luận văn thạc sỹ Một số vấn đề về đa thức một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Minh Hưng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức cơ sở 3 1.1 Một số khái niệm mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Đa thức với hệ số ngun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Một số bài tốn liên quan đến đa thức một biến 25 2.1 Một số bài tốn xác định đa thức và tìm nghiệm của đa thức . . . . . . 25 2.2 Một số bài tốn về đa thức với hệ số ngun. . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Một số bài tốn về tính khả quy của đa thức. . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Một số bài tốn áp dụng cơng thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảo nghiêm khắc của thầy giáo GS. TSKH Hà Huy Khối. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tơi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo cơ giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 - 2013, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tơi nhiều kiến thức cơ sở. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học tốn K5B đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và q trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc. Hải Phòng, tháng 06 năm 2013. Tác giả Phạm Minh Hưng Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 MỞ ĐẦU Đa thức một biến là vấn đề quan trọng trong kiến thức tốn học của học sinh. Lý thuyết về đa thức một biến đã được phát triển từ lâu, và được đề cập tới nhiều trong các sách giáo khoa bậc phổ thơng, đặc biệt là phần quan trọng khi ơn thi học sinh giỏi hay dạy các lớp nâng cao. Do đó thầy cơ giáo cần có hiểu biết chun sâu về lĩnh vực này để có thể nâng cao hiệu quả giảng dạy. Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về lí thuyết đa thức gồm các vấn đề về: nghiệm của đa thức, đa thức với hệ số ngun, tính khả quy của đa thức, đa thức nội suy. Đồng thời luận văn cũng cố gắng xây dựng một hệ thống bài tập liên quan, có thể làm tài liệu chun đề cho giáo viên và học sinh, nhằm góp phần bồi dưỡng học sinh giỏi, nâng cao chất lượng giảng dạy. Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương: Chương 1. Kiến thức cơ sở Chương này nhắc lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ sở về đa thức một biến, nghiệm của đa thức một biến, đa thức với hệ số ngun, đa thức nội suy, tính khả quy của đa thức, có trình bày kèm theo một số ví dụ. Chương 2. Một số bài tốn liên quan đến đa thức. Chương này áp dụng lý thuyết về đa thức một biến để phân loại và giải một số loại tốn liên quan. Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chương 1 Kiến thức cơ sở Mục đích của chương là nhắc lại các kiến thức cơ sở về đa thức một biến, nghiệm của đa thức một biến, đa thức với hệ số ngun, đa thức nội suy, tính khả quy của đa thức. Từ đó áp dụng vào giải các bài tốn của chương sau. 1.1 Một số khái niệm mở đầu. 1.1.1.Khái niệm đa thức một biến. Một đơn thức biến x là một biểu thức dạng cx k , trong đó c là một hằng số và k là một số ngun khơng âm. c có thể là một số ngun, số hữu tỉ, số thực hay số phức. Định nghĩa 1: Đa thức biến x là tổng hữu hạn đơn thức biến x. Nói cách khác, nó là một biểu thức dạng P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 . Nếu chỉ có hai hoặc ba số hạng trên là khác khơng, P được gọi là một nhị thức, hoặc tương ứng tam thức. Các hằng số a 0 , , a n trong (*) là các hệ số của đa thức P. Tập hợp các đa thức với các hệ số trong A được ký hiệu là A[x]. Ví dụ: R[x] là tập hợp của các đa thức với hệ số thực. Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chúng ta có thể giả thiết trong (*) a n = 0 (nếu a n = 0, a n x n có thể bị xóa mà khơng cần thay đổi các đa thức). Khi đó, số mũ n được gọi là bậc của đa thức P và ký hiệu degP . Đặc biệt, đa thức bậc một được gọi là tuyến tính. Đa thức khơng P (x) ≡ 0 được gán bậc −∞ Ví dụ 1 P (x) = x 3 (x + 1) + (1 −x 2 ) 2 = 2x 4 + x 3 − 2x 2 + 1 là một đa thức với hệ số ngun bậc 4. Q (x) = 0x 2 − √ 2x + 3 là một đa thức tuyến tính với hệ số thực. R (x) = √ x 2 = |x|, S (x) = 1 x và T (x) = √ 2x + 1 khơng là đa thức. Tổng, hiệu hoặc tích các đa thức là một đa thức: A (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n B (x) = b 0 + b 1 x + + b m x m A (x) + B (x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + , A (x) B (x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + + a n b m x n+m Ví dụ 2 Cho các đa thức: f (x) = x 3 − 2x 2 + x −1 g (x) = 4x 2 − x + 3 Khi đó: f (x) + h (x) =  x 3 − 2x 2 + x −1  +  4x 2 − x + 3  = x 3 + 2x 2 + 2 f (x) .h (x) =  x 3 − 2x 2 + x −1  .  4x 2 − x + 3  = 4x 5 − 9x 4 + 9x 3 − 11x 2 + 4x −3 1.1.2.Định lý 1 Nếu A và B là hai đa thức , khi đó: (i) deg(A ± B) ≤ max(degA, degB), Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5 (ii) deg(A.B) = degA + degB. Một thương của hai đa thức khơng nhất thiết phải là một đa thức. Thay vào đó, như số ngun, chúng có thể được chia với dư . Ví dụ 3 Tìm đa thức f(x) thỏa mãn các quan hệ sau: a) x 4 − 2x 3 + 6x 2 − 8x + 8 = (x 2 + 4)f (x) b) x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = (f (x)) 2 c) deg f = 2, f (x) − f (x − 1) = x Giải a) Vì bậc của vế trái là 4 và hệ số cao nhất của x bằng 1 nên f (x) = x 2 + bx + c. Ta khai triển đồng nhât : x 4 − 2x 3 + 6x 2 − 8x + 8 =  x 2 + 4  x 2 + bx + c  = x 4 + bx 3 + (4 + c) x 2 + 4bx + 4c Do đó:            b = −2 4 + c = 6 4b = −8 4c = 8 ⇔  b = −2 c = 2 Vậy f (x) = x 2 − 2x + 2 b) Xét f (x) = x 2 + ax + b Ta khai triển đồng nhất: x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 =  x 2 + ax + b  2 = x 4 + 2ax 3 + (2b + a) x 2 + 2ax + b 2 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 6 Do đó:            2a = 2 2b + a = 3 2a = 2 b 2 = 1 ⇔  a = 1 b = 1 Vậy f (x) = x 2 + x + 1 c) Bậc của f(x) bằng 2 nên f (x) = ax 2 + bx + c,a = 0. Khi đó f (x − 1) = a(x − 1) 2 + b (x −1) + c. Đồng nhất hệ số ta được kết quả: a = b = 1 2 . Vậy f (x) = 1 2 x 2 + 1 2 x + c, c tùy ý. 1.1.3. Định lý 2 Với các đa thức A và B = 0 , có duy nhất đa thức Q (thương) và đa thức R (dư) sao cho A = BQ + R và degR < degB. Chứng minh Cho A (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n và B (x) = b 0 + b 1 x + + b k x k . Giả sử k là cố định và n thay đổi. Đối với n < k thì Q=0. Giả sử n = N ≥ k và điều cần chứng minh là đúng đối với n < N. Khi đó A 1 (x) = A (x) − a n b k x n−k B (x) , trong đó B(x) là một đa thức bậc nhỏ hơn n (hệ số tại x n bằng khơng). Do đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại duy nhất đa thức Q-1 và R mà A 1 = BQ 1 +R và degR<degB. Nhưng điều này cũng có nghĩa A = BQ + R, khi đó Q (x) = a n b k x n−k + Q 1 (x) . Ví dụ 4 Thương khi chia A (x) = x 3 + x 2 − 1 cho B (x) = x 2 − x − 3 là x+2 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 7 với dư 5x +5, hay: x 3 + x 2 − 1 x 2 − x −3 = x + 2 + 5x + 5 x 2 − x −3 . Chúng ta nói rằng đa thức A chia hết cho đa thức B nếu phần dư R khi chia A cho B bằng 0, nghĩa là nếu có một đa thức Q mà A = BQ. Ví dụ 5 Cho P (x) = x 243 + x 81 + x 27 + x 9 + x 3 + x Tìm dư trong phép chia P(x) cho: a) x-1 b) x 2 − 1 Giải a) Ta có P (x) = (x − 1) Q (x) + r (x) , deg r (x) < deg (x − 1) = 1 nên r(x)=c. Do đó: Chọn x = 1 ⇒ P (1) = c ⇒ c = 6 Vậy r(x)=6. b) Ta có: P (x) =  x 2 − 1  H (x) + s (x) , deg s (x) < 2 ⇒ s (x) = ax + b Chọn x = 1 ⇒ P (1) = a + b = 6 x = −1 ⇒ P (−1) = −a + b = −6 Do đó : a=6, b=0. Vậy s(x)=6x. 1.1.4. Định lí 3 (định lý Bezout) Đa thức P (x) chia hết cho nhị thức x-a khi và chỉ khi P(a) =0. Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 8 Chứng minh Theo phép chia đa thức, tồn tại một đa thức Q và một hằng số c sao cho P (x) = (x − a)Q(x) + c. Như vây c = 0 khi và chỉ khi P (a) = 0. Một số a gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0, tức là (x − a)|P (x). Việc tìm nghiệm của đa thức f , có nghĩa là giải phương trình f (x) = 0 khơng phải là ln ln thực hiện được. Ví dụ, việc tìm nghiệm chính xác của một đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 5 khơng phải ln thực hiện được. Tuy nhiên, ln ln có thể tìm được nghiệm gần đúng với độ chính xác tùy ý. Cụ thể, f (a)< 0 <f (b) cho thấy rằng f có một nghiệm giữa a và b. Ví dụ 6 Đa thức x 2 − 2x −1 có hai nghiệm thực: Đa thức x 2 −2x + 2 khơng có nghiệm thực, nhưng nó có hai nghiệm phức: x 1,2 = 1 ± i. Đa thức x 5 − 5x + 1 có một nghiệm trong khoảng [1,44;1,441] mà khơng thể tính tốn chính xác được. Tổng qt hơn, có định lí dưới đây . 1.1.5. Định lý 4 Nếu đa thức P chia hết cho đa thức Q, thì tất cả các nghiệm của Q cũng là nghiệm của P . Điều ngược lại khơng đúng. Mặc dù tất cả các nghiệm của x 2 là nghiệm của x, nhưng x khơng chia hết cho x 2 . Mỗi đa thức với hệ số phức có một phân tích thành nhân tử tuyến tính. Khẳng định sau đây là tương tự như định lý phân tích duy nhất số ngun thành tích các thừa số ngun tố. 1.1.6.Định lý 5 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 Chương 2 Một số bài tốn liên quan đến đa thức một biến 2.1 Một số bài tốn xác định đa thức và tìm nghiệm của đa thức Bài tập 1 Đa thức monic f(x) bậc 4 thỏa mãn f (1) = 10, f (2) = 20 và f (3) = 30 Xác định f (12) + f (-8) Giải Đa thức f(x) − 10x bằng 0 tại các điểm x = 1, 2, 3 nên nó chia hết cho đa thức (x − 1)(x − 2)(x − 3) Do đó, tồn tại một. .. những số thực với pi 2 < 4qi và k+2 l = n Từ đó suy ra rằng, đa thức hệ số thực có bậc lẻ ln ln có một số lẻ nghiệm (và có ít nhất một nghiệm) Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 11 1.2 Nghiệm của đa thức Trong phần đầu tiên, chúng tơi mơ tả một số đặc tính cơ bản của các đa thức Trong phần này chúng tơi mơ tả thêm một số tính chất và cuối cùng chúng tơi chứng minh rằng mỗi đa thức. .. hạng là bội của đa thức x-y Điều này dẫn đến tính chất số học đơn giản nhưng quan trọng của các đa thức trên Z [x]: 1.3.1.Định lý 13 Nếu P là một đa thức với hệ số ngun, thì P(a) - P(b) chia hết cho a - b với mọi số ngun khác nhau a và b Đặc biệt, tất cả các nghiệm ngun của P chia hết P(0) Có một khẳng định tương tự về nghiệm hữu tỷ của các đa thức P(x) ∈ Z[x] 1.3.2 Định lý 14 Nếu một số hữu tỷ p/q(p,... 1, 2 12 Một đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 được gọi là đối xứng nếu an−i = ai với mọi i Nếu deg f = n là số lẻ thì -1 là một nghiệm của f và đa thức f (x) / (x +1) là đối xứng Nếu n = 2k chẵn, thì f (x) /xk = a0 xk + x−k + + ak−1 x + x−1 + ak là một đa thức của y = x + x−1 , vì mỗi biểu thức xi + x−i đều là đa thức của y Đặc biệt, x2 + x−2 = y 2 − 2, x3 + x−3 = y 3 − 3y, Đều này... đó d1 = −d0 , nên x2 = x0 Lưu ý rằng một đa thức có giá trị ngun tại tất cả các điểm ngun 1 khơng nhất thiết phải có hệ số số ngun, chẳng hạn đa thức x (x − 1) 2 2.3 Một số bài tốn về tính khả quy của đa thức Bài tập 1 Dùng tiêu chuẩn Eisenstein để chứng minh đa thức x4 +8x3 +12x2 −6x+2 bât khả quy trên Q[x] : Giải Chọn p=2 ta thấy: a4 = 1 khơng chia hết cho 2 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/... các đa thức khác hằng với hệ số hữu tỷ Giả sử q và r là những số tự nhiên nhỏ nhất mà qQ (x) = qk xk + + q0 và rR (x) = rm xm + + r0 có hệ số ngun Khi đó, qrP (x) = qQ (x) rR (x) là phân tích của đa thức qrP(x) thành hai đa thức từ Z [x] Căn cứ vào điều này, chúng ta sẽ xây dựng một phân tích của P(x) Cho p là một ước ngun tố tùy ý của q Tất cả các hệ số của P (x) chia hết cho p Giả sử i là chỉ số. .. Ví dụ 10 Cho một số ngun n > 1,xét đa thức f (x) = xn + 5xn−1 + 3 Chứng minh rằng khơng có đa thức g(x), h(x) với hệ số ngun mà f (x) = g (x) h (x) Cách giải Chọn p = 5 ta có: an = 1 khơng chia hết cho 5 a0 = 3, a1 = a2 = = an−2 = 0, an−1 = 5 đều chia hết cho 5 a0 = 3 khơng chia hết cho 25 Vậy theo tiêu chuẩn Eisenstein (mở rộng) thì f(x) bất khả quy trên Q[x] 1.5 Đa thức nội suy Một đa thức a bậc... đường cong γr biến thiên liên tục như là một hàm của r, nó khơng thể nhảy qua điểm 0, do đó, điểm 0 nằm trên đường cong γr0 Do đó, có một nghiệm của đa thức P (x) với mơ đun ro 1.3 Đa thức với hệ số ngun Hãy xem xét một đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 với hệ số ngun Hiệu P(x) -P(y) có thể được viết dưới dạng an (xn − y n ) + + a2 (x2 − y 2 ) + a1 (x − y) trong đó tất cả các số hạng là... R(x − ) = R( − x), 2 2 1 tức là R(y) = R(−y), với đa thức R nào đó Do đó S(x) = R(x − ) 2 Bây giờ R(x) = T (x2 ) với đa thức T nào đó, và vì vậy P (x) = S(x2 ) = 1 1 R(x2 − ) = T (x4 − x2 + ) = Q(x4 − x2 ) với đa thức Q nào đó 2 4 2.2 Một số bài tốn về đa thức với hệ số ngun Bài tập 1 Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình a)3x4 + 5x3 + x2 + 5x − 2 = 0 Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/... tốn Euclide, tồn tại đa thức K và L mà KQ + LR = 1 Bây giờ nếu P = QS = RT, khi đó R (KT+LS) = KQS+LRS = S, và do đó R | S và QR | QS = P Nếu đa thức P(x) =xn + +a1 x+a0 với hệ số thực có một nghiệm phức n ξ thì P ξ = ξ + + a1 ξ + a0 = P (ξ) = 0 Như vậy: 1.1.9.Định lý 8 Nếu ξ là một nghiệm của đa thức P (x) hệ số thực, thì ξ cũng là nghiệm của P(x) Trong khai triển đa thức hệ số thực P(x)thành nhân . đầu. 1.1.1.Khái niệm đa thức một biến. Một đơn thức biến x là một biểu thức dạng cx k , trong đó c là một hằng số và k là một số ngun khơng âm. c có thể là một số ngun, số hữu tỉ, số thực hay số phức. Định. lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ sở về đa thức một biến, nghiệm của đa thức một biến, đa thức với hệ số ngun, đa thức nội suy, tính khả quy của đa thức, có trình bày kèm theo một số ví. đến đa thức một biến 25 2.1 Một số bài tốn xác định đa thức và tìm nghiệm của đa thức . . . . . . 25 2.2 Một số bài tốn về đa thức với hệ số ngun. . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Một số bài