một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ

TRNG I HC CN TH KHOA S PHM B MễN TON ti MT S VN V A TP KH VI V KHễNG GIAN PHN TH Lun Tt nghip SP Ti Toỏn liu Hc hc v nghiờn cu Trung tõm Hc liu H Cn Ngnh: Th @ GV hng dn: Sinh viờn thc hin: Ths ng Vn Thun Nguyn Th Bớch Thy Lp: S phm Toỏn Hc khúa 28 Mó s SV: 1020088 Can Thụ, 5-2006 MC LC cửd PHN M U PHN NI DUNG Chng Kin thc chun b 0.1 Phm trự 0.2 i s 0.3 Phộp th 0.4 Hm kh vi Rn Chng a kh vi 1.1 nh ngha a kh vi 1.2 nh x kh vi 13 1.3 Khụng gian tip xỳc v phõn th tip xỳc 15 1.4 a - a nh hng c 23 Chng Mt s cu trỳc trờn a kh vi 28 2.1 Trng tenx trờn a kh vi 28 2.2 Dng vi phõn trờn a kh vi 36 2.3 Nhúm Lie 44 2.4 Nhúm Lie cỏc phộp bin i trờn a 51 Chng Khụng gian phõn th 53 3.1 Phõn th tm thng a phng vi nhúm cu trỳc 53 3.2 Phõn th kh vi 56 3.3 Khụng chớnh@ 58 Trung tõm Hc liu gian Hphõn CnthTh Ti liu hc v nghiờn cu 3.4 nh x gia cỏc phõn th 61 3.5 Phõn th kt hp 65 PHN KT LUN 68 TAè LIU THAM KHO 69 PHN M U { Lí DO CHN TI Nh ó bit, phộp tnh tin song song khụng gian afin c thc hin mt cỏch trc quan v d dng Tuy nhiờn, trờn a kh vi, lm th no di "mt cỏch song song" mt vect tip xỳc ti mt im cho trc ca a n mt im khỏc ca a dc theo mt ng cong ni hai im ú? õy l mt bi toỏn khú v vic gii quyt bi toỏn ny l mt nhng lớ i ca lớ thuyt liờn thụng Nhng v a kh vi v khụng gian phõn th l nhng c bn nghiờn cu lớ thuyt liờn thụng bao gm liờn thụng tuyn tớnh trờn a kh vi, liờn thụng trờn khụng gian vect v trờn khụng gian phõn th chớnh Lớ thuyt v khụng gian phõn th cng l mt nhng i tng nghiờn cu quan trng ca tụpụ i s v l mt cụng c khụng th thiu c vic nghiờn cu hỡnh hc vi phõn i theo xu hng phỏt trin ca toỏn hc hin i, thờm vo ú, nh cú s gi ý v hng dn tn tỡnh ca thy ng Vn Thun nờn em ó mnh dn chn ti Mt s v a kh vi v khụng gian phõn th hon thnh lun tt nghip ngnh toỏn MC CH NGHIấN CU Lun vi ti Mt s v a kh vi v khụng gian phõn th nhm tipliu cn vi vi phõn i l gncu nú Trung tõm Hc Hhng Cnquan Thtrng @ ca Tihỡnh liuhchc hin v nghiờn vi a kh vi, khụng gian phõn th, nghiờn cu mt s cu trỳc trờn a kh vi nh trng tenx trờn a kh vi, dng vi phõn trờn a kh vi, nhúm Lie, nhúm Lie cỏc phộp bin i trờn a ng thi nờu mt s c bn v khụng gian phõn th lm cụng c cho vic nghiờn cu lớ thuyt liờn thụng Ngoi ra, vic thc hin ti cng giỳp cho em cú dp cng c kin thc v gii tớch trờn a tp, gii tớch hm nhiu bin, i s v lm quen vi cỏch nghiờn cu cú hng dn nhng mi ca toỏn hc PHNG PHP NGHIấN CU Cỏc phng phỏp ó c s dng quỏ trỡnh hon thnh lun nh phõn tớch, tng hp, so sỏnh Tng hp cỏc kin thc v a kh vi, cỏc cu trỳc trờn a kh vi v khụng gian phõn th nhiu sỏch khỏc nhau, ng thi phõn tớch v so sỏnh cú c s trỡnh by tng i rừ rng v hp lớ nhng cú liờn quan NI DUNG CA LVTN Ni dung ca ti cp n mt s v a kh vi, cỏc cu trỳc trờn a kh vi v khụng gian phõn th c chia thnh cỏc phn sau õy: Chng Kin thc chun b ú l cỏc nh ngha v phm trự, i s, phộp th, ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn ng thi trỡnh by mt s kin thc v hm kh vi Rn nh nhc li nh ngha v ỏnh x kh vi, o hm cp cao nhm to nn tng v kin thc cho phn tip theo Chng a kh vi Trong chng ny, ta s a nh ngha a kh vi v nhng vớ d v nhng i tng l a kh vi v khụng l a kh vi, ỏnh x kh vi, ỏnh x dỡm, nhỳng, ngp, khụng gian tip xỳc v khụng gian phõn th tip xỳc, khỏi nim v trng vộc t v múc Lie ca hai trng vộc t, v a v a nh hng c Chng Mt s cu trỳc trờn a kh vi Trong chng ny, ta s nờu mt s cu trỳc trờn a kh vi nh: Trng tenx trờn a kh vi, dng vi phõn trờn a kh vi, nhúm Lie v nhúm Lie cỏc phộp bin i trờn a kh vi Chng Khụng gian phõn th Trong chng ny ta xột n khụng gian phõn th nh phõn th tm thng a phng vi nhúm cu trỳc, phõn th kh vi, khụng gian phõn th chớnh, phõn th kt hp v ỏnh x gia cỏc phõn th Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu Chng KIN THC CHUN B 0.1 PHM TR 0.1.1.NH NGHA Ta núi cú mt phm trự A khi: a) Cú mt lp m cỏc phn t c gi l cỏc vt ca phm trự, kớ hiu lp ny l Ob(A) b) ng vi mt cp vt A, B Ob(A) cú mt hp kớ hiu l Mor(A, B), m cỏc phn t gi l cỏc cu x t A n B Tp hp Mor(A, B) cú th rng Nu f Mor(A, B) ta cng kớ hiu f: A B, hay A f B A c gi l ngun, B gi l ớch ca f c) H f: A B, g: B C thỡ ng vi cp f, g cú mt h: A C gi l hp thnh ca g vi f, kớ hiu l h=g.f hoc h=gf ng thi ba tiờn sau phi c tha món: C1) Hai hp Mor(A, B) v Mor(A, B) bao gi cng ri nhau, tr A=A, B=B thỡ chỳng trựng Núi cỏch khỏc, nu A A hoc B B thỡ hai cu x f: A B, f: A B l khỏc C2) Lut hp thnh cỏc cu x cú tớnh cht kt hp, ngha l ta luụn cú (hg)f=h(gf) mi s hp thnh cú ngha (núi cỏch khỏc ớch ca f l ngun ca g, ớch ca g l ngun ca h) C3) Vi mi vt A Ob(A) tn ti mt phn t 1A Mor(A, A), gi l nhng x ng saoH cho f.1 1A.g=g s hp thnh ngha (tc l cu A= f,Th Trungcutõm Hcnht liu Cn @mi Tikhiliu hc tpcúv nghiờn A l ngun ca f, ớch ca g) Cu x ng nht ú l nht vỡ rng nu e cng l cu x ng nht thỡ e=e.1A=1A 0.1.2 V D + Vớ d 1: Phm trự S cỏc hp, gm: Lp cỏc vt: Ob(S) = {Tt c cỏc hp} Lp cỏc cu x: Mor(S) = {Tt c cỏc ỏnh x gia cỏc hp} Phộp hp thnh l tớch cỏc ỏnh x Vi mi vt B Ob(S), 1B = IdB + Vớ d (v cu trỳc tụpụ): Phm trự Top cỏc khụng gian tụpụ Lp cỏc vt: Ob(Top) = {Tt c cỏc khụng gian tụpụ} Lp cỏc cu x: Mor(Top) = {Tt c cỏc ỏnh x liờn tc gia cỏc khụng gian tụpụ} Phộp hp thnh l tớch cỏc ỏnh x liờn tc Vi mi vt B Ob(Top), 1B = IdB (ỏnh x ng nht liờn tc) + Vớ d (v cu trỳc i s): Phm trự LF cỏc khụng gian vect trờn mt trng F ó cho, gm: Lp cỏc vt: Ob(LF) = {Tt c cỏc khụng gian vect trờn F} Lp cỏc cu x: Mor(LF) = {Tt c cỏc F-ỏnh x liờn tc} Phộp hp thnh l tớch cỏc F-ỏnh x liờn tc Vi mi V Ob(LF), 1V = IdV (F-ỏnh x tuyn tớnh ng nht) 0.2 I S 0.2.1 NH NGHA Mt hp A cựng vi mt lut trong, ký hiu +, mt lut ngoi K ì A A, ( , x ) x v mt lut (c gi l lut th ba) õy c kớ hiu l *, cho: 1) (A, +, ) l mt khụng gian vộc t trờn trng K 2) * phõn phi i vi + 3) K , ( x, y ) A , ( x y ) = (x) y = x (y ) gi l mt K-i s Mt K-i s A gi l: + Kt hp v ch * cú tớnh cht kt hp + Giao hoỏn v ch * cú tớnh cht giao hoỏn + Cú n v (hoc: n v) v ch A cú phn t trung hũa i vi * Mt b phn B ca mt i s A l mt i s ca A v ch B ỉ ( x, y ) B , x + y B ( , x) K ì B, x B ( x, y ) B , x y B NHN XẫT Gi s A l mt K-i s, B A, B ỉ, nu B l mt i s ca A thỡ B l mt K-i s vi cỏc lut Trung tõm Hc @ Ti tp*: v nghiờn cu B Cn , Th lut ngoi K ì Bliu B ,hclut BìB B Lut +:liu B ì BH ( x, y ) x + y ( , x ) x ( x, y ) x y cm sinh bi cỏc lut ca A 0.2.2 V D + Vớ d 1: Mt th giao hoỏn K l mt K- i s kt hp, giao hoỏn, cú n v, nu nú ly lut th ba l phộp nhõn Tng quỏt hn nu L l th m ca K, thỡ L l mt K-i s kt hp, cú n v, nu nú ly lut th ba l phộp nhõn L Chng hn C l mt R-i s kt hp, giao hoỏn, cú n v i vi cỏc lut thụng thng + Vớ d 2: Gi s X l mt hp khỏc rng, X* l hp cỏc ỏnh x t X vo K X* l mt K-khụng gian vộc t vi cỏc lut hp thnh thụng thng, bng cỏch trang b cho X* mt lut th ba, c xỏc nh bi: x X , ( fg )( x ) = f ( x ).g ( x ) , thỡ X* l mt K-i s kt hp, giao hoỏn, cú n v, phn t trung hũa i vi lut th ba l ỏnh x hng bng mt 0.2.3 NG CU I S nh ngha: ng cu i s t K- i s A vo K-i s A' l mt ỏnh x h: A A' , va l ng cu K-mụun va l ng cu vnh chuyn n v thnh n v, tc l cho h(a + b) = h(a) + h(b), h(ka) = kh(a ), h(a b) = h(a ) h(b), h(1A ) = 1A' , k K , a, b A 0.3.PHẫP TH 0.3.1 NH NGHA Mt song ỏnh t {1, 2, , n} vo chớnh nú c gi l mt phộp th bc n Tp hp tt c cỏc phộp th bc n c kớ hiu bi Sn Sn cựng vi phộp hp thnh cỏc ỏnh x lp thnh mt nhúm, c gi l nhúm i xng bc n Nhúm ny cú n! phn t Mi phn t ca nhúm Sn gi l mt phộp th (hay hoỏn v) bc n Cỏc phộp th S n thng c trỡnh by dng bng sau õy = ( ) (2 ) n (n) Phộp th cú dng i j n = j i n tc l (i ) = j , ( j ) = i, ( k ) = k i vi mi k i, k j c gi l phộp i ch (chuyn trớ) hai phn t i, j v thng c kớ hiu l = (i, j ) Ta thy rng = i En , ú = nh x sign: S n R xỏc nh bi sign( ) = i< j ( j ) (i) , vi mi S n c gi l hm du j i Kim tra c rng nu l mt phộp i ch thỡ sign ( ) = Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu 0.3.2 TNH CHT a) i vi mi phộp th , S n , ta cú sign ( ) = sign sign b) Mi phộp th bc n l tớch ca mt s hu hn cỏc phộp i ch Tc l i vi mi phộp th S n , cú th biu din di dng = r ú k , k = 1, , r l cỏc phộp i ch c) i vi mi phộp th S n , sign( ) = 0.4 HM KH VI TRONG Rn 0.4.1 NH X KH VI Mt ỏnh x f t mt hp m A khụng gian nh chun X n khụng gian nh chun Y c gi l kh vi ti im a A nu cú mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc L: X Y cho: f(a+h)-f(a)=L(a)+o( h ) nh x L y, nu cú, l nht v c gi l o hm ca f ti a Kớ hiu f(a) hay fa hay Df(a) nh x f c gi l kh vi trờn hp A nu nú kh vi ti mi im a A NH L Cho A, B l hai hp m hai khụng gian nh chun X, Y Nu f:A B kh vi ti a, g: B Z kh vi ti f(a) thỡ gof: A Z kh vi ti a v (gof)(a)=g(f(a)).f(a) Ta s quan tõm ch yu n trng hp X=Rn v Y=Rm, tc l x=(x1,,xn), f ( x) = ( f ( x), , f m ( x) ) , vi cỏc f i l hm n bin thc Khi y, nu f: A Rm kh vi ti a thỡ t phi tn ti cỏc o hm riờng f i (a ) x j V f(a) l ỏnh x tuyn tớnh t Rn vo Rm c cho bi ma trn cp m ì n f i J f (a) = j (a ) (i= 1, m ; j= 1, n ).(1) x gi l ma trõn Jacobi ca f ti a Khi m = n nh thc ca ma trn ny gi l nh thc Jacobian ca ỏnh x f ti a v thng c kớ hiu l: Trung tõm Hc liu H Th f Cn D( f @ , , Ti f ) liu hc v nghiờn cu i n hay j D (x1 , , x n ) x a det Ngc li nu tt c cỏc o hm riờng a hay det(Jf(a)) f i u tn ti m no ú x j cha im a v liờn tc ti a thỡ ú f kh vi ti a (iu ngc li cha chc ỳng) Hng ca ỏnh x f: A Rm ti a l hng ca ma trn (1) T nh lớ trờn ta cng cú kt qu J gof (a ) = J g ( f (a )).J f (a ) 0.4.2 O HM CP CAO: Cho L(X.Y) l khụng gian nh chun lp bi cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t X n Y (chun khụng gian ny c xỏc nh bi = sup{ x : x = 1} Cho A l mt hp m X Nu mt ỏnh x f: A Y cú o hm f(x) ti mi im x A thỡ ta c mt ỏnh x f: A L (X,Y), xỏc nh nh sau: x f(x) o hm ca f ti a, nu cú c gi l o hm cp hai ca f ti a v c kớ hiu l f(a) hay D2f(a) Nh vy, D2f(a) L (X, L (X, Y)) Mt cỏch tng quỏt, o hm cp r ca f ti a l Drf(a)=D(Dr-1f(a)) Nu o hm y tn ti v liờn tc ti mt im thỡ ỏnh x f c gi l kh vi lp Cr hay l mt Cr-ỏnh x T nh lớ ta suy ra: Nu f : A B v g : B Z (A, B l cỏc m X, Y) l Cr-ỏnh x thỡ g f : A Z cng l Cr-ỏnh x Thnh th cỏc hp m ca nhng khụng gian nh chun lm thnh mt phm trự, m cu x l cỏc Cr-ỏnh x Mt ng cu phm trự ny tc l mt ỏnh x 1-1 lờn f: A B cho c f v f u l Cr-ỏnh x, c gi l mt Cr-ng cu Ly o hm ca hm hp f f = id , ta thy rng nu f : A B l mt Cr-ng cu thỡ f(a) ti mt a A Trong trng hp X = R n , Y = R m , ỏnh x f : A R m ( A R n ) thuc lp Cr v ch tt c cỏc o hm riờng n cp r: f i ( = + + n r ) (x ) (x ) 1 n n ca tt c cỏc hm ta f i (i= 1, m ) u tn ti v liờn tc A Núi riờng f thuc lp Cr v ch mi f i (i= 1, m ) u thuc lp Cr Ta núi ỏnh x f thuc lp C (hay C -ỏnh x) nu nú thuc lp Cr vi mi s nguyờn r Co-ỏnh x l ỏnh x liờn tc V D + Vớ d 1: nh x sau õy thuc lp C trờn R3: f : R3 R ( ( x, y, z ) x y + z , xyz x ) Trung tõm Hc liu HxCn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu + Vớ d 2: nh f : R2 R2 (x,y) ( + x + y, 2-x + y) l mt C1-ng cu CH í a) Nu f thuc lp C1 trờn A thỡ f liờn tc trờn A, nhng iu ngc li thỡ cha chc ỳng, chng hn: f : R2 R ( x, y ) x liờn tc trờn R nhng khụng thuc lp C1 trờn R2 vỡ f khụng cú o hm riờng cp ti (0, 0) i vi bin th nht b) nh x f: U V thuc lp C1 cú th l mt ng phụi nhng khụng phi l vi phụi ca lp C1 Núi cỏch khỏc, ỏnh x ngc f : V U khụng nht thit phi thuc lp C1 Chng hn, hm bin thc y=f(x)=x3 xỏc nh mt ng phụi t R lờn R nh x ú thuc lp C1, nhng ỏnh x ngc x=y = g ( y ) khụng kh vi ti Tht vy, f ' ( x ) = x v f ' (0) = Nu g(0) tn ti thỡ ly o hm ca hm hp g f = id ti ta c g ' (0) f ' (0) = nhng iu ú khụng th xy vỡ f ' (0) = Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu d) x U i U j , F , ta cú i ( x, ) = i , x ( ) = ( j , x j ,1x i , x )( ) = j , x (( j ,1x i , x ) ) = j , x (a ji ( x) ) = j ( x, a ji ( x) ) 3.1.6 V D + Vớ d 1: Phõn th tớch Cho M, F l nhng khụng gian tụpụ Nhúm G tỏc ng cú hiu qu lờn F t P=M ì F, p : M ì F M ( x, ) x Tp bn A gm mt phn t (M ì F, id M ìF ) Khi ú P(M ì F, M, p, F, G, A) l mt phõn th tm thng a phng + Vớ d 2: Lỏ Moebius Cho M l lỏ Mobieus (xem 1.4.3.2.) Gi q l ỏnh x: [0,1] S x e ix t V1 = q[(0,1)];V2 = q 0, ,1 Ta thy {V1 ,V2 } lp thnh mt ph m ca S Gi : [0,1]ì R M l phộp chiu chớnh tc, U / ~,U / ~ l cỏc m ca M núi 1.4.3.2 Trung tõm Hc liu Cn Xột ỏnh x pH :M S Th @ Ti liu hc v nghiờn cu ( x, y ) e ix Khi ú p (V1 ) = U / ~; p (V2 ) = U / ~ Bõy gi ta lp cỏc ỏnh x: ~1 : V1 ì R p (V1 ) (q ( x), y ) ( x, y ) ~2 : V2 ì R p (V2 ) xỏc nh bi (x,y) x > ~2(q(x),y) = (x, y) x < ~ ~ Ta thy , l nhng ng phụi Vi q( x) V1 V2 , ỏnh x a 21 (q( x)) = ~2,1q ( x ) ~1,q ( x ) : R R bin mi phn t 1 hoc thnh y nu x < t G = { id R } 2 ~ ~ Gi A = {(V1 , ), (V2 , )} thỡ ta thy rng P(M, S , p, R, G, A) l mt y R thnh y nu x > phõn th tm thng a phng 55 3.2 PHN TH KH VI 3.2.1 NH NGHA Phõn th P(P, M, p, F, G, A) c gi l phõn th kh vi nu nh ngha 3.1.2, P, M, F l cỏc a kh vi, G l nhúm Lie tỏc ng cú hiu qu lờn F, phộp chiu p l ỏnh x kh vi, i l vi phụi Nu F l khụng gian vect, G l nhúm tt c cỏc phộp t ng cu ca F thỡ phõn th P c gi l mt phõn th vect Trong ii) ca nh ngha 3.1.2 p l ỏnh x m v i l vi phụi, nờn dim U i ì F =dimp-1(U) T ú suy ra: 3.2.2 NH L Nu P(P, M, p, F, G, A) l mt phõn th kh vi thỡ dimP = dimM + dimF 3.2.3 NHN XẫT Cho phõn th kh vi P(P, M, p, F, G, A) Gi s dimM=m, dimF=r Gi ~ ~ ~ A M = {(U i , i ), i I }, A F = {(V j , j ), j J } l cỏc bn xỏc nh cu trỳc kh vi ca M v F tng ng Cú th chn cho cỏi ph {(U i , i I )} mn hn cỏi ph ~ ~ {(U i , i I )} bn tm thng húa A ca phõn th kh vi P(P, M, p, F, ~ ~ TrungG,tõm Hc CntớnhTh liu cu I , Uv Unghiờn A) Do ú liu khụngH lm mt tng @ quỏtTi cú th gi hc s I , i I Khi i i ú bn A M = {(U i , ~i ), i I } ca M c gi l bn tng thớch vi phõn th kh vi A Vi mi i I , j J , kớ hiu Wij = i (U i ì V j ) Gi j l hn ch ca i lờn U i ì V j Ta cú vi phụi i : U i ì V j Wij p (U i ) t ij : Wij R m + n , ú i j = (~i , j ) i1 Ta thy Ap= {(Wij , ij ), i I , j J } to thnh mt bn ca P Tp bn ny c gi l bn tng thớch (vi A) ca P Vi mi u Wij , gi x = p (u ) U i M , = i, x1 (u ) V j F t ~i ( x) = ( x , , x m ), j ( ) = ( , , r ) Khi ú ij (u ) = (~i ( x), j ( )) = ( x1 , , x m , , , r ) R m + r l trng mc tiờu ng vi bn a phng (U , ~i ) thuc i x i =1, m Nu l trng mc tiờu ng vi bn a phng (V j , j ) thuc AF thỡ j j =1,r AM, 56 l trng mc tiờu ng vi bn a phng (Wij , ij ) Ap Khi ú i, j x ij==11,,mr vi mi trng vect X trờn Wij ta cú m X =Xi i =1 r Yj + i x j j =1 Biu thc ta a phng ca phộp chiu p c cho bi u Wij , ij (u ) = ( x1 , , x m , , , r ) ~i ( p (u )) = ( x , , x m ) Do ú ỏnh x tip xỳc ca p ti u l TuP c xỏc nh bi r + Y j (u ) j u i x i =1 j =1 m Khi ú p' ( X u ) = Tu p( X u ) = X i (u ) i x x i =1 m X u TuWij , X u = X i (u ) u T ú suy p l ton cu 3.2.4 TRNG VECT THNG NG Cho phõn th kh vi P(P, M, p, F, G, A) Vi mi u P ta kớ hiu Puv = {X u Tu P : p ' ( X u ) = p (u ) } Phõn b Pv : u P Puv Tu P c gi l phõn b thng ng Trng vect X: u P X u Puv c gi l trng vec t thng ng Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu 3.2.5 MNH Phõn b thng ng cú tớnh cht i hp, tc l X u , Yu Puv , [ X u , Yu ] Puv Tht vy p ' ([ X u , Yu ]) = [ p ' ( X u ), p ' (Yu )] = X 3.2.6 DNG NM NGANG nh ngha: p-dng p (P ) c gi l nm ngang nu (X1,,Xp)=0 cú mt cỏc trng vộc t X1,,Xp l trng vộc t thng ng Bõy gi ta gi s l p-dng ly giỏ tr trờn mt khụng gian vộc t L Khi q ú c gi l nm ngang nu vi mi c s {ei }i =1,q ca L, cho = i ei i =1 thỡ i l cỏc dng nm ngang 3.2.7 V D Khụng gian phõn th tip xỳc ca mt a kh vi Cho a kh vi m chiu M Gi TM l khụng gian phõn th tip xỳc ca nú Ta s chng minh TM cú cõỳ trỳc ca mt phõn th kh vi Nh ta ó bit TM cng l a kh vi Phộp chiu p : TM M , X x Tx M x M l ton ỏnh, kh vi Ly F=Rm, nhúm cu trỳc G=GL(m, R) l nhúm tuyn tớnh tng quỏt Mi phn t a G l mt 57 ma trn vuụng khụng suy (a ) G, = ( ) = ( j bin i i ) , , m R m , m La = a = a ij i Gi s AM = {(U i , ~i ), i I } l bn ca M i =1 A = ( p (U i ), i ), i I l bn ca TM tng thớch vi AM Khi ú ỏnh x { } i = i1 : U i ì R m p (U i ) ( x, ) m X x = i i =1 x x , ú = ( , , m ) chớnh l mt bn tm thng húa t A = {(U i , i ), i I } T ỏnh x i , x : R m p ( ) m = ( , , m ) X x = i i =1 Ta cú x i x m m y j j ,1x i , x ( ) = j ,1x ( X x ) = j ,1x i i ( x) j i =1 y j =1 x Trung tõm Hc liu H m m y j = j ,1x i ( x) i j x y j =1 i =1 x j m y @i Ti liu hc Cn (x ) = Th i j =1 x x v nghiờn cu y j ( x), thỡ j,-1x i, x = a ij ( x) GL(m, R) i x Rừ rng ỏnh x x aij (x) l kh vi t aij ( x) = ( ) ( ) T ú suy P(TM, M, p, Rm, GL(m, R), A) l mt phõn th kh vi 3.3 KHễNG GIAN PHN TH CHNH 3.3.1 NH NGHA Phõn th kh vi P(P, M, p, F, G, A) c gi l phõn th chớnh nu F=G v nhúm Lie G tỏc ng lờn chớnh nú v bờn trỏi Phõn th chớnh thng c kớ hiu tt l P(M, G) hay P 3.3.2 NH L Cho phõn th chớnh P(P, M, p, F, G, A), ú nhúm Lie G tỏc ng bc cu v t lờn P Chng minh a G, u P , gi s u p (U i ) , ta nh ngha Ra (u ) = ua = i , x ( i, x1 (u )a ) Trc ht ta s chng minh nh ngha trờn khụng ph thuc vo vic chn ta a phng Tht vy, nu u p (U i U j ) thỡ 58 ( ) ( ) ( )( j , x j ,1x (u )a = j x, j ,1x (u )a = i x, aij ( x) j ,1x (u )a ( ) (( = i , x aij ( x) j ,1x (u )a = i , x i, 1x j , x j,x )) ) ( (u ) a = i , x i, x (u )a ) Tip theo ta chng minh Ra l n ỏnh Gi s Ra(u)=Ra(u), p(u ) = x U i M , p (u ' ) = x' U j M Khi ú p (Ra (u ) ) = p (Ra (u ' ) ) Nhng ( ( )) ( ( )) p(Ra (u ) ) = p i , x i, x1 (u )a = p i x, i, x1 (u )a = x Tng t p(Ra (u ' ) ) = x' Do ú x = x U i U j T ú suy ( ( i,x i,x )) ( ( )) (u )a = i , x ' i, x1' (u )a Do ú u = u suy Ra l n ỏnh u ' P , iu kin Ra(u)=u kộo theo ( ( )) Ra (u ) = i , x i, x1 (u )a = u ' i, x õy x = p (u ) U i Do ú (u )a = i, x1 (u ' ) T ú suy i, x1 (u ) = i, x1 (u ' )a Hay u = i , x ( i, x1 (u ' )a ) Nh vy vi mi u ta cú ( ) u = i , x i, x1 (u ' )a Ra(u)=u Vy Ra l ton ỏnh Do ú Ra l song ỏnh Ta li cú {p (U i ), i I } l mt cỏi ph ca P, cỏc ỏnh x ), u' H i , x (Hc i, x1 (u )aliu i , x (Cn i, x1 (u ' )Th a ) kh lp liu C nờn Ra l vi v phụinghiờn lp C cu T Trungu tõm @viTi hc nh ngha ta thy ỏnh x (u , a) Ra (u ) kh vi lp C Theo chng minh trờn ta cũn thy nu u p ( x) thỡ Ra(u) cng thuc p ( x ) Ngoi ra, vi p(u)=x Ui ta cú ( ( )) = ( ( ( (u )a ))b ) = (( (u )a )b ) = ( (u )(ab) ) = R (u ) a, b G, Rb Ra (u ) = Rb i , x i, x1 (u )a i,x i, x i,x i, x i, x i, x i, x i,x ab T cỏc iu kin trờn suy G l nhúm cỏc bin i trờn P Cui cựng cng t chng minh trờn ta cú ( ) Ra (u ) = u ' i , x i, x1 (u )a = u ' i, 1x (u )a = i, 1x (u ' ) ( ) a = i, 1x (u ) i, 1x (u ' ) Do ú u, u ' p ( x), !a = ( i, 1x (u ) ) i, 1x (u ' ) Rau=u T ú G tỏc ng bc cu lờn P Nu Ra (u ) = u thỡ a = ( i, 1x (u ) ) i, 1x (u ) = e Do ú G tỏc ng t lờn P 59 Nh vy, nh lớ ó c chng minh 3.3.3 NH NGHA Cho phõn th chớnh P(M, G) Gi g l i s Lie ca nhúm Lie G, : g V ( P), A A* l ỏnh x cho bi nh ngha 2.4.2, ú A* c gi l trng vộc t c bn ca P (ng vi trng vộc t bt bin trỏi A ca G) 3.3.4 MNH Vi mi A thuc g, A* l trng vộc t thng ng Chng minh Tht vy, vi u P, p(u)=x, a G ta cú p u (a) = x õy ỏnh x u c nh ngha cỏch chng minh nh lớ 2.4.3, t ú suy ỏnh x p u : G M l ỏnh x hng Do ú u P, p ' (Au ) = ( p u )' ( Ae ) = T ú suy Au Puv 3.3.5 V D Phõn th cỏc mc tiờu ca mt a kh vi Cho a kh vi M Vi mi x M, mi c s (X1,,Xm) ca TxM c gi l mt mc tiờu ca M ti im x v c kớ hiu l r(x, Xi) Gi L(M) l hp tt c cỏc mc tiờu ca M Khi ú L(M) cú cu trỳc ca mt a kh vi Tht vy, gi s {(U , ), I } l mt bn ca M ~ Trung tõm Hc H Cn Thtiờu @ Ti liu hc v nghiờn cu l tt c cỏc mc Gi Uliu r ( x, X i ), x U , ( X , , X m ) l c s ca TxM, gi i l mt trng x i =1, m m mc tiờu trờn U Khi ú X i = X ik k x T ú cú ỏnh x x k =1 ~ ~ : U (U ) ì R m ( ) r ( x, X i ) ( x), X ik 2 ~ Ta thy l mt song ỏnh, (U ) ì R m l mt hp m ca R m + m Do ~ ú cú th chn trờn L(M) mt tụpụ l mt ng phụi T ú th thy ~ ~ U , , I l mt bn ca L(M) Suy L(M) l mt a kh vi Bõy {( ) } gi ta s chng minh L(M) cú cu trỳc ca mt phõn th chớnh Xem L(M) l khụng gian ton th, M l khụng gian ỏy, xột phộp chiu p: L( M ) M c xỏc nh bi p(r (x, X i )) = x Ta thy p l mt ton ỏnh liờn tc p-1(x) l tt c cỏc mc tiờu ti x Nhúm cu trỳc õy chớnh l nhúm GL(m;R) Nhúm ny tỏc ng lờn chớnh nú v bờn trỏi v tỏc ng lờn L(M) v bờn trỏi nh m k =1 sau: Gi a = (Ai j ) GL(m, R), u = r (x, X i ) L( M ) thỡ La u = au = r x, Aik X k Ta thy ỏnh x : U ì GL(m, R) p (U ) 60 m r x, Aik k x k =1 Nu x U U , gi i , i ln x i =1,m y i =1,m (x, (A )) k i x l mt ng phụi lt l cỏc trng mc tiờu trờn U , U , thỡ m k y h , x A = x, A x = r x, Ai x k x k k =1 m 1,x (r ( x, X i )) = 1,x r x, X ik ( x) k x = X ik ( x) y k =1 h y Do cỏc ma trn Ai j , k , X ik khụng suy bin nờn x ( ) k i ( ( )) k i m = r x, Aik k x k =1 ( ( ) x ) ( ) y h 1,x , x Aik = 1,x r x, Aik k h x x ( ) x y h ( x) GL(m, R) =A x k k =1 T ú suy ỏnh x ( x) = 1,x , x xỏc nh bi ma trn khụng suy bin m k i y h thucliu (x)Hc GL(m, R) Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu Trung tõm H k x Ta thy ỏnh x : x U U ( x) GL(m, R) l kh vi T ú suy (L(M), M, p, GL(m, R)) l mt phõn th chớnh Phõn th ny c gi l phõn th cỏc mc tiờu trờn M 3.4 NH X GIA CC PHN TH 3.4.1 NH NGHA Cho hai phõn th cú cựng th mu v nhúm cu trỳc P(P, M, p, F, G, A) v P(P, M, p, F, G, A) Xột ỏnh x liờn tc f: P P tha iu kin sau: 1) x M , f x = f p ( x ) : p ( x) p '1 ( f ( x)) l ng phụi gia hai th ~ 2) Gi f : M M ' l ỏnh x xỏc nh bi x M , ly u p ( x) , ri t ~ ~ f ( x) = p' ( f (u )) , thỡ f l liờn tc 3) Gi s (U i , i ) A, (U 'i , 'i ) A Khi ú x U i f (U 'j ), x' = f ( x) , ỏnh x a~ ji : x a~ ji ( x) = j ,1x f x i , x G l liờn tc Ta gi nú l hm chuyn ca f Khi ú f c gi l ỏnh x gia hai phõn th núi trờn v kớ hiu tt l f:P P ~ ~ 61 3.4.2 MNH Cỏc hm chuyn a~ ji ca ỏnh x phõn th f: P P tha cỏc iu kin sau: ~ a) x U i U j f (U k' ), a~kj ( x)a ji ( x) = a~ki ( x) ~ b) x U i f (U ' j U k' ), a kj ( x)a~ ji ( x) = a~ki ( x) õy a ji , a kj l cỏc hm cu trỳc ca cỏc phõn th P v P tng ng Chng minh ~ ' a) x U i U j f (U k ) , ta cú a~kj ( x).a ji ( x) = k,1x f x j , x j ,1x i , x = k,1x f x i, x1 = a~ki ( x) ~ b) x U i f (U ' j U k' ), ta cú a kj ( x).a~ ji ( x) = k,1x j , x j ,1x f x i , x = k,1x f x i , x = a~k ,i ( x) T nh ngha v mnh trờn ta suy c mnh sau: 3.4.3 MNH Tp hp cỏc phõn th cú cựng th mu F v nhúm cu trỳc G cựng vi cỏc ỏnh x gia chỳng lp thnh mt phm trự, kớ hiu l FibF, G 3.4.4 NH NGHA Hai phõn th P v P cú chung ỏy M, th mu F v nhúm cu trỳc G ~ Trungc tõmgiHc liu Hnu Cn Th Ti th liu hc tpsaov P chonghiờn f = id M cu l tng ng tn ti ỏnh@ x phõn f: P Phõn th tng ng vi phõn th tớch c gi l phõn th tm thng 3.4.5 NH L iu kin cn v hai phõn th P (P, M, p, F, G, A) v P(P, M, p, F, G, A) tng ng l tn ti cỏc ỏnh x liờn tc a~ ji : U i U j G tha cỏc iu kin a) x U i U j U k' , a~kj ( x).a ji ( x) = a~ki ( x) b) x U i U 'j U k' , a kj' ( x).a~ ji ( x) = a~ki ( x) Chng minh iu kin cn d thy Ta s chng minh iu kin u P , nu p (u ) = x U i U 'j ta nh ngha ỏnh x ( ) f ji : p U i U 'j P' f (u ) = ' x, a~ ( x) (u ) ji j ( ji i,x Ta thy f ji liờn tc ) Gi s u p (U i U 'j ) p (U k U l' ) , ú 62 ( ( = (x, a~ ( x) = (x, a~ ( x)a = (x, a~ ( x) = (x, a~ ( x) ) f ji (u ) = 'j x, a~ ji ( x) i, x1 (u ) = ' x, a ' ( x)a~ ( x) (u ) j jl li ) i,x ) ' l li i,x ' l lk ki ' l lk k ,x i , x i, 1x (u ) ' l lk k ,x (u ) = f lk (u ) (u ) ( x) i, 1x (u ) ) ) ) Nh vy ta ó xỏc nh c ỏnh x f ij trờn mi p (U i U 'j ) cho ti phn giao p (U i U 'j ) p (U k U l' ) thỡ f ij = f kl Rừ rng cỏc ( ) p U i U 'j ph P T ú ta nh ngha c ỏnh x f : P P' nh sau: u P , nu u p (U i U j ) ta t f (u ) = f ji (u ) Ta s chng minh f l mt ỏnh x phõn th Trc ht ta cú u p (U i U 'j ), p ' ( f (u )) = p' ( f ij (u )) = x = p (u ) f(u) p '1 ( x) Vy cú ỏnh x f x = f p ( x ) T ú suy : p ( x ) p ' ( x ) Vỡ cỏc ỏnh x 'j , i, x1 , a~ ji ( x) l nhng ỏnh x ng phụi nờn f ij l ng phụi, t ú suy f x l ng phụi ~ ~ Rừ rng f ( x) = p' ( f (u )) = x, x M T ú suy f = id M ~ Vi (U i , i ) A, (U 'j , 'j ) A, x U i U 'j , x' = f ( x) = x , ta t Trung tõm Hc liu ~H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu b ji ( x) = j ,1x f x i , x : F F ~ Ta thy nú l ng phụi Ta s chng minh b ji = a~ ji Tht vy ~ F , b ji ( x)( ) = 'j, 1x f x i , x ( ) = 'j, 1x f ji i , x ( ) = 'j, 1x 'j x, a~ ji ( x). i, 1x i , x ( ) = ' ' (x, a~ ( x)( )) ( j,x j ' j,x ' j,x ( )) ji (a~ ji ( x)( )) = a~ ji ( x)( ) = ~ ~ T ú suy b ji = a~ ji Do ú b ji liờn tc ~ Vy f chớnh l mt ỏnh x phõn th vỡ f = id M nờn P v P tng ng 3.4.6 NH L V CU TRC PHN TH Cho khụng gian tụpụ M, {U i , i I } l mt cỏi ph ca nú G l mt nhúm tụpụ cỏc phộp bin i ca khụng gian tụpụ F, G tỏc ng cú hiu qu lờn F a ji : U i U j G l h cỏc ỏnh x liờn tc tha iu kin x U i U j U k , a kj ( x)a ji ( x) = a ki ( x)() 63 Khi ú tn ti mt phõn th P vi khụng gian ỏy M, th mu F, nhúm cu trỳc G, nhn {aij } lm h cỏc hm chuyn Phõn th P xỏc nh nht sai khỏc mt phộp tng ng Ngha l cú phõn th P tha cỏc iu kin trờn thỡ P tng ng vi P Chng minh t Vi = U i ì F , trờn Vi trang b tụpụ tớch ca Ui v F Gi V = Vi , trờn V trang b tụpụ tng ca cỏc Vi Trờn V ì V xột phộp iI toỏn hai ngụi nh sau: (x, , i ) (x' , ' , j ) nu x = x' U i U j v ' = a ji ( x). T iu kin (*) ca nh lớ suy aii ( x)aii ( x) = aii ( x) ú aii ( x) = e l phn t n v ca nhúm G, vi mi i I Do ú = aii (x) nờn (x, , i ) (x, , i ) T ú suy cú tớnh cht phn x Vỡ aij ( x).a ji ( x) = aii ( x) = e nờn aij ( x) = a ji1 ( x) , ú nu (x, , i ) (x' , ' , j ) x = x' U i U j v ' = a ji ( x) thỡ suy = aij ( x) ' suy (x' , ' , j ) (x, , i ) ú cú tớnh i xng Ngoi nu (x, , i ) (x' , ' , j ) v (x' , ' , j ) (x' ' , ' ' , k ) thỡ suy x = x' U i U j ' = a ji ( x) x = x' ' U i U k ú v suy ' ' = a ( x ) a ( x ) = a x' = x' ' U j U k ' ' = a kj ( x) ' kj ji ki (x, , i ) (x' ' , ' ' , k ) T ú suy cú tớnh cht bc cu Vy l mt quan h Trungtng tõmng Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu t P = V / , mi phn t ca nú l mt lp tng ng [(x, , i )] Trờn P ta ly tụpụ thng, ngha l nu gi : V P = V / l phộp chiu chớnh tc thỡ U P l m (U ) l m ca V Bõy gi ta nh ngha phộp chiu p:P M [(x, , i )] x Ta thy nh ngha trờn l tha ỏng Ta s chng minh p l liờn tc Ly U m thuc M, thỡ ( p )1 (U ) = ( p (U )) l cỏc phn t (x, , i ) U i ì F cho x U i U Do ú p l liờn tc Xột ỏnh x: i : U i ì F p (U i ) ( x, ) ( x, , i ) Vỡ p i (x, ) = p (x, , i ) = p[(x, , i )] = x U i nờn i (x, ) p (U i ) Ta s chng minh i l song ỏnh Tht vy Gi s (x, , i ) = (x' , ' , i ) 64 [( x, , i )] = [( x' , ' , i )] ( x, , i ) ( x' , ' , i ) x = x' U i ' = aii ( x) = e = ( x, ) = ( x ' , ' ) Do ú i l n ỏnh [(x, , i )] p (U i ), x U i , xột ( x, ) U i ì F Khi ú i (x, ) = (x, , i ) = [(x, , i )] Vy i l ton ỏnh Suy i l song ỏnh Do liờn tc nờn i liờn tc Xột W = W 'ìW ' ' , ú W ' l m Ui, W ' ' l m F Khi ú i (W ) = {[x, , i ], x W ' , W ' '} ú J = {k I cho U k W ỉ} Vỡ W 'ìW ' 'ì J l m ca V nờn i (W ) l m suy i (W ) l m Vy i l ỏnh x m T ú suy i l ng phụi t A= {(U i , i ), i I } thỡ ta thy nú l mt bn tm thng húa v nờn i (W ) = W 'ìW ' 'ì J P(P, M, p, F, G, A ) l mt phõn th Nu cúliu mt H phõn Cn th P(P, F, G, A) khỏctp thav nh lớ trờn Trung tõm Hc ThM, @p,Ti liu hc nghiờn cu thỡ theo nh lớ 3.4.5 ta thy hai phõn th P v P tng ng Chỳ ý: i vi cỏc phõn th kh vi ta cng cú nh lớ tng t 3.5 PHN TH KT HP 3.5.1 NH NGHA Hai phõn th P(P, M, p, F, G, A ) v P(P, M, p, F, G, A ) gi l kt hp vi nu M=M, G=G cũn cỏc bn tm thng húa A= {(U i , i ), i I } v A= {(U 'j , 'j ), j I '} c chn cho I=I v vi mi i, j thuc I, U i = U i' , a ji = a 'ji õy {a ji } v {a 'ji } l h cỏc hm cu trỳc ca P v P tng ng A v A gi l cỏc bn kt hp Vớ d: Hai phõn th tng ng l kt hp 3.5.2 NH L Cho phõn th P, ú tn ti phõn th chớnh P kt hp vi P Ngc li cho phõn th chớnh P(P, M, p, G, A) v F l mt khụng gian tụpụ cho G tỏc ng cú hiu qu lờn F, thỡ tn ti phõn th P(P, M, p, F, G, A) sai khỏc mt phộp tng ng kt hp vi P 65 Chng minh Phn thun suy t nh lớ 3.4.6 Ngc li cho phõn th chớnh P(P, M, p, G, A), A= {(U j , 'j ), j I } l mt khụng gian tụpụ cho G tỏc ng cú hiu qu lờn F Gi s G tỏc ng lờn F v bờn trỏi v tỏc ng lờn P' v bờn phi Xột hp P'ìF trờn ú G tỏc ng v bờn phi nh sau: ( ) (u, ) P'ì F , a G, Ra (u , ) = ua, a t P=(P ì F)/G, ri nh ngha p: P M , [(u, )] = p' (u ) õy [(u, )] l lp tng ng thuc P cú i din l (u, ) Vi mi (U , ) A, ta cú ng phụi i ' i i' : U i ì G p '1 (U i ) ( x, a ) i' ( x, a ) Ta thy rng vi mi u = i' ( x, a), Rb (u ) = ub = i' ( x, ab) Ta nh ngha ỏnh x: ( ) i : p (U i ) = p '1 (U i ) ì F / G U i ì F [(u, )] ( p ' (u), a ) Ta thy ỏnh x ny l liờn tc Xột ỏnh x i : U i ì F p (U i ) , xỏc nh nh sau: Vi mi (x, ) U i ì F , ly u p '1 ( x), i' ( x, a) = u ri t = [(u , aTh )] @ Ti liu hc v nghiờn cu Trung tõm Hc liuH i ( x, )Cn Ta thy ỏnh x ny l tha ỏng Tht vy, nu cú u ' p ' ( x) thỡ cú b G nht u ' = ub = i ( x, ab) Khi ú [(u ' , (ab) )] = [(ub, b (a ))] = [(u , a )] nh x ny liờn tc Ngoi i i ( x, ) = i ([(u , a )]) = ( p ' (u ), a (a ) ) = ( x, ) T ú suy i l ng phụi t A= {(U i , i ), i I } , th thy P(P, M, p, F, G, A) l phõn th kt hp vi phõn th chớnh P(P, M, p, G, A) Chỳ ý: i vi phõn th kh vi ta cng cú nh lớ tng t Vớ d: Cho M l mt a kh vi thỡ TM l phõn th vộc t kt hp vi phõn th chớnh L(M) cỏc mc tiờu trờn M 3.5.3 MNH Gi s P(P, M, p, F, G, A) l phõn th kh vi kt hp vi phõn th chớnh kh vi P(P', M, p', F, G, A) Vi mi u P ' , F , gi x = p ' (u ) Kớ hiu u = [u, ] Khi ú ỏnh x u : F p ( x), [u , ] l vi phụi v (ua ) = u (a ) Chng minh Vi u P ' c nh, p' (u ) = x U i M |{x}ì F : F p ( x) 66 [ u , a Do ú u = hi {x}ì F ] l vi phụi Ngoi (ua ) = [(ua, )] = [((ua)a , a )] = [(u, a )] = u (a ) Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu 67 PHN KT LUN { Vic nghiờn cu hỡnh hc vi phõn hin i m c th l nghiờn cu hỡnh hc vi phõn theo a kh vi ang phỏt trin mnh nhng nm gn õy Lun ó tip cn c vi khỏi nim a kh vi ng thi ó i sõu vo khỏi nim ny l nghiờn cu nhng cu trỳc trờn nú Lớ thuyt v a kh vi cú ng dng rt quan trng vic nghiờn cu hỡnh hc vi phõn hin i, nú ó khc phc c mt s hn ch ca hỡnh hc vi phõn c in: Quan im c in vic nghiờn cu vi phõn cỏc mt l xem cỏc mt y c nhỳng vo khụng gian mụi trng R3 Tuy nhiờn quan im ny ó ny sinh mt s khú khn nht nh Th nht, nu ta thay i khụng gian mụi trng khụng cũn l R3 na thỡ liu nhng c im m ta nghiờn cu cú cũn ỳng na khụng? Mt khú khn khỏc m ta cng gp phi l s mụ t c im ca i tng ny ph thuc vo h ta trờn R3 Cho nờn, vi s xut hin ca khỏi nim a kh vi, nhng i tng hỡnh hc quen thuc vi chỳng ta nh ng trũn, mt cu c nhỡn nhn vi mt quan im khỏc ng trũn l mt a nhn mt chiu m khụng ph thuc vo bt c mt phộp nhỳng no c, mt cu l mt a nhn hai chiu c th hin nh mt mt R3 V a phng, mt a kh vi vi s chiu n cú th ng nht vi mt m ca Rn nh bn v cu trỳc ca a l ch dỏn cỏc bn y li vi Cũn khỏi nim khụng gian phõn th (hay phõn th) ln u tiờn xut hin vo khong nhng nm 1922-1925 cỏc cụng trỡnh ca E.Cartan v lớ thuyt liờn thụng Nhng nh ngha v kt qu u tiờn v phõn th c cp n cỏc trỡnh ca H.Whitney, H.Hopf v E.Stiefel t ú lớ thuyt th ó cu tr Trungcụng tõm Hc liu H Cn Th @ TiKliu hc v vphõn nghiờn thnh mt nhng i tng nghiờn cu quan trng ca tụ pụ i s v mt cụng c khụng th thay th c vic nghiờn cu hỡnh hc vi phõn Nhng v a kh vi v khụng gian phõn th cũn l nhng c bn nghiờn cu lớ thuyt liờn thụng - l lớ thuyt i nhm nhu cu gii quyt : Trờn a kh vi, lm th no di mt cỏch song song mt vộc t tip xỳc ti mt im cho trc ca mt a n mt im khỏc trờn a dc theo mt ng cong ni hai im ú? 68 TI LIU THAM KHO { [1] Khu Quc Anh, Nguyn Doón Tun, Lớ Thuyt Liờn Thụng V Hỡnh Hc Riemann, NXB i Hc S Phm, 2004 [2] Jean Dieudonne, Phan c Chớnh dch, C S Gii Tớch Hin i, Tp I_II_III_IV_V, NXB i Hc V Chuyờn Nghip, 1979 [3] Nguyn Hu Vit Hng, i S Tuyn Tớnh, i Hc Quc Gia H Ni, 2001 [4] on Qunh, Hỡnh Hc Vi Phõn, NXB Giỏo Dc, 2000 [5] Hong Xuõn Sớnh, i S i Cng, NXB Giỏo Dc, 1972 [6] Micheal Spivak, Hong Hu ng dch, Gii Tớch Toỏn Hc Trờn a tp, NXB i Hc V Chuyờn Nghip, 1985 [7] ng Vn Thun, Lõm Quc Anh, Giỏo Trỡnh Gii Tớch Trờn a Tp, i Hc Cn Th, 2003 [8] Hong Ty, Nguyn Xuõn My, Nguyn Vn Khuờ, H Huy Khoỏi, M u Mt S Lớ Thuyt Hin i ca Tụpụ v i S, Tp I_II, NXB i Hc V Chuyờn Nghip, 1979 [9] Nguyn Xuõn Tuyn - Lờ Vn Thuyt, Giỏo Trỡnh C S i S Hin i, NXB Giỏo Dc, 2001 [10] Dng Quc Vit, i S i Cng, NXB Khoa Hc V K Thut H Ni, 2004 Trung tõm Hc liu H Cn Th @ Ti liu hc v nghiờn cu 69 [...]... ,ψ i ), i ∈ I } là atlas khả vi trên M’ Do vậy M’ là một i đa tạp khả vi Xét nhúng chính tắc i : M’ → N Do f: M → N là một nhúng và f=if nên i cũng là một nhúng khả vi Do đó M’=f(M) là đa tạp con khả vi của N b Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X → M là một đồng phôi, khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi và f là một nhúng khả vi Thật vậy, giả sử {(U... atlas khả vi trên M Đặt Vi = f −1 (U i ) , ψ i = ϕ i f Vi Khi đó (Vi, ψ i ) là bản đồ tôpô và nếu Vi ∩ Vj ≠ Ø thì ψ i ψ −j 1 = ϕ i ϕ −j 1 là ánh xạ khả vi, vì vậy { (Vi ,ψ i )}i∈I là atlas khả vi trên X 23 c Vào năm 1936, Whitney đã chứng minh rằng mỗi một đa tạp khả vi n chiều M đều có thể nhúng vào không gian R2n+1 như một đa tạp con đóng, nghĩa là có nhúng khả vi f : M → R2n+1 sao cho N = f(M) là đa. .. đồ khả vi trên M × N Do đó M × N là một đa tạp khả vi lớp k C số chiều m+n 10 1.1.3 VÍ DỤ: Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng là đa tạp khả vi thường gặp và một số ví dụ chứng tỏ có những đối tượng hình học không thể trang bị cấu trúc khả vi trên nó + Ví dụ 1: Cho M = Rn và bản đồ (Rn, id) tạo thành một atlas, xác định cấu trúc khả vi lớp C ∞ trên M Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả. .. là đa tạp nhẵn 1.1.2.NHẬN XÉT a Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định nghĩa trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều của đa tạp M, vi t dimM = m b Trên cùng một không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác nhau Thật vậy, mỗi một atlas khả vi lớp Ck xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vi lớp Ck trên M Vì vậy, hai atlas khả vi lớp Ck không. .. TM ⊕ TM Vậy TM ⊕ TM là một đa tạp khả vi đóng số chiều 3m của TM × TM 18 1.3.4.TRƯỜNG VECTƠ Để đơn giản, từ nay, ta nói đa tạp khả vi nghĩa là khả vi lớp Ck với k nào đó, và tùy trường hợp cụ thể, ta giả thiết k lớn đủ mức cần thiết 1.3.4.1 Khái niệm trường vectơ Cho M là đa tạp khả vi m chiều, TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M Trường vectơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M → TM sao cho Π...Chương 1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1.ĐỊNH NGHĨA ĐA TẠP KHẢ VI VÀ VÍ DỤ 1.1.1.KHÁI NIỆM ĐA TẠP KHẢ VI Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được gọi là đa tạp tôpô m - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m – chiều Rm, nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, có một lân cận mở U của x và ϕ : U → V là đồng phôi từ U lên một tập mở V ⊂ Rm Giả sử M là một đa tạp tôpô m – chiều, khi... M → N là một nhúng khả vi 1.4.1.2 Chú ý a Giả sử M là đa tạp khả vi và f : M → N là một nhúng khả vi Tập hợp f(M) là ảnh đồng phôi của M, nghĩa là M’=f(M) là một đa tạp tôpô Khi đó M’=f(M) là đa tạp con khả vi của N Thật vậy, giả sử U= {(U i , ϕ i )}i∈I là một atlas khả vi trên M Vì f là một nhúng nên f là một đồng phôi từ M lên f(M) nên Vi = f(Ui) là mở trong M’ Đặt ψ i = ϕ i f −1 V thì { (Vi ,ψ i ),... cũng là một đa tạp khả vi m chiều TrungC tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu lớp Ck sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C = { (Vi ,ψ i ), i ∈ I }, ở đó Vi= Ui ∩ U ≠ Ø và ψ i = ϕ i Vi Đặc biệt, nếu (U, ϕ ) là bản đồ địa phương trên M, thì U cũng là đa tạp khả vi d Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi lớp Ck số chiều m, n tương ứng Khi đó có thể trang bị cho tập hợp tích đề các... những không gian tôpô con của R3) Theo chú ý b phần 1.4.1.2, ta có thể xây dựng một atlas khả vi trên M và Π là một vi phôi 1.4.2 ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC 1.4.2.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi M được gọi là định hướng được nếu tồn tại một atlas khả vi {(U i , ϕ i )}i∈I trên M sao cho tất cả các định thức Jacobi của hàm chuyển đều dương Một atlas như vậy được gọi là một atlas định hướng Không phải mọi đa tạp khả. .. với một khoảng nào trong R2 nên M không thể là đa tạp tôpô Do đó, không thể trang bị một cấu trúc khả vi trên M để M trở thành đa tạp khả vi 1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI 1.2.1 ĐỊNH NGHĨA Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng Ánh xạ liên Trungtụctâm Học liệu gọi ĐHlà Cần @ Tài họcmọi tậpbảnvàđồnghiên cứu f : M → N được khả viThơ tại điểm p ∈ Mliệu nếu với địa phương (U, ϕ ) quanh p và (V,ψ ... không gian phân thớ, nghiên cứu số cấu trúc đa tạp khả vi trường tenxơ đa tạp khả vi, dạng vi phân đa tạp khả vi, nhóm Lie, nhóm Lie phép biến đổi đa tạp đồng thời nêu số vấn đề không gian phân thớ. .. Chương Một số cấu trúc đa tạp khả vi Trong chương này, ta nêu số cấu trúc đa tạp khả vi như: Trường tenxơ đa tạp khả vi, dạng vi phân đa tạp khả vi, nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi. .. xúc phân thớ tiếp xúc 15 1.4 Đa tạp - Đa tạp định hướng 23 Chương Một số cấu trúc đa tạp khả vi 28 2.1 Trường tenxơ đa tạp khả vi 28 2.2 Dạng vi phân đa tạp khả vi