Một số vấn đề về Spline đa thức và ứng dụng

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội NGUYN ANH HI MT S VẤN ĐỀ VỀ SPLINE ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VN THC S TON HC Hà Nội, 2009 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà néi NGUYỄN ANH HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE A THC V NG DNG Chuyên ngành: Toỏn gii tích M· sè: 60.46.01 Ng−êi h−íng dÉn khoa häc:TS Nguyễn Văn Khải Hµ Néi, 2009 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Khải- Người thầy tận tâm, nhiệt tình bảo, giúp đỡ tác giả suốt q trình hình thành, nghiên cứu hồn chỉnh luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo Khoa Tốn, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tổ Toán trường THPT Lục Ngạn số 1- Bắc Giang tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Sau tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè ln quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả Mục lục Trang Trang phụ bìa…………………………………………………………… Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………… MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm……………………………………….8 1.1.1 Khơng gian véc tơ 1.1.2 Không gian mêtric 10 1.1.3 Không gian Banach 12 1.1.4 Không gian Hilbert 15 1.2 Ma trận đường chéo trội đa thức nội suy 16 1.2.1 Ma trận đường chéo trội 16 1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange……………………………………… 17 1.2.3 Đa thức nội suy Hermite 17 Chương 18 CÁC SPLINE ĐA THỨC BẬC BA 18 2.1 Các spline đa thức bậc ba với mốc cách 18 2.2 Spline đa thức với mốc không 33 2.3 Một số tính chất spline bậc ba 36 2.4 Nội suy bậc ba với làm trơn 40 Chương 45 SPLINE TỔNG QUÁT VÀ XẤP XỈ HÀM n BIẾN (n ≥ ) 45 3.1 Spline đa thức tổng quát 45 3.1.1 Một số khái niệm spline phương trình vi phân 45 3.1.2 Spline đa thức tổng quát 51 3.2 Xấp xỉ hàm n biến (n ≥ ) 57 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 75 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết đa thức nội suy có lịch sử phát triển lâu dài với vai trò quan trọng lý thuyết này, toán học lý thuyết toán học ứng dụng vấn đề thuộc khoa học kỹ thuật khác Trong đa thức nội suy thông thường đa thức Lagrange, Newton, Hermite có hạn chế tăng mốc nội suy nói chung bậc đa thức nội suy tăng lên theo, điều khơng thuận tiện tính tốn cụ thể Để khắc phục hạn chế đó, người ta đề xuất phương hướng khác hướng đề xuất hàm spline đa thức Các spline đa thức có ưu điểm dù mốc nội suy tăng lên xét đoạn tốn nội suy có bậc thấp ( bậc ≤ ta xét spline bậc 3) Với mục tiêu muốn tìm hiểu khái niệm hàm spline, chọn đề tài: “Một số vấn đề spline đa thức ứng dụng ” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số vấn đề hàm spline ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiê n cứu khơng gian tuyến tính S spline ( bậc Π ) số tính chất nó, vài khái niệm spline bậc n, cuối vài ứng dụng spline Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm lý thuyết nội suy Giả thuyết khoa học Trình bày hệ thống hóa lại vấn đề lý thuyết nội suy nêu vài áp dụng đa thức nội suy spline Bố cục luận văn Nội dung luận văn chủ yếu gồm ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Các spline đa thức bậc ba Chương Spline tổng quát xấp xỉ hàm n biến (n ≥ 2) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian véc tơ Định nghĩa 1.1.1.1 Cho tập hợp E mà phần tử kí hiệu : ur r ur α, β, γ … trường K mà phần tử kí hiệu là: x , y, z … Giả sử E có hai phép tốn: - phép tốn trong, kí hiệu + : E x E → E r r ur r (α,β) a α + β; - phép tốn ngồi, kí hiệu : K x E → E r ur (x,α) a x.α thỏa mãn tính chất ( hay tiên đề ) sau : ur r r ur r r ur r r a) (α + β) + γ = α + (β + γ) ∀α, γ ∈ E; β, r r ur ur r ur ur b) Tån t¹i θ∈E cho θ + α = α + θ = α ∀α ∈ E; ur ur ur ur ur r ur c) Với tồn ' ∈E cho α' + α = α + α' = θ; ur r r ur ur r d) α + β = β + α ∀α, β∈ E; ur ur ur ur e) ( x+ y )α = xα + yα ∀α ∈ E ∈ K; vµ x,y ur r ur r ur r f) x(α + β) = xα + xβ ∀α, β∈ E vµ x∈ K; ur ur ur g) x(yα) = (xy)α ∀α ∈ E vµ ∈ K; x,y ur ur h) 1.α = α phần tử đơn vị trờng K Khi E với hai phép tốn gọi không gian véc tơ trường K, hay K- không gian véc tơ hay không gian véc tơ Khi K = R E gọi khơng gian véc tơ thực (hay khơng gian tuyến tính thực), K = C E gọi không gian véc tơ phức ur Định nghĩa 1.1.2.2 Hệ véc tơ (αi ) ∀ i = 1,2,…,n gọi độc lập tuyến n uur r tí ∑ x i αi = kéo theo xi = víi ∀i n = 1,2, , n h n ế u i=1 uur H (αi ) ∀i = 1,2,…,n gọi ệ phụ thuộc tuyến tính v é c t khơng độc lập tuyến tính ur Định nghĩa 1.1.1.3 Cho hệ véc tơ (αi ) ∀ i∈ I H uur ệ (αj ) ∀ j∈ J c⊂ I o n gọi hệ độc lập tuyến tính tối đại g'(x +, y ) −h = M − −0, 05 = M = 1, −0, 05 M 1, + N 1, 2 h g(x1 , y2 ) − g(x1 , y2 ) 2,2 h 0,19866 − 0,1494 0, 05 + 0, + 04926 0, 05 Do g'(x −, y ) = g'(x +, y ) nên ta có: 0, 05 0, 04957 −0, 0, 04926 = + + 05 1, M 1,2 0, 0, 05 05 −3,1.1 −4 0,1 hay M1,2 = 0, 05 VËy M1,2 = −0,186 M c) Ta tính K1,0 ;K1,1 ;K1,2 : Xét y gxx (x, y) spline chiều làm tương tự = y1 phần ta có: K1,0 = −21,6; K1,1 = 259,2; K1,2 = 223,2 Sau ta xây dựng cơng thức tính g(x,y) miền nội suy phân hoạch D i) Xây dựng công thức miền x ≤x≤x , ≤y≤y y Trước hết ta tính g(x,y) điểm (x0 , y),(x1 , y) Ta có : 3 (y − y) + N (y − 0y )+ f g(x = N , y) N h 0,  y  − −y  0,0 6h 0,1  0,0 6h  N h2   y − y  0,1 + f0,1 −    h       h   y = 0, 0499 y =f 0,1 h 05 g(x = N , y) = 0,998y, N 0,0 0, 3 (y − y) + N (y − 0y )+ f 1 1,0 6h =N 1,0 6h 0,1  0,0 −y  N h   y 1, −  1,1 =f = h      N h2   y − y  1,1 f − +   1,1  h    y  0, 05 0,216.0, 05  −y  y =-0,216 + 0, 0499 + 0, 09983 +    0, 05  0, 05   0, 05  = −4,32y + 1, 0004y + 0, 0499 Ta tính gxx (x0 , y),g xx (x1 , y) Thật ta có: g = K(x , y) (y − y )+ M (y − y) + K xx 6h 0,0 0,1 6h  K h   y 0, − 0,0 3 (y − y) + K (y − 0y )+ M xx 6h 1,0 1,1 6h  1,0  h   K h2    0,1  + M =0; −y −y   0,1  h    g = K(x , y)  −y  K h   y 1, −   −y  h      K h2   y −y  + M1,1 − 1,1    h     y = −21,6 (0, 05 + 259,2 3 − y) 6.0, 05 6.0, 05  21,6.0, 05   0, 259,2.0, 05  05 − y  y  +  0,   +  −0,216 −  018 +  0, 05   0,  05  3 =-72(0,05-y) +864y +0,027-0,54y-6,48y = 936y − 10,8y − 6, 48y + 0,18 Vậy miền nội suy x ≤x≤x , ≤y y ≤y spline có cơng thức: (x − x) (x − x ) g(x, y) = gxx (x0 , y) + gxx (x1 , y) 6h 6h 2  g (x , y)h − x  g (x , y)h  x  x  +  g(x , xx  +  g(x , xx  y) − y) − 3   h  Thay giá trị tính vào ta có: g(x, y) = (936y − 10,8y − 6, 48y + 0,18)  x  h   (0, 05 − x + (0,998y).  6.0, 05  ) 0, 05  x  (936y − 10, 8y − 6, 4,32y 1, 0004y 0, 0499 + − + + − 48y + 0, 018)0, 05   0, 05   = (936y − 10,8y − 648y + 0, + 0,998y − 19,96xy x 018) 0,3 +(−4,71y + 0, 0045y + 1, 0031y + 0, 0499) 3 x 0, 05 = (3120y − 36y − 2160y + 0, + 0,998y − 19,96xy x 06) 0,3 +(−942y + 0, 09y + 20, 062y + 0,998)x ii ) Xây dựng công thức g(x,y) miền nội suy: x ≤ x ≤ x , ≤ y ≤ y y g(x − y) 6h Ta tính : = (y1 (y +N − 2,1  N h  y + 2,0 f −    2,0  y )0 6h   + h  N h2   y − y  −y f 2, − ,1     0, 05 − y  =-0,186 y + 0, 09983  6.0, 05  0, 05   0,186.0, y 05   +  0,1494 +  0, 05  h   = −0,62y + 0, 09983 − 1,9966y + 2, 9896y = −0,62y + 0,993y + 0, 09983 Khi ta có cơng thức g(x,y) miền nội suy là: g(x, y) = g (x (x − x) (x − x + g (x , xx , y) 3 6h y) ) xx 6h  g (x , y)h −x   x  +  g(x , xx 2 y) −    6h   g (x , y)h2   x − x  1 +  g(x , xx  y) −  h   (0,1 − x) g(x, y) = (963y − 10,8y − 6, 48y + 0, 0183) 6.0, 05 (x 3 +(−0,62y + 0,993y + 0, 09983) (0,1 − x) − 0, 05) + 6.0, 05 6.0, 05  (9, 36y − 10, 8y − 6, 48y + 0, 018)0, (−4,32y05+ 1,0004y + 0, 0499) −     − (x 0, 05)    09983)  +   (−0,62y + 0,993y + 0, 6.0, 05    =  3120y − 36y − 21,6y + 0, 06 [ 0,1  − x ]3 +   −2, 0667y + 3,31y + 0,3328  [ 0,1 − x ] +[ − 12, 4y + 19,86y + 1,9966][x − 0, 05] iii ) Xây dựng công thức g(x, y) miền: Ta có: x0 ≤ x ≤ x1 , y1 ≤ y ≤ y − N 0,1 )( y2 y ) −h (y − y) + N (y − y1 + ( ) f g(x , y) =N 0,1 0,2 6h 0,1 h 6h +( f − N 0,2 )( y − y1 ) h 0,2 0, 018.0, h (0,1 − y) 05 0,1 − y = 0,018 + (0, )( ) 0499 − 6.0, 05 0, 05 y − 0, 05 +0, 09983( ); 0, 05 = 0,06(0,1-y) + 0,99785(0,1 − y) + 1,9966(y − 0, 05) = 0,06y − 3.0, 01.0, 06y + 3.0, 06.0,1.y + 0, 06.0,1 + 0,99875y − 0, 000045 = -0,06y + 0,99695y + 0,18y − 0, 000015 Tính g(x1 , y) : g(x , y) =N (y − y) + N (y − y1 + ( f ) 1,1 1,2 6h N1,1 y2 − y −h )( ) 1,1 h 6h +( f − N1,2 )( y − y1 ) h 1,2 h (0,1 − y) = -0,216 + (0, 09983 + 0,216.0, )( 05 0,1 − y ) 6.0, 05 0, 05 y − 0, 05 + 0,1494( ) 0, 05 = -0,72(0,1-y) + 1,9984(0,1 − y) + 2,988(y − 0, 05) = 0,72y − 0, 426y + 1, 0112y + 0, 05044 Tính gxx (x1 , y) : g (x , y) =K xx K 1,1 y2 − y (y − y) + K (y − y1 + (M −h )( ) ) 1,1 6h 1,2 1,1 6h + (M K 1,2 y − y1 −h )( ) 1,2 h + 223, (0,1 (y − 0, 05) = 259,2 − y) h 6.0, 05 6.0, 05 +(−0,216 − 259,2.0, 0,1 − y )( ) 05 0, 05 +(−0,186 − 223,2.0, y − 0, 05 )( ) 05 0, 05 = 864(0,1-y) + 744(y-0,05) − 6, 48(0,1 − y) − 5,58(y − 0, 05) 3 = -120y + 147,6y = 119, 44y + 0, 402 x ≤x≤x Vậy ta có công thức g(x,y) miền : , y ≤y ≤y là: (x − x) (x − x ) g(x, y) = gx,x (x0 , y) + gx,x (x1 , y) 6h 6h  g (x , y).h −x   x +  g(x , y) − x,x 1  3  h    g (x , y).h   x − x   +  g(x , y) − x,x   h   = (-120y + 147,6y − 19, 44y + 0, 402) x 6.0, 05 +(−0, 06y 0, + 0,99695y 05 − x  + 0,18y − 0,   000015) 0, 05   x + [(0,72y − 0, 426y + 1, 0112y + 0, 05044) − 0, 05 0, 05 (−120y + 147,6y − 19, 44y + 0, 402 3 = (−400y + 492y − 64,8y + 1,34)x ] +(−1,2y + 19,93y + 3,6y − 0, 0003)(0, 05 − x) +15, 4y − 9,75y + 20,386y + 1, 00545)x Xây dựng công thức g(x,y) miền x ≤ x ≤ x , ≤ y ≤ y y iv) 2 Tính: g(x = N , y) (y − y) + N 3 (y − y )+ f N h 2,  y − −y  2,1 6h 2,2  2,1 6h    h    N h2   y − y  2,2 + 2,2 f −    h      0,186.0, 05   0,1 − y (0,1 + =-0,186  − y)   0,1494 +  0, 05  6.0, 05    y − 0, 05    +(0,19866) 0, 05   =-0,62(0,1-y) + 2,98955(0,1 − y) + 3,9732(y − 0, 05) =0,62y − 0,186y + 1, 0023y + 0, 0997 Vậy công thức g(x,y) : g(x, y) =xxg (x , y) + gxx (x , (x − x1 ) y) 6h 6h (x − x)  g (x , y)h −x   x  +  g(x , xx 2 y) −   h   g (x , y)h   x − x  1 +  g(x , xx  y) −  h    0,1 − x  3 =(-120y + 147,6y − 19, 44y + 0, 402)    6.0,  0,1 − x  + [0,72y − 0, 426y 05 + 1, 0112y + 0,   05044 0, 05   (−120y + 147,6y − 19, 44y + 0, 402).0, 05 − ]  x − 0, 05 +(0,62y − 0,186y + 1, 0023y + 0, 0997)   0, 05   3 =(-400y + 492y − 64,8y + 1,34)(0,1 − x) + +[15, 4y − 9,75y + 20, 046y + 1,994)(x − 0, 05) + (12, 4y − 3,72y + 20, 046y + 1,994)(x − 0, 05) Vậy ta suy hàm spline nội suy hai chiều (x,y) miền nội suy phân hoạch D xây dựng nh trờn Kt lun *Quá trình nghiên cứu đề tài: Mt s ng dng ca spline a thc thu đợc kết sau đây: Nghiờn cu khụng gian tuyến tính S3 (Π) spline bậc số tính chất nó; vài khái niệm spline bậc n; cuối số ứng dụng spline Nhấn mạnh việc áp dụng phép nội suy spline đa thức, đặc biệt nội suy spline đa thức bậc ba, thấy ưu điểm việc áp dụng spline đa thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [ ] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngơ Xn Sơn (2002), Giải tích số, NXB Đại học Sư phạm [ ] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (1996), Giải tích số, NXB Giáo dục [ ] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học Kỹ thuật [ ] Nguyễn Minh Chương , Khuất Văn Ninh (2000), Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội [ 6] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [7 ] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội [8 ] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết giải tích hàm, NXB Giáo dục [ ] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [10] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân tích phân, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [11] G.I.Mactruc (1984), Các phương pháp tốn học tính tốn, tập1-2, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Phan Văn Hạp Lê Đình Thịnh dịch [12] PM Prent (1975), Spline and Variatial methods, (bản tiếng Anh) ... khái niệm hàm spline, chọn đề tài: Một số vấn đề spline đa thức ứng dụng ” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số vấn đề hàm spline ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên... hóa lại vấn đề lý thuyết nội suy nêu vài áp dụng đa thức nội suy spline Bố cục luận văn Nội dung luận văn chủ yếu gồm ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Các spline đa thức bậc... 18 CÁC SPLINE ĐA THỨC BẬC BA 18 2.1 Các spline đa thức bậc ba với mốc cách 18 2.2 Spline đa thức với mốc không 33 2.3 Một số tính chất spline bậc ba 36 2.4