một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Đề tài MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ Luận văn Tốt nghiệp... Lí thuyết về không gian phân thớ cũng là một trong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN

Đề tài

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI

VÀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ

Luận văn Tốt nghiệp

MỤC LỤC

cöd

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 3

0.1 Phạm trù 3

0.2 Đại số 4

0.3 Phép thế 5

0.4 Hàm khả vi trong R n 5

Chương 1 Đa tạp khả vi 9

1.1 Định nghĩa đa tạp khả vi 9

1.2 Ánh xạ khả vi 13

1.3 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 15

1.4 Đa tạp con - Đa tạp định hướng được 23

Chương 2 Một số cấu trúc trên đa tạp khả vi 28

2.1 Trường tenxơ trên đa tạp khả vi 28

2.2 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi 36

2.3 Nhóm Lie 44

2.4 Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp 51

Chương 3 Không gian phân thớ 53

3.1 Phân thớ tầm thường địa phương với nhóm cấu trúc 53

3.2 Phân thớ khả vi 56

3.3 Không gian phân thớ chính 58

3.4 Ánh xạ giữa các phân thớ 61

3.5 Phân thớ kết hợp 65

PHẦN KẾT LUẬN 68

TAÌ LIỆU THAM KHẢO 69

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

cơ bản để nghiên cứu lí thuyết liên thông bao gồm liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi, liên thông trên không gian vectơ và trên không gian phân thớ chính Lí thuyết về không gian phân thớ cũng là một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô đại số và là một công cụ không thể thiếu được trong việc nghiên cứu hình học vi phân

Đi theo xu hướng phát triển của toán học hiện đại, thêm vào đó, nhờ có sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận nên em đã mạnh dạn chọn

đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ” để hoàn thành

luận văn tốt nghiệp ngành toán

ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp cho em có dịp củng cố kiến thức về giải tích trên

đa tạp, giải tích hàm nhiều biến, đại số và làm quen với cách nghiên cứu có hướng dẫn những vấn đề mới của toán học

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp đã được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn như phân tích, tổng hợp, so sánh

Tổng hợp các kiến thức về đa tạp khả vi, các cấu trúc trên đa tạp khả vi và không gian phân thớ ở nhiều sách khác nhau, đồng thời phân tích và so sánh để có được sự trình bày tương đối rõ ràng và hợp lí ở những vấn đề có liên quan

NỘI DUNG CỦA LVTN

Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đa tạp khả vi, các cấu trúc trên đa tạp khả vi và không gian phân thớ được chia thành các phần sau đây:

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị

Đó là các định nghĩa về phạm trù, đại số, phép thế, ánh xạ đa tuyến tính

thay phiên đồng thời trình bày một số kiến thức về hàm khả vi trong R n như nhắc lại

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

định nghĩa về ánh xạ khả vi, đạo hàm cấp cao nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho phần tiếp theo

Chương 1 Đa tạp khả vi

Trong chương này, ta sẽ đưa ra định nghĩa đa tạp khả vi và những ví dụ về những đối tượng là đa tạp khả vi và không là đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, ánh xạ dìm, nhúng, ngập, không gian tiếp xúc và không gian phân thớ tiếp xúc, khái niệm

về trường véc tơ và móc Lie của hai trường véc tơ, về đa tạp con và đa tạp định hướng được

Chương 2 Một số cấu trúc trên đa tạp khả vi

Trong chương này, ta sẽ nêu một số cấu trúc trên đa tạp khả vi như: Trường tenxơ trên đa tạp khả vi, dạng vi phân trên đa tạp khả vi, nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

Chương 3 Không gian phân thớ

Trong chương này ta xét đến không gian phân thớ như phân thớ tầm thường địa phương với nhóm cấu trúc, phân thớ khả vi, không gian phân thớ chính, phân thớ kết hợp và ánh xạ giữa các phân thớ

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Chương 0

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 PHẠM TRÙ

0.1.1.ĐỊNH NGHĨA

Ta nói có một phạm trù A khi:

a) Có một lớp mà các phần tử được gọi là các vật của phạm trù, kí hiệu lớp này là Ob(A)

b) Ứng với một cặp vật A, B∈ Ob(A) có một tập hợp kí hiệu là Mor(A, B),

mà các phần tử gọi là các cấu xạ từ A đến B Tập hợp Mor(A, B) có thể rỗng Nếu

f∈Mor(A, B) ta cũng kí hiệu f: A→B, hay A B A được gọi là nguồn, B gọi là đích của f

c) Hễ f: A→B, g: B→C thì ứng với cặp f, g có một h: A→C gọi là hợp thành của g với f, kí hiệu là h=g.f hoặc h=gf

Đồng thời ba tiên đề sau phải được thỏa mãn:

C1) Hai tập hợp Mor(A, B) và Mor(A’, B’) bao giờ cũng rời nhau, trừ khi A=A’, B=B’ thì chúng trùng nhau Nói cách khác, nếu A≠A’ hoặc B≠B’ thì hai cấu

xạ f: A→B, f’: A’→B’ là khác nhau

C2) Luật hợp thành các cấu xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là ta luôn có

(hg)f=h(gf) mỗi khi sự hợp thành có nghĩa (nói cách khác khi đích của f là nguồn của g, đích của g là nguồn của h)

C3) Với mỗi vật A∈Ob(A) tồn tại một phần tử 1 A∈Mor(A, A), gọi là những cấu xạ đồng nhất sao cho f.1 A = f, 1 A g=g mỗi khi sự hợp thành có nghĩa (tức là khi

A là nguồn của f, đích của g) Cấu xạ đồng nhất đó là duy nhất vì rằng nếu e cũng là cấu xạ đồng nhất thì e=e.1 A =1 A

Với mỗi vật B∈Ob(S), 1 B = IdB

+ Ví dụ 2 (về cấu trúc tôpô): Phạm trù Top các không gian tôpô

Lớp các vật: Ob(Top) = {Tất cả các không gian tôpô}

Lớp các cấu xạ: Mor(Top) = {Tất cả các ánh xạ liên tục giữa các không

gian tôpô}

Phép hợp thành là tích các ánh xạ liên tục

Với mỗi vật B∈Ob(Top), 1 B = Id B (ánh xạ đồng nhất liên tục)

+ Ví dụ 3 (về cấu trúc đại số): Phạm trù L F các không gian vectơ trên một

trường F đã cho, gồm:

Lớp các vật: Ob(L F ) = {Tất cả các không gian vectơ trên F}

Lớp các cấu xạ: Mor(L F ) = {Tất cả các F-ánh xạ liên tục}

0.2 ĐẠI SỐ

0.2.1 ĐỊNH NGHĨA

Một tập hợp A cùng với một luật trong, ký hiệu +, một luật ngoài

x x

A A

K× → , (λ, ) α λ và một luật trong (được gọi là luật thứ ba) ở đây được kí hiệu

là *, sao cho:

1) (A, +, ) là một không gian véc tơ trên trường K

2) * phân phối đối với +

3) ∀λ∈K,∀(x,y)∈A2,λ(x∗y)=(λ x)∗y=x∗(λ y)

gọi là một K-đại số

Một K-đại số A gọi là:

+ Kết hợp khi và chỉ khi * có tính chất kết hợp

+ Giao hoán khi và chỉ khi * có tính chất giao hoán

+ Có đơn vị (hoặc: đơn vị) khi và chỉ khi A có phần tử trung hòa đối với * Một bộ phận B của một đại số A là một đại số con của A khi và chỉ khi

∈

∀

≠

B y x B y x

B x B K x

B y x B y x B

,),(

,)

,(

,),(Ø

2

2

λ λ

NHẬN XÉT

Giả sử A là một K-đại số, B⊂ A,B≠Ø, nếu B là một đại số con của A thì B

là một K-đại số với các luật

Luật +: B×B→B , luật ngoài K×B→B , luật *: B×B→B

(x,y)α x+y (λ,x)α λ x (x,y)α x∗y

cảm sinh bởi các luật của A

0.2.2 VÍ DỤ

+ Ví dụ 1: Một thể giao hoán K là một K- đại số kết hợp, giao hoán, có đơn

vị, nếu nó lấy luật thứ ba là phép nhân

Tổng quát hơn nếu L là thể mẹ của K, thì L là một K-đại số kết hợp, có đơn

vị, nếu nó lấy luật thứ ba là phép nhân trong L

Chẳng hạn C là một R-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị đối với các luật

thông thường

+ Ví dụ 2: Giả sử X là một tập hợp khác rỗng, X * là tập hợp các ánh xạ từ X vào K X * là một K-không gian véc tơ với các luật hợp thành thông thường, bằng cách trang bị cho X * một luật thứ ba, được xác định bởi: ∀x∈X, (fg)(x) = f(x).g(x),

thì X * là một K-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị, phần tử trung hòa đối với luật

thứ ba là ánh xạ hằng bằng một

0.2.3 ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ

Định nghĩa: Đồng cấu đại số từ K- đại số A vào K-đại số A' là một ánh xạ

h: A→ A', vừa là đồng cấu K-môđun vừa là đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn

=+

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

0.3.PHÉP THẾ

0.3.1 ĐỊNH NGHĨA

Một song ánh từ tập {1, 2, …, n} vào chính nó được gọi là một phép thế bậc n

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu bởi S n S n cùng với phép hợp

thành các ánh xạ lập thành một nhóm, được gọi là nhóm đối xứng bậc n Nhóm này

có n! phần tử Mỗi phần tử của nhóm S n gọi là một phép thế (hay hoán vị) bậc n Các

phép thế σ∈S n thường được trình bày ở dạng bảng sau đây

) σ σ(

n

2(1

21

j

n j

i

21

21

, với mọi σ∈S n được gọi là hàm dấu

Kiểm tra được rằng nếu τ là một phép đổi chỗ thì sign(τ) = − 1

0.3.2 TÍNH CHẤT

a) Đối với mọi phép thế γ , σ∈S n, ta có sign(γ οσ) =sign γ.sign σ

b) Mỗi phép thế bậc n≥2 là tích của một số hữu hạn các phép đổi chỗ Tức

là đối với mọi phép thế σ∈S n, có thể biểu diễn dưới dạng

r τ τ

f(a+h)-f(a)=L(a)+o( h )

Ánh xạ L ấy, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại a Kí hiệu f’(a) hay f’ a hay Df(a)

Ánh xạ f được gọi là khả vi trên tập hợp A nếu nó khả vi tại mọi điểm a∈A

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

ĐỊNH LÍ

Cho A, B là hai tập hợp mở trong hai không gian định chuẩn X, Y Nếu f:A→B khả vi tại a, g: B→Z khả vi tại f(a) thì g o f: A→Z khả vi tại a và (g o f)’(a)=g’(f(a)).f’(a)

Ta sẽ quan tâm chủ yếu đến trường hợp X=R n và Y=R m , tức là x=(x 1 ,…,x n ),

( ( ), , ( )))

(x f1 x f x

f là hàm n biến thực Khi ấy, nếu f: A→R m khả vi

tại a thì ắt phải tồn tại các đạo hàm riêng

)

(a x

f j i

j

i

f (i=1,m ; j=1,n ).(1)

gọi là ma trân Jacobi của f tại a

Khi m = n định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobian của ánh xạ f tại a và thường được kí hiệu là:

det

a j i

f f D

, ,

, ,

1

1

hay det(J f (a))

Ngược lại nếu tất cả các đạo hàm riêng j

i

x

f

∂

∂ đều tồn tại trong tập mở nào đó

chứa điểm a và liên tục tại a thì khi đó f khả vi tại a (Điều ngược lại chưa chắc

đúng)

Hạng của ánh xạ f: A→R m tại a là hạng của ma trận (1)

Từ định lí trên ta cũng có kết quả J gof(a) =J g(f(a)).J f(a)

0.4.2 ĐẠO HÀM CẤP CAO:

Cho L(X.Y) là không gian định chuẩn lập bởi các toán tử tuyến tính liên tục

từ X đến Y (chuẩn trong không gian này được xác định bởi λ =sup{λ x : x =1}

Cho A là một tập hợp mở trong X Nếu một ánh xạ f: A→Y có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x∈A thì ta được một ánh xạ

f’: A→ L (X,Y), xác định như sau: xα f’(x) Đạo hàm của f’ tại a, nếu có được gọi là đạo hàm cấp hai của f tại a và được kí hiệu là f”(a) hay D 2

f(a) Như vậy, D 2 f(a) ∈ L (X, L (X, Y))

Một cách tổng quát, đạo hàm cấp r của f tại a là D r f(a)=D(D r-1 f(a)) Nếu đạo hàm ấy tồn tại và liên tục tại một điểm thì ánh xạ f được gọi là khả vi lớp C r

hay

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

mở trong X, Y) là C r -ánh xạ thì gοf : A→ Z cũng là C r-ánh xạ Thành thử các tập hợp mở của những không gian định chuẩn làm thành một phạm trù, mà cấu xạ là các

C r -ánh xạ Một đẳng cấu trong phạm trù này tức là một ánh xạ 1-1 lên f: A→B sao cho cả f và f− 1 đều là C r -ánh xạ, được gọi là một C r-đẳng cấu Lấy đạo hàm của hàm hợp f οf − 1 =id, ta thấy rằng nếu f :A→ B là một C r -đẳng cấu thì f’(a)≠0 tại một a ∈ A

Trong trường hợp n m

R Y R

X = , = , ánh xạ f :A→R m(A⊆ R n) thuộc lớp C r khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm riêng đến cấp r:

( ) ( )n n

i

x x

f α α

f (i=1,m ) đều thuộc lớp C r

Ta nói ánh xạ f thuộc lớp C∞ (hay C∞-ánh xạ) nếu nó thuộc lớp C r với mọi

số nguyên r≥ 1 C o-ánh xạ là ánh xạ liên tục

VÍ DỤ + Ví dụ 1: Ánh xạ sau đây thuộc lớp C∞ trên R 3:

( 2 2 3 2)

2 3

,

),,(

:

x xyz z y x z

y x

R R f

−+

→

+ Ví dụ 2: Ánh xạ

y) -x y, x ( (x,y)

R R f

++

+

→

23

R R f

α

),(: 2 →

liên tục trên R 2 nhưng không thuộc lớp C 1 trên R 2 vì f không có đạo hàm riêng cấp 1

tại (0, 0) đối với biến thứ nhất

b) Ánh xạ f: U→V thuộc lớp C 1 có thể là một đồng phôi nhưng không phải

là vi phôi của lớp C 1 Nói cách khác, ánh xạ ngược f−1:V →U không nhất thiết

phải thuộc lớp C 1

Chẳng hạn, hàm biến thực

y=f(x)=x 3 xác định một đồng phôi từ R lên R Ánh xạ đó thuộc lớp C 1, nhưng ánh xạ ngược

) (

3 g y y

x= = không khả vi tại 0 Thật vậy, f' (x) = 3x2 và f' ( 0 ) = 0 Nếu g’(0) tồn

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

tại thì lấy đạo hàm của hàm hợp gοf =id tại 0 ta được g'(0).f'(0)=1 nhưng điều

đó không thể xảy ra vì f'(0)=0

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Chương 1

ĐA TẠP KHẢ VI

1.1.ĐỊNH NGHĨA ĐA TẠP KHẢ VI VÀ VÍ DỤ

1.1.1.KHÁI NIỆM ĐA TẠP KHẢ VI

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được gọi là

đa tạp tôpô m - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m – chiều R m,

nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, có một lân cận mở U của x và ϕ : U →V là đồng phôi

từ U lên một tập mở V ⊂ R m

Giả sử M là một đa tạp tôpô m – chiều, khi đó cặp (U, ϕ) xác định ở trên

được gọi là một bản đồ địa phương trên M, hay gọi tắt là bản đồ Họ C={(U i,ϕ i):i∈I} nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi lớp

C k (k≥ 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là

một cấu trúc khả vi lớp C k trên M

Đa tạp tôpô m – chiều cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó được gọi

là một đa tạp khả vi m – chiều lớp C k Nếu cho M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu

trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên M Khi k = ∞, nghĩa

là khi đòi hỏi ánh xạ chuyển ϕ jo −1

i

ϕ trong điều kiện b ở trên thuộc lớp C∞, thì cấu

trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn

1.1.2.NHẬN XÉT

a Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định nghĩa

trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều của đa tạp

xác định bởi U 1 = (R, id) và U 2 = (R, ϕ), ở đó ϕ : R → R xác định bởi ϕ (x) = x 3 Vì

hai atlas lớp C∞ này không tương thích, nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp

C∞khác nhau trên R

c Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {(U i ,ϕ i),i∈I} là một atlas khả vi lớp

C k , U là một tập con khác rỗng của M Khi đó U cũng là một đa tạp khả vi m chiều lớp C k sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C = { (V i,ψ i),i∈I}, ở đó

V i =U i∩U≠Ø và

i

V i

i ϕ

ψ = Đặc biệt, nếu (U, ϕ ) là bản đồ địa phương trên M, thì U

cũng là đa tạp khả vi

d Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi lớp C k số chiều m, n tương ứng Khi đó

có thể trang bị cho tập hợp tích đề các M×N một cấu trúc khả vi để M×N trở thành

đa tạp khả vi lớp C k

số chiều m+n Thật vậy, giả sử { (U i,ϕ i),i∈I} là tập bản đồ khả

vi trên M, { (V j,ψ j), j∈J} là tập bản đồ khả vi trên N Khi đó

( ( ), ( ))

:,

y x (x,y)

h

R U U h

j i

i j

n m j

i j i ij

ψ ϕ

ψ ϕ

y x h y x

h h

j j j i

i i j

j j i

i i

j i

j j

i j j i

ψ ψ ψ ϕ

ϕ ϕ ψ

ψ ψ ϕ ϕ ϕ

ψ ϕ ψ

ϕ

1 1

1 1

1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

2 2

2 1

1 1 2 2

,

,,

οο

ο

1 2 1 2 1 2

1.1.3 VÍ DỤ: Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng là đa tạp khả vi

thường gặp và một số ví dụ chứng tỏ có những đối tượng hình học không thể trang

bị cấu trúc khả vi trên nó

+ Ví dụ 1: Cho M = R n và bản đồ (R n , id) tạo thành một atlas, xác định cấu

trúc khả vi lớp C∞ trên M Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả vi chính tắc

trên R n Một cách tổng quát hơn, bất kỳ tập mở n

R

U ⊂ đều là đa tạp n chiều cũng

với bản đồ địa phương duy nhất (U , id)

1 1

1

, )

, ,

i

i n

n

p p

R p

S ρ bởi hai bản đồ địa phương trên n

S ρ như sau: Gọi

N= (0, 0, …, 0, ρ ) là cực bắc của mặt cầu và S = (0, 0, …, 0, - ρ) là cực nam của

ρ , i=1,n y: V→ R n

ρ , i=1,n

Các ánh xạ x, y là các đồng phôi, và “hàm chuyển” x.y -1 = y.x -1 : r α 22

r

r ρ

là

vi phôi của R n\{ }0 , vì x(U∩V ) = y(U∩V ) = R n\{ }0 Do đó, {(U,x),(V,y)} lập thành

một atlas lớp C∞, xác định một cấu trúc nhẵn trên n

S ρ

Kí hiệu S1 ={ ( )x,y :x2 + y2 =1} là đường tròn đơn vị thì 1

S là một đa tạp nhẵn một chiều

S2 ={ (x,y,z):x2 + y2 +z2 =1} là mặt cầu đơn vị thì S 2 là một đa tạp

nhẵn hai chiều, được thể hiện như một mặt trong R 3 Về mặt lịch sử, đây là một ví

dụ quan trọng thúc đẩy sự phát triển lý thuyết tổng quát về đa tạp

Hình xuyến n chiều 1 4 2 4 3

n

n

S S

T = 1× × 1 là một đa tạp nhẵn n chiều (do S1 là một đa tạp nhẵn một chiều), với cấu trúc khả vi là tích của các cấu trúc khả vi trên

Xét phép chiếu Π:R n+1\{ }0 →P n (R), đặt Π(x)=[ ]x

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Đặt V i ={ =( 0, , )∈ n+1 \ { }0; i ≠0}

x R

x x

x x

Φi (y o , y 1 , …, y n-1 ) = [(y o , y 1 , …, y i-1 , 1, y i , …,y n-1 )]

Giả sử (U i, Φi ) và (U j, Φj ) là hai bản đồ địa phương trên P n (R) và i<j thì

ΦjΦ −i1 : Φi (U i∩U j)→ Φj (U i∩U j) cho bởi công thức

y

y y

y y y

y y

, ,

ˆ, ,

1,, ,

Do đó ΦjΦ=i1 thuộc lớp C∞ Vì vậy họ {(U i,Φi)} là tập bản đồ địa phương,

xác định cấu trúc khả vi lớp C∞ trên P n (R)

+ Ví dụ 4: Đa tạp Grassmann thực

Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R và G(k, V) là tập

hợp các không gian k chiều của V Xét không gian đối ngẫu V * của V, { ∗ n∗}

v = ∑ ∗

=

l

i E k

l

p

l v h

i i

+ Ví dụ 5: Trong không gian afin hai chiều R 2 lấy hai đường thẳng cắt nhau

có phương trình y = ±x trong một hệ toạ độ afin cho trước Khi đó, ta thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con R 2 không là đa tạp tôpô, vì vậy

không thể trang bị một cấu trúc khả vi trên M, nghĩa là M không thể là một đa tạp

khả vi (xem hình 2)

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

+ Ví dụ 6: Trong mặt phẳng R 2 , Xét M={(x,y)∈R 2 : y≥0, x(x 2 -y 3 )=0} Tập

M gồm tia Oy và đường cong y =x 3 Coi M là không gian tôpô con của R 2 Xét

điểm p(0,0)∈M, lân cận bất kỳ của p trong M không thể đồng phôi với một khoảng nào trong R 2 nên M không thể là đa tạp tôpô Do đó, không thể trang bị một cấu trúc khả vi trên M để M trở thành đa tạp khả vi

1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI

1.2.1 ĐỊNH NGHĨA

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng Ánh xạ liên tục f : M→N được gọi là khả vi tại điểm p∈M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ ) quanh p và (V, ψ ) quanh f(p) = q sao cho f(U) ⊂V, thì ánh xạ ψ ofoϕ− 1 là ánh

xạ khả vi tại điểm ϕ (p) ∈R m (xem hình 3)

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p∈M

U p

V q

( )p ϕ

ψ ϕ

f đều khả vi Khi đó, hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi Các

vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M Nếu (U, ϕ ) là một bản đồ địa phương của M thì ϕ là vi phôi từ U lên mở

ϕ (U)=V⊂R m , ở đó m= dimM

c) Giả sử f : M→N là ánh xạ khả vi, p∈M và (V, ψ ) là bản đồ địa phương

quanh f(p), các toạ độ của nó được cho bởi n hàm y 1 ,…, y n trên V ; (U, ϕ) là bản đồ

quanh p∈M, các toạ độ cho bởi m hàm x 1 , ., x m trên M, f(U)⊂V Khi đó ánh xạ

ψ ofoϕ− 1được cho bởi biểu thức

(x x ) j n h

x

h kiểu (n × m) tại điểm ϕ (p) = (x 1 (p), , x m (p)) không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương, nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p

Vì f: M→N theo giả thiết là một dìm nên để chứng minh f là một nhúng ta

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

f:M→ f(M) là song ánh, mặt khác f là dìm nên f khả vi, do đó f liên tục Vậy ta chỉ cần chứng minh f: M→ f(M) có ánh xạ ngược f− 1: f(M)→M liên tục hay f biến tập đóng bất kỳ X trong M thành tập đóng Y=f(X) trong f(M)

Lấy dãy {y 1 , , y n , } bất kỳ của f(X) hội tụ đến y 0

Khi đó B ={y 0 , y 1 , , y n , } là tập compắc do mọi dãy con của B đều hội tụ đến y 0∈B Do f là ánh xạ riêng nên A= f− 1(B) compăc trong N Đặt x i = f− 1(y i ), i=1,2, Ta có x i∈A⊂X Do A compắc và X đóng nên dãy { }x n j hội tụ đến x0∈X

Vì f liên tục nên y n f( )x n f x o y o

j

j = → ( )= Do vậy y 0∈Y, nghĩa là Y đóng Vậy f là

một nhúng

1.3.KHÔNG GIAN TIẾP XÚC VÀ PHÂN THỚ TIẾP XÚC

1.3.1 Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k≥1 Một ánh xạ c : J→M khả

vi lớp C r (r≤k) được gọi là một đường cong khả vi lớp C r trên M, ở đó J là khoảng

mở của R chứa điểm 0 Ánh xạ f : M→R lớp C r được gọi là một hàm khả vi lớp C r trên M Nếu U mở nằm trong M, f U : U →R thuộc lớp C r thì f được gọi là hàm khả

vi trong lân cận U ⊂M Kí hiệu F r (M) là tập hợp các hàm khả vi (lớp C r ) trên M,

Fr

(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp C r trong lân cận của p và C l p (M) là tập các

đường cong c khả vi lớp C 1

trên M sao cho c(0) = p

Ta xét một quan hệ " ~ " trên C l p (M) như sau : c 1 : J→M, c 2 : J→M,

c 1 (0)=c 2 (0)=p Ta nói c 1 ~ c 2 ⇔ có bản đồ (U, x) quanh p sao cho

(x i o c 2) t=0 với i=1,m Ta thấy quan hệ " ~ " là một quan hệ tương

đương trên tập các đường cong khả vi lớp C 1 qua p ∈M Mỗi lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M Vectơ tiếp xúc có đại diện là đường cong c được kí hiệu [ ]c Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M

được kí hiệu là T p M hay M p

Ta mô tả cấu trúc của T p M Tập Fk (p) với các phép toán cộng, nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một R – đại số Ta gọi một đạo

hàm tại p là một hàm v : F k (p)→R thoả mãn hai điều kiện :

a v là ánh xạ tuyến tính giữa các R – không gian vectơ

b v(f.g) = v(f).g(p) + f(p).v(g) ∀f, g ∈ F k (p)

Ta thấy tập các đạo hàm tại p với các phép toán cộng và nhân với một số

thực làm thành một R – không gian vectơ

Giả sử [ ]c ∈T p M, ta có thể coi [ ]c là một đạo hàm tại p bằng cách sau : với

gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại p Xét bản đồ địa phương

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

(U, x) quanh p Giả sử x=(x 1 , , x m ) Với mỗi j, xét đường cong : c j (t)=x -1 (x(p)+te j) ;

{0,e , ,1 e m} là mục tiêu trong R m , thì c j là đường cong trên M qua p, nó xác định

vectơ tiếp xúc, kí hiệu

p j

p

j f D f x x

j

x

f f

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c(0) = p, và [ ]c ∈T p M Trong

bản đồ địa phương (U, x) quanh p, ta có x o c(t) = (x j (t)), j=1,m và

f x

dt

t dx x f D m

j

m

j j t

j o

dt

t dx

Như vậy, mỗi vectơ tại p là tổ hợp tuyến tính của

p m

,1 ,

ξ Do đó, tập các vectơ tiếp xúc tại

p là không gian con của không gian vectơ các đạo hàm tại p, sinh bởi m vectơ

m j p j

x

, 1

x

, 1

x

, 1

T p của đa tạp M tại p

Ngoài ra, ta còn có mệnh đề sau

)()()()()(fg f p δ g δ f g p

Suy ra

)()(3)()()(2

2

)()()()()()(

)()(2)()()()()(

2 2

2

2

2 2

2 3

2

f p f f p f f (p) f

(p) δ(f)f δ(f)f(p) f(p)

p f f p f f f

f f

f p f f p f f p f f

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

=+

1.3.2 NHẬN XÉT

a) Người ta chứng minh được rằng nếu M là đa tạp nhẵn (thuộc lớp C∞), thì

không gian các đạo hàm tại p trùng với không gian các vectơ tiếp xúc tại p Nếu M

là đa tạp lớp C k , 1≤k<+∞, thì không gian vectơ các đạo hàm tại p có số chiều vô

x y

p M T

∈

Đối

với mỗi bản đồ (U, x) trên M, đặt TU =Υ

U p

p M T

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Ta gọi (TU, x ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U, x) Nếu (V, y) là một bản

đồ địa phương khác trên M, với U∩V ≠Ø thì với (a, b)∈y(U∩V) × R m, ta có

m j

a y

y

x b

y

x a

xy

1 1

., ,

.),

(

1 1

(4)

Như vậy, các hàm x.y-1 là khả vi lớp C k-1 Vì thế, có thể trang bị cho TM

một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU, x ) trên TM có x là đồng phôi

thớ tại điểm p Phân thớ tiếp xúc được gọi là tầm thường nếu có vi phôi Φ:

TM→M×R m sao cho với mỗi p∈M, Φ hạn chế trên Π-1 (p) là một vi phôi từ T p M lên p×R m

MỆNH ĐỀ Cho M là đa tạp khả vi, TM là phân thớ tiếp xúc của M Khi

đó tập hợp TM ⊕TM ={ ( )v,w :v,w∈TM,Π(v)=Π(w)} là một đa tạp khả vi đóng số chiều 3m của TM ×TM và được gọi tổng Whitney của đa tạp M

i

i v,w = ϕ Π v ,ξ1, ,ξ ,η1, ,η ∈R3

p m

j

j j p

m

i

i i

x

w x

Để chứng minh TM ⊕TM đóng trong TM ×TM , xét dãy { (u , n v n) } tuỳ ý thuộc TM ⊕TM và (u n,v n)n →→∞ (u,v) Do Π(u n)=Π(v n) và ánh xạ chiếu Π liên tục nên :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) lim

lim

TM TM v u v u

v v

u u

n n

n n

⊕

∈

⇒Π

=Π

⇒

Π

=Π

Π

=Π

∞

→

∞

→

Vậy TM ⊕TM là một đa tạp khả vi đóng số chiều 3m của TM×TM

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

1.3.4.TRƯỜNG VECTƠ

Để đơn giản, từ nay, ta nói đa tạp khả vi nghĩa là khả vi lớp C k

với k nào đó,

và tùy trường hợp cụ thể, ta giả thiết k lớn đủ mức cần thiết

1.3.4.1 Khái niệm trường vectơ

Cho M là đa tạp khả vi m chiều, TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M Trường vectơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M→TM sao cho Π.X(p)=p với mọi p∈M Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M Tập các trường vectơ khả

vi trên M được kí hiệu là V(M)

Ta xét biểu diễn địa phương của trường vectơ Giả sử (U, x) là một bản đồ địa phương trên M,

m i i

là các trường vectơ trên U, thì X U là hạn chế của

trường X trên U được biểu diễn ở dạng X U =∑

1.3.4.2 Tích lie của hai trường véc tơ

Với mỗi trường vectơ khả vi X∈V(M) và mỗi hàm khả vi f∈Fr (M), ta xác định hàm Xf ∈ Fr-1 (M) như sau : Với p∈M, (Xf)(p)=X p f= (f o c(t))t=0

dt

d

, ở đó X p=[ ]c

Khi đó, với X, Y là hai trường vectơ khả vi trên M, tích Lie (hay móc Lie) của X và Y

kí hiệu bởi [X, Y] được xác định như sau :

ξ , Y=∑ ∂∂

j

j j

x

η

j k

k

j k k

j k

x

f x

x

x , = 0 (trên U)

1.3.4.3 Định lí

Ánh xạ từ V(M)×V(M) đến V(M) xác định bởi (X, Y)α [X, Y] có các tính chất sau :

a [X, Y] = - [Y, X]

b [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0, với mọi X, Y, Z∈V(M)

Tính chất 2 ở trên còn gọi là đồng nhất thức Jacobi

1.3.4.3 Định nghĩa

Cho X là trường vectơ trên đa tạp M Dòng địa phương của trường X là ánh

xạ (xác định duy nhất) c:V×I →M , V là lân cận trên M, I là khoảng mở chứa 0 sao cho c nhẵn đối với biến thứ hai và với ∀x∈V,c x(0)= x,c x'(t)= X(c x( )t ), ở đó

),()

(t c x t

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

1.3.4.4 Ví dụ

+ Ví dụ 1: Hãy tìm dòng địa phương của trường vectơ xác định trên R:

dx

d x x

Với x cố định, đặt

)(

1)(

t c t y

()(

1)(

t y

t y t

c t y t

C t t y

t y

t y

t y

t y t

y

t c dx

d t c

t c t c X

x

x x

x x

)(

1)(

1)(

)('1

)

()

(

)()(

' '

2 2

' 2

'

Vì c x(0)= x suy ra

x C x C

c x(0)= 1 = ⇒ =1

Do đó

tx x x t

t

c x

−

=+

−

=

11

1)(

Vậy dòng địa phương của trường vectơ xác định trên R:

dx

d x x

X( )= 2 là

tx

x t

c x

−

=

1)

1Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

( ) ( )

x c

x x

x

)(

)0(

'

Do vậy

( )

( ) ( ) ( ) ( 1, )'

)()

(

1 '

n i e c t c

t c t c

x t c t

c

t i i

x

i x i

x

n

i

i i x x

y

x x y Z x

z z x Y z

y y z X

R → cho bởi f(a, b, c) = aX + bY + cZ với

3

R (a, b, c)∈ là đơn cấu

cZ, (a,b,c bY

aX

P= + + ∈ là không gian véc tơ con của không

gian các trường véc tơ trên R 3

f ρ∧ρ = ρ ρ ∀ρ ρ∈ , chỉ cần thử với cơ sở )

1,0,0(),0,1,0(),0,0,1

x z

y y z Y

y z

x z

y x

z y

z z

x y

Theo (5) phần 1.3.4.2 ta có

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

,

,

;,

y x

z y z

x

y x

z z

y y

x z

x y z

x

y y x Y

∂

∂+

f ρ∧ρ = ρ ϖ ∀ϖρ∈

1.3.5.ÁNH XẠ TIẾP XÚC

1.3.5.1 Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và

f :M→N là ánh xạ khả vi Với mỗi p∈M, xét T p f : T p M→T f(p) N xác định như sau : với v∈ T p M , v = [c], c : J→ M mà c(0) = p, đặt T p f(v) = [f o c]∈T f(p) N Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho véc tơ v

Ta xét biểu diễn địa phương của T p f Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương quanh p, (V, y) là bản đồ địa phương quanh f(p), sao cho f(U)⊂V Khi đó, nếu v=∑

x x v

1

) ( thì (T p f)(v) = ∑

1

) (

)

Do đó T p f là một ánh xạ tuyến tính Như vậy ta xác định được ánh xạ

Tf :TM→ TN, với v∈ T p M ⇒ (Tf)(v) = (T p f)(v) Ta có biểu đồ sau giao hoán :

Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương trên M, (V, y) là bản đồ địa phương trên

N sao cho f(U)⊂V, xét (TU , x) và (TV, y ) là các bản đồ phân thớ kết hợp với (U, x), (V, y) tương ứng Khi đó, đối với bản đồ trên, f * có biểu diễn địa phương dạng :

m

j y f x b D y f x b D

a x f y b a x f

với (a,b) ∈x(U)×R m

Do đó f * khả vi lớp C r-1 1.3.5.3 Mệnh đề

Hạng của ánh xạ khả vi f : M→ N tại điểm p∈M bằng hạng của f * p :

T p M→ T f(p) N

Chứng minh

Theo (6) phần 1.3.5.1, f * p được xác định bởi

) ( 1

) ( 1 1

) (

.)(

)

(

p f j n

j

p x j

i

n

j

p f j j

i i

y x

f y D

y f y x x

p f

y là hai sở của T p M và của T f(p) N tương ứng, trong hai bản đồ (U, x) quanh p và (V, y) quanh f(p) Như vậy, hạng của f * p chính bằng hạng của ma trận (D i (y j o f o x -1) p ) kiểu n× m Theo nhận xét c) phần 1.2.2, đó chính là hạng của ánh xạ f tại điểm p

1.4 ĐA TẠP CON ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

a Giả sử M là đa tạp khả vi và f : M→N là một nhúng khả vi Tập hợp f(M)

là ảnh đồng phôi của M, nghĩa là M’=f(M) là một đa tạp tôpô Khi đó M’=f(M) là đa tạp con khả vi của N

Thật vậy, giả sử U={(U i,ϕ i)}i∈I là một atlas khả vi trên M

Vì f là một nhúng nên f là một đồng phôi từ M lên f(M) nên V i = f(U i) là mở

trong M’

Đặt ψ i =ϕ i f −1 V i thì { (V i,ψ i),i∈I} là atlas khả vi trên M’ Do vậy M’ là một

đa tạp khả vi

Xét nhúng chính tắc i : M’→N

Do f: M→N là một nhúng và f=if nên i cũng là một nhúng khả vi

Do đó M’=f(M) là đa tạp con khả vi của N

b Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X → M là một đồng phôi, khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi và f là

một nhúng khả vi Thật vậy, giả sử {(U i,ϕ i)}i∈I là atlas khả vi trên M Đặt

)(

ϕ là ánh xạ khả vi, vì vậy {(V i,ψ i)}i∈I là atlas khả vi trên X

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

c Vào năm 1936, Whitney đã chứng minh rằng mỗi một đa tạp khả vi n

chiều M đều có thể nhúng vào không gian R 2n+1 như một đa tạp con đóng, nghĩa là

có nhúng khả vi f : M→ R 2n+1 sao cho N = f(M) là đa tạp con khả vi, đóng của R 2n+1

Như vậy, lớp các đa tạp khả vi "trừu tượng" hóa ra không rộng hơn lớp các đa tạp con của không gian Ơclit

1.4.1.3 Ví dụ

Trong ví dụ này, ta chứng tỏ có những hình học trông "gồ ghề", nhưng vẫn

là đa tạp khả vi, nghĩa là vẫn có cấu trúc khả vi trên đó

Xét M là hình tứ diện trong không gian Ơclit R 3 Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và G là trọng tâm của tứ diện, Π: M→ S là phép chiếu tâm G, Π là

đồng phôi (M, S là những không gian tôpô con của R 3) Theo chú ý b phần 1.4.1.2, ta

có thể xây dựng một atlas khả vi trên M và Π là một vi phôi

1.4.2 ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

1.4.2.1 Định nghĩa

Đa tạp khả vi M được gọi là định hướng được nếu tồn tại một atlas khả vi

{(U i,ϕ i)}i∈I trên M sao cho tất cả các định thức Jacobi của hàm chuyển đều dương

Một atlas như vậy được gọi là một atlas định hướng

Không phải mọi đa tạp khả vi đều định hướng được Sau đây ta xét một ví

dụ về một đa tạp như thế

1.4.2.2 Lá Moebius

Xét tập [ ]0,1×R⊂R 2, xét quan hệ " ~ " trên [ ]0,1×R bằng cách đồng nhất cặp điểm (0, t) với (1, -t) Khi đó " ~ " gây nên một quan hệ tương đương trên

[ ]0,1×R và đặt ([ ]0,1 ×R )/~ với tôpô thương và Π : [ ]0,1 ×R →M là phép chiếu chính

tắc

Ta chứng tỏ có thể trang bị trên M một cấu trúc đa tạp nhẵn và đa tạp M

không định hướng được

Thật vậy, xét phủ mở của [ ]0,1×R gồm hai tập

12

1,

Xét ϕ 1 : U 1→R 2 (x, y)α (x, y)

2

1 , ),(

x y x

x y x

Ta có ϕ 1 , ϕ 2 là những ánh xạ liên tục và ϕ1(0, t) = ϕ2(1, -t) do đó chúng xác định các ánh xạ

Ta thấy Φ1, Φ2 là những ánh xạ liên tục, đơn ánh và mở, vì vậy, chúng là

những đồng phôi từ U 1 /~ và U 2 /~ vào các tập mở tương ứng trong R 2 Vì thế,

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

{(U i / ~, Φi)}i=1 , 2 là một tập bản đồ tôpô trên M Hơn nữa, phép đổi tọa độ

1 2 1

−

ΦΦ

12

1,

1

x y), , (x (x,y) , x

là ánh xạ nhẵn

Tương tự 1

1 2

−

ΦΦ

f cũng nhẵn

Do đó {(U i/ ~, Φi)}i=1 , 2 tạo thành một atlas nhẵn trên M

Bây giờ ta chứng minh M là đa tạp nhẵn không định hướng được

1,

2

1,0

−

Φ

Φ ο xác định bởi

),1(),(

2

1,02

3,1:

y x y x

R R

∈

),( tương thích với atlas {(V i, Φi)}i=1 , 2 sao cho các phép chuyển tọa độ 1

. −

ij g g

f đều có định thức dương

j V x

j V x

Ta có V1 =V1+ ∪ −

1

V , V1+ ∩ −

1

V =Ø Nhưng V1 liên thông, V1+, V1− là các tập

mở, suy ra V1 phải trùng với một trong hai tập hợp đó Chẳng hạn V1 = V1+

Do V2 = Π(U 2) là liên thông, hoàn toàn tương tự như trên, ta cũng có

Vậy M không định hướng được

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

x x v v

1

)()

m j j

trong lân cận điểm p

Giả sử (U i,ϕ i),(U j,ϕ j) là hai bản đồ địa phương, U i ∩U j ≠Ø thì hàm chuyển toạ độ φ j φ i−1(α,β)=(ϕ j.ϕ i−1(α),D α(ϕ j.ϕ i−1(β))) có ma trận Jacobi tại (α, β)

0 ).(

1 1

i j

i j D

D

ϕ ϕ

ϕ ϕ

α α

det

1 1

1 1

i,j,k, , ψ

ψ Jacob

Jacob

.ψ

ψ Jacob

Jacob f

l j k

i

l j

k i kl

ϕ ϕ

Vậy M×N là đa tạp định hướng được

1.4.3.3 Chú ý

a Có thể xảy ra trường hợp đa tạp M là đa tạp con khả vi của N, nhưng N định hướng được, còn M không định hướng được Thật vậy, theo định lý nhúng Whitney, lá Moebius M có thể coi là đa tạp con đóng của R 5 , mà R 5 định hướng

được, còn M không định hướng được

b Thay cho [ ]0,1 ×R, ta có thể xét tập [0, 1]×(-1, 1)⊆R 2, rồi đồng nhất cặp điểm (0, t) với (1, -t), t∈(-1, 1), ta có đa tạp hai chiều định hướng được, cũng được gọi là lá Moebius Để hình dung một cách trực quan, ta có thể lấy một băng hình chữ nhật rồi dán hai cạnh đối diện vào nhau sao cho hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật

đó được đồng nhất, ta thu được hình ảnh lá Moebius (xem hình 4)

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Chương 2

MỘT SỐ CẤU TRÚC TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.1.TRƯỜNG TENXƠ TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm về đại số Tenxơ

2.1.1 TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1.1.1 Định nghĩa

Ta kí hiệu K là trường số thực R hay trường số phức C Giả sử U và V là hai

không gian vectơ trên trường K Kí hiệu M(U, V) là không gian vectơ trên trường K

có cơ sở là tập U × V, nghĩa là M(U, V) gồm những tổng hình thức hữu hạn dạng

∑k i(u i,v i), k i ∈ K, (u i , v i)∈ U × V

Giả sử N là không gian con của M(U, V), sinh bởi các phần tử dạng (u + u’, v) – (u, v) –(u’, v) ; (u, v + v’) – (u, v) – (u, v’) ; (ku, v) – k(u, v); (u, kv) – k(u, v) với (u,v)∈U×V, k∈K

Đặt U ⊗ V = M(U,V)/N, xét ánh xạ chiếu

Π : M(U,V)→ U ⊗ V Với (u, v) ∈ U × V, kí hiệu Π(u,v)=u⊗v Khi đó,

U⊗V là một không gian vectơ, được gọi là tích tenxơ của hai không gian vectơ U và

V ; u⊗v được gọi là tích tenxơ của hai vectơ u và v

2.1.1.2 Định nghĩa

Giả sử W là không gian vectơ trên trường K, ϕ : U×V→W là ánh xạ song tuyến tính Ta nói cặp (W, ϕ ) có tính chất phổ dụng đối với U×V nếu với mọi không gian vectơ S và mỗi ánh xạ song tuyến tính f :U×V →S, tồn tại duy nhất

ánh xạ tuyến tính g : W→S sao cho f = g o ϕ , tức là có biểu đồ giao hoán sau :

là ánh xạ song tuyến tính Theo định lí 2.1.1.3, tồn tại ánh xạ tuyến tính

g:U⊗V→V⊗U sao cho g(u⊗v) = v⊗u Tương tự, tồn tại ánh xạ tuyến tính g’:V⊗U → U⊗V sao cho g(v⊗u) = u⊗v Từ đó gοg' = id V⊗U , g'οg = id U⊗V , và

f là song tuyến tính Do đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính g : K⊗U→U sao cho

g(k⊗u) = ku Ta có g là toàn cấu vì g(1⊗u) = u, g là đơn cấu vì nếu k⊗u ≠k’⊗u’

⇒ 1⊗ku≠1⊗k’u’⇒ ku≠k’u’ Như vậy g là đẳng cấu tuyến tính

ϕ là ánh xạ song tuyến tính

Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính :

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

f : U 1⊗U 2→V 1⊗V 2 sao cho f(u 1⊗u 2 ) = f 1 (u 1 ) ⊗ f 2 (u 2 )

f được gọi là tích tenxơ của hai ánh xạ f 1 , f 2 và kí hiệu f = f 1⊗ f 2

= là cơ sở của

V, thì { }

n j m i j

i v u

, 1 , 1

i v u

, 1 , 1

i v u

, 1 , 1

ij u v m

,

. =0 Gọi { }i m

i

, 1

=

γ là cơ sở trong V *, đối ngẫu với cơ sở { }v j j=1,m, khi đó

kj j k li i

lk

j

j i

ij u v m

,

j

lk kj li ij j

j k i l

m

, ,

0

) ( ).

Vì vậy { }

n j m i j

i v u

, 1 , 1

Ta chứng minh g là đẳng cấu Giả sử dimU=m và { }u i i=1,m là cơ sở của U ;

{ }u i∗ i=1,mlà cơ sở đối ngẫu của { }u i i=1,m trong U * ; { }v j j=1,n là cơ sở của V, dimV=n

j

j i

ij g u v m

ij g u v m

.,1,

1,00

0.)

(

, ,

*

n j m k m

v m

v m v

u u m

kj j

j kj

j

j ki ij j

j i k ij

i v u g

, 1 , 1

) (

Giả sử U và V là hai không gian vectơ trên trường K Khi đó ánh xạ tuyến

tính g: U *⊗V * →(U⊗V) * xác định bởi g(u *⊗v * )(u⊗v) = u * (u).v * (v),∀ u * ∈U * ,

v *∈V * , u∈U, v∈V là đẳng cấu

2.1.2 ĐẠI SỐ TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1.2.1 Các tenxơ phản biến và hiệp biến

Giả sử V là không gian vectơ trên trường K

Đặt 1 4 2 43

r

r

V V

4 2

1

s

T ( )= * ⊗ ⊗ ∗ được gọi là không gian các tenxơ hiệp biến bậc s T o = K,

T 1 =V * Ta viết tắt T r (V) bởi T r , T s (V) bởi T s

Giả sử { }e i i=1,n là cơ sở của V, { }i n

r

i i

i i

i i

e e

1 1

i e A

j j

j j

e e

r

i i

i i

i i

e e

1 1

1

, ,

= ∑

r r

r r

r r

j j i i

j j j i j i i i

e e A A k

, , , ,

1 1

1 1

1

r r

r

i j i i

i

i i j

j

A A k

1 1

1 1

Đó là công thức đổi thành phần của tenxơ phản biến bậc r

Đối với các tenxơ hiệp biến, nếu :

e i = ∑

j j j

i e

A , thì e i = ∑

j

j i

j e

k j

i k i

s

j j

j j j

j j

1 1

s

s s s

s

i i

i j i j i i j

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

Tích T r

s =1 4 2 43 1 4 2 4 4 3 4

s r

V V

s

j j

i i

i i j

1 1 1

Mặt khác từ tính phổ dụng của tích tenxơ, ta suy ra không gian các ánh xạ

tuyến tính từ V⊗…⊗V vào K đẳng cấu với không gian các ánh xạ s–tuyến tính từ

2.1.2.5 Đại số tenxơ của không gian véctơ V

Cho không gian vectơ hữu hạn chiều

K mà K r

s = 0 hầu hết trừ

một số hữu hạn K r

s r s

q∈T thì r p

q s p q r

s L T

K ⊗ ∈ ++ Các phép toán "+", ⊗ và nhân với một phần tử thuộc K làm T trở thành một đại số kết hợp

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

r i

i

j v v v v v v v T , ở đó v 1 ,…,v r ∈V, v1∗,

…,v∗s∈V∗ Phép chập C được thác triển tuyến tính trên T r

s Giả sử K có các thành phần K r

s

i i j j

i i j

j = ∑ −

−

k

i k i j k j

r s

K1 1

1 1

s

r s r s

x T x T x là không gian các tenxơ kiểu (r,s) trên T x (M) Trường tenxơ K kiểu (r, s) trên tập con N của M là tương ứng mỗi điểm x∈N với K(x) ∈ T r

s (x) Trong lân cận tọa độ địa phương (U, ϕ) với hệ tọa độ địa phương

đối ngẫu trong T∗

x (M) Khi đó trường tenxơ K kiểu (r, s) xác định trên U được cho

bởi:

r r

s

j j

i i

i i j

K ⊗ ⊗ ⊗ω ⊗ ⊗ω

1 1 1

1

1 là những hàm trên U, được gọi là những thành phần của K đối

với hệ tọa độ địa phương x 1 , …, x n Ta nói tenxơ K thuộc lớp C k nếu các thành phần

+ Ví dụ 1: Cho V là không gian vectơ, mỗi một vectơ của V là một tenxơ 1

lần phản biến Mỗi dạng tuyến tính trên V là một tenxơ 1 lần hiệp biến Theo định lí 2.1.2.2, mỗi tenxơ hai lần hiệp biến trên V có thể xét như một dạng song tuyến tính trên V Một tenxơ hai lần hiệp biến trên không gian vectơ V được gọi là một tích vô hướng trên V nếu nó có tính chất đối xứng và xác định dương

+ Ví dụ 2: Cho M là đa tạp khả vi, một mêtric Riemann trên M là một

trường tenxơ kiểu (0,2) trên M sao cho với mọi X, Y∈V(M), ta có:

a) g(X,Y) = g(Y,X) b) g(X, X)≥ 0, g(X, X) = 0 khi và chỉ khi X = 0 Nói cách khác, g là một mêtric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc T x (M), x ∈ M, g xác định một tích vô hướng Trong lân cận U với tọa độ địa phương x 1 , …, x n , đặt 

ij dx dx g

1 ,

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu