Một số vấn đề về lý thuyết nội suy phức

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI V I NGHA MT S VN Vẩ Lí THUYT NI SUY PHC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Vn Khi H NI, 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti TS Nguyn Vn Khi, ngũi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun tt nghip Tỏc gi xin c gi lũi cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ngũi thõn ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi V i Ngha LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti Mt s v lý thuyt ni suy phc" tụi t lm Cỏc kt qu v ti liu trớch dn c ch rừ ngun gc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Mc lc V i Ngha 5 6 11 11 12 16 16 16 24 29 29 38 42 M du Kin thc chun b 1.1 Mụt s v hm phc 1.1.1 ũng v mt phng phc 1.1.2 Hm bin phc 1.1.3 Hm gii tớch trờn 1.2 Bi toỏn nụi suy c in 1.3 Mt s cụng thc 1.3.1 1.3.2 Cụng thc ni suy Lagrange Cụng thc ni suy Newton Mt s v lý thuyt ni suy phc 2.1 nh lý Pick 2.1.1 B Schwarz c in 2.1.2 nh lý Pick 2.2 Hm iu hũa v hm tri iu hũa 2.2.1 2.2.2 Hm iu hũa Hm tri iu hũa 2.3 Khụng gian H p , lp Nevanlinna v lp Smirnov Trc a phc v bi toỏn Pick Nevanlinna 3.1 Hm Lempert 3.1.1 Khỏi niờm 3.1.2 Hm Lempert trờn taut 3.2 Trc ia phc v bi toỏn Pick - Nevanlinna 3.2.1 Trc ia phc 3.2.2 _Bi toỏn Pick-Nevanlinna Kt lun Ti liu tham kho 50 50 57 59 59 62 67 68 M u Lớ chn ti Ni suy l mt c in v quan trng toỏn hc Nú ó c nghiờn cu t lõu gii tớch toỏn hc Chng hn ni suy a thc bin s thc ó c nghiờn cu bi Newton, Lagrange, Schmidt, i vi hm phc mt bin, ni suy ó c H Pick v R Nevanlinna nghiờn cu t nhng nm u th k XX C th, hai ụng ó nghiờn cu bi toỏn sau: Cho hai dóy im phõn bit v { c t r n a n v Tỡm iu kin i vi hai dóy im trờn cho tn ti hm chnh hỡnh / b chn xỏc nh trờn a n v cho /(Aj) = cO j , j = , , N Bi toỏn ny ngy thng c gi l bi toỏn Pick - Nevanlinna Da trờn chuyờn kho C s lý thuyt ni suy ca PGS.TS Nguyn Vn Tro v mt s ti liu khỏc, di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi tụi ó nghiờn cu ti: Mt s v lý thuyt ni suy phc lm ti lun thc s Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu mt s v lý thuyt ni suy phc v gii bi toỏn Pick - Nevanlinna Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu v lý thuyt ni suy phc - Bi toỏn Pick - Nevanlinna i tng v phm vi nghiờn cu - Hm s phc - Bi toỏn ni suy Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp phõn tớch v tng hp cỏc ti liu ó cú t ú h thng mt s lý thuyt liờn quan n ti úng gúp ca lun Trỡnh by mt s ca lý thuyt ni suy phc Chng Kin thc chun b 1.1 Mt s v hm phc 1.1.1 ng v mt phng phc nh ngha 1 Gi s x ( t ) , y ( t ) l cỏc hm giỏ tr thc liờn tc trờn on [a, b ] Khi ú phng trỡnh : z = z(t ) = x(t ) + iy(t), t [a, b ] biu din tham s ũng cong L = z [ a , b ] mt phng phc ( 1 1) c Cỏc im z { ) , z ( b ) c gi l cỏc im u v cui ca ũng cong L nh ngha 1.1.2 a Lõn cn ca im a G c l hp bt kỡ bao hm hỡnh trũn D ( a , r ) tõm a , bỏn kớnh r > c : z \ < r} b Tp s c c c gi l m nu s l lõn cn ca mi im ca nú nh ngha 1.1.3 Tp s c c c gi l mt nu nú tha hai iu kin : a s l m b s liờn thụng, tc l Va, b Ê s tn ti ũng cong L c s cú im u l a v im cui l b Tp s thờm nhng im biờn c gi l úng v c kớ hiu l s D(a,r) = {z e 1.1.2 Hm bin phc nh ngha 1.1.4 Gi s S' c /: s > c c l mt tựy ý cho trc Mt hm bin phc trờn s vi giỏ tr phc l mt ỏnh x v hm ú c kớ hiu l : cu = f ( z ) , Z Ê s (1.1.2) Vớ d 1.1.1 nh x z -> f { z ) = a z + b xỏc nh mt hm (gi l hm nguyờn tuyn tớnh) trờn c Vớ d 1.1.2 nh x z -> /(*) = az + b cz + d xỏc nh mt hm (gi l hm phõn tuyn tớnh) trờn c s = c\{} 1.1.3 Hm gii tớch trờn nh ngha 1.1.5 nh x biu din mt quan h gia cỏc phn t ca hai hp X v Y tho iu kin: mi phn t X ca X u cú mt v ch mt phn t y Ê Y tng ng vi nú Quan h tho tớnh cht ny cng c gi l quan h hm, vỡ th khỏi nim ỏnh x v hm l tng ng Khỏi nim hm núi trờn l khỏi nim hm n tr, nú cho phộp vi mi X ch cú mt y nht tng ng vi X T nh ngha ca hm Lempert ta cú I Q ( , Z ) < Ly gii hn theo j ta c G(0, Z ) < h(z) (3.1.1) Mt khỏc ly a v t p G ( , G ) vi G ( , C") cho: (A) = |A|h o -/>(A) Vỡ th h o "0(A) < VA : IA| = R , R G ( 0, 1) p dng nguyờn lý cc i cho hm iu hũa di h o > v ly gii hn R ỡ ta thu c: h o (>(A) < 1, VA G D Do ú: h ( z ) = h o p ( ) < |a|, v vỡ vy (3.1.2) h(z) < l G ( 0, z) Kt hp (]3.1.1 ) v (3.1.2D ta c iu phi chng minh Vỡ tn ti nhiu cõn bng gi li m hm Minkowski l khụng liờn tc nờn mnh trờn ch rng trng hp tng quỏt hm Lempert l khụng liờn tc thm l theo mt bin Tuy hm Lempert Q luụn l na liờn tc trờn bi mnh sau õy Mnh 3.1.3 Hm Lempert Q : G C h n g m i n h Ly c > X G > [0, 1) l na liờn tc trờn ta chng minh rng V := {(z ,w) : IG(Z,W) < c} l m Tht vy ly ( Z Q , IG{ZQ, WQ) W Q ) cho I G { Z Q , W Q ) < c T ú tn ti a G [o, 1) v G 0(3, G) tha (0) = Z Q , Do (D) l compact G nờn suy dist(ip(3), dG) = > Chn lõn cn ca {z0, WO) : = B{z0, X B{w0, Ta chng minh c V Ly (z,w) G , xột hm h : D > C" cho bi: ^) h{A) := G ( z ' , z " ) = p dng b Shwarz cho i p i ta c 1/4 < Vy = 1/4, tc l Ơ>i(0) = 0, (>i(l/4) = 1/4 Do ú G cho = ớ/p(0), = ớ/p(cr), ú = /c(a,) (3.2.1) (t. = ( X ' ) = a , > ( X " ) = b Khi ú ra(A', X") = m(f(ip(X')), f(tp( A"))) = m(/(o), /(&)) < l G {a, b) D cho t p ( T j = C L j , j = 1, , N Vy ta cú ớ/p(0) = 0, /?( TI ) = i vi | TI I = |i | Theo B Schwarz i p l mt phộp quay, tc l (/?(Ê) = e6 *C:^C G O iu ny suy i, ,jv l ri rc v ú V a c xỏc nh Vy V a b = V T = V a - ý rng trc a phc trờn song a cú dng th (C:/(C)) hoc (/(C): c) ú / l ỏnh x chnh hỡnh t a n v vo chớnh nú Vy ta cú th tng quỏt B 3.2.2 trờn li cht nh lý 3.2.2 Cho G l mt li cht C" Cho N im phõn bit a = {i, 2, , jv} c G Nu tn ti T = { r i , , Tjv} c D cho V a = V T thỡ a 1, 2, , ệJV nm trờn mt trc a phc C h n g m i n h Hin nhiờn r G V T , kt hp vi gi thit V a = V T ta cú r G V a - Do ú tn ti ỏnh x i p G ( G , D) cho p ( c L j ) = Tj,Vj = 1, , N iu ny suy rng d è T u T ) < cg(ai,aj) , j = 2, , N (3.2.5) Do gi thit G l mt li cht nờn vi mi < j < N cú mt trc a phc i p j : D > G cho C b i , C b j G j(D) v 7Tj : G > D cho i d i p } va T t j ỡcp Theo nh ngha ca trc a phc ta cú dG{[...]... (1.3.4) Đa thức được xác định bởi (1.3.4) được gọi là đa thức nội suy Newton Chương 2 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy phức 2.1 Định lý Pick 2.1.1 Bổ đề Schwarz cổ điển Cho D = {A G c : IAI < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức c Kí hiệu 0 ( 3 , D) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị mở D vào chính nó Định lý 2.1.1 (Nguyên lý mô đun cực đại cho hàm chỉnh hình) : C h o X l à k h ô n g... (1.3.2 ) là đa thức nội suy Lagrange hay là công thức Lagrange về đa thức nội suy 1.3.2 Công thức nội suy Newton a Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn [a, b ] và n + 1 mốc nội suy X ị , ỉ = 0, n Khi đó tỷ số V i +1 - V i Xị+I Xị được gọi là tỷ sai phân cấp một của hàm số y = f ( x ) tại X i , X i+ 1 và được kí hiệu là f ( x i ] X i + 1) Tỷ số f ( x i + 1... số độc lập với n Do đó chúng ta tìm được r để fll.l.3|) là đúng □ 1.2 Bài toán nội suy cổ điển Định nghĩa 1.2.1 a, Hệ n + 1 điểm điểm phân biệt {æ,} với {æ,} G [ a , b ] với i = 0, n được gọi là các mốc nội suy b, Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên [ a , ồ] Đa thức nội suy của hàm số thỏa mãn -P(a;i) = f ( x i) với ( i = 0, n ) được gọi là đa thức nội suy của hàm số y = f ( x ) ứng với mốc nội suy. .. ta suy ra V ( x o , x u , x n ) = ỊỊ ( X i - X j ) (1.2.8) 0< i < j < n Vì X Q , X I , , x n là phân biệt nên V Ỷ 0- Do đó hệ (1.2.2) có nghiệm duy nhất (ữo,ữi, , ữ n ) hay đa thức P n { x ) thỏa mãn điều kiện (]l■ 2■ 1 Ị) là tồn tại duy nhất Định lý được chứng minh □ Đa thức nội suy P n { x ) ở Định lý (|l 2 1) được gọi là đa thức nội suy của hàm y = f ( x ) với n + 1 mốc nội suy 1.3 Một số. .. toán xây dựng đa thức nội suy như vậy được gọi là bài toán nội suy cổ điển Định lý 1.2.1 Cho 71 + 1 mốc nội suy X Q , X I , , xn G [a, b] và n + 1 giá trị (thực hoặc phức) yo, ĨỊ\, , yn Khi đó tồn tại duy nhất đa thức Pn(x) G Vn, ( với Vn là tập các đa thức bậc nhỏ hơn n và đa thức hằng) sao cho C h ứ n g m i n h Giả sử đa thức p ( x ) = Ũ Q + Ũ \ X + + a n x n với n + 1 hệ số bất định ữị, % = 0,... Pick ): Cho {Ai, A 2, , A JV } là một tập hữu hạn những điểm phân biệt trong D, Pick đã đưa ra điều kiện của dãy số phức { CJI , CJ 2 , ■ ■ ■ :^ JV } sao cho bài toán nội suy: (2 1 10 ) /(Aj) = W ị , j = 1 , 2 , N , có nghiệm / G Ỡ(D,D) Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 2.1.3 (Định lý Pick) T ồ n t ạ i h à m f G ỡ(]□>,]□>) t h ỏ a m ã n b à i t o á n n ộ i suy trên khi và chỉ khi dạng toàn phương... ( x ; æo; X \ ] ; x m - i ) là đa thức bậc 0, suy ra P ( X ; X Q ; X I ; ; x m ) = 0 □ b Đa thức nội suy Newton Giả sử X i , ỉ = 0, n là n + 1 mốc nội suy Giả sử p ( x ) là đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = f ( x ) với 7 1 + 1 mốc nội suy nói trên nghĩa là P n { x j ) = V j , j = 0, n Kí hiệu P n ( x ; Xo)j P n { x ] £oỉ Xi) là các tỷ sai phân của P n ( x ) Khi ấy ta có pn(x;x0) = PnM... dy dx Suy ra d(h — h ) dx =0 dy và 9{h - h ) ^ 0 dy Như vậy, h — h là hằng số trên í ì Cho z = Z Q ta thấy hằng số bằng không Do đó h = R e f □ Định lý 2.2.2 (Tính chất giá trị trung bình) Cho hàm h là hàm điều hòa trên một lân cận mở của đĩa D(co, p ) Khi đó 2ĨT — Ị h(co + pe h(uj ) = i6 )dd 2 TĨ J 0 Chứng minh Chọn p' > p sao cho h là hàm điều hòa trên D( UJ , P ') Áp dụng Định lý b, tồn tại một. .. dựng một tích Blaschke với bậc cao nhất là n mà n hệ số đầu của nó trùng với các hệ số tương ứng của / : B n ( X ) = Co + ciA + + c n - i \ n 1 + d n X n + Hiển nhiên |co| < 1 Nếu |co| < 1 thì ta đặt B o ( X ) X + Co 1 + Aco và thấy ngay B Q là một tích Blaschke với bậc 1 Nếu |co| B Q = Co 9 1 thì ta đặt (A) := là một tích Blaschke với bậc 0 Giả sử với mỗi g G ỡ(]□>,]□>) ta luôn xây dựng được một. .. Định lý Pick Định nghĩa 2.1.1 Cho Ai, A 2, , A n G D Một tích Blaschke hữu hạn với các không điểm Ai, A 2, , A„ là một hàm có dạng Cấp của B là số không điểm của nó Dễ thấy hàm B ở trên có các tính chất sau: a) B liên tục trên D và chỉnh hình trên D, b) |5| = 1 trên ỠD, c) B có hữu hạn không điểm trong D Các tính chất trên xác định B duy nhất sai khác một nhân tử với mô- đun 1 Thật vậy, nếu / là một