Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

1 Một số vấn đề lý thuyết nội suy LỜI CẢM ƠN Một lời cảm ơn khơng thể nói lên hết lòng biết ơn to lớn tơi, xin dành lời luận văn nhỏ để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tơi tới thầy giáo, người dìu dắt, dạy dỗ suốt thời gian qua Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Khải tận tình hướng dẫn, bảo, hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn Học viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Khải, thầy, cô giáo hội đồng bảo vệ đóng góp bạn nhóm Trong trình nghiên cứu tơi kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Học viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Nội dung Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 vấn đề đại số tuyến tính Một số 1.2 vấn đề phân loại hàm số thực Một số 14 1.3 vấn đề hàm số biến số phức Một số 24 Chương Một số vấn đề lý thuyết nội suy 2.1 thuyết nội suy cổ điển Lý 29 2.2 toán tương tự mở rộng toán nội suy Một số 38 Chương Lý thuyết phần dư 3.1 dư Cauchy đa thức nội suy Phần 49 3.2 lồi Hàm 52 3.3 mốc nội suy tối ưu Chọn 53 3.4 phân giá trị trung bình Tỷ sai 58 3.5 suy điểm trùng Nội 59 3.6 dư đa thức nội suy Phần 59 Chương Sự hội tụ trình nội suy 4.1 tam giác nội suy Sơ đồ 62 4.2 hội tụ với sơ đồ tam giác bị chặn Định lí 64 4.3 nội suy Chương Đồ thị 67 Một số ứng dụng đa thức nội suy toán sơ cấp 5.1 dụng đa thức nội suy Taylor để xác định đa thức Sử 70 5.2 dụng đa thức nội suy Lagrange Sử 70 5.3 dụng đa thức nội suy Newton Sử 105 5.4 dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức Sử 109 5.5 tập Một số 111 KẾT LUẬN 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO 115 Lý chọn đề tài MỞ ĐẦU Lý thuyết nội suy – lý thuyết tốn học có lịch sử phát triển lâu dài gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng giới Lagrange, Newton, Chebyshev… Lý thuyết nội suy sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng hạn việc giải gần phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng nhờ sai phân… Bài toán lý thuyết nội suy dựng hàm đơn giản xấp xỉ hàm cho trước cho bảng có cơng thức giải tích phức tạp Từ ta tính gần đạo hàm, gần tích phân hay giải gần số tốn phương trình nêu Về tốn nội suy cổ điển sử dụng sớm Newton vào năm 1686, Lagrange sử dụng, đề xuất lại năm 1795 ước lượng sai số cổ điển (định lí 3.11) Cauchy thiết lập năm 1840 Phần ứng dụng lý thuyết nội suy đa dạng, luận văn tập trung quan tâm tới ứng dụng toán sơ cấp đóng góp chủ yếu luận văn Chính lí tơi chọn nghiên cứu đề tài “Một số vấn đề lý thuyết nội suy” nhằm cung cấp tài liệu vấn đề liên quan đến nội suy ứng dụng tốn sơ cấp Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại vấn đề lý thuyết nội suy - Nêu số ứng dụng lý thuyết nội suy đặc biệt toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số toán nội suy, số công thức nội suy - Nghiên cứu lý thuyết phần dư hội tụ trình nội suy - Nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết nội suy vấn đề liên quan Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương pháp giải tích tốn học Đóng góp luận văn - Hệ thống lại số vấn đề lý thuyết nội suy - Ứng dụng để giải số toán sơ cấp phương pháp nội suy Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề đại số tuyến tính 1.1.1 Định thức Cho ma trận vuông A aij nn ,aij R, ta gọi định thức ma trận A  phần tử thuộc R, kí hiệu det A cho det A sgn  a11.a 22 a n n (1.1.1) Sn Khi det A gọi định thức cấp n kí hiệu A hay a11 a1 a21 a22 a1 n a2 (1.1.2) n an1 a n ann Trong Sn tập tất phép bậc n sgn  dấu phép  ( sgn  nhận giá trị là phép chẵn, sgn  nhận giá trị -1    phép lẻ) * Các tính chất định thức a, Tính bất biến ' '' a11 a12 a  a1 j a21 a 22 a'  a 1j '' n a a2 n a n1 a n a '' nja a ' nj a' a'  j a 11 j 21 a' n1 b, Tính nn a 12 a 22 n2 a a a 1n a nj nn a a . 11 a a 2n a a 12 a n1 22 a n a 1j 21 j a '' 1n a '' a '' nj a 2n a nn a11 a1 a21 a22 an1 a n2 ka1 j ka2 j a1 a1 n a2 a n k 21 kan j a1 a22 a1 j a2 a1n a2n j an an an an n ann j (Với k số) c, Định thức ma trận đơn vị 1 d et En  0 0 1 d, Trong định thức đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) cho định thức đổi dấu e, Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống định thức f, Định thức khơng thay đổi nhân cột dòng định thức với vơ hướng cộng vào cột dòng khác g, Hai ma trận chuyển vị có định thức h, Từ ma trận A xóa dòng thứ i cột thứ j ma trận A ta nhận ma Ai ma trận ma trận A Kí hiệu Aij* j 1 i j Aij ; 1 i, j phần n  bù đại số phần tử a ma trận A định thức tính i theo phần bù sau j n A  i1 n * *  j1 n Sn  Sn S n S n 16 17 33 49 66 18 51 100 166 33 18 S 1 16n  n  n 1 n  n 1 n 2 n 2! 3! 15 11 3n  n  n 1 2 Từ suy Bài 5.39 Tính tổng n Sn sin kx, ⎜ sin k 1 ⎛ x ⎞ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Giải Ta có ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ cos k  ⎛1 x cos k  x cos k  x ⎞ 2sin  kx  sin x ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Từ 1 ⎞ ⎛ sin kx   x cos k  x 2sin ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Vậy sin n  ⎡ cos n ⎛ k  ⎞ x 1 ⎛  1⎞  x⎤ x  kx k 1 Rút gọn ta 2sin k1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ cos ⎟x cos ⎥ x⎢ ⎜n 2 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2sin sin Sn  n 1 x sin n x x sin 2 5.4 Sử dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức Bài 5.40 [“Báo toán học tuổi trẻ”, số 369, năm 2008] Cho x1, x2 hai số thực phân biệt Xác định đa thức có bậc khơng cho f x1 a01; f x2 a02 ; f 'x2 a12 Giả i Giả sử f x Ax2 Bx C Theo giả thiết ta có ⎧Ax2 Bx  C a 1 01 ⎪ Ax2 Bx  C a ⎨ 2 02 ⎪ Ax2 B a12 ⎩ Giải hệ (5.4.1) ta thu ⎧ ⎪ A a01 a02 ⎪ 2 x  x (5.4.1) a12 x x 1 ⎪ a02 x1 x2 2a01x2 a02 a12 x1 ⎪   ⎨  xB  x x x 2 x  ⎪ ⎪ 1  a02 x1 x2  a12 a02 x1 x1 ⎪C   x2 a01x2 (5.4.2) ⎩⎪ x x 2 x x Thử A, B,C hệ (5.4.2) vào ta f x Ax2 Bx C đa thức thỏa mãn điều kiện toán Ta chứng minh đa thức nghiệm toán Thật giả sử tồn đa thức g x có bậc khơng vượt thỏa mãn điều kiện tốn Khi đa thức P f x g có bậc khơng vượt q thỏa mãn x  x P x1 P x2 P 'x2 0 Theo cách xác định đa f ứng với thức x trường hợp a01 a02 a12 0 P x 0x R f x g x   Vậy đa thức f x toán với hệ số xác định (5.4.2) nghiệm Đa thức ví dụ 5.40 viết lại sau f x    a0 x x  2  xx a 2 x a12 x x2 x x1  x x ⎛ 02 1 x x2 ⎞  x x 2⎟⎟ ⎜ ⎜x ⎝ 2 ⎠ x2 x1 Bài 5.41 [“Báo toán học tuổi trẻ”, số 369, năm 2008] Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c;a 0 maxf x; Chứng minh a cho x 0,1thì f ' x  2 ⎛  ⎞ ;,  0, ,   cos   cos ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ (5.4.3) Giải sau đồng hệ số x ta ax bx Áp dụng 5.40 cho đa thức c ax bx c a x x 2 1 2 2a  b ax bx c x  x  2 x x2 2 x 1 2 ax bx c 2a  b ax bx c x  a  1  2 x x2 2 x x  x 2 x 2 1 2 2    ;x ,  0,1 x x1 x2  Vậy a  2 x1 x2  x2 x1   ⎛  ;  ,   0, ⎞ ,    cos   cos ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ với ; cos x  ; cos x Bài 5.42 [“Báo toán học tuổi trẻ”, số 369, năm 2008] Cho f x  Giả sử đa thức có bậc khơng vượt q x1, x2 A B    f hai số thực tùy ý khác C x x x1 x x  Chứng minh A ;B f x1   x x 2 Giả i x x1 x2 f x2  ;C  x x x x x2  x f 'x2 f x2   x  x x 2 Từ công thức (5.4.3) suy f x  x x x x 2  a0 x 2 x x  x x a02  x x x 1  a02 a x x  x x 02 x x  2  2 2 Thay a  f x ;a f x  ;a f 'x ta có điều phải chứng minh 01 02 12    5.5 Một số tập Bài 5.43 Tính tổng a, Sn b, Sn 2 1 2  n n  k 1  k 1 n k ! c, Sn sin kx; ⎜ sin k 1 ⎛ x ⎞ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Bài 5.44 Phân tích phân thức sau thành tổng phân thức đơn giản x2 1 2 3 x x x     b, x 1x 2x 3x 4 a, Bài 5.45 Chứng minh với số thực a ta có a  a  a    a   a  a      7            53 a   a 3 75   a  a a    7      a       1      5  Bài 5.46 Cho a,b,c phân biệt thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh 3a 1  3b 1  3c 1 0  a b3  a c3 b a3 b c3 c a3  c b3 Bài 5.47 Cho số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d , a,b,c thỏa mãn điều kiện 25c 6 bc2 b c  a 2b3 3b c c3 16b3 6b2c 1 Chứng minh d nghiệm phương trình 2t4 t 1 0 Bài 5.48 Xác định tam thức bậc ba f x thỏa mãn điều kiện sau f  2n 11n  2n 3n 1, n 1, 4,5,12 4 c4  b  Bài 5.49 Rút gọn biểu thức A  a  a b  a c b a  b c  c a  c b  Bài 5.50 Giả sử đa thức c  cnx c x2  c x có giá trị hữu tỉ x hữu tỉ n Chứng minh tất hệ số c0 ,c1 số hữu tỉ , ,cn n số khác Gọi phần dư phép Bài 5.51 Cho a1 , , Ai i 1, an n   chia đa thức f x cho x ai Hãy tìm phần dư x a x a  x a  n r x phép chia f x cho KẾT LUẬN Luận văn đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn nghiên cứu, hệ thống hóa số vấn đề lý thuyết nội suy (đa thức nội suy, công thức phần dư, hội tụ trình nội suy) số ứng dụng lý thuyết nội suy toán sơ cấp Hi vọng tài liệu hữu ích góp phần nâng cao chất lượng đào tạo bồi dưỡng cử nhân, thạc sĩ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kì Anh, (2008), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Anh Bảo – Nguyễn Văn Khải – Phạm Văn Kiều – Ngô Xuân Sơn, (2003), Giải tích số, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Jean – Paul Calvi, (2005), Lectures on Multivariate Polynomial Inter polation, Hà Nội summer course [4] Nguyễn Minh Chương – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tường, (2009), Giải tích số, NXB Giáo dục [5] Phillip J Davis, (1964), Interpolation and Approximation, Blaisdell Publishing Co., New York [6] Nguyễn Hữu Điển, (2006), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục [7] Phan Văn Hạp – Lê Đình Thịnh, (2000), Phương pháp tính thuật tốn, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Hữu Việt Hưng, (2000),Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Phụ Hy, (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [10] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, (2001), Cơ sở lý thuyết giải tích hàm, NXB Giáo dục [11] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [12] Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hồng Quốc Tồn,(2005), Giáo trình giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [13] Nguyễn Văn Mậu, (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [14] Nguyễn Văn Mậu, (2008), Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [15] Bùi Đắc Tắc – Nguyễn Thanh Hà, (1999), Không gian tơpơ – Độ đo – Tích phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [16] Ngô Việt Trung, (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [17] Phan Hồng Trường, (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [18] Lê Trọng Vinh, (2007), Giải tích số, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [19] Báo toán học tuổi trẻ từ năm 1997 trở lại [20] Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đại học sư phạm Hà Nội,2004 [21] Tuyển tập báo toán học tuổi trẻ ... đầu Nội dung Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 vấn đề đại số tuyến tính Một số 1.2 vấn đề phân loại hàm số thực Một số 14 1.3 vấn đề hàm số biến số phức Một số 24 Chương Một số vấn đề lý thuyết. .. cứu số toán nội suy, số công thức nội suy - Nghiên cứu lý thuyết phần dư hội tụ trình nội suy - Nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết nội suy vấn đề liên... góp luận văn - Hệ thống lại số vấn đề lý thuyết nội suy - Ứng dụng để giải số toán sơ cấp phương pháp nội suy Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề đại số tuyến tính 1.1.1 Định thức