Một số vấn đề về phân thức liên tục

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Vũ Dũng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHÂN THỨC LIÊN TỤC Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Phân thức liên tục 1.1 Mở đầu phân thức liên tục 1.1.1 Khái niệm phân thức liên tục 1.1.2 Phép biến đổi phân thức liên tục 1.1.3 Quan hệ chuỗi phân thức liên tục 1.2 Một số phân thức liên tục đặc biệt 1.2.1 Phân thức liên tục cho arctan số π 1.2.2 Phân thức liên tục cho số e Chương Sự hội tụ phân thức liên tục 2.1 Công thức quan hệ truy hồi Wallis-Euler 2.2 Sự hội tụ phân thức liên tục 2.3 Biểu diễn phân thức liên tục số thực 2.3.1 Thuật toán tìm biểu diễn phân thức liên số thực 2.3.2 Một số ví dụ tục Chương Một số ứng dụng phân thức liên tục 3.1 Tính gần phân thức liên tục 3.2 Giải phương trình Diophantine 3.2.1 Phương trình bậc hai ẩn Ax + By = C 3.2.2 Phương trình Pell dạng: x2 − dy = ±1 3.3 Phân tích số thừa số Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 10 13 13 18 21 21 27 34 34 38 42 42 47 47 49 64 66 67 Mở đầu Phân thức liên tục vấn đề liên quan hướng nghiên cứu toán sơ cấp thu hút quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết quan trọng Phân thức liên tục xuất cách tự nhiên việc chia số nguyên, việc giải phương trình, ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Khi nghiên cứu phân thức liên tục thấy số tính chất chuỗi số, dãy Fibonaci, tính chất số e, số π Đồng thời dựa phân thức liên tục tìm xấp xỉ hữu tỷ số thực, giải số phương trình nghiệm nguyên, phân tích số số nguyên thành tích thừa số nguyên tố, xây dựng dãy số truy hồi, Ngoài ra, phân thức liên tục có ứng dụng quan trọng khác toán học nghiên cứu giả thuyết ABC, có ứng dụng thực tiễn: âm nhạc, lịch vạn niên, Với mục đích giới thiệu cách tương đối hệ thống phân thức liên tục số ứng dụng phân thức liên tục, chọn đề tài: "Một số vấn đề phân thức liên tục" Cụ thể, đề tài nghiên cứu phân thức liên tục, hội tụ phân thức liên tục vô hạn số ứng dụng phân thức liên tục toán học Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm chương: Chương trình bày số khái niệm phân thức liên tục, phép biến đổi phân thức liên tục, phân thức liên tục vài số đặc biệt: e, π quan hệ phân thức liên tục với chuỗi Chương dành cho việc trình bày kết nghiên cứu hội tụ phân thức liên tục vô hạn: công thức truy hồi Wallis-Euler, thuật toán tìm biểu diễn phân thức liên tục số vô tỷ số định lý hội tụ phân thức liên tục Trong Chương 3, trình bày số ứng dụng phân thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liên tục việc tính xấp xỉ hữu tỷ số thực, việc giải phương trình nghiệm nguyên, việc phân tích thừa số nguyên tố Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Hà Trần Phương - Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Em xin trân trọng cảm ơn tới Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3B, K3A Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ trình học tập làm luân văn Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Tân Quang - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện cho học tập hoàn thành kế hoạch học tập Do lần thực công việc nghiên cứu, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Phạm Vũ Dũng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phân thức liên tục 1.1 1.1.1 Mở đầu phân thức liên tục Khái niệm phân thức liên tục Sự xuất phân thức liên tục Phân thức liên tục xuất từ lâu, từ số học phát triển Hai ví dụ sau cho thấy xuất phân thức liên tục Ví dụ 1.1 Ta thực phép chia thông thường 157 cho 68 Ta có 21 157 =2+ 68 68 Nghịch đảo phân số 21 , ta = 68 68 21 157 =2+ 68 68 21 Ta tiếp tục chia 68 cho 21 68 =3+ =3+ 21 21 21 Tiếp tục phân tích 21 =4+ , 5 cuối ta 157 =2+ 68 3+ 4+ (1.1) Có thể thấy, trình dừng lại sau lần thực phép chia hai số nguyên dương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 Tìm nghiệm dương phương trình x2 − x − = (1.2) Ta viết lại phương trình dạng x2 = x + Do a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm, nghiệm âm nghiệm dương Có thể thấy x = nghiệm nguyên dương phương trình Hiển nhiên x = không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta được: x=1+ x Do x = nghiệm phương trình (1.2) nên 2=1+ x Thay x mẫu số đẳng thức + để x 2=1+ 1+ x Lặp lại trình nhiều lần ta 2=1+ (1.3) 1+ 1+ 1+ 1+ x Lặp lại trình vô hạn lần ta 2=1+ (1.4) 1+ 1+ 1+ 1+ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Biểu diễn (1.1) (1.3) gọi phân thức liên tục hữu hạn đơn giản, (1.4) gọi phân thức liên tục vô hạn đơn giản Như phân thức liên tục xuất cách tự nhiên trình chia số nguyên tìm nghiệm phương trình Trong phần ta nghiên cứu cách cẩn thận phân thức liên tục Ta bắt đầu với định nghĩa phân thức liên tục hữu hạn Khái niệm phân thức liên tục Cho hai dãy số thực a0 , a1 , , an , b1 , b2 , , bn Nếu phân thức b1 a0 + (1.5) b2 a1 + b3 a2 + a3 + an−1 + bn an có nghĩa, phân thức gọi phân thức liên tục hữu hạn có độ dài n Và kí hiệu a0 + b1 b2 bn a1 + a2 +···+ an Nếu bk = với k = 1, 2, , n ak số nguyên, ak > với k 1, phân thức liên tục (1.5) gọi phân thức liên tục hữu hạn đơn giản, hay gọi liên phân số hữu hạn (có độ dài n) kí hiệu [a0 ; a1 , , an ] Nếu a0 = 0, ta viết [a1 , , an ] thay cho [0; a1 , , an ] Bây cho hai dãy số thực vô hạn {an }, n = 0, 1, {bn }, n = 1, Tổng hình thức b1 a0 + a1 + a2 + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.6) b2 b3 a3 + http://www.lrc-tnu.edu.vn gọi phân thức liên tục (vô hạn) Để cho đơn giản ta kí hiệu phân thức liên tục (1.6) b1 b2 b3 a0 + a1 + a2 + a3 + Giả sử rằng, với n ∈ N∗ C n = a0 + bn b1 b2 a1 + a2 +···+ an tồn Và tồn giới hạn lim Cn = α ∈ R n−→∞ ta nói phân thức liên tục (1.6) hội tụ Khi ta viết b1 a0 + = α b2 a1 + a2 + b3 a3 + Phân thức liên tục hữu hạn Cn gọi giản phân thứ n phân thức liên tục (1.6) Nếu bk = với k = 1, 2, ak số nguyên, ak > với k 1, phân thức liên tục (1.6) gọi phân thức liên tục đơn giản kí hiệu [a0 ; a1 , a2 ] Nếu a0 = 0, ta viết [a1 , a2 , ] thay cho [0; a1 , a2 , ] Chú ý Nếu bm = với m b1 a0 + b2 a1 + a2 + b1 = a0 + b3 a3 + b2 a1 + a2 + am−2 + bm−1 am−1 nên phân thức liên tục hội tụ Từ định nghĩa ta có [a0 ; a1 , , an ] = a0 + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên [a1 ; a2 , , an ] http://www.lrc-tnu.edu.vn Hiển nhiên, phân số liên tục hữu hạn đơn giản số hữu tỷ Ta thấy, với phân thức liên tục đơn giản ta có [a0 ; a1 , a2 , ] = lim [a0 ; a1 , a2 , , an ] n−→∞ giới hạn tồn Định lý 1.1 Mỗi số hữu tỷ biểu diễn dạng phân thức liên tục hữu hạn đơn giản a Chứng minh Giả sử x = a, b ∈ Z a > Đặt b r0 = a, r1 = b Áp dụng thuật toán chia Ơclit ta có r0 = r1 q1 + r2 , r2 < r1 ; r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , < rn < rn−1 rn−1 = rn qn Khi a = [q1 ; q2 , , qn ] b Định lý chứng minh Ví dụ 1.3 Ta có 62 = [2; 1, 2, 3, 2] 23 Chú ý rằng, biểu diễn số hữu tỷ dạng liên phân số hữu hạn không nhất, chẳng hạn = [0; 1, 1, 1, 3] = [0; 1, 1, 1, 2, 1] 11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phân thức liên tục số ứng dụng phân thức liên tục, chọn đề tài: "Một số vấn đề phân thức liên tục" Cụ thể, đề tài nghiên cứu phân thức liên tục, hội tụ phân thức liên tục vô hạn số ứng dụng phân. .. Mở đầu phân thức liên tục 1.1.1 Khái niệm phân thức liên tục 1.1.2 Phép biến đổi phân thức liên tục 1.1.3 Quan hệ chuỗi phân thức liên tục 1.2 Một số phân thức liên tục đặc... 1.2.1 Phân thức liên tục cho arctan số π 1.2.2 Phân thức liên tục cho số e Chương Sự hội tụ phân thức liên tục 2.1 Công thức quan hệ truy hồi Wallis-Euler 2.2 Sự hội tụ phân thức liên