Một số vấn đề về đa thức đối xứng và bất đẳng thức liên quan

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN NGHĨA MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HOC Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: NGND.GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1:TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2:PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đà Nẵng vào ngày …28 tháng 05 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại Học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông đa thức có vị trí quan trọng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà công cụ đắc lực Giải tích Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết nội suy, Trong kì thi học sinh giỏi toán quốc gia Olympic toán khu vực quốc tế toán đa thức thường đề cập đến xem toán khó bậc phổ thông Những lĩnh vực phức tạp đại số học sinh phổ thông thường giải phương trình hệ phương trình bậc cao, phân tích đa thức nhiều biến bậc cao thành nhân tử, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức chứa nhiều biến số v.v Một trường hợp quan trọng thường gặp toán lĩnh vực nói biến số đa thức có vai trò Chúng ta gọi đa thức trường hợp đa thức đối xứng Luận văn "Một số vấn đề đa thức đối xứng bất đẳng thức liên quan" trình bày số vấn đề liên quan đến nhiều toán khó có chứa yếu tố đối xứng biết áp dụng lí thuyết đa thức đối xứng làm cho toán trở thành đơn giản Luận văn nhằm giới thiệu sở lí thuyết đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Các vấn đề lí thuyết trình bày cách đơn giản theo hướng quy nạp, từ trường hợp hai biến, ba biến, đến nhiều biến Các ví dụ áp dụng trình bày từ đơn giản đến phức tạp Các toán trình bày phần chủ yếu toán khó, nhiều toán trích từ đề thi vào trường chuyên, vô địch nước Olympic Toán quốc tế Đề tài quan tâm đến nhiều đối tượng, đa thức đại số vấn đề liên quan hoàn toàn phù hợp với thực tế mà thân công tác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Footer Page of 126 Header Page of 126 Luận văn "Một số vấn đề đa thức đối xứng bất đẳng thức liên quan" nhằm thể rõ vai trò quan trọng Giải tích đại số khảo sát đa thức Luận văn chuyên đề nhằm tổng quan đa thức đối xứng thông qua định nghĩa, định lí, ví dụ tập áp dụng ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS - TSKH Nguyễn Văn Mậu sách chuyên đề đa thức, phương trình hệ phương trình báo toán học viết đa thức đối xứng, nhằm hệ thống dạng toán đa thức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu gián tiếp qua trang web www.mathlinks.ro www.mathnfriend.net www.diendantoanhoc.net Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học đa thức đối xứng, phương trình, bất phương trình bất đẳng thức trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương : Trình bày khái niệm, định lý bản, kết cần sử dụng đa thức đối xứng hai biến Trong chương trình bày số ví dụ toán mối liên hệ đồng thức đại số - lượng giác ứng dụng đồng thức đại số - lượng giác Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương : Trình bày định lý bản, kết cần sử dụng đa thức đối xứng ba biến Trong chương trình bày số ví dụ toán mối liên hệ đồng thức đại số - lượng giác ứng dụng đồng thức đại số - lượng giác Chương : Nêu số dạng ước lượng tính toán đa thức đối xứng nhiều biến áp dụng Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Một đơn thức f (x, y) biểu thức độc lập x, y (có thể x, y ∈ C ) hiểu hàm số có dạng f (x, y) = akl xk y l , akl số , k ,l số nguyên không âm Số akl gọi hệ số, k+l gọi bậc đơn thức f (x, y), ký hiệu deg f (x, y) = deg[akl xk y l ] = k + l Các số k, l tương ứng gọi bậc đơn thức biến x, y Ví dụ 1.1 3x4 y đơn thức có bậc Định nghĩa 1.2 Hai đơn thức biến x, y gọi đồng dạng (tương tự) bậc biến x y tương ứng đơn thức hệ số đơn thức khác Chúng có dạng : Axk y l , Bxk y l (A = B) Định nghĩa 1.3 Giả sử Axk y l , Bxm y n đơn thức biến x, y Ta nói đơn thức Axk y l trội đơn thức Bxmy n theo thứ tự biến x, y, k > m, k = m l > n Định nghĩa 1.4 Một hàm số P (x, y) gọi đa thức theo biến số x,y biểu diễn dạng tổng Footer Page of 126 Header Page of 126 hữu hạn đơn thức: Vậy đa thức P (x, y) có dạng akl xk y l P (x, y) = k+l≤m Bậc lớn đơn thức gọi bậc đa thức Định nghĩa 1.5 Đa thức P (x, y) gọi đa thức đối xứng, không thay đổi đổi chỗ x y , nghĩa P (x, y) = P (y, x) Ví dụ 1.2 P (x, y) = x2 + xy + y , Q(x, y) = x2 y + y x đa thức đối xứng biến x y Định nghĩa 1.6 Các đa thức σj (j = 1.2), σ1 = x + y, σ2 = xy gọi đa thức " đối xứng sở " biến x, y Định nghĩa 1.7 Đa thức đối xứng f (x, y) gọi bậc m, nếu: f (tx, ty) = tmf (x, y), ∀t = 1.2 Tổng lũy thừa công thức Waring Các đa thức sk = xk + y k , (k = 1, ) gọi tổng lũy thừa bậc k biến x,y Định lý 1.1 (Công thức Newton) Tính sk theo sk−1 sk−2 sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 (1.1) Nhận xét 1.1 Với việc vận dụng công thức Newton ta hoàn toàn biểu diễn tổng lũy thừa sm = xm + y m dạng đa thức bậc m σ1 σ2 Ví dụ 1.3 1) s1 = x + y = σ1 , 2) s2 = σ12 − 2σ2 , 3) s3 = σ13 − 3σ1 σ2 , 4) s4 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 , Footer Page of 126 Header Page of 126 5) s5 = σ15 − 5σ13 σ2 + 5σ1 σ22 Việc tính tổng lũy thừa sk theo công thức lặp (1.1) không thuận tiện phải biết trước tổng lũy thừa sk−1 sk−2 Định lý 1.2 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk biểu diễn qua đa thức đối xứng sơ sở σ1 , σ2 theo công thức: [k/2] (−1)m(k − m − 1)! k−2m m sk = σ1 σ2 k m!(k − 2m)! m=0 1.3 (1.2) Các định lý đa thức đối xứng hai biến Định lý 1.3 (định lý bản) Mọi đa thức đối xứng P(x,y) biến x,y biểu biễn dạng đa thức p(σ1 , σ2 ) theo biến σ1 = x + y σ2 = xy nghĩa P (x, y) = p(σ1, σ2) Định lý 1.4 (Tính nhất) Nếu đa thức ϕ(σ1 , σ2 ) ψ(σ1 , σ2 ) thay σ1 = x + y, σ2 = xy cho ta đa thức đối xứng P (xy), chúng phải trùng nhau, nghĩa ϕ(σ1, σ2) ≡ ψ(σ1, σ2) Ví dụ 1.4 Biểu diễn đa thức đối xứng f (x, y) = x5 + x4y + x3y + xy + y Giải Dùng công thức Waring ta có f (x, y) = (x5 + y 5) + xy(x3 + y 3) + (xy)3 = S5 + σ2S3 + σ23 = (σ15 − 5σ13σ2 + 5σ1σ22) + σ2(σ13 − 3σ1σ2) + σ23 = σ15 − 4σ13σ2 1.4 Tam thức bậc áp dụng Định lý 1.5 (Định lý Viete thuận) Xét phương trình bậc hai f (x) = ax2 + bx + c = 0, (a = 0) Footer Page of 126 Header Page of 126 Nếu phương trình có nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = P = x1x2 = ac −b a Định lý 1.6 (Định lý đảo Viete) Nếu số x, y thỏa điều kiện x+y =p xy = q x, y nghiệm phương trình t2 − pt + q = 1.5 Bất đẳng thức sinh đa thức đối xứng biến Mệnh đề 1.1 Cho x, y ∈ R Đặt σ1 = x + y, σ2 = xy σ12 ≥ 4σ2 (1.3) Đẳng tức xảy x = y Mệnh đề 1.2 Nếu σ1 ≥ 0, với n nguyên dương có bất đẳng thức σ1n Sn ≥ n−1 (1.4) Sn , σ1 tương ứng tổng lũy thừa đa thức đối xứng sở bậc Mệnh đề 1.3 Với ký hiệu mệnh đề ta có 2Sm+n ≥ SmSn (1.5) Mệnh đề 1.4 Cho đa thức đối xứng với hệ số dương f (x1 , x2 ) Khi đó, x1 , x2 , y1 , y2 số dương thỏa điều kiện x1 x2 ≤ y1 y2 xn1 + xn2 ≤ y1ny2n, V in ∈ N f (x1 , x2 ) ≤ f (y1 , y2 ) Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 CHƯƠNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Một đơn thức ϕ(x, y, z) biến x, y, z hiểu hàm số có dạng ϕ(x, y, z) = aklmxk y l z m, k, l, m ∈ N gọi bậc biến x, y, z; số aklm ∈ R∗ = R gọi hệ số đơn thức, số k + l + m gọi bậc đơn thức ϕ(x, y, z) Định nghĩa 2.2 Một hàm số P (x, y, z) biến x, y, z gọi đa thức biểu diễn dạng tổng hửu hạn đơn thức: aklmxk y l z m P (x, y, z) = k+l+m≤n bậc lớn đơn thức đa thức gọi bậc đa thức Định nghĩa 2.3 Đa thức P (x, y, z) gọi đa thức đối xứng không thay đổi với hoán vị x, y, z nghĩa là, P (x, y, z) = P (x, z, y) = P (y, x, z) = = P (y, z, x) = P (z, x, y) = P (z, y, x) Định nghĩa 2.4 Đa thức f (x, y, z) gọi bậc m nếu: f (tx, ty, tz) = tmf (x, y, z), ∀t = Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 Định nghĩa 2.5 Các đa thức σ1 = x + y + z σ2 = xy + yz + zx σ3 = xyz gọi đa thức đối xứng sở biến x, y, z Định nghĩa 2.6 Các đa thức Sk = xk + y k + z k , (k = 1, 2, ) gọi tổng luỹ thừa bậc k biến x, y, z Định nghĩa 2.7 Các biểu thức S(−k) = 1 + + , (k = 1, 2, ) xk y k z k gọi tổng nghịch đảo biến x, y, z Định nghĩa 2.8 Đa thức đối xứng với số hạng tối thiểu, số hạng đơn thức xk y l z m gọi quỹ đạo đơn thức xk y l z m ký hiệu O(xk y l z m ) Muốn tìm quỹ đạo đơn thức xk y L z m cần bổ sung vào đơn thức tất hoán vị x, y, z Với k = l = m, ta có O(xk y l z m) = xk y l z m +xk y mz l +xl y mz k +xl y k z m +xmy l z k +xmy k z l Ví dụ 2.1 O(x5y 2z) = x5y 2z + x5yz + x2y 5z + x2yz + xy 5z + xy 2z 2.2 Các định lý đa thức đối xứng ba biến Định lý 2.1 (Công thức Newton) Với k ∈ Z, ta có hệ thức Sk = σ1Sk−1 − σ2Sk−2 + σ3Sk−3 Footer Page 11 of 126 (2.1) Header Page 12 of 126 10 Chứng minh Ta có Sk = σ1Sk−1 − σ2Sk−2 + σ3Sk−3 = (x + y + z)(xk−1 + y k−1 + z k−1)− − (xy + yz + zx)(xk−2 + y k−2 + z k−2) + xyz(xk−3 + y k−3 + z k−3) = = (xk + y k + z k + xy k−1 + xk−1y + y k−1z + yxk−1 + z k−1x + zxk−1)− − (xk−1y + y k−1x + xk−1z + z k−1x + y k−1z + z k−1y + xyz k−2+ + xzy k−2 + yzxk−2) + (xyz k−2 + xzy k−2 + yzxk−2) = xk + y k z k = Sk Định lý 2.2 Mỗi tổng luỹ thừa Sk = xk + y k + z k biểu diễn dạng đa thức bậc n theo biến σ1 , σ2 , σ3 Nhận xét 2.1 Mọi quỹ đạo đơn thức biểu diễn dạng biểu thức gồm đa thức đối xứng Định lý 2.3 Mọi đa thức đối xứng ba biến x, y, z biểu diễn dạng đa thức theo biến σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz Định lý 2.4 (Tính nhất) Nếu hai đa thức ϕ(t, u, v) ψ(t, u, v) thay t = σ1 = x + y = z, u = σ2 = xy + yz + zx, v = σ3 = xyz cho ta đa thức đối xứng P (x, y, z) chúng phải đồng Mệnh đề 2.1 Cho fm (x, y, z) đa thức đối xứng bậc m Khi fm (x, y, z) biểu diễn qua đa thức đối xứng sở theo công thức aijk σ1i σ2j σ3k , (i, j, k ∈ N) fm(x, y, z) = (2.2) i+2j+3k=m Mệnh đề suy trực tiếp từ định lý Ta có số ví dụ riêng cho mệnh đề f1 (x, y, z) = a1 σ1 f2(x, y, z) = a1σ12 + a2σ2, f3(x, y, z) = a1σ13 + a2σ1σ2 + a3σ3, f4(x, y, z) = a1σ14 + a2σ12σ2 + a3σ1σ3 + a4σ22 Trong số , (i = 1, 2, ) xác định Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 11 Ta xác định (i = 1, 2, ) phương pháp cho x, y, z nhận giá trị cụ thể đó, thiết lập hệ ẩn , (i = 1, 2, ) giải hệ ta 2.3 Bất đẳng thức sinh đa thức đối xứng ba biến Trong phần ta đồng ký hiệu đa thức đối xứng sở ba biến sau σ1 = x + y + z σ2 = xy + yz + zx σ3 = xyz 2.3.1 Một số mệnh đề bất đẳng thức Mệnh đề 2.2 Với số thực x, y, z có bất đẳng thức: a)σ12 ≥ 3σ2 b)σ22 ≥ 3σ1σ3 dấu đẳng thức xảy x = y = z Mệnh đề 2.3 Với số dương x, y, z ta có a)σ1σ2 ≥ 9σ3 b)σ13 ≥ 27σ3 c)σ23 ≥ 27σ32 Mệnh đề 2.4 Với số dương x, y, z ta có bất đẳng thức a)σ12σ2 ≥ 3σ1σ3 + 2σ22 b)σ1σ22 ≥ 2σ12σ3 + 3σ2σ3 c)σ13σ3 + σ23 ≥ 6σ1σ2σ3 Mệnh đề 2.5 (Schur) Giả sử x, y, z số thực không âm Khi với r > fr (x, y, z) = xr (x−y)(x−z)+y r (y−x)(y−z)+z r (z−y)(z−x) ≥ Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 12 Mệnh đề 2.6 Với số thực dương x, y, z có bất đẳng thức sau a)2σ13 + 9σ3 ≥ 7σ1σ2, b)σ14 + 3σ22 ≥ 4σ12σ2, c)σ23 + 9σ32 ≥ 4σ1σ2σ3, d)2σ23 + 9σ32 ≥ 7σ1σ2σ3 Mệnh đề 2.7 Với số không âm (x, y, z) có bất đẳng thức σ1k Sk ≥ k−1 , (k = 0, 1, ) Trong Sk = xk + y k + z k Dấu đẳng thức xảy x=y=z Mệnh đề 2.8 Với số không âm x, y, z Sk = xk + y k + z k với k = 1, 2, có bất đẳng thức sau SmSn ≤ 3Sm+n 2.3.2 (2.3) Vận dụng chứng minh bất đẳng thức Bài toán 2.1 Cho x, y, z số không âm thoả x + y + z = Chứng minh 7(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz Bài toán 2.2 Cho số dương x, y, z Chứng minh (xy + yz + zx)[ 1 + + ] ≥ (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 Bài toán 2.3 Giả sử a, b, c cạnh tam giác với diện tích S Chứng minh √ a2 + b2 + c2 ≥ 3S Bài toán 2.4 Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = Chứng minh 1 + + ≥ a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 Bài toán 2.5 Cho x, y, z số dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 3a chứng minh với số tự nhiên n 1 1 (x + )n + (y + )n + (z + )n ≥ 3(a + )n y z x a Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 14 CHƯƠNG ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH TOÁN TRÊN ĐA THỨC ĐỐI XỨNG NHIỀU BIẾN 3.1 Các khái niệm đa thức đối xứng nhiều biến Định nghĩa 3.1 Giả sử x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R Đa thức f (x) = f (x1, x2, , xn) hiểu hàm số có dạng f (x) = m Mk (x), k=0 aj1j2 jn xj11 xj22 xjnn , Mk (x) = Mk (x1, x2, , xn) = j1 +j2 + +jn =k ji ∈ N(i = 0, 1, , n) Định nghĩa 3.2 Đa thứcf (x1 , x2 , , xn ) gọi đối xứng không đổi đổi chỗ hai biến Định nghĩa 3.3 Đa thức đối xứng f (x1 , x2 , , xn ) gọi bậc m, f (tx1, tx2, , txn) = tmf (x1, x2, , xn), ∀t = Định nghĩa 3.4 ( Đơn thức trội)Cho hai đơn thức Axk11 xk22 xknn Bxl11 xl22 xlnn Ta nói đơn thức thứ trội đơn thức thứ hai k1 ≥ l1 k2 > l2 ; , , , , , ; k1 = l1 ; k2 = l2 ; ; ks = ls ks+1 > ls+1 Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 15 Định nghĩa 3.5 ( Đa thức đối xứng bản) Ký hiệu Sk = xk1 + xk2 + + xkn, k ∈ Z σ0 = n σ1(x) = x1 + x2 + + xn = xi i=1 σ2(x) = xi xj 1≤i