Về các độ cong cơ bản trên đa tạp rieman

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---------------- Nguyễn thị diệu thuý Về các độ cong cơ bản trên đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2006 1 1 Mục lục Lời mở đầu trang Chơng I: Kiến thức cơ sở 4 I.Đa tạp Riemann 4 II.Liên thông Levi-civita trên đa tạp Riemann 9 Chơng II: Các độ cong trên đa tạp Riemann 16 I.Độ xoắn trên đa tạp 16 II. Độ cong trên đa tạp 21 III. Độ cong thiết diện trên đa tạp 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 2 2 Lời mở đầu Nh chúng ta đã biết, các độ cong cơ bản của đa tạp Riemann là một trong những khái niệm cơ bản trong việc nghiên cứu các tính chất hình học trên đa tạp, vì vậy các độ cong cơ bản trong đa tạp đã đợc nhiều tác giả quan tâm, chẳng hạn nh- :W.Klingenberg(xem[3]), B.O.Neill(xem [4]) Trong luận văn này chúng tôi trình bày về các độ cong cơ bản trên đa tạp Riemann. Từ đó đề xuất ra một số tính chất của độ cong trên đa tạp. Luận văn đợc chia làm 2 chơng : Chơng I: Kiến Thức Cơ Sở. I. Đa tạp Riemann II. Liên thông Levi- civita trên đa tạp Riemann Chơng II. Các độ cong trên đa tạp Rimann I. Độ xoắn trên đa tạp II. Độ cong trên đa tạp III. Độ cong thiết diện trên đa tạp Rimann Trong chơng I.Chúng tôi chủ yếu đa ra các khái niệm cơ bản để phục vụ cho ch- ơng sau,chẳng hạn nh: Định nghĩa, một số tính chất của đa tạp Riemann, ánh xạ liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-civita trên đa tạp Rimann. Trong chơng II.Chúng tôi trình bày các khái niệm về độ cong,độ xoắn trên đa tạp, chứng minh đợc trên đa tạp khả vi luôn tồn tại một liên thông tuyến tính có độ xoắn bằng 0. Đồng thời chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của độ cong thiết diện , độ cong thiết diện hằng, xây dựng các ví dụ về độ cong thiết diện hằng, định nghĩa độ cong Rici. Trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập ở trờng đại học Vinh, với sự dạy bảo tận tình của các thầy, cô giáo, chúng tôi đã tiếp thu đợc những kiến thức cơ bản kinh nghiệm giảng dạy vô cùng bổ ích và thiết thực, đó sẽ là hành trang giúp chúng tôi vững vàng và tự tin trong sự nghiệp của mình. Với thời gian và năng lực có hạn 3 3 Luận Văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự quan tâm, đánh giá và đóng góp ý kiến của Quý thầy cô. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2006 tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy,cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, phòng GD-ĐTthị xã Hà Tĩnh, Trờng THCS Nam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn! Vinh ngày 20 tháng 11 năm 2006 Tác giả 4 4 Chơng I Kiến thức cơ sở I. đa tạp riemann Trong chơng này chúng tôi trình bày các định nghĩa ,ví dụ,tính chất của đa tạp Riemann. Ký hiệu M là đa tạp khả vi thực có cơ sở đếm đợc và với hệ bản đồ { } ,U X , f(U) { f / f : U /R f= Khả vi trên tập mở U trên M } 1.1 .1 Định nghĩa. ánh xạ g: B(M) ì B(M) F(M) ( , ) ( , )X Y g X Ya Đợc gọi là metric Riemann trên M nếu đặt tơng ứng với mỗi p M một tích vô hớng < , > p trên T P M sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, nghĩa là ,X Y b(M) thì hàm số / , / P P p X Y là khả vi. Một đa tạp khả vi M với một cấu trúc metric Riemann đã cho trên nó đợc gọi là một đa tạp Riemann. 1.1.2 Ví dụ. M = R 2 ta định nghĩa ( ) , .g X Y X Y= khi đó g là metric Riemann. thật vậy: ( ) ,g X Y là tích vô hớng ( hiển nhiên ) ( ) ,g X Y khả vi , ta có. X = f 1 . E 1 + f 2 . E 2 vì X khả vi f 1 .f 2 khả vi. Y = k 1 . E 1 + k 2 . E 2 vì X khả vi k 1 .k 2 khả vi. ( ) , / p g X Y = / p X . / p Y = f 1 / p .k 1 / p + f 2 / p .k 2 / p Cho p chạy khắp nơi ta có (X.Y) = k 1 .f 1 + k 2 .f 2 ( ) ,g X Y khả vi. vậy ( ) . .g X Y X Y= và g là metric Riemann. Chú ý. Xét nửa phẳng H = ( ) { ,x y R 2 y > 0 } . đặt ( ) 1 , . 2 g X Y X Y y = . Rõ ràng g là một metric Riemann trên H. Thật vậy: : p g x p R ( ) 1, 2p (X P ,Y P ) 1 4 X P .Y P , ( ) ,g X Y khả vi , X,Y khả vi. 5 5 ( ) 2,3q (X q ,Y q ) 1 9 X q .Y q Vì ( ) 1 , . 2 g X Y X Y y = = i i 2 1 X Y i y khả vi vì 2 1 , , i i X Y y khả vi Vậy (H.g) là một đa tạp Riemann 2- chiều và đợc gọi là nửa phẳng Poincare. M là đa tạp khả song n- chiều có trờng mục tiêu: { } 1 2 , , , n E E E , hệ { } 1 2 , n E E E đợc gọi là trực chuẩn khi và chỉ khi : ( , ) i j g E E = ,i j = 0 nếu i j 1 nếu i j= Khi đó g là một metric Riemann trên M và (M,g) là đa tạp Riemann. 1.1.3 Mệnh đề.(xem [ ] 3 ) Cho đa tạp M với hai cấu trúc metric Riemann g và g . Khi đó: . (1 )g t g t g= + t [ ] 0,1 là cấu trúc Metric Riemann. Chứng minh: Để chứng minh g là một cấu trúc Riemann ta sẽ chứng minh / p g là một tích vô hớng p M và g là khả vi . Để / p g là một tích vô hớng trên M. Ta kiểm tra ba tiên đề của tích vô hớng X,Y B ( )M , p ta có: (T 1 ) Tính đối xứng: ( ) , / ( (1 ) )( , ) / p p g X Y tg t g X Y= + ( ) ( ) , / (1 ) , / p p tg X Y t g X Y= + (do g và g là cấu trúc Riemann) ( ) ( ) ( ) , / , / , / p p p tg Y X g Y X g Y X= = (T 2 ) Tính song tuyến tính. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , / (1 ) , / p p g X X Y tg t g X X Y+ = + + ( ) ( ) 1 2 1 2 , / (1 ) , / p p tg X X Y t g X X Y= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) , / , / (1 ) , / (1 ) , / 1 2 1 2 p p p tg X Y tg X Y t g X Y t g X Y p= + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 , / (1 ) , / , / (1 ) , / 1 p p p p tg X Y t g X Y tg X Y t g X Y= + + + ( ) ( ) 1 2 , / , / p p g X Y g X Y= + ( ) ( ) ( ) , / (1 ) , / p p g X Y tg t g X Y = + ( ) ) ( ) , / (1 ) , / p p tg X Y t g X Y = + (do g và g là cấu trúc Riemann ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) , / (1 ) , / , (1 ) , / p p p tg X Y t g X Y tg X Y t g X Y = = + ( ) , ,g X Y p = Tơng tự ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , / , , / p p g X Y Y g X Y g X Y+ = + 6 6 ( ) ( ) , / , / p p g X Y g X Y = (T 3 ) Tính xác định dơng: ( ) ( ) ( ) , / (1 ) , / p p g X Y tg t g X X= + ( ) ) ( ) , / (1 ) , / p p tg X X t g X X= + Vì g và g là cấu trúc Riemann nên : ( ) ( ) , / 0, , 0 p g X Y g X X vì t [ ] 0,1 suy ra { 0 1 0 t t Do đó ( ) , / 0 p g X X ( ) ( ) ( ) , / (1 ) , / p p g X Y tg t g X X= + ( ) ) ( ) , / (1 ) , / p p tg X X t g X X= + = 0 ( ) ( ) 0 , 0 1 , 0 t g X Y t g X Y = = = = { { 0 0 1 0 t X t X = = = = Do đó ( ) , / 0 p g X X = X = 0 . Vậy / p g là một tích vô hớng. Bây giờ ta xét g là khả vi với X, Y khả vi. Vì ( ) ( ) ( ) , (1 ) , / p g X Y tg t g X Y= + mà g và g khả vi nên g (X,Y) khả vi. Vậy g là một cấu trúc Metric Riemann . W 1.1.4 Mệnh đề: ( xem [2]). Trên mỗi đa tạp khả vi M luôn tôn tại một cấu trúc Metric Riemann g. Chứng minh: Giả sử { } ,U x i i i là tập bản đồ trên M . Mỗi x i là một phép nhúng từ U i vào R n do đó cảm sinh ra từ cáu trúc Riemann chính tắc trên R n một cấu trúc Metric Riemann g i Trên U i. Giả sử ( ) i i là một phân hoạch đơn vị ứng với U i ta định nghĩa g 1 : B(M) ì B(M) F(M) bởi ( ) ( ) , / ( ) , / p p g X Y p g X Y i i i = với p U i đặt ( ) ( )g p g p i i = . Khi đó g là một cấu trúc Riemann trên M. W 1.1.5 Định nghĩa. Cho N và M là hai đa tạp khả vi :f là ánh xạ khả vi đối với mỗi điểm 7 7 p M, ánh xạ f * P đợc gọi là ánh xạ tiếp xúc của f tại p hay vi phân của f tại p , f p đợc xác định bởi: f p : ( ) T M T N p f p ( )( ) ( ) o f p v g v g t = với v p , g ( )N 1.1.6 Mệnh đề: (xem [3]) f p Là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh: Giả sử v 1 là véc tơ tiếp xúc với x(t) tại p = x(t 0 ) , v 2 là véc tơ tiếp xúc với y(t) tại p = y(t 0 ) , g f(p) . Ta chứng minh ánh xạ f p : p a ( ) f p tuyến tính. Thật vậy: f p 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) o v v g v v g t + = + = 1 2 ( )( ) ( )( ) o o v g t v g t + = 1 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )f p v g f p v g f p v g + = 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )f p v f p v g f p v v g + = + với mọi g f(p) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )f p v v f p v f p v + = + . W 1.1.7 Mệnh đề:(xem[6]) Cho M là đa tạp khả vi với bản đồ địa phơng ( . )U x và N là đa tạp khả vi với bản đồ địa phơng ( , )V y :f là ánh xạ khả vi / p J f là ma trận Jacobi của hàm f tại p. Khi đó [ ] / * / p f v J v f p = . Chứng minh: ánh xạ : : p f f p a /f p /p f pa v a v r Ta có: ( ) ( / )( ) p v v y f v y i i i = = r r (1) Mặt khác theo định nghĩa véc tơ tiếp xúc ta lại có : 0 ( ) ( ) ( ( )) ( ) d d v g t g f f t g f p t v g t t t dt dt o = = = = o o o o , Với g , ( )f p , , ( )p f p= . Do đó ( / )( ) ( ) / ( ) / i p i i j i j j i j j f f v y v y of v p y of v p x x = = = (2) từ (1) và (2) 1 1 2 / / / . / 2 i j n j j n f f f f i i i v v p v p v p v p i x x x x = = + + + r Vậy [ ] [ ] /v j p v f = uur hay là [ ] / . / f v J v p f p = Ví dụ: , m n R R = = : m n f R R 8 8 ( ) 1 2 1 2 ( , , ., ) ( ), ( ), ., ( )x x x x f x f x f x m n a Khi ®ã : ( ) ( ) m n f p R R p p ∗ Τ → Τ 1 2 1 2 ( ) ( ) m n v v v x v v v x r a Ta cã : 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . m m f f v x x fn f v n x x ∂ ∂       ∂ ∂         =     ∂ ∂         ∂ ∂   ⇒ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 . 2 . . . . m m n n n m m f f f v v v v x x x f f f n v v v v x x x ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ W II . liªn th«ng Levi-civi ta trªn ®a t¹p Riemann. 9 9 Trong mục này chúng tôi ký hiệu M là đa tạp Riemann với cấu trúc Riemann g và là liên thông tuyến tính trên M.chúng tôi trình bày chủ yếu thế nào là liên thông tuyến tính, liên thông Levi-civi ta và ánh xạ tuyến tính nhằm phục vụ cho chơng sau. 1.2.1 Định nghĩa. ánh xạ : B(M) ì B(M) B(M) ( , ) X X Y Ya Đợc gọi là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu nó thỏa mãn: 1 : X X X X Y Y Y + = + 2 : X X Y Y = 3 : ( ) X X X Y Y Y Y + = + 4 : [ ] ( ) X X Y Y X Y = + với , , ,Y Y B(M) , F(M) X Y đợc gọi là đạo hàm hiệp biến của trờng véc tơ Y dọc theo X đối với . 1.2.2 Ví dụ. 1. Trên không gian Euclide n -chiều , 1 { , ., } n E E là trờng mục tiêu tự nhiên. Cho 1 ( , , ) n X i i i i i i Y Y D Y X X x x = với i i i X X E= , i i i Y Y E= khi đó D là một liên thông tuyến tính trên n Thật vậy : Ta chỉ ra D thỏa mãn bốn tiên đề của định nghĩa: 1 ( ) . 1 ( ( ) , ., ( ) ) n i i i i X X i i i i Y Y D Y X X X X x x + = + + 1 1 ( , ., ) n n i i i i i i i i i i i i Y Y Y Y X X X X x x x x = + + 1 1 ( , ., ) ( , ., ) n n i i i i i i i i i i i i Y Y Y Y X X X X x x x x = + X X D Y D Y= + 2 ( ) . 1 ( , ., ) n X i i i i i i Y Y D Y X X x x = 1 ( , ., ) n i i i i i i Y Y X X x x = X D Y = 3 ( ) . 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ., ) n n i i X Y Y i i i i Y Y Y Y D Y X X x x + + + = 1 1 ( , ., ) n n i i i i i i i i i i i i Y Y Y Y X X X X x x x x = + + 1 1 ( , ., ) ( , ., ) n n i i i i i i i i i i i i Y Y Y Y X X X X x x x x = + + 10 10