Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng trong toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Mục lục Mở đầu Lời cam đoan Một số kiến thức 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian Banach 1.3 Không gian Hilbert Lý 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết xấp xỉ tốt Đặt toán Xấp xỉ tốt không gian Banach Xấp xỉ tốt không gian C[a,b] Một số trường hợp đặc biệt 2.4.1 Xấp xỉ đa thức bậc không 2.4.2 Xấp xỉ đa thức bậc Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ vào giải lớp toán sơ cấp 3.1 Lời giải tổng quát 3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc không cho lớp toán 3.1.2 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc cho lớp toán dạng: 3.2 Lớp toán cụ thể 5 9 10 11 17 17 18 20 20 20 23 26 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Chúng ta biết Lý thuyết xấp xỉ tốt nhánh lý thuyết xấp xỉ hàm, có vai trò đặc biệt quan trọng toán lý thuyết toán ứng dụng Đặc biệt, dùng để tìm đa thức có "độ lệch" nhỏ so với hàm số cho trước đoạn xác định Từ việc nghiên cứu kĩ lý thuyết xấp xỉ tốt giải số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Và hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, tác giả nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp" Nội dung luận văn trình bày lý thuyết xấp xỉ tốt từ xây dựng lên tập toán sơ cấp áp dụng phần lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải toán Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa không gian Mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Chương 2: Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương giới thiệu số định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức đa thức bậc không, đa thức bậc Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải số toán sơ cấp Phần đầu Chương trình bày lời giải tổng quát lớp toán sơ cấp, thông qua lời giải dựa lý thuyết xấp xỉ tốt để hình thành lên lời giải sơ cấp Phần áp dụng lời giải tổng quát vào giải số tập sơ cấp cụ thể Và từ đưa dạng tập có đề tương tự Kết luận văn tham khảo Numerical methods Bakhvalov N.S Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn trân trọng tới thầy TS Nguyễn Văn Khải, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong suốt trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bầy tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt qua trình học tập nhà trường hoàn thành luận văn thời gian qua Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, anh chị lớp cao học Toán K4C quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả suốt trình học cao học viết luận văn để đạt kết tốt Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Và xin trân trọng cảm ơn! Quảng Ninh, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Hải 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các số liệu kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực chưa có công bố công trình khác Tác giả Phạm Thị Hải 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức Trong chương này, ta trình bày kiến thức không gian mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Các kiến thức lấy từ tài liệu [1, 5, 8] Trong chương này, không gian tuyến tính xét trường số thực R 1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Tập X khác rỗng gọi không gian mêtric với cặp phần tử x, y xác định theo quy tắc đó, số thực ρ(x, y) gọi ” khoảng cách x y ” thỏa mãn tiên đề sau: 1) ρ(x, y) > x = y; ρ(x, y) = x = y 2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X 3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X Hàm số ρ(x, y) gọi mêtric không gian X Ví dụ 1.1 Trong Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ρ(x, y) = n (xi − yi )2 , mêtric Rn i=1 Định nghĩa 1.2 Cho không gian mêtric X Dãy {xn } dãy Cauchy ( hay dãy bản) lim ρ(xn , xm ) = tức là: ∀ε > cho trước, n,m→∞ ∗ ∃n0 ∈ N , cho ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , ta có ρ (xn , xm ) < ε 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dĩ nhiên dãy hội tụ dãy Cauchy ( dãy bản), xn → x theo bất đẳng thức tam giác, ta có: ρ (xn , xm ) ≤ ρ (xn , x) + ρ (x, xm ) → 0, (n, m → ∞) 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.3 (Không gian tuyến tính) Một tập X gọi không gian tuyến tính ứng với cặp phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tổng x với y kí hiệu x + y ; ứng với phần tử x X số thực α ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tích x với α kí hiệu αx Các quy tắc nói thỏa mãn tiên đề sau: 1) x + y = y + x ( tính chất giao hoán phép cộng) 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp phép cộng) 3) ∃ phần tử : x + = x, ∀x ∈ X 4) Với x ∈ X ta có phần tử −x ∈ X : x + (−x) = 5) 1.x = x 6) α(βx) = (αβ)x, với α, β số 7) (α + β)x = αx + βx 8) α(x + y) = αx + αy Trên định nghĩa không gian tuyến tính thực Nếu định nghĩa ta thay số thực số phức ta có không gian tuyến tính phức Không gian tuyến tính thường gọi không gian vectơ phần tử gọi vectơ Định nghĩa 1.4 (Không gian tuyến tính định chuẩn) Một không gian định chuẩn không gian tuyến tính X , ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn cho điều kiện sau thỏa mãn, với x, y ∈ X số thực α 1) x > x = 0; x = x = 2) αx = |α| x (tính chuẩn) 3) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác ) 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 Không gian mêtric Rn không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn tương ứng n n R : ξi2 x = i=0 Định nghĩa 1.5 (Không gian Banach) Cho không gian tuyến tính định chuẩn X, d : X × X −→ R xác định: d(x, y) = ||x − y|| d(x, y) gọi hàm khoảng cách, ta nói khoảng cách khoảng cách cảm sinh chuẩn Không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Ví dụ 1.3 Có thể chứng minh không gian C[a,b] = {f : [a, b] −→ R , f liên tục} với chuẩn Chebyshev: f = max |f (t)| không gian Banach t∈[a,b] Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X gọi lồi thực nếu: ∀x, y = x+y = x + y ⇒ y = λx(λ > 0) Ví dụ 1.4 Không gian C[a,b] không lồi thực t−a Vì với x(t) ≡ 1; y(t) ≡ , ta có: x + y = x b−a y = λx 1.3 + y =2 Không gian Hilbert Trong phần ta xét X không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.7 (Không gian tiền Hilbert) Một không gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert có xác định hàm hai biến (x, y) gọi tích vô hướng hai vectơ (x, y) với tính chất sau: 1) (x, y) = (y, x) 2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 3) (αx, y) = α(x, y) với α số thực 4) (x, x) > x = 0, (x, x) = x = Và thỏa mãn hệ thức 5) (x, x) = x tức x = (x, x) xác định chuẩn không gian X , nói cách khác không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.5 Không gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] với phép toán thông thường với tích vô hướng cho bởi: b (x, y) = x(t)y(t)dt không gian tiền Hilbert a Định nghĩa 1.8 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert b Ví dụ 1.6 Không gian L2[a,b] với chuẩn x = |x(t)|2 dt a không gian Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn x = (x, x) ii) Không gian tiền Hilbert có bất đẳng thức Schwars: (x, y) ≤ x y iii) Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện bình hành: x+y 2+ x−y =2 x 2+ y iv) Tích vô hướng (x, y) hàm số liên tục biến x y Ví dụ 1.7 Mọi không gian Hilbert lồi thực Thật vậy, ta có x + y = x + y Bình phương hai vế đẳng thức: x + y = x Mà x+y = = = = +2 x y + y x + y, x + y x + y, x + x + y, y x, x + x, y + y, y x + x, y + y Suy x, y = x y Từ bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacovski- Schwartz, suy y = λx, (λ > 0) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương trình bày kết quan trọng lý thuyết xấp xỉ tốt tồn xấp xỉ tốt không gian Banach, xấp xỉ tốt không gian C[a,b] số trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức bậc không hay xấp xỉ đa thức bậc Các kết chương tham khảo tài liệu [1, 2, 7,10] 2.1 Đặt toán Cho hàm số f ∈ C[a,b] Gọi Pn tập hợp đa thức có bậc không n [a, b] Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có "độ lệch" nhỏ so với f [a, b] tức là: max | f (x) − P (x) |= max |f (x) − P (x)| Q∈Pn x∈[a,b] x∈[a,b] Nếu C[a,b] ta xét chuẩn (2.1) ϕ = max | ϕ(t) |, (ϕ ∈ C[a,b] ) toán t∈[a,b] (2.1) có dạng: Tìm P ∈ Pn cho f − P = En (f ) := f −Q Phần tử đạt cực tiểu kí hiệu P = arg f −Q Q∈Pn Q∈Pn 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.2) http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... cứu kĩ lý thuyết xấp xỉ tốt giải số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Và hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, tác giả nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp" Nội... 2: Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương giới thiệu số định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức đa thức bậc không, đa thức bậc Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết. .. Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ vào giải lớp toán sơ cấp 3.1 Lời giải tổng quát 3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc không cho lớp toán 3.1.2 Ứng dụng