Một số vấn đề về đa thức nội suy (LV168)

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn tìm hiểu lý thuyết nội suy cổ điển Bài toán, công thức biểudiễn, sai số, sự hội tụ của quá trình nội suy cũng như một vài phát triểnsâu hơn của b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————–

NGUYỄN QUANG NHẬT

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————–

NGUYỄN QUANG NHẬT

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN KHẢI

HÀ NỘI, 2009

Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu và Phòng Sau đại học TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban Giám hiệu và các thầy cô giáo TrườngCao đẳng Kinh tế Kỹ thuật Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện, giúp đỡ trongthời gian vừa qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Nguyễn Văn Khải, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡtrong suốt quá trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè và gia đình đã luônbên cạnh, quan tâm và động viên trong việc học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Văn Khải

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Mở đầu 1

1.1 Một số khái niệm về giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian mêtric 3

1.1.2 Không gian tuyến tính 5

1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và không gian liên hợp đại số 7 1.1.4 Không gian Banach 10

1.1.5 Không gian Hilbert 13

1.2 Phân loại hàm 17

1.2.1 Đa thức 17

1.2.2 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz 19

1.2.3 Hàm khả vi 19

1.2.4 Hàm khả vi vô hạn 21

1.2.5 Hàm chỉnh hình trên đường thẳng 21

1.2.6 Hàm chỉnh hình trên miền 24

2 Lý thuyết nội suy 28 2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển 28

2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển 28

2.1.2 Các công thức biểu diễn 30

2.1.3 Sai số, vấn đề chọn mốc nội suy, sự hội tụ của quá trình nội suy 37

2.2 Một số mở rộng bài toán nội suy 47

2.2.1 Nội suy phiếm hàm tuyến tính 47

2.2.2 Đa thức nội suy Hermite 52

3 Một số ứng dụng của lý thuyết nội suy trong toán sơ cấp 55

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Sự ra đời bài toán nội suy và quá trình nghiên cứu phát triển khôngngừng của lý thuyết đa thức nội suy có ý nghĩa quan trọng trong toán họctheo cả hai hướng: Lý thuyết và ứng dụng

Đối với lý thuyết đa thức nội suy, người ta quan tâm đến hầu khắp cáckhía cạnh của vấn đề: Sự tồn tại, các biểu diễn ở dạng thức khác nhau, sai

số, chọn mốc nội suy cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy

Đồng thời với lý thuyết đa thức nội suy truyền thống, người ta cònquan tâm đến bài toán đa thức nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếmhàm tuyến tính

Lý thuyết đa thức nội suy có nhiều ứng dụng trong toán học như giảigần đúng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

Trong toán sơ cấp nó cũng có những ứng dụng khác nhau thú vị.Với mục tiêu muốn tìm hiểu một cách sâu sắc có hệ thống về các đathức nội suy, tôi đã chọn đề tài:

“Một số vấn đề về đa thức nội suy”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết nội suy và một vàiứng dụng trong toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn tìm hiểu lý thuyết nội suy cổ điển (Bài toán, công thức biểudiễn, sai số, sự hội tụ của quá trình nội suy) cũng như một vài phát triểnsâu hơn của bài toán nội suy (nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếmhàm tuyến tính)

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và hàm số biến số phức

5 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

Trình bày hệ thống hoá lại những vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.Một số ứng dụng đa thức nội suy trong toán sơ cấp

6 Nội dung

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 : Trình bày các vấn đề cơ bản về đa thức nội suy cổ điển,các công thức biểu diễn, sự hội tụ của quá trình nội suy, đa thức nội suyHermite và bài toán nội suy phiếm hàm tuyến tính

Chương 3 : Một số ứng dụng trong việc giải toán sơ cấp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Ta ký hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Z là tập các sốnguyên và N là tập các số tự nhiên

1.1.1 Không gian mêtric

Khi đó ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách và tập hợp X cùng với d

là một không gian mêtric

Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên

M là một không gian mêtric con của không gian mêtric X

Định nghĩa 1.1.2 Cho dãy các phần tử xn ∈ X, ∀n ∈ N và phần tử

Định lí 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là không gian mêtric đủ

và ánh xạ T : X −→ X thỏa mãn điều kiện

với hằng số 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X Khi đó tồn tại duy nhất phần tử

x∗ ∈ X sao cho x∗ = T x∗ Hơn nữa, với x0 ∈ X thì dãy (xn) xác định bởi

xk+1 = T xk, ∀k ∈ N, hội tụ đến x∗, đồng thời ta có ước lượng

T xn nên cho n −→ ∞ ta được x∗ = T x∗ Vậy x∗ là điểm mà x∗ = T x∗.Giả sử còn có x¯ cũng có tính chất x = T ¯¯ x Khi đó

d(x∗, ¯x) = d(T x∗, T ¯x) ≤ αd(x∗, ¯x)

Mà α < 1 nên suy ra d(x∗, ¯x) = 0 hay x∗ = ¯x Vậy x∗ là duy nhất

Ví dụ 1 Xét X = R với khoảng cách thông thường d(x, y) = |x − y|.Khi đó X là một không gian mêtric, hơn nữa nó còn là một không gianmêtric đủ

Ví dụ 2 Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x − y| Khi đó X là mộtkhông gian mêtric không đủ

Ví dụ 3 Xét X = C[0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảngcách d(x, y) = max

0≤t≤1|x(t) − y(t)| Khi đó X là một không gian mêtric.Thật vậy,

a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

b) d(x, y) = max

0≤t≤1|x(t) − y(t)| = max

0≤t≤1|y(t) − x(t)| = d(y, x).c) ∀t ∈ [0, 1] : |x(t) − y(t)| = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| +

Hơn nữa, ta có thể chứng minh C[0, 1] là một không gian mêtric đủ

1.1.2 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.6 Tập X cùng với phép cộng và phép nhân vô hướngđược gọi là một không gian tuyến tính thực (nói ngắn gọn là không giantuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

a) x + y = y + x;

b) (x + y) + z = x + (y + z);

c) Tồn tại phần tử trung hoà θ ∈ X sao cho x + θ = x;

d) Tồn tại −x ∈ X sao cho x + (−x) = θ;

e) (s + t)x = sx + tx;

f) t(x + y) = tx + ty;

g) s(tx) = (st)x;

h) 1.x = x

với mọi x, y, z ∈ X và mọi s, t ∈ R

Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vectơ, các điều kiện trên được gọi

là các tiên đề về không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử X là một không gian tuyến tính thực Tập con

X1 của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X

nếu X1 cùng với hai phép toán cảm sinh của X trên X1 tạo thành mộtkhông gian tuyến tính

Dễ thấy rằng với một không gian tuyến tính X thì các khẳng định sau

là đúng:

a) Phần tử trung hoà θ là duy nhất.

b) Phần tử đối (−x) của phần tử x ∈ X là duy nhất

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ {x1, x2, , xn}

Định nghĩa 1.1.9 Cho hệ n vectơ x1, , xn trong không gian tuyến tính

α2i > 0 sao cho đẳng thức trên được thoả mãn thì ta nói rằng hệ n

vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.1.10 Hệ vô hạn các phần tử {xi}i∈I thuộc không giantuyến tính X được gọi là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạncủa nó là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.11 Cho n là một số nguyên dương và X là một khônggian tuyến tính Nếu ta tìm được n vectơ x1, x2, , xn ∈ X độc lập tuyếntính và mọi hệ n + 1 vectơ trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nóikhông gian X có số chiều là n và kí hiệu là dim X = n Nếu không tồn tại

n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian tuyến tính Một tập hợpcác phần tử x1, x2, · · · ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi

x ∈ X, x luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của xi vàbiểu diễn này là duy nhất

Định lí 1.1.13 Không gian tuyến tính X có số chiều là n khi và chỉ khi

cơ sở của X gồm n phần tử Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độclập tuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó

Định nghĩa 1.1.14 Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên R.Khi đó ánh xạ T : X → Y được gọi là tuyến tính nếu T thoả mãn hai điềukiện:

a) T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2), ∀x1, x2 ∈ X;

b) T (kx) = kT (x), ∀k ∈ R, ∀x ∈ X

1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và không gian liên hợp đại số

Định nghĩa 1.1.15 Giả sử X một không gian tuyến tính trên R Mộtánh xạ L : X → R thoả mãn điều kiện:

Sử dụng định nghĩa, dễ dàng chứng minh các phiếm hàm trong các ví

dụ dưới đây là tuyến tính

Ví dụ 5 X = C1[a, b] và phiếm hàm L : X → R xác định bởi

Ví dụ 8 XétX = C[a, b] và x1, x2, , xn là nđiểm phân biệt trên [a, b].

L1, L2, , Ln là n phiếm hàm tuyến tính trên X và được xác định bởi

Lk(f ) = f (xk) với f ∈ X Khi đó L1, L2, , Ln độc lập tuyến tính trên

0, i 6= k, vậy ak = 0 Ta được điều phải chứng minh

Bổ đề 1.1.17 Cho X là một không gian n chiều Nếu x1, x2, , xn độclập tuyến tính trong X và L1, L2, , Ln độc lập trong X∗ thì

Ngược lại, nếu x1, x2, , xn hoặc L1, L2, , Ln độc lập và (1.5) đượcthỏa mãn thì tập còn lại cũng vậy

Định lí 1.1.18 Nếu dim X = n thì dim X∗ = n

Chứng minh Lấy x1, x2, , xn là một cơ sở (n phần tử độc lập) Với mỗi

x ∈ X, x = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn là biểu diễn duy nhất

Vì Rn (hoặc Cn) có n chiều nên các bộ trên không thể độc lập tuyến tính.

Do đó có α1, α2, , αn+1 không đồng thời bằng 0 sao cho

α1[L1(x1), , L1(xn)]+· · ·+αn+1[Ln+1(x1), , Ln+1(xn)] = 0 = [0, 0, , 0]

Vì vậy (α1L1+ · · · + αn+1Ln+1)(xi) = 0, i = 1, 2, , n Bằng cách lấy tổhợp tuyến tính ta được

1.1.4 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.19 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R Ánh

xạ k·k : X → R xác định trên X lấy giá trị trên tập số thực, thoả mãn cácđiều kiện sau:

a) kxk ≥ 0, ∀x ∈ X đồng thời kxk = 0 ⇔ x = θ;

b) kαxk = |α| kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R;

c) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X,

được gọi là một chuẩn trên X

Định nghĩa 1.1.20 Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn k·k đượcgọi là một không gian tuyến tính định chuẩn

Định lí 1.1.21 Cho không gian tuyến tính định chuẩn X Với x, y ∈ X

đặt

Khi đó d là một mêtric trên X

Chứng minh của định lí trên dễ dàng suy ra từ các điều kiện của chuẩn.Nhờ định lí 1.1.21, mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là khônggian mêtric với mêtric (1.6)

Định nghĩa 1.1.22 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi làkhông gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một phần

và T : X −→ Y là một toán tử tuyến tính Nếu tồn tại giá trị hữu hạn

kT k = sup

∅6=x∈X

kT xkkxk < +∞

thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số kT k được gọi làchuẩn của toán tử T

Khi đó C[0, 1] cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tínhtrên R Với x ∈ C[0, 1], đặt kxk = max

t∈[0,1]

|x(t)| thì có thể thấy k·k là mộtchuẩn trên C[0, 1] và C[0, 1] cùng với chuẩn nêu trên là một không gianBanach

Định nghĩa 1.1.27 Cho không gian tuyến tính định chuẩn X và dãyđiểm (xn) ⊂ X Ta gọi là chuỗi là biểu thức có dạng

x1 + x2 + · · · + xn+ · · ·

được gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi.

Nếu tồn tại lim

k→∞sk = s trong không gian X thì chuỗi gọi là hội tụ và s

gọi là tổng của chuỗi

Ba-Chứng minh Giả sử X là không gian Banach và chuỗi

∞

P

n=1

kxnk hội tụ.Khi đó

Ngược lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗihội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (xn) là dãy Cauchy tùy ý trong không gian

n→∞xn trong không gian tuyến tính định chuẩn X Do đó X

là không gian Banach Định lí được chứng minh

1.1.5 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.31 Cho X là một không gian tuyến tính Ánh xạ ϕ :

X × X −→ R thỏa mãn ba điều kiện sau được gọi là một tích vô hướngtrên X:

Nhận xét: Theo X là một không gian tuyến tính trên đó xác định mộttích vô hướng (·) Khi đó ánh xạ k·k : X −→ R xác định bởi kxk =p(x, x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là một không giantuyến tính định chuẩn Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảmsinh bởi tích vô hướng Từ đó ánh xạ d : X × X −→ R xác định bởi

d(x, y) = kx − yk = p(x − y, x − y) là một hàm khoảng cách trên X và

(X, d) là một không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.32 Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng

(·) Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng (·) mà (X, d)

trở thành một không gian mêtric đủ thì X cùng với tích vô hương (·) đượcgọi là một không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.33 Cho X là một không gian Hilbert Hai phần tử x, y ∈

X gọi là trực giao, kí hiệu x ⊥ y nếu (x, y) = 0

Định nghĩa 1.1.34 Cho X là một không gian Hilbert Hệ các phần tử

(ei)i∈I của X được gọi là trực chuẩn nếu

(ei, ej) = δij = 1 nếu i = j

0 nếu i 6= j

Định lí 1.1.35 Giả sử {xi}i∈N là một hệ độc lập tuyến tính trong khônggian Hilbert X Khi đó có thể xây dựng được một hệ {ei}i∈N trực chuẩn.Chứng minh Đặt e1 = x1

Ví dụ 11 Xét X = l2 là tập các dãy số thực sao cho chuỗi số

với x(t), y(t) ∈ L2[a, b] thì

Nhận thấy kx1k = 2, e1 = x1

kx1k, thay số ta được e1 =

1

2 Dễ thấy(x2, e1) =

, rút gọn ta được ky3k =2

.Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn {ei} Tuynhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi ei

với một hằng số thích hợp để được một vectơ mới, vẫn kí hiệu là ei nhưng

với dạng đơn giản hơn, như sau

i=1.Nếu lim

n→∞kSn − xk = 0 thì người ta nói tổng Fourier Sn hội tụ đến x

1.2.1 Đa thức

Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức biến z là một hàm có dạng

p(z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0

Nếu an 6= 0 thì an được gọi là hệ số cao nhất, n được gọi là bậc của đathức f (z) và viết là deg p(z) = n Phần tử 0 được xem như đa thức có tất

cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không Ta qui ước bậc của đathức không là 0

Tập hợp tất cả các đa thức có bậc ≤ n được kí hiệu là Pn Pn là mộtkhông gian tuyến tính

Định lí 1.2.2 (Định lí cơ bản của Đại số) Mọi đa thức bậc n ≥ 1 luôn

có nghiệm phức

Định lí 1.2.3 (Định lí nhân tử hoá) Nếu pn(z) là một đa thức bậc n thì

ta có thể tìm được n số phức z1, z2, ; zn sao cho

1.2.2 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

Định nghĩa 1.2.5 Cho f (x) xác định trên I và giả sử tìm được hai hằng

số dương M và α sao cho

|f (x1) − f (x2)| ≤ M |x1 − x2|α, với mọi x1, x2 ∈ I

Khi đó f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc α Lớp các hàmnhư vậy được kí hiệu là Lip α Nếu hằng số M đã được xác định thì ta còn

kí hiệu LipM α

Định lí 1.2.6 Lip α là một không gian tuyến tính Nếu f ∈ Lip α trên

I thì f liên tục, thậm chí liên tục đều trên I Nếu f ∈ Lip α với α > 1

thì f là một hằng số Nếu f ∈ Lip α, nó có thể không khả vi nhưng nếu

|f0(x)| ≤ M thì f ∈ Lip 1 Nếu α < β thì Lip α ⊃ Lip β Điều kiện

f ∈ LipM α và ω(δ) < M δα là tương đương

Ví dụ 14 Cho 0 < α < 1 Với x > 0, h > 0 thì d

dx[(x + h)

α − xα] =α[(x + h)α−1− xα−1] < 0 Vì vậy (x + h)α− xα nghịch biến với mọi x ≥ 0

và (x + h)α − xα ≤ hα Điều này có nghĩa là xα ∈ Lip α với mọi khoảngdương

không liên tục tại x = 0, không khả vi tại đó và khả vi tại các điểm cònlại.

Tập hợp tất cả các hàm f (x) khả vi n lần trên đoạn [a, b] và đạo hàm

f(n)(x) liên tục trên đoạn [a, b] kí hiệu là Cn[a, b] Có thể chứng minh

Cn[a, b] là một không gian tuyến tính

Định lí 1.2.8 Cho n ≥ 2 Giả sử rằng f ∈ C[a, b] và đạo hàm f(n−1)(x)

tồn tại tại mỗi điểm của (a, b) Giả sử f (x1) = f (x2) = · · · = f (xn) = 0

với a ≤ x1 < · · · < xn ≤ b Khi đó, tồn tại điểm ξ với x1 < ξ < xn saocho f(n−1)(ξ) = 0

Tổng quát hoá định lí giá trị trung bình ta có

Định lí 1.2.9 Cho f (x) ∈ Cn+1[a, b] và x0 ∈ [a, b] Khi đó với mọi

x ∈ [a, b], ta có

f (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + f

00(x0)2! (x − x0)

2 + · · ·+ f

(n)(x0)

n! (x − x0)

n + 1n!

Rx

x 0f(n+1)(t)(x − t)dt

Định lí 1.2.10 Cho f (x) ∈ Cn[a, b] và đạo hàm f(n+1)(x) tồn tại trên

(a, b) Khi đó, tồn tại ξ với a < ξ < b sao cho

f (b) = f (a) + f0(a)(b − a) + f

00(a)2! (b − a)

2 + · · · + f

(n)(a)n! (b − a)

1.2.4 Hàm khả vi vô hạn

Định nghĩa 1.2.12 Nếu f (x) ∈ Cn[a, b] với ∀n ∈ N thì f (x) được gọi

là khả vi vô hạn trên [a, b] Tập các hàm khả vi vô hạn trên [a, b] được kíhiệu là C∞[a, b]

Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn C∞[a, b] là một không gian tuyếntính

f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · · (1.9)thì f (x) được gọi là chỉnh hình (hay giải tích) tại x0, nếu f (x) chỉnh hìnhtại mọi điểm x ∈ [a, b] thì f (x) được gọi là chỉnh hình hay giải tích trên

(x − x0) − 1

x3 0

(x − x0)2 − · · ·

Ví dụ 21 Hàm f (x) = ex chỉnh hình trên R. Thật vậy, với x0 ∈ R, ta có

Định lí 1.2.14 A[a, b] là một không gian tuyến tính Nếu f (x) ∈ A[a, b]

thì f (x) ∈ C∞[a, b] Hệ số an trong (1.9) được xác định bởi

nên k.f (x) + l.g(x) ∈ A[a, b] Vậy A[a, b] là một không gian tuyến tính.

Do tính chất của chuỗi luỹ thừa nên nếu f (x) ∈ A[a, b] thì

Với x 6= 0 thì f00(x) = p(1x)e−x21 ở đó p(x1) là một đa thức của x1 Mặt khác

lim

x→0f00(x) = lim

x→0p(1x)e−x21 = 0 = f00(0) Vậy f00(x) ∈ C2(R).Quá trình tính toán tương tự ta có

f (0) = f0(0) = f00(0) = · · · = 0

nên nếu f (x) ∈ A(R) thì tại x0 ∈ R bất kì, theo Định lí 1.2.14, các hệ sốkhi khai triển f (x) tại x0 đều bằng 0, do đó f (x) = 0 Vô lí Ta được điềucần chứng minh

Ví dụ 23 Hàmf (z) = 1

1 + z2 chỉnh hình trên mọi miền không chưa điểm

z = ±i Thật vậy, tại điểm ±i thì f (x) không xác định nên f(x) khôngchỉnh hình tại đó

Với mọi miền không chứa ±i và z0 là một điểm bất kì thuộc miền đó,

1

1 + z−z0

i+z0

+

i i−z 0

z − z0

i − z0

Ux0∩Ux1 = gx1

Định lí Cauchy là một công cụ cơ bản trong giải tích phức.

Định lí 1.2.17 ChoD là một miền đơn liên và f (z) ∈ A(D) Choz0 ∈ D

và giả sử rằng C là một đường cong đơn, kín và bao lấy z0 trong D Khiđó

f(n)(z0) = n!

2πiZ

C

f (z)(z − z0)n+1dz (1.10)Khi công thức tích phân Cauchy tồn tại, nó được hiểu là C thoả mãncác điều kiện trên Các hàm chỉnh hình có thể hoàn toàn đặc trưng bởi sựtăng cấp của đạo hàm của chúng và nó cung cấp một xấp xỉ độc lập thứhai của chuỗi luỹ thừa

Định lí 1.2.18 (Định lí Pringsheim) Cho f (x) ∈ C∞[a, b] Điều kiện cần

và đủ để f ∈ A[a, b] là tồn tại một hằng số r > 0 sao cho

|f(n)(x)| ≤ rnn!, a ≤ x ≤ b, n = 0, 1, (1.11)Chứng minh Điều kiện cần: Cho x0 là điểm cố định thuộc [a, b] và giả sửrằng (1.11) được thoả mãn Theo Định lí 1.2.16 ta có x ∈ [a, b],

k

+ f

(n)(ξ)n! (x − x0)

n

(1.12)Với mỗi n cố định và ξ = ξ(n, x) ∈ (x, x0) Theo (1.11) thì

n thì số dư trong (1.12) sẽ hội tụ đến 0 Hàm f

có một chuỗi luỹ thừa mở rộng trong lân cận của x0 Điều này có nghĩa

ở đó M là hằng số độc lập với n Từ đây rõ ràng ta tìm được r > 0 để

1

n

Định lí 1.2.20 (Nguyên lí cực đại) Cho hàm f (z) chỉnh hình và không

là hàm hằng trên miền G Với z0 ∈ G thì với bất kì lân cận nào của z0,tồn tại z1 mà |f (z1)| > |f (z0)| Nếu f (z0) 6= 0 thì trong bất kì lân cận nàocủa z0 cũng tồn tại z2 mà |f (z2)| < |f (z0)|

Chương 2

Lý thuyết nội suy

2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển

Trong thực tế khi tính toán, người ta phải tính giá trị của hàm sốy = f (x)

với x bất kỳ trên đoạn [a, b] trong khi chỉ biết các giá trị yi tại các điểm

xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biểu thức giải tích của

f (x) đã cho nhưng quá phức tạp Khi đó người ta thường xây dựng một

đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện P (xi) = f (xi) (i = 0, 1, , n)

Định nghĩa 2.1.1 Hệ n + 1 điểm phân biệt {xi} với xi ∈ [a, b], i =

0, 1, , n được gọi là n + 1 mốc nội suy

ai:

a0 + a1zi + · · · + anzin = wi, i = 0, 1, , n

Định thức của hệ là định thức Vandermonde tại z0, z1, , zn:

V (z0, z1, , zn) =

... thức Pn(x) cho (2.7) đa thức nội suy grange

La-Dễ thấy đa thức Pn(x) nghiệm tốn nêu Thậtvậy, giả sử có Qn(x) đa thức thoả mãn: Qn(xj)... data-page="36">

2.1.2.2 Đa thức nội suy Newton

a) Khái niệm tỷ sai phân số tính chất

Định nghĩa 2.1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định đoạn [a, b]

n + mốc nội suy {xi},... data-page="35">

2.1.2 Các công thức biểu diễn

2.1.2.1 Đa thức nội suy Lagrange

(x − xi)

n

Q

i=0 i6=j

Người ta nói đa thức Pn(x)