Một số vấn đề về đa tạp riemann hai chiều

- 1 - Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Nguyễn Thị nga Một số vấn đề về đa tạp riemann hai chiều Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ====Vinh, 2005=== - 2 - Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Một số vấn đề về đa tạp riemann hai chiều Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: Th.s. Trơng chí trung Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Nga Lớp: 41E 4 - Khoa Toán ====Vinh /2005=== Mở đầu Nh chúng ta đã biết các kiến thức về đa tạp và các vấn đề liên quan đến nó đợc đề cập đến rất nhiều trong các tài liệu về hình học vi phân. Tuy nhiên, việc sử dụng các kiến thức đó vào giải các bài toán trên đa tạp cụ thể thì ít đợc đề cập đến. Chính vì thế, trên cơ sở nghiên cứu một số kiến thức về đa tạp luận văn đã xây dựng một số ứng dụng của nó, cụ thể là nghiên cứu các trờng trắc địa và các tam giác cong trắc địa trên mặt cầu. Luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng I: Tác giả nghiên cứu về đa tạp khả vi, dạng vi phân trên đa tạp, đa tạp định hớng và ánh xạ khả vi. Chơng II: Tác giả nghiên cứu về đa tạp Riemann hai chiều, độ cong Gauss và đờng trắc địa, về định lý Gauss - Bonnet và đặc trng Euler qua đó tác giả đã đa ra một số ứng dụng của định lý Gauss - Bonnet và đặc trng Euler đó là kiểm tra lại diện tích mặt cầu, tính diện tích tam giác cong trắc địa trên mặt cầu. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành vào tháng 04/2005 tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo - Th.s: Trơng Chí Trung. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, đặc biệt là thầy Trơng Chí Trung đã giúp đỡ tận tình, giúp tôi mạnh dạn suy nghĩ và hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã rất cố gắng nhng chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận đợc những góp ý chân tình của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 04 năm 2005 Tác giả - 3 - ChơngI: Đa tạp khả vi Đ 1. Đa tạp khả vi 1.1. Định nghĩa 1.1.1.Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Euclid địa phơng n - chiều nếu đối với mỗi điểm của X đều tồn tại một lân cận mở đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclid R n , mỗi phép tôpô nh thế đợc gọi là một bản đồ hoặc một hệ toạ độ địa phơng của X. Xét bản đồ (U, ), phép đồng phôi. Nếu y U thì bộ số: (y) = (y 1 ,, y n ) R n đợc gọi là các toạ độ của điểm y đối với bản đồ đang xét. Họ bản đồ {(U , )} I đợc gọi là một tập bản đồ của X nếu các miền xác định U của các ánh xạ phủ X. Nghĩa là: X = I U . 1.1.2. Định nghĩa. Một không gian tôpô đợc gọi là một đa tạp (tôpô) n - chiều nếu nó vừa là không gian Euclid địa phơng n- chiều vừa là T 2 - không gian. 1.1.3.Định nghĩa. Giả sử M là đa tạp n- chiều và {(U , )} là tập bản đồ của nó. Ta gọi đây là tập bản đồ (khả vi) lớp C r nếu đối với bất kỳ (U i , i ), (U j , j ) {(U , )} đều có j o i -1 thuộc lớp C r . ánh xạ j o i -1 có thể biểu thị bởi các công thức: x 1 j = x j 1 (x 1 i , x i 2 ,,x i n ) x j n = x j n (x i 1 , x i 2 ,,x i n ) Các vế của công thức này là các hàm n - biến thực. Chúng đợc gọi là các hàm chuyển từ các toạ độ {x i k } sang các toạ độ {x j k }. Tập bản đồ đang xét đợc gọi là tập bản đồ giải tích nếu các hàm chuyển là các hàm giải tích thực. 1.1.4. Định nghĩa. Hai tập bản lớp C r trên cùng một đa tạp M đợc gọi là hai tập bản đồ C r tơng đơng nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồ lớp C r - 4 - trên M. Hợp của tất cả các tập bản đồ C r - tơng đơng trên M đợc gọi là tập bản đồ cực đại lớp C r trên M. Một đa tạp (tôpô) n - chiều M cùng một C r cấu trúc trên nó đợc gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp C r , hoặc một C r đa tạp n - chiều. Khi r = : đa tạp gọi là nhẵn. 1.2. Ví dụ. M là một đa tạp khả vi n - chiều, U là một tập con mở khác rỗng của M. Thu hẹp bản đồ của M lên U ta sẽ đợc một tập bản đồ trên U, và nh vậy U trở thành đa tạp khả vi (U đợc gọi là đa tạp con mở của đa tạp M). 1.3. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi 1.3.1. Định nghĩa. Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x M, T x (M) là không gian tiếp xúc với M tại x, T * x (M) là không gian vectơ đối ngẫu của T x (M), p T x (M) là luỹ thừa ngoài cấp p của T x * (M), và T x (M) là đại số ngoài trên không gian T * x (M). Phép ánh xạ : M Mx ( T * x (M)) sao cho: (x) p T * x (M) đợc gọi là một dạng vi phân bậc p ( hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M (ta cũng sẽ viết x thay cho (x)). Giả sử (U, ) là một bản đồ trên đa tạp M; ký hiệu y i là hàm toạ độ thứ i trong R n và u i = y i o . Nh đã biết x i u (i = 1, 2,, n) là một cơ sở của T x (M), còn các vi phân toàn phần (du 1 ) x , (du 2 ) x , , (du n ) x của các hàm u 1 , u 2 ,, u n thì tạo thành cơ sở trong không gian T * x (M) mà đối ngẫu với cơ sở x i u . Nh vậy theo lý thuyết về luỹ thừa ngoài của không gian vectơ thì tập hợp: { } x i x i x i p dududu )( .)()( 21 (1 i 1 i p n) là một cơ sở của không gian vectơ p T * x (M). Nh vậy mỗi phần tử của p T * x (M) có dạng x i x i n iii ii p p n duduxf )( .))(( 1 21 1 1, .,, . = (i 1 < i 2 <<i p ) Vì vậy, đối với p - dạng trên M và x U ta có: - 5 - (x) = x i x i n iii ii p p n duduxf )( .))(( 1 21 1 1, .,, . = (i 1 < i 2 <<i p ) Đồng thời, nếu đối với bản đồ (U, ) trên M ta ký hiệu: 1 i du p i du là p - dạng xác định trên U bởi điều kiện x U ( 1 i du ) x ( p i du ) x thì tập hợp:{ 1 i du p i du }(1 i 1 i p n) là một cơ sở của không gian p (U). 1.3.2. Dạng vi phân với giá trị trong không gian vectơ. Giả sử M là một đa tạp khả vi n - chiều và V là một R - không gian vectơ m- chiều. Ngời ta gọi p - dạng trên M với giá trị trong V là một quy tắc cho ứng với mỗi điểm x M một ánh xạ tuyến tính thay phiên (x): T x (1) x x T x (m). Rõ ràng các p - dạng vi phân trên M đã nói ở trên chính là các p - dạng trên M với giá trị trong R không gian vectơ R. Nhận thấy rằng nếu {e 1 ,,e m } là một cơ sở trong V thì có thể biểu thị một cách duy nhất nh sau: = = m j 1 j e j . Trong đó các j là các p - dạng thông thờng trên M. Nếu các p - dạng i ( i = 1, 2,, m) đều khả vi lớp C r thì p - dạng đợc gọi là khả vi lớp C r . 1.4. Đa tạp định hớng 1.4.1. Định nghĩa. V là đa tạp khả vi lớp C k , k 1, có số chiều n. Đa tạp V đợc gọi là định hớng đợc nếu trên V tồn tại n - dạng liên tục không đâu bằng 0. Nếu V liên thông và 1 , 2 là hai n - dạng không đâu bằng 0 thì tồn tại hàm liên tục f sao cho: 1 = f 2 , hơn nữa f hoặc dơng khắp nơi, hoặc âm khắp nơi. Nếu f(x) > 0 với mọi x ta gọi dạng 1 và 2 là tơng đơng. Phép định hớng trên V đó là sự lựa chọn một trong n - dạng tơng đơng. 1.4.2. Mệnh đề. Đa tạp V định hớng đợc khi và chỉ khi có thể chọn hệ toạ độ {(U i , i )} i I sao cho V = Ii U i và d ij (x) > 0 đối với tất cả i, j I, x U i U j . - 6 - Chứng minh. Ta có thể coi V là một liên thông. Giả sử là n - dạng liên tục không đâu bằng 0. Nếu (U a , a ) là hệ toạ độ, a (x) = (x 1 , x 2 ,, x n ) thì giả sử a : dx 1 dx n , đây là n - dạng trên U a không đâu bằng 0. Đối với mỗi điểm a V ta có thể tìm hệ toạ độ (U a , a ) sao cho a U a và = g a a trong đó g a là hàm liên tục và g a > 0 đối với tất cả các x U a . Nếu cần ta thay a (x) = (x 1 , x n-1 , x n ) bằng ( x 1 , x 2 ,,x n-1 , - x n ). Ngoài ra trên U a U b ta có a = d ab b . Do đó d ab = g b g a > 0 trên U a U b . Ngợc lại, giả sử rằng {(U i , i )} i I là họ hệ toạ độ sao cho V = Ii i U và d ij > 0 trên U i U j , nh ở trên ta đặt: i = dx 1 dx n . Nếu i (x) = (x 1 ,x n ). Giả sử { i } là phân hoạch lớp C k , ứng với phủ {U i } và = n j i , i I Rõ ràng là dạng lớp C k-1 . Ngoài ra, nếu a V và I là tập các chỉ số i sao cho: a i Ii n sup (đây là tập hữu hạn khác rỗng) thì ta có: (a) = Ii i n (a) i (a) = { Ii i n (a) 0 ii d (a)} 0 ii (a) trong đó i o I là cố định vì Ii i n (a) = 1, còn 0 ii d (a) > 0 đối với tất cả i và n i 0. Ta kết luận (a) 0. - 7 - Đ 2. ánh xạ khả vi 2.1. Các khái niệm M và N là hai đa tạp khả vi lớp C k . ánh xạ f :M N gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa phơng (U, x) của M; (V, y) của N mà w = U f -1 (V) thì ánh xạ: yofox -1 : x(w) y(V) x(p) y(f(p)) là ánh xạ khả vi lớp C k (từ tập mở x(w) trong R m vào tập mở y(V) trong R n , m và n theo thứ tự là số chiều của M và N). Các yofox -1 gọi là các biểu thức toạ độ địa phơng của f. Với p w thì hạng của f tại p là hạng của yofox -1 tại x(p). Ký hiệu là hạng p f. + f dìm tại p M nếu hạng p f = dim M + f ngập tại p M nếu hạng p f = dim N + f trải tại p M nếu hạng p f = dimM = dimM. + Nói f là dìm, ngập hay trải nếu theo thứ tự f là dìm, ngập hay trải tại mọi p M. + f gọi là nhúng khả vi nếu theo thứ tự f là một dìm, đơn ánh, đồng phôi lên ảnh. + f gọi là một vi phôi lớp C k nếu f là song ánh, f và f -1 là ánh xạ khả vi lớp C k . 2.2. Định lý. M và N là hai đa tạp khả vi, nếu hai đa tạp M và N vi phôi với nhau thì chúng có cùng số chiều. Chứng minh: Ký hiện g = f -1 . Viết theo toạ độ địa phơng ta có: y 1 = f 1 ji (x 1 , x 2 ,,x n ) x 1 = g 1 ij (y 1 , y 2 ,,y m ) f ji = (1) g ij = (2) y m = f m ji ( x 1 , x 2 ,,x n ) x n = g n ij (y 1 , y 2 ,,y m ) Thay (2) vào (1) ta đợc: y k = f k ji [g 1 ịj (y 1 ,,y m ), , g n ij (y 1 ,,y m )]. - 8 - Lấy đạo hàm riêng với y 1 ta đợc = = 1 1 111 y g x f hay y g x f y y k ij k k ji k k ij k ji k Vì hạng của ma trận ở vế trái bằng m còn hạng của mỗi ma trận ở vế phải đều nhỏ hơn hoặc bằng min(m.n) và vì hạng của tích hai ma trận không v- ợt quá hạng của các nhân tử nên suy ra: m min (m.n). Tơng tự n min (m.n). Hai hệ thức này chứng tỏ: Max (m.n) min (m.n). Vậy, m = n. 2.3. ánh xạ tiếp xúc 2.3.1. Định nghĩa. Cho hai đa tạp khả vi M, N. Một ánh xạ khả vi F: M N và một điểm p M. Ngời ta gọi ánh xạ tiếp xúc tại p của ánh xạ F (hay dạng vi phân tại p của ánh xạ F) là ánh xạ F * : T p (M) T F(p) (N) xác định nh sau: đối với mỗi v T p (M) là vectơ tiếp xúc tại điểm p = x(t 0 ) với đờng cong x(t) trong đa tạp thì F *p (v) T F(p) (N) là vectơ tiếp xúc tại Fo x(t 0 ) = F(p) với đờng cong trong đa tạp N. Nh vậy, nếu v(f) = 0 ))(( t dt txfd , f f (p). Thì F *p (v) = v xác định bởi: v(g) = 0 ))(( t dt txFgd , g f (F(p)). 2.3.2. Tính chất 1. Ta luôn có v(goF) = (F *p (v))(g), g f (F(p)). Thật vậy: vì gof f (F(v)) nên theo định nghĩa vectơ tiếp xúc v của đ- ờng x(t) tại p = x(t 0 ) ta có: v(goF) = 0 )))((( t dt txFgd (1) Mặt khác, vì F *p (v) là vectơ tiếp xúc với đờng F(x(t)) tại F(p) = F(x(t o )) nên theo định nghĩa vectơ tiếp xúc ta có: (F *p (v))(g) = 0 )))((( t dt txFgd (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 2. F *p là ánh xạ tuyến tính từ R - không gian tuyến tính T p (M) vào - 9 - R - không gian tuyến tính T F(p) (N) . Thật vậy, theo tính chất (1) ta có: (F *p (u + v))(g) = (u+v)(go F) = u(go F) + v(go F) = (F *p (u))(g) + (F *p (v))(g) = {(F *p (u)) + (F *p (v))}(g), , R, u, v T p (M), g f (F(p)). Suy ra: F *p (u + v) = F *p (u) + F *p (v), , R, u, v T p (M). 3. Đối với ánh xạ đồng nhất id trên một đa tạp M ta luôn có: (id) *p (v) = v, v T p (M). Thật vậy, ta có: (id) *p (v)(g) = v(goid) = v(g), g f (p). 2.3.3. Mệnh đề Giả sử F: M m N n là ánh xạ khả vi, p M m , (U, ) là một bản đồ tại p, (, ~ ) là một bản đồ tại F(p), y i là các hàm toạ độ trong R m , y -j là các hàm toạ độ trong R n , u i = y j o , u -j = y -j o ~ , khi đó ta có: a. F *p (v) = = n j 1 v(u -j oF) )( pF j u , v T p (M m ) (1) b. F *p [ ] = = n j p j i p i FuD u 1 )( 1 )( , v T p (M m ) (2) Chứng minh. a. Nh ta đã biết, đối với bất kỳ v T p (M m ) ta có: v = p i m i i u uv = )( 1 , v T p (M m ) (1) Một cách tơng tự ta có: F *p (v) = ( ) = n j pF j j p u uvF 1 )( * )()( áp dụng tính chất (1) ta có: ( ) = n j pF j j p u uvF 1 )( * )()( = )( 1 )( pF j m j j u Fuv = , v T p (M m ) điều phải chứng minh. b. áp dụng công thức (1) cho trờng hợp v = p i u ta đợc: F *p )( 1 )( pF j j n j p i p j u Fu uu = = (2) - 10 - . Một đa tạp (tôpô) n - chiều M cùng một C r cấu trúc trên nó đợc gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp C r , hoặc một C r đa tạp n - chiều. Khi r = : đa. 1.6.3. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều a. Định lý. (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có một và chỉ một hàm số nhẵn K trên M sao