Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp riemann

Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán - Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn.. Nhà toá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Trần Ngọc Thanh Trang

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Trần Ngọc Thanh Trang

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA

MỘT ĐA TẠP RIEMANN

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS KHU QUỐC ANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và

hỗ trợ Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn

và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán - Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 6

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1.Đa tạp khả vi 8

1.1.1.Đa tạp khả vi 8

1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều 8

1.1.1.2 Ánh xạ khả vi 9

1.1.2 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 9

1.1.2.1 Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc T M p 10

1.1.2.2 Phân thớ tiếp xúc 11

1.1.2.3 Trường vectơ 12

1.1.2.4 Trường mục tiêu 12

1.1.2.5 Tích Lie của hai trường vectơ 12

1.1.2.6 Ánh xạ tiếp xúc 13

1.1.3 Đa tạp con 14

1.1.4 Trường tenxơ 14

1.1.4.1 Tích tenxơ 14

1.1.4.2 Các tenxơ phản biến và hiệp biến 15

1.1.4.3 Trường tenxơ 16

1.2 Lý thuyết liên thông 18

1.2.1 Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp 18

1.2.2 Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ 20

1.2.3 Tenxơ xoắn và tenxơ cong 20

1.2.4 Đường trắc địa 21

1.3 Đa tạp Riemann 23

1.3.1 Khái niệm đa tạp Riemann 23

1.3.2 Liên thông Riemann 23

1.3.2.1 Định nghĩa liên thông Riemann 23

1.3.2.2 Định lý 23

1.3.3 Liên thông Levi – Cita 25

1.3.3.1 Định nghĩa 25

1.3.3.2 Định lý 25

1.3.4 Độ cong trên đa tạp Riemann 26

1.3.4.1 Những khảo sát đại số có liên quan 26

1.3.4.2 Độ cong thiết diện 27

1.3.4.3 Độ cong Ricci 27

1.3.5 Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann 28

1.3.6 Tính đầy của đa tạp Riemann 28

1.3.6.1 Định lý 28

1.3.6.2 Bổ đề 29

Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN 30

2.1 Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con

của một đa tạp Riemann 30

2.1.1 Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con

của một đa tạp Riemann Công thức Gauss 30

2.1.1.1 Mệnh đề 31

2.1.1.2 Mệnh đề 34

2.1.2 Công thức Weingarten 37

2.1.2.1 Mệnh đề 38

2.1.2.2 Mệnh đề 40

2.1.3 Một số ví dụ minh họa 41

2.2 Phương trình của Gauss và Codazzi 44

2.2.1 Phương trình Gauss 44

2.2.1.1 Mệnh đề 45

2.2.1.2 Hệ quả 46

2.2.1.2.1 Ví dụ 46

2.2.1.2.2 Ví dụ 47

2.2.2 Phương trình của Codazzi 48

2.2.2.1 Mệnh đề 49

2.2.2.2 Hệ quả 49

2.2.2.3 Mệnh đề 51

2.2.2.4 Mệnh đề 52

2.2.2.5 Định lý 53

2.2.2.6 Bổ đề 53

2.3 Các siêu mặt trong một không gian Euclide 55

2.3.1 Tính chất cơ bản 55

2.3.2 Định nghĩa 58

2.3.3 Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt 62

2.3.4 Tính chất của đa tạp Anhstanh 62

2.3.4.1 Định lý 62

2.4 Định lý cơ bản cho các siêu mặt 68

2.4.1 Định lý 68

2.4.2 Bổ đề 69

2.4.3 Bổ đề 70

2.4.4 Bổ đề 72

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 77

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay

Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều Những công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi phân mang tên ông gọi là hình học Riemann Hình học Riemann có những đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời sống thực tế Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở toán học là hình học Riemann

Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học Symplectic,… đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay

Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”, chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân

Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của

lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và

mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa tạp con của một đa tạp Riemann

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây dựng chương 2

Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản cho các siêu mặt

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1.Đa tạp khả vi 1.1.1.1 Đa tạp khả vi n chiều

Cho M là một không gian tôpô Hausdoff có cơ sở đếm được M được gọi là đa tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide
n, tức là :

• ∀ x M∈ , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi

• :Uϕ →V mở ⊂
n Giả sử M là đa tạp tôpô n - chiều , cặp ( ,U ϕ ) xác định trên được gọi

là một bản đồ trên M Một atlas (tập bản đồ) khả vi lớp k

C ( k≥ ) là một 1

họ C = {( , ) :U i ϕi i∈I} các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện a) Họ { }U i là một phủ mở của M

b) Với hai bản đồ ( , )U i ϕ và (i U j, )ϕ , j U i ∩U j ≠ ∅ , ánh xạ 1

j i

−

ϕ ϕ xác định trên ϕi(U i ∩U j) là ánh xạ khả vi lớp k

C từ ϕi(U i ∩U j) lên

j U i U j

Hai tập bản đồ C1 = {( , ) :U i ϕi i∈I} và C2 = {( ,V j ψj) : j∈J} khả

vi lớp k

C được gọi là tương thích với nhau , nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp k

C Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp k

C Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp k

C trên

M

Đa tạp tôpô n - chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp k

C cho trên nó

được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp k

C Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn

1.1.1.2.Ánh xạ khả vi

Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng Ánh

xạ liên tục f : M→ N được gọi là khả vi tại p M∈ nếu với mọi bản đồ ( , )U ϕ quanh p và ( , )V ψ quanh f(p) = q sao cho ( )f U ⊂ thì ánh xạ V

1

ψ ϕ : ( )ϕU → ψ( )V

là khả vi tại điểm ( ) m

p

ϕ ∈

Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p M∈

Cho ánh xạ khả vi f : M → N , p M∈ , ( , )V ψ là bản đồ địa phương quanh ( )ϕ p , các tọa độ được cho bởi n hàm j

y trên V Giả sử ( , )U ϕ là

bản đồ quanh p M∈ , các tọa độ cho bởi (.) ( , ,1 m)

ϕ = với ( )f U ⊂ V

Ánh xạ 1

ψ ϕ được cho bởi biểu thức

( , , , ), 1,2, ,

h là những hàm khả vi)

Hạng của ma trận

j i

h x

∂ 

 

∂

  (m ×n) tại

1

( ) ( ( ), , m( ))

phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương , được gọi là hạng của ánh xạ

f tại điểm p

Khi đó f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều

bằng m = dim M

Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng

phôi từ M lên f(M)

1.1.2.Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc

1.1.2.1 Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc T M p

Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp k

C Một đường cong khả vi lớp r

C trên M là một ánh xạ c: J →M ( 0 J∈ mở ⊂
) khả vi lớp k

C Ánh

xạ f: M →
lớp r

C được gọi là một hàm khả vi lớp r

C trên M Kí hiệu

F r(M) là tập hợp hàm khả vi ( lớp r

C ) trên M , F r(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp r

C trong lân cận của p , C1p(M) là tập các đường cong c khả vi lớp C1 trên M sao cho c(0) = p

Ta xét một quan hệ “ ∼ ” trên 1

p

C (M) như sau:

c J →M c J →M sao cho c1(0)=c2(0)= p

Ta nói c1∼c2 ⇔ có bản đồ (U ,x) quanh x sao cho

với I = 1,2,…,m

Khi đó quan hệ “ ∼ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các đường cong khả vi lớp 1

C qua p M∈ Mỗi lớp tương đương đối với quan

hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M

Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là T M p

Ta mô tả cấu trúc của T M p Tập F k(p) với các phép toán cộng và nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
– đại

số Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p)→
thỏa mãn hai điều kiện

• v là ánh xạ tuyến tính giữa các
– không gian vectơ

• v(f.g) = v(f) g(p) + f(p) v(g) , ∀ f ,g ∈ F k(p)

Giả sử [c] ∈T M p , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau :

Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) = d f c t( )0

dt  (1) Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên Bằng đồng nhất này , ta có một đơn ánh từ T M p vào không gian các đạo hàm tại p Xét bản đồ địa phương (U , x) quanh p sao cho ( , ,1 m)

x= x x Với mỗi j , xét đường cong

1

( ) ( ( ) )

c t =x− x p +te , {0, , , }e1 e m là mục tiêu trong
m , thì c j là

đường cong trên M qua p , nó xác định vectơ tiếp xúc , kí hiệu j

p

x

∂

 

∂ 

  Ta

( )

( ) j( )

p

x

−

∂

∂ 

   , với D j là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j

Ta viết j ( ) j

f f

∂  ∂ 

Khi đó T M p chính là không gian con m chiều của không gian vectơ

các đạo hàm tại p , và hệ j , 1, ,

p

x

∂

 

là cơ sở của không gian

vectơ tiếp xúc T M p của đa tạp M tại p

1.1.2.2 Phân thớ tiếp xúc

Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp k

C Xét p

p M

∈

= ∪ Đối

với mỗi bản đồ (U, x) trên M , đặt p

p U

∈

= ∪ Xét ánh xạ

x TU →x U ×
được xác định

(

1

, m ( )j

x

=

∂

∂

∑ , x là một song ánh)

( ) ( ( ), ( ), , (1 m))

Ta gọi (TU x, ) là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU x, )

trên TM có x là đồng phôi Cụ thể , xét U ={( , ),V x i i i∈I} là một tập bản

đồ trên M , : m

i i i

x U →V ⊆
Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi ( i)

A∩ TU là tạo ảnh của tập mở trong m

i

V ×
qua x i , i I∀ ∈ Khi đó , tập các bản đồ {TU x i,} tạo thành một atlas khả vi lớp

1

k

C − , cho cấu trúc khả vi lớp k 1

C − trên TM

TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều , được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M

Ánh xạ :TMπ →M với ( )π v = ( p v∈T M p ) là khả vi và có hạng cực đại

1.1.2.3 Trường vectơ

Cho M là đa tạp khả vi m chiều , TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp

M , U mở M⊂

Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X: M → TM sao cho ( )X p p

π = ( p M∈ ) Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M Tập các trường vectơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M)

Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M , nghĩa là có m trường vectơ khả vi X1, ,X m

sao cho với mỗi p ∈M, X p1( ), ,X m( )p tạo thành cơ sở của T M p

1.1.2.4 Trường mục tiêu

Trường mục tiêu trên U mở M⊂ là hệ gồm n trường vectơ {X1, ,X n} trên U sao cho với mỗi p U∈ thì hệ {X1p, ,X np} là một cơ

sở của ( )T M p

Nếu với p U∀ ∈ , X ip.X jp = δ thì ij { }X i được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

1.1.2.5 Tích Lie của hai trường vectơ

Với mỗi trường vectơ khả vi X∈V M( ), hàm khả vi f∈ F r(M), ta xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với :

0

,( )( ) p( ) d ( ( ))t

với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y ,

kí hiệu [X , Y] được xác định như sau

[X Y f, ] =X Yf( )−Y Xf( ), f ∈ F r(M)

1.1.2.6 Ánh xạ tiếp xúc

Giả sử M N, là hai đa tạp khả vi với số chiều ,m n tương ứng và :

f M → N là ánh xạ khả vi Với mỗi p M∈ , xét T f T M p : p →T f p( )N xác định như sau:

Với v∈T M v p , =[ ], :c c J →M mà (0)c = , đặt: p

Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v

Ta xét biểu diễn địa phương của T f p Giả sử ( , )U x là bản đồ địa phương quanh p, ( , )V y là bản đồ địa phương quanh f p( ) , sao cho ( )

f U ⊂ Khi đó , nếu V

1

( )

m i i

x

=

∂

=

∂

Do đó T f p là một ánh xạ tuyến tính Như vậy ta xác định được ánh xạ :

Tf TM →TN , với v∈T M p ⇒( )( ) (Tf v = T f p )( )v Ta có biểu đồ sau giao hoán:

( )

( ) [ ]

n j

y

=

∂

=

∂

f

→

→

Ta thường kí hiệu T f p là f p* và Tf là f* và gọi là ánh xạ tiếp xúc

của ánh xạ khả vi f

1.1.3 Đa tạp con

Một ánh xạ :f M →M ' được gọi là một phép dìm nếu ( )f* p là đơn cấu với mọi p ∈M Nếu :f M →M' là một dìm, đồng phôi lên ảnh thì f

được gọi là một phép nhúng Khi đó M hay ( f M ) gọi là đa tạp con của đa ( ) tạp M '

Một phân bố S có số chiều r trên một đa tạp M là một phép gán mỗi điểm p M∈ với một không gian con r – chiều S p của T M p( ) Nó được gọi

là khả vi nếu mọi điểm p có một lân cận U và r trường vectơ khả vi trên U, chẳng hạn , X1, ,X r, tạo thành một cơ sở của S q tại mọi q∈U Tập hợp

1, , r

X X được gọi là cơ sở địa phương của phân bố S trong U.Một trường vectơ X được gọi là phụ thuộc vào S nếu X p∈S p với mọi p ∈M

S được gọi là đối hợp nếu [X, Y] phụ thuộc vào S với bất kì hai trường vectơ X và Y phụ thuộc vào S Bằng một phân bố ta sẽ luôn xác định được một phân bố khả vi

Một đa tạp con liên thông N của M được gọi là một đa tạp tích phân của phân bố S nếu f T N*( ( ))p =S p với mọi p ∈N, với f là phép nhúng N vào

M Nếu không có một đa tạp tích phân nào khác của S chứa N , N được gọi là

đa tạp tích phân cực đại của S

1.1.4 Trường tenxơ 1.1.4.1 Tích tenxơ