tới các công trình nghiên cứu của Ricci và Levi-Civita đặc biệt là nghiên cứu về tính chất của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann. Chọn đề tài ‘‘Một số tính chất của độ cong theo phương hai chiều và độ cong Ricci ” chúng tôi muốn làm rõ hơn một số tính chất về độ cong theo phương hai chiều và độ cong Ricci trên đa tạp Riemann để phần nào hiểu sâu hơn về hình học Riemann . Độ cong theo phương hai chiều và độ cong Ricci trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong Vật lý, Toán học và nhiều ngành khoa học khác. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương I . Đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng trên đa tạp Riemann và phép đẳng cự. Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau. Chương I được chia làm hai phần: I . Đa tạp Riemann II. Phép đẳng cự Chương II. Các độ cong cơ bản trên đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của tenxơ độ cong, độ cong theo phương 2 chiều, độ cong Ricci trên đa tạp Riemann và ứng dụng của nó . Chương II được chia làm 2 phần: I. Tenxơ độ cong II. Độ cong Ricci 4 Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác gỉả 5 CHƯƠNG 1 ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng trên đa tạp Riemann và phép đẳng cự. Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau. I. Đa tạp Riemann 1.1. Định nghĩa: (xem [1;3]) Giả sử M là đa tạp khả vi lớp C k , k ≥ 1 có cơ sở đếm được và với cấu trúc khả vi {U α , φ α } α . Một trường mêtric g khả vi trên M được gọi ngắn gọn là mêtric (hay mêtric Riemann trên M) , nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau: i) g p là tích vô hướng trên T p M ; với ∀ p ∈ M ( Ở đây T p M là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại p ) ii) g khả vi phụ thuộc vào p ∈ M (nghĩa là g(X,Y) khả vi với ∀X,Y∈ B(M). Ở đây B(M) là môđun các trường véc tơ khả vi trên M). Thay cho viết g(X,Y), ta thường viết là <X,Y> (hoặc X.Y). Đa tạp khả vi M cùng với một tenxơ mêtric g đã xác định trên nó được gọi là đa tạp Riemann và được ký hiệu là (M,g) hoặc M. 1.2. Chú ý - Từ nay, ta luôn ký hiệu M là đa tạp Riemann n- chiều có cơ sở đếm được. - T p (M) = { p α → / p α → tiếp xúc với M tại p}. - B(M) = { X/ X lµ trêng vÐc t¬ tiÕp xóc khả vi trªn M} - F(M) là vành các hàm số khả vi trên M. 1.3. Ví dụ a) Giả sử S là một mặt trong R 3 =Oxyz. Với mỗi p ∈ S, ta đặt g P (X P ,Y P ) = X P .Y P . Khi đó S là một đa tạp Riemann. (Trong đó: X P .Y P là tích vô hướng thông thường của X P và Y P trong T P R 3 ). 6 b) Giả sử φ là hàm số khả vi và luôn dương trên R n . Ta đặt: g(X,Y) = φ X.Y Khi đó (R n ,g) là một đa tạp Riemann. Thật vậy: - g P (X P ,Y P ) = φ(p).X P .Y P ; ∀ X P ,Y P ∈ T P R n là một tích vô hướng trên T p M; ∀ p ∈ M. - Do φ khả vi và X, Y là hàm khả vi trên R n nên φ.X.Y = φ. i i i YX . ∑ . Ở đây X và Y tương ứng có tọa độ là X(X 1 ,…, X n ), Y(Y 1 ,…, Y n ). - Vậy (R n ,g) là một đa tạp Riemann. - Trong trường hợp riêng H = {A(x,y) y >0; A∈Oxy } và φ(x,y) = 2 1 y } Vậy (H, g) là một đa tạp Riemann . c) Giả sử N là đa tạp Riemann với mêtric g, M là đa tạp khả vi f: M→N là một dìm. Khi đó h(X,Y) = g(f * X, f * Y); ∀ X,Y ∈ B(M), xác định một mêtric Riemann trên M. Thật vậy: Rõ ràng h p là ánh xạ song tuyến tính đối xứng, với ∀p ∈ M, (do g p song tuyến tính đối xứng, với ∀p ∈ M). Ta có: h p (X P ,Y P ) = 0 ⇔ g p (f * p (X p ), f * (Y p )) = 0 ⇔ f * p (X p ) = f * (Y p ) = 0 ⇔ X p = Y p = 0; ∀p ∈ M (do f là dìm). Vậy (M,g) là một đa tạp Riemann. 1.4. Mệnh đề: (xem [3]) Trên mỗi đa tạp khả vi M, tồn tại một mêtric g. 7 Chứng minh: Ở mỗi điểm p ∈ M và p ∈ U α Từ mêtric chính tắc E n , có thể xây dựng được mêtric trên U α cảm sinh bởi φ α , ký hiệu p g ~ . ( p g ~ (X P ,Y P ) = φ α* p (X p ). φ * p (Y p ); ∀ p∈ U p ) Giả sử {(ψ α )} là phân hoạch đơn vị ứng với cấu trúc khả vi {U α } α . Ta xét: (g α (X,Y))  q =      ∉ ∈ p pqqq Uqkhi UqkhiYXgq 0 ),( ~ ).( α ψ Đặt : ∑ = α α gg Khi đó g là mêtric trên M. 1.5. Định nghĩa: (xem [3]) a) Giả sử Γ là đường cong trên đa tạp Riemann được xác định bởi: ρ : [a,b] → M t  ρ (t) 8 R n M U α φ α X p Khi đó độ dài Γ là: dttl b a p ∫ = )(' ρ b) Khoảng cách d(A,B) được ký hiệu: d(A,B) và được xác định bởi: d(A,B) = Γ Γ linf (Γ: là đường cong nối A và B ) 1.6. Mệnh đề: (xem [3]) Độ dài của đường cong Γ trên đa tạp Riemann không phụ thuộc vào việc chọn tham số của Γ . Tức là: dssrdtt d c b a ∫∫ = )(')(' ρ Chứng minh: Giả sử r là một tham số hóa của Γ tương đương với ρ; với r: [c,d]→M, ρ = r  λ. Trong đó λ là vi phôi từ [a,b] →[c,d] ; λ(t) = s, ∀ t∈ [a,b] . Ta có ρ’(t) = (r  λ)’(t) = r’(s). λ’(t). Do λ vi phôi, nên λ’(t) > 0; ∀ t∈ [a,b] hoặc λ’(t) < 0; ∀ t∈ [a,b] Trường hợp 1: λ’(t) > 0; ∀ t∈ [a,b] Ta có: dttsrdtt b a b a )(')(')(' λρ ∫∫ = = )(.)(' tdsr b a λ ∫ = dssr d c .)(' ∫ Trường hợp 2: λ’(t) < 0; ∀ t∈ [a,b] Ta có: dttsrdtt b a b a )(')(')(' λρ ∫∫ −= = )(.)(' tdsr b a λ ∫ − = dssr c d .)(' ∫ − = dssr d c .)(' ∫ 9 1.7. Ví dụ a) Giả sử đường cong Γ trên H được cho bởi tham số hóa: ρ: [1,2] → H t  (3; 2t +1) Khi đó: ρ ’(t) = ( 0 ; 2) ⇒ ρ ’. ρ ’ = 4. Vậy , ta có : 2 2 1 1 '. 'l dt y ρ ρ Γ = ∫ 2 1 2 2 1 dt t = + ∫ 3 5 ln12ln 2 1 =+= t . b) Ta xét đường cong Γ trên H được cho bởi tham số hóa: : ( ; ) 6 4 (cos3 ;sin 3 ) H t t t π π ρ → a Ta có: ρ ’(t) = (-3sin3t; 3cos3t) ⇒ ρ ’(t). ρ ’(t) = 9sin 2 3t + 9cos 2 3t = 9 . Vậy: 4 4 2 2 6 6 1 1 . '. '. .9. sin 3 l dt dt y t π π π π ρ ρ Γ = = ∫ ∫ 4 4 2 6 6 3 3.sin 3 . . sin 3 sin 3 t dt dt t t π π π π = = ∫ ∫ 10 0 4 2 2 2 6 2 (cos3 ) 1 cos 3 1 d t du t u = = 2 2 0 2 2 0 1 1 ln 2 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1 u u du uu + = + + = . 22 22 ln. 2 1 + = 1.8. nh ngha: (xem [3]) nh x: : B (M) x B (M) B (M) (X,Y) x Y , tha món cỏc tớnh cht sau: Vi mi X,Y,Z B(M) v vi mi f F(M) , ta cú: 1) X (Y+Z) = X Y + X Z 2) X+Y Z = X Z + Y Z 3) X Y = X Y 4) X (Y) = X[].Y + X Y c gi l mt liờn thụng tuyn tớnh trờn . X Y gi l o hm thun bin ca trng vộct Y dc trng vộct X. Toỏn t X : Y X Y gi l o hm thun bin dc trng vộct X. 1.9. Nhn xột 1- M = R n , =D: B (R n ) x B (R n ) B (R n ) (X,Y) D x Y = (X[Y 1 ], , X[Y n ]) Trong đó Y có toạ độ (Y 1 , ,Y n ). Khi đó là liên thông tuyến tính trên R n . Thật vậy, thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính: 1) X (Y+Z) = D X (Y+Z) = D X Y + D X Z 2) X+Y Z = D X+Y Z = D X Z + D Y Z 3) X Y = D X Y = D X Y 11