Một số vấn đề về đa thức nội suy (LV168)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN QUANG NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN QUANG NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI HÀ NỘI, 2009 Lời cảm ơn Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu và Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban Giám hiệu và các thầy cô giáo Trường Cao đẳng Kinh tế Kỹ thuật Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện, giúp đỡ trong thời gian vừa qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Khải, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè và gia đình đã luôn bên cạnh, quan tâm và động viên trong việc học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Khải. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số khái niệm về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và không gian liên hợp đại số 7 1.1.4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Phân loại hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Hàm khả vi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.5 Hàm chỉnh hình trên đường thẳng . . . . . . . . . . 21 1.2.6 Hàm chỉnh hình trên miền . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Lý thuyết nội suy 28 2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Các công thức biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3 Sai số, vấn đề chọn mốc nội suy, sự hội tụ của quá trình nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Một số mở rộng bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Nội suy phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Đa thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Một số ứng dụng của lý thuyết nội suy trong toán sơ cấp 55 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Sự ra đời bài toán nội suy và quá trình nghiên cứu phát triển không ngừng của lý thuyết đa thức nội suy có ý nghĩa quan trọng trong toán học theo cả hai hướng: Lý thuyết và ứng dụng. Đối với lý thuyết đa thức nội suy, người ta quan tâm đến hầu khắp các khía cạnh của vấn đề: Sự tồn tại, các biểu diễn ở dạng thức khác nhau, sai số, chọn mốc nội suy cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy. Đồng thời với lý thuyết đa thức nội suy truyền thống, người ta còn quan tâm đến bài toán đa thức nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếm hàm tuyến tính. Lý thuyết đa thức nội suy có nhiều ứng dụng trong toán học như giải gần đúng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,. . . Trong toán sơ cấp nó cũng có những ứng dụng khác nhau thú vị. Với mục tiêu muốn tìm hiểu một cách sâu sắc có hệ thống về các đa thức nội suy, tôi đã chọn đề tài: “Một số vấn đề về đa thức nội suy”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết nội suy và một vài ứng dụng trong toán sơ cấp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn tìm hiểu lý thuyết nội suy cổ điển (Bài toán, công thức biểu diễn, sai số, sự hội tụ của quá trình nội suy) cũng như một vài phát triển sâu hơn của bài toán nội suy (nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếm hàm tuyến tính). 2 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và hàm số biến số phức. 5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Trình bày hệ thống hoá lại những vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy. Một số ứng dụng đa thức nội suy trong toán sơ cấp. 6. Nội dung Luận văn gồm ba chương: Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Trình bày các vấn đề cơ bản về đa thức nội suy cổ điển, các công thức biểu diễn, sự hội tụ của quá trình nội suy, đa thức nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếm hàm tuyến tính. Chương 3 : Một số ứng dụng trong việc giải toán sơ cấp. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm về giải tích hàm Ta ký hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Z là tập các số nguyên và N là tập các số tự nhiên. 1.1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập X = ∅ cùng với ánh xạ d : X ×X −→ R thỏa mãn các điều kiện: a) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, đồng thời d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; b) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X; c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X. Khi đó ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách và tập hợp X cùng với d là một không gian mêtric. Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên M là một không gian mêtric con của không gian mêtric X. Định nghĩa 1.1.2. Cho dãy các phần tử x n ∈ X, ∀n ∈ N và phần tử x ∗ ∈ X. Nếu lim n→∞ d(x n , x ∗ ) = 0 thì x ∗ được gọi là giới hạn của dãy (x n ) và ký hiệu lim n→∞ x n = x ∗ . Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ > 0, ∃N 0 sao cho ∀n, m ≥ N 0 thì d(x n , x m ) < . Định nghĩa 1.1.4. Không gian mêtric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm của X được gọi là không gian mêtric đủ. 4 Định lí 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử X là không gian mêtric đủ và ánh xạ T : X −→ X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ αd(x, y) (1.1) với hằng số 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x ∗ ∈ X sao cho x ∗ = T x ∗ . Hơn nữa, với x 0 ∈ X thì dãy (x n ) xác định bởi x k+1 = T x k , ∀k ∈ N, hội tụ đến x ∗ , đồng thời ta có ước lượng d(x n , x ∗ ) ≤ α n 1 − α d(x 1 , x 0 ). (1.2) Chứng minh. Ta có d(x k+1 , x k ) = d(T x k , T x k−1 ) ≤ αd(x k , x k−1 ) ≤ ··· ≤ α k d(x 1 , x 0 ), ∀k ∈ N. Do đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có d(x n+p , x n ) ≤ d(x n+p , x n+p−1 )+···+d(x n+1 , x n ) ≤ (α n+p−1 +···+α n )d(x 1 , x 0 ). Suy ra d(x n+p , x n ) ≤ α n 1 − α d(x 1 , x 0 ). (1.3) Vì 0 ≤ α < 1 nên lim n→∞ α n = 0, do đó từ (1.3) suy ra dãy (x n ) là dãy Cauchy, bởi vậy tồn tại x ∗ ∈ X sao cho lim n→∞ x n = x ∗ . Trong (1.3) ta cho p −→ ∞ ta được (1.2) cần chứng minh.Vì x n+1 = T x n nên cho n −→ ∞ ta được x ∗ = T x ∗ . Vậy x ∗ là điểm mà x ∗ = T x ∗ . Giả sử còn có ¯x cũng có tính chất ¯x = T ¯x. Khi đó d(x ∗ , ¯x) = d(T x ∗ , T ¯x) ≤ αd(x ∗ , ¯x). Mà α < 1 nên suy ra d(x ∗ , ¯x) = 0 hay x ∗ = ¯x. Vậy x ∗ là duy nhất. Ví dụ 1. Xét X = R với khoảng cách thông thường d(x, y) = |x − y|. Khi đó X là một không gian mêtric, hơn nữa nó còn là một không gian mêtric đủ. Ví dụ 2. Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x −y|. Khi đó X là một không gian mêtric không đủ. Ví dụ 3. Xét X = C[0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảng cách d(x, y) = max 0≤t≤1 |x(t) − y(t)|. Khi đó X là một không gian mêtric. Thật vậy, 5 a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. b) d(x, y) = max 0≤t≤1 |x(t) − y(t)| = max 0≤t≤1 |y(t) − x(t)| = d(y, x). c) ∀t ∈ [0, 1] : |x(t) −y(t)| = |x(t) −z(t) + z(t) −y(t)| ≤ |x(t) −z(t)|+ |z(t) − y(t)|. Vậy max 0≤t≤1 |x(t) −y(t)| ≤ max 0≤t≤1 |x(t) −z(t)|+ max 0≤t≤1 |z(t) −y(t)|, tức là d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X. Hơn nữa, ta có thể chứng minh C[0, 1] là một không gian mêtric đủ. 1.1.2 Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.6. Tập X cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng được gọi là một không gian tuyến tính thực (nói ngắn gọn là không gian tuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: a) x + y = y + x; b) (x + y) + z = x + (y + z); c) Tồn tại phần tử trung hoà θ ∈ X sao cho x + θ = x; d) Tồn tại −x ∈ X sao cho x + (−x) = θ; e) (s + t)x = sx + tx; f) t(x + y) = tx + ty; g) s(tx) = (st)x; h) 1.x = x với mọi x, y, z ∈ X và mọi s, t ∈ R. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vectơ, các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính thực. Định nghĩa 1.1.7. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực. Tập con X 1 của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X nếu X 1 cùng với hai phép toán cảm sinh của X trên X 1 tạo thành một không gian tuyến tính. Dễ thấy rằng với một không gian tuyến tính X thì các khẳng định sau là đúng: [...]... điểm phân biệt {xi } với xi ∈ [a, b], i = 0, 1, , n được gọi là n + 1 mốc nội suy Đa thức P (x) có bậc thấp nhất thoả mãn P (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, , n được gọi là đa thức nội suy của hàm số y = f (x) ứng với các mốc nội suy {xi }, i = 0, 1, , n Bài toán xây dựng đa thức nội suy như vậy được gọi là bài toán nội suy Định lí 2.1.2 Cho n + 1 điểm (thực hoặc phức) phân biệt z0 , z1 , , zn... Nếu an = 0 thì an được gọi là hệ số cao nhất, n được gọi là bậc của đa thức f (z) và viết là deg p(z) = n Phần tử 0 được xem như đa thức có tất cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không Ta qui ước bậc của đa thức không là 0 Tập hợp tất cả các đa thức có bậc ≤ n được kí hiệu là Pn Pn là một không gian tuyến tính Định lí 1.2.2 (Định lí cơ bản của Đại số) Mọi đa thức bậc n ≥ 1 luôn có nghiệm phức... công thức biểu diễn 2.1.2.1 Đa thức nội suy Lagrange Đặt n (x − xi ) i=0 i=j n φj (x) = với j = 0, 1, , n (xj − xi ) i=0 i=j Khi đó dễ thấy φj (x) là một đa thức của ẩn x và deg φj (x) = n Hơn nữa, 0 1 φj (xi ) = Đặt nếu i = j nếu i = j n Pn (x) = yj φj (x) (2.6) j=0 Ta có deg Pn (x) ≤ n và Pn (xi ) = yi với i = 0, 1, , n Ta nói đa thức Pn (x) ở (2.6) là đa thức nội suy Lagrange hay công thức. .. Khi đó xét S(x) = Qn (x) − Pn (x) là đa thức có ít nhất n + 1 nghiệm x0 , , xn và deg S(x) ≤ n Vậy Qn (x) ≡ Pn (x) 31 2.1.2.2 Đa thức nội suy Newton a) Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất Định nghĩa 2.1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a, b] và n + 1 mốc nội suy {xi }, i = 0, 1, , n Khi đó: yi+1 − yi Tỷ số được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x) tại xi+1 − xi xi , xi+1... là công thức Lagrange n Nếu đặt wn+1 (x) = (x − xi ) thì i=0 n (xj − xi ), với j = 0, 1, n wn+1 (xj ) = i=0 i=j Thay wn+1 (x) và wn+1 (x) vào biểu thức của Pn (x) ta có n Pn (x) = yj j=0 wn+1 (x) (x − xj )wn+1 (xj ) (2.7) Người ta cũng nói đa thức Pn (x) cho bởi (2.7) là đa thức nội suy Lagrange Dễ thấy đa thức Pn (x) là nghiệm duy nhất của bài toán nêu trên Thật vậy, giả sử có Qn (x) là đa thức thoả... Chương 2 Lý thuyết nội suy 2.1 2.1.1 Lý thuyết nội suy cổ điển Bài toán nội suy cổ điển Trong thực tế khi tính toán, người ta phải tính giá trị của hàm số y = f (x) với x bất kỳ trên đoạn [a, b] trong khi chỉ biết các giá trị yi tại các điểm xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biểu thức giải tích của f (x) đã cho nhưng quá phức tạp Khi đó người ta thường xây dựng một đa thức P (x) thỏa mãn... không gian Hilbert X và {ei }∞ là một hệ trực chuẩn i=1 của nó Khi đó các phát biểu sau tương đương: ∞ a) ∀x ∈ X, x = (x, ei )ei i=1 b) ∀x ∈ X, x 2 ∞ = (x, ei )2 i=1 c) Nếu z là một phần tử trong X sao cho (z, ei ) = 0, ∀i ∈ N∗ thì z = 0 d) Bao đóng của không gian con sinh bởi {ei }∞ trùng với X i=1 1.2 1.2.1 Phân loại hàm Đa thức Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức biến z là một hàm có dạng p(z) = an z n... tuyến tính Nếu tồn tại một bộ số α1 , , αn n với 2 αi > 0 sao cho đẳng thức trên được thoả mãn thì ta nói rằng hệ n i=1 vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.1.10 Hệ vô hạn các phần tử {xi }i∈I thuộc không gian tuyến tính X được gọi là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.11 Cho n là một số nguyên dương và X là một không gian tuyến tính... 0 t→∞ e x→0 x→0 x x−0 f (0) = lim 24 1 1 1 1 Với x = 0 thì f (x) = p( x )e− x2 ở đó p( x ) là một đa thức của x Mặt khác 1 1 lim f (x) = lim p( x )e− x2 = 0 = f (0) Vậy f (x) ∈ C 2 (R) x→0 x→0 Quá trình tính toán tương tự ta có 1 f (n) (x) = 1 P ( x )e− x2 0 nếu x = 0 nếu x = 0 1 1 với P ( x ) là một đa thức của x và n ∈ N 1 1 Ta có lim f (n) (x) = lim P ( x )e− x2 = 0 = f (n) (0) x→0 x→0 Vậy f (x)... tính và mọi hệ n + 1 vectơ trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không gian X có số chiều là n và kí hiệu là dim X = n Nếu không tồn tại n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian tuyến tính Một tập hợp các phần tử x1 , x2 , · · · ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X , x luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của xi và biểu . hiểu một cách sâu sắc có hệ thống về các đa thức nội suy, tôi đã chọn đề tài: Một số vấn đề về đa thức nội suy . 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết nội suy. : Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Trình bày các vấn đề cơ bản về đa thức nội suy cổ điển, các công thức biểu diễn, sự hội tụ của quá trình nội suy, đa thức nội suy Hermite và bài toán nội. biến số phức. 5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Trình bày hệ thống hoá lại những vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy. Một số ứng dụng đa thức nội suy trong toán sơ cấp. 6. Nội