Độ cong gauss của đa tạp rieman hai chiều

Trờng đại học vinh Khoa toán ---------------- Nguyễn thị Giang Độ cong gauss của đa tạp Riemann hai chiều khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán Vinh - 2006 Lời nói đầu Đa tạp Riemann là một trong những khái niệm quan trọng của hình học vi phân. Khi xét tới đa tạp Riemann ngời ta đặc biệt quan tâm tới các độ cong của nó. Độ cong Gauss trên đa tạp Riemann hai chiều đầu tiên đợc định nghĩa trên mặt (siêu mặt) trong E 3 thông qua ánh xạ Waigarten nhờ trờng vectơ pháp tuyến đơn vị và sau đó trên đa tạp Riemann hai chiều tổng quát nó đợc xác định nhờ các dạng liên kết. Dù đợc xây dựng bằng hai con đờng hoàn toàn độc lập nhau nhng khi trở về trong E 3 thì hai độ cong đó lại trùng nhau. Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chất của dạng liên kết và độ cong Gauss trên đa tạp Riemann hai chiều. Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục: Đ 1. ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3 . Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết: Khái niệm ánh xạ Waigarten, một số mệnh đề, các công thức tính độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ). Và một số tính chất của độ cong Gauss. Đ 2. Dạng vi phân trên đa tạp. Nội dung chính của mục này là nhắc lại định nghĩa k- dạng vi phân, định nghĩa phép nhân ngoài các dạng vi phân, định nghĩa phép toán vi phân ngoài của các dạng vi phân, định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc nêu và chứng minh một số tính chất liên quan đến các khái niệm trên. Đ3. Dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều. Trong mục này, chúng tôi đa ra một số khái niệm về đa tạp Riemann hai chiều và các tính chất của nó, đa ra một số khái niệm, định lý, mệnh đề về dạng liên kết. Đ 4. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều. Nội dung chính của mục này là đa ra định nghĩa độ cong Gauss thông qua dạng liên kết, các định lý về độ cong Gauss và một số ví dụ về cách tìm độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều trong E 2 , E 3 , E 4 . Nội dung của 4 mục khoá luận này liên quan đến nhau khá chặt chẽ, nội dung phần trớc là cơ sở cho nội dung phần sau. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo- Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, đồng thời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa, tập thể lớp và gia đình đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khoá học. Tôi rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 5 năm 2006 Tác giả Nguyễn Thị Giang Đ.1. ánh xạ waigarten và độ cong gauss của mặt trong E 3 . 1.1. Định nghĩa đa tạp định hớng. Đa tạp hai chiều S đợc gọi là định hớng nếu mỗi không gian tiếp xúc T p S ta đa vào một hớng xác định bởi điều kiện sau: Tồn tại tham số hoá địa phơng r: U r (U) của S sao cho ánh xạ tiếp xúc của r biến hớng chính tắc trên miền U R 2 thành hớng trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm của r (U). 1.2. Định nghĩa ánh xạ waigarten. Cho S là đa tạp hai chiều định hớng với n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S (xác định hớng của S) mà trong tham số địa phơng. r : U S của S với hớng của không gian tại r (u,v) là xác định bởi { } vu rr ',' ta có: vu vu rr rr rn '' '' = Với T P S ta xét đạo hàm của đờng pháp tuyến đơn vị D n ta có STnDnnDnnDnn p ==>= .0.1. Xét ánh xạ h p : STST pp nDh p = )( h p đợc gọi là ánh xạ waigarten của S tại điểm P. 1.3. Mệnh đề: h p là ánh xạ tuyến tính đối xứng. Chứng minh: Thật vậy, tính tuyến tính của ánh xạ h p suy từ phép toán đạo hàm của tr- ờng vectơ theo một vectơ tiếp xúc. h p ( + ) = - D )( + n = - )()()( pp hhnDnD +=+ h p ( ) = - D )( n = )( p hnD = h p có tính đối xứng tức là )()( pp hh = với ST p , Trong tham số hoá địa phơng r, p = (u, v) và T p S có cơ sở là: { } { } ),(');,(')),((),,(( vurvurvurRvurR vuvu = . Khi đó ta có: ),( )( )),((( ),( ' vu u rn nDvurRh vur up u == uv vup rvunorvurvu u rn pRpRh = = ''),()(),().,( )( )())(( (1.1). Tơng tự ta có : h p (R v (p)) R u (p) =- uvu rvunorvurvu v rn = ''),)((),('),( )( (1.2) Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra: h p (R u (p)) R v (p)= h p (R u (p)) R u (p) SThh ppp = ,)(.).( 1.4. Độ cong chính, phơng chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss của đa tạp. Cho đa tạp hai chiều S có hớng trong E 3 , h P : T P S T p S. h p là tự đồng cấu tuyến tính trong không gian vectơ Ơclit hai chiều T P S nên có các gia trị riêng là thực. - Các giá trị riêng của h P gọi là độ cong chính của S tại p. - Mỗi vectơ riêng của h p gọi là phơng chính của S tại p. - 1/2 vết của tự đồng cấu tuyến tính h p gọi là độ cong trung bình của S tại p, ký hiệu H (p). - Định thức của tự đồng cấu tuyến tính h p gọi là độ cong Gauss của S tại p, ký hiệu K(p). 1.5. Nhận xét. Vì h p là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng trong không gian Ơclit hai chiều T P S nên có 2 giá trị riêng thực phân biệt hoặc có một giá trị riêng (thực) trùng nhau. - Nếu h p có các giá trị riêng thực phân biệt k 1 k 2 thì h p có hai phơng chính (các vectơ riêng của h p ) vuông góp với nhau. - Giả sử { } 21 ,ee là cơ sở của TpS, hai vectơ riêng ứng với hai giá trị riêng k 1 ,k 2 . Ta có: = = 222 111 )( )( ekeh ekeh p p Ma trận của hp đối với cơ sở { } 21 ,ee là 2 1 0 0 k k )()( 21 2 1 kkpH += K(p) = k 1 .k 2 . - Nếu hp có hai giá trị riêng (thực) trùng nhau k 1 = k 2 = k thì mọi vectơ của TpS đều là vectơ riêng (phơng chính). Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn { } 21 ,ee của T P S ta có: = = 222 111 )( )( ekeh ekeh p p Với k 1 = k 2 = k => K (p) = k 2 H (p) = k Trong trờng hợp này điểm p đợc gọi là điểm rốn. Khi k 1 = k 2 = o thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt. k 1 = k 2 o thì p đợc gọi là điểm cầu. - Nếu (p) > 0 thì điểm p đợc gọi là điểm eliptic - Nếu (p) = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic. - Nếu (p) < 0 thì điểm p đợc gọi là điểm Hypeboilie. 1.6. Chú ý. Khi đổi hớng của S tách bằng cách xét n thay cho n thì h p đổi thành - h p nên đội cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (do đó định nghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S. khi S cha có hớng hay cả khi S không xác định đợc). 1.7. Ví dụ: a. Xét S là mặt phẳng n là trờng vectơ song song . Sp thì là đồng cấu không (tức STh Pp = 0)( ). SPpKpHkk ==== 0)()( 21 đều là điểm dẹt. b. Xét S là mặt cầu tâm 0 bán kính R. Với n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị có hớng ra ngoài của S tính H(p); K(p). Ta có: STSTh PPp : )()'()( op tnnDh == Trong đó: SJ : )(tt sao cho )(' o t = pt o = )( Ta có: R t R t R tO tnonD ooo 1 ))('( 1 )( )()'( )()'( ==== ST R h Pp = )( Chứng tỏ rằng các giá trị riêng của nó là R kk 1 21 == là độ cong chính và R pH 1 )( = 0 1 )( 2 R pK = thì điểm p gọi là điểm eliptic. 1.8. Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều định hớng S trong E3. S là đa tạp hai chiều trong E 3 , 3 ETST PP (không gian vectơơclit với tích vô hớng cảm sinh từ tích vô hớng trên E 3 ) với mỗi điểm p S xét hai ánh xạ: RSTSTI PPp ì : . = ),(),( p I Ta thấy I p là phân tích vô phân hớng trên TpS và tích vô hớng này đợc gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p. RSTSTII PPp ì : . = ),(),( p II Trong đó h p : T P S T P S là ánh xạ Waigarten. Ta thấy II p là tích vô phân hớng trên TpS và tích vô hớng này đợc gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại p. I p , II p là những dạng song tuyến tính đối xứng trên T P S. 1.9. Các hệ số của dạng I và II. Công thức tính các hệ số đó. Gọi r: U S. (u,v) r (u,v) là tham số hoá địa phơng của S và p = r (u,v) Trên T P S xét cơ sở { } ),('),,(' vurvur uu . Xét 6 hàm số E, F, G, L, M, N xác định trên U nh sau: E(p) = I p (r u (u,v), r u (u,v)) = r u (u,v) . r u (u,v). F(p) = I p (r u (u,v), r v (u,v)) = r u (u,v) . r v (u,v). G(p) = I p (r v (u,v), r v (u,v)) = r v (u,v) . r v (u,v). E(p), F(p), G(p) đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của S tại điểm p trong tham số hoá địa phơng r. Và )),('),,('()( vurvurIIpL uup = ),(')),('( vurvurh uup = ),().,)(( '' vurvurn uu = )),('),,('()( vurvurIIpM vup = ),(')),('( vurvurh vup = ),().,)(( '' vurvurn uv = )),('),,('()( vurvurIIpN vvp = ),(')),('( vurvurh vvp = ),(').,)(( vurvurn vv = với: ),('),(' ),('),(' ),)(( vurvur vurvur vurn vu vu = Vì r u , r v là các vectơ độc lập tuyến tính nên 0),('),('0'' 2 vurvurrr vuvu mà )),('),('))(,('),('(),('),(' 2 vurvurvurvurvurvur vuvuvu = ),('),('),('),(' ),('),(')),(',(' vurvurvurvur vurvurvurvur vvuv vuvu = ),)(( ),(),( ),(),( 2 vuFEG vuGvuF vuFvuE == ),( '' ),)(( 2 vu FEG rr vurn vu = vậy: ),( ),('')''( ),( 2 vu FEG vurrr vuL uuvu = ),( '')''( ),( 2 vu FEG rrr vuM uvvu = ),( )''( ),( 2 '' vu FEG rrr vuN vvvu = L(u,v), M(u,v), N(u,v) là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của S tại điểm p trong tham số hoá r. 1.10. Công thức tính độ cong Gauss . 4. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều. Nội dung chính của mục này là đa ra định nghĩa độ cong Gauss thông qua dạng liên kết, các định lý về độ cong. quan trọng của hình học vi phân. Khi xét tới đa tạp Riemann ngời ta đặc biệt quan tâm tới các độ cong của nó. Độ cong Gauss trên đa tạp Riemann hai chiều đầu