Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 1 LỜI CẢM ƠN Một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn nhỏ của mình để được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy cô giáo, những người đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vă n Khải đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Học viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Khải, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằ ng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Học viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Mở đầu 5 Nội dung Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính 7 1.2 Một số vấn đề về phân loại hàm số thực 14 1.3 Một số vấn đề về hàm số biến số phức 24 Chương 2 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy 2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển 29 2.2 Một số bài toán tương tự và mở rộng của bài toán nội suy 38 Chương 3 Lý thuyết phần dư 3.1 Phần dư Cauchy đối với đa thức nội suy 49 3.2 Hàm lồi 52 3.3 Chọn mốc nội suy tối ưu 53 3.4 Tỷ sai phân và giá trị trung bình 58 3.5 Nội suy tại các điểm trùng nhau 59 3.6 Phần dư của đa thức nội suy 59 Chương 4 Sự hội tụ của quá trình nội suy 4.1 Sơ đồ tam giác nội suy 62 4.2 Định lí hội tụ với sơ đồ tam giác bị chặn 64 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 4 4.3 Đồ thị và nội suy 67 Chương 5 Một số ứng dụng của đa thức nội suy trong toán sơ cấp 5.1 Sử dụng đa thức nội suy Taylor để xác định đa thức 70 5.2 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange 70 5.3 Sử dụng đa thức nội suy Newton 105 5.4 Sử dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức 109 5.5 Một số bài t ập 111 KẾT LUẬN 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO 115 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết nội suy – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Lagrange, Newton, Chebyshev… Lý thuyết nội suy còn là cơ sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng hạn trong việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng nhờ sai phân… Bài toán cơ bản của lý thuyế t nội suy là dựng một hàm đơn giản xấp xỉ một hàm cho trước được cho bằng bảng hoặc là có công thức giải tích phức tạp. Từ đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm, gần đúng tích phân hay giải gần đúng một số bài toán về phương trình đã nêu. Về cơ bản bài toán nội suy cổ điển đã được sử dụng sớm bởi Newton vào năm 1686, được Lagrange s ử dụng, đề xuất lại năm 1795 và ước lượng sai số cổ điển (định lí 3.11) được Cauchy thiết lập năm 1840. Phần ứng dụng của lý thuyết nội suy rất đa dạng, nhưng trong luận văn này tập trung quan tâm tới những ứng dụng trong toán sơ cấp và đây cũng là đóng góp chủ yếu của luận văn. Chính vì các lí do đó tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Một số vấn đề về lý thuyết nội suy” nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến nội suy và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp. 2. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy. - Nêu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy đặc biệt là trong toán sơ c ấp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 6 - Nghiên cứu về một số bài toán nội suy, một số công thức cơ bản của nội suy. - Nghiên cứu lý thuyết phần dư cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy. - Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết nội suy và các vấn đề liên quan. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chính là các phương pháp của giải tích toán h ọc. 6. Đóng góp của luận văn - Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy. - Ứng dụng để giải một số bài toán sơ cấp bằng phương pháp nội suy. Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 7 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính 1.1.1 Định thức Cho ma trận vuông ( ) ij ij , nn A aa × =∈ R, ta gọi định thức của ma trận A là một phần tử thuộc R, kí hiệu là det A cho bởi ( ) () ( ) ( ) 11 2 2 det sgn . . n nn S A aa a σσ σ σ σ ∈ = ∑ . (1.1.1) Khi đó det A được gọi là định thức cấp n và còn được kí hiệu là A hay 11 12 1 21 22 2 12 n n nn nn aa a aa a aa a (1.1.2) Trong đó n S là tập tất cả các phép thế bậc n và ( ) sgn σ là dấu của phép thế ( ( ) sgn σ nhận giá trị là 1 nếu σ là phép thế chẵn, ( ) sgn σ nhận giá trị là -1 nếu σ là phép thế lẻ). * Các tính chất của định thức a, Tính bất biến ''' 11 12 1 1 1 ''' 21 22 2 2 2 ''' 12 ''' 11 12 1 1 11 12 1 1 ' 21 22 2 2 21 22 ' 12 jj n jj n n n nj nj nn j njn jn nn nj nn aa aa a aa aa a aa aa a aa a a aa a a aa a a aa a aa a a + + + =+ '' 22 '' 12 . j n n n nj nn a aa a a b, Tính thuần nhất Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 8 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 12 12 j njn j njn n n nj nn n n nj nn aa ka a aa a a aa ka a aa a a k aa ka a aa a a = (Với k là hằng số). c, Định thức của ma trận đơn vị bằng 1 10 0 01 0 det 1 00 1 n E = = . d, Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu. e, Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì định thức đó bằng 0. f, Định thức không thay đổi nếu nhân một cột hoặc một dòng của định thức với một vô hướng rồi cộng vào cột hoặc dòng khác của nó. g, Hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau. h, Từ ma trận A xóa đi dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A ta nhận được ma ij A là ma trận con của ma trận A . Kí hiệu ( ) ( ) * ij ij 1;1, ij A Aijn + = −≤≤ là phần bù đại số của phần tử ij a trong ma trận A thì khi đó định thức có thể được tính theo phần bù như sau. * ij ij 1 * ij ij 1 . n i n j AaA aA = = = = ∑ ∑ 1.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 9 Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn 12 , , , n x xx ij 1 1, n j i j ax b in = ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ ∑ (1.1.3) Trong đó các ij ; i ab là các phần tử cho trước thuộc trường số thực R, ij a được gọi là các hệ số của ẩn, i b là các hệ số tự do, ma trận ( ) ij nn Aa × = là ma trận các hệ số. Định lí 1.1.1 (Qui tắc Cramer). Nếu ij 0Aa = ≠ thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất được cho bởi det det 1, j j A x A jn ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ (1.1.4) Trong đó j A là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng cột hệ số tự do ( ) ;1, i bi n= . Định lí 1.1.2 (Định lí loại trừ). Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ij 1 0 1, n j j ax in = ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ ∑ (1.1.5) Hệ (1.1.5) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi 0A = . 1.1.3 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X có hai phép toán cộng và nhân như sau : Phép cộng , x yX∀∈ ta có x yX + ∈ . Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 10 Phép nhân vô hướng , x X α ∀∈ ∈ R ta có x X α ∈ . Khi đó X cùng với hai phép toán này được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: a, , x yX∀∈ ta có x yyx+=+ ; b, , , x yz X∀∈ ta có ( ) ( ) x yz xy z++=++ ; c, Tồn tại duy nhất 0 : 0 0 Xx x xx X∈+=+=∀∈ ; d, Với mỗi x X∈ , tồn tại duy nhất ( ) ( ) ( ) :0xXx x xx − ∈+−=−+= ; e, , α β ∀∈R, x X∀∈ ta có ( ) ( ) x x α βαβ = ; f, ( ) xy x y α ααα += +∀∈R , x yX ∀ ∈ ; g, , α β ∀∈ R , x X∀∈ ta có ( ) x xy α βαβ + =+; h,1. x xx X=∀∈ . Chú ý Người ta cũng thường dùng thuật ngữ không gian tuyến tính thay cho thuật ngữ không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.2 a, Tổ hợp tuyến tính của các vectơ 12 , , , n x xxX ∈ là biểu thức có dạng 11 2 2 nn x xx α αα +++ với i α ∈ R , i x X ∈ . b, Cho vectơ X x ∈ , nếu 11 2 2 nn x xx x α αα = +++ với i α ∈ R , i x X∈ thì ta nói vectơ x biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ 12 , , , n x xx và đẳng thức 11 2 2 nn x xx x α αα =+ ++ được gọi là một biểu thị tuyến tính của x qua các vectơ 12 , , , n x xx. Định nghĩa 1.1.3 Cho n vectơ 12 , , , n x xx của không gian vectơ X trên trường số thực R. [...]... Trong đó M là hằng số độc lập với n Do đó chúng ta tìm được r để (1.3.4) là đúng Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 29 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT NỘI SUY 2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển 2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển Định nghĩa 2.1.1 a, Hệ n + 1 điểm phân biệt { xi } với xi ∈ [ a, b ] với i = 0, n được gọi là các mốc nội suy b, Cho hàm số y = f ( x )... Đa thức xác định bởi (2.1.12) được gọi là đa thức nội suy Newton Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên (2.1.12) 35 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Nhận xét Từ định lí 2.1.1 suy ra đa thức nội suy dù có thể biểu diễn bằng các cách khác nhau nhưng cũng chỉ là một 2.1.2.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều Giả sử xi − xi −1 = h , ∀i = 1, n x0 = a, xn... ; xm−1 ) là đa thức bậc 0, vậy P ( x; x0 ; x1 ; ; xm ) = 0 Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 34 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy b, Đa thức nội suy Newton Giả sử xi , i = 0, n là n + 1 mốc nội suy Giả sử P ( x ) là đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = f ( x ) với n + 1 mốc nội suy nói trên nghĩa là Pn ( x j ) = y j , j = 0, n Kí hiệu Pn ( x; x0 ) , Pn ( x; x0 ; x1 ) …là các tỷ sai... Ln ( x ) xác định như ở (2.1.9) hoặc (2.1.10) là đa thức nội suy Lagrange hay là công thức Lagrange về đa thức nội suy 2.1.2.2 Công thức nội suy Newton a, Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn [ a, b ] và n + 1 mốc nội suy xi , i = 0, n Khi đó Tỷ số (y − yi ) được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y = f ( x ) tại xi , xi +1 xi +1 − xi i +1 và được kí... đó suy ra V ( x0 , x1 , , xn ) = Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên ∏ (x 0≤i < j ≤ n i − xj ) (2.1.8) 31 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Vì x0 , x1 , , xn là phân biệt nên V ≠ 0 Do đó hệ (2.1.2) có duy nhất nghiệm ( a0 , , an ) hay đa thức P ( x ) thỏa mãn điều kiện (2.1.1) là tồn tại duy nhất Định lí được chứng minh Đa thức nội suy P ( x ) ở định lí 2.1.1 được gọi là đa thức nội suy. .. x ) với ( n + 1) mốc nội suy { xi } 2.1.2 Một số công thức biểu diễn Đa thức nội suy P ( x ) được tìm ở định lí 2.1.1 là tường minh về phương diện lí thuyết, tuy nhiên nếu n lớn thì phương diện tính toán, vấn đề trở nên phức tạp Vì vậy, trong mục này ta nghiên cứu một số phương pháp tìm công thức biểu diễn P ( x ) nhanh gọn và tiện lợi, tiết kiệm tính toán 2.1.2.1 Công thức nội suy Lagrange Xét các... hằng số M sao cho f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] (1.2.1) Nếu không tồn tại hằng số thỏa mãn điều kiện (1.2.1) thì hàm số được gọi là không bị chặn trên đoạn [ a, b ] 1.2.2 Hàm liên tục Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 15 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm f ( x ) xác định trên đoạn [ a, b ] Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ [ a, b ] nếu lim f ( x ) =... phức Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên 12 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Định lí 1.1.4 (Định lí nhân tử hóa) Nếu Pn ( z ) là đa thức bậc n thì tồn tại n số phức z1 , z2 , , zn sao cho Pn ( z ) = a0 z n + a1 z n−1 + + an = a0 ( z − z1 )( z − z2 ) ( z − zn ) , a0 ≠ 0 Nếu đa thức có r nghiệm phân biệt z1 , z2 , , zr thì có tương ứng các số nguyên dương α1 ,α 2 , ,α r thỏa mãn α1 + α 2 +... a, b ] Đa thức P ( x ) có bậc thấp nhất ( ) thỏa mãn P ( xi ) = f ( xi ) với i = 0, n được gọi là đa thức nội suy của hàm số ( ) y = f ( x ) ứng với các mốc nội suy { xi } i = 0, n Bài toán xây dựng đa thức nội suy như vậy được gọi là bài toán nội suy cổ điển Định lí 2.1.1 Cho n + 1 mốc nội suy x0 , x1 , , xn ∈ [ a, b ] và n + 1 giá trị (thực hoặc phức) y0 , y1 , , yn Khi đó tồn tại duy nhất đa...11 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Hệ các vectơ x1 , x2 , , xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức α1 x1 + α 2 x2 + + α n xn = 0 chỉ xảy ra khi α1 = α 2 = = α n = 0 Ngược lại hệ các vectơ x1 , x2 , , xn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại α1 ,α 2 , ,α n ∈R không đồng thời bằng 0 sao cho α1 x1 + α 2 x2 + + α n xn = 0 Định nghĩa 1.1.4 a, Một hệ vectơ của X được gọi là một hệ . Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính 7 1.2 Một số vấn đề về phân loại hàm số thực 14 1.3 Một số vấn đề về hàm số biến số phức 24 Chương 2 Một số vấn đề về. lại các vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy. - Nêu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy đặc biệt là trong toán sơ c ấp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Một số vấn đề về lý thuyết nội suy Luận. cứu về một số bài toán nội suy, một số công thức cơ bản của nội suy. - Nghiên cứu lý thuyết phần dư cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy. - Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy.