Phương trình cấu trúc và góc hôlônômi của đa tạp riemann hai chiều

1 bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh -------------------------------- Nguyễn thị hoài thanh phơng trình cấu trúc và góc hôlônômi của đa tạp riemann hai chiều Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số : 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu quang Vinh 2005 Mục lục Tran g Mở đầu 1 Chơng 1: Liên thông 3 1.1. Liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi 3 1.2. Liên thông Lêvi - sivita trên đa tạp Riemann 7 Chơng 2: Dạng liên thông và phơng trình cấu trúc 14 2.1. Dạng liên thông 14 2.2. Phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann M 16 Chơng 3. Các góc Hôlônômi 21 3.1. Phép chuyển dịch song song 21 3.2. Góc Hôlônômi của một số mặt trong không gian Oxyz 30 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2 Lời nói đầu Sự phát minh ra hình học phi ơclit là một trong những thành tựu lớn của toán học đợc bắt đầu vào những năm 40 của thế kỷ XIX do Lobasevsky (1973 - 1956) trình bày năm 1826 tại Đại học Kazan - Nga, Gianôi - Bôia (1802 - 1866) trình bày năm 1830 tại Hungary, Riemann (1826 - 1866) trình bày năm 1851 tại Đại học Ghentinghen - Đức. Về sau nhà toán học Risi và học trò của ông là Lêvi- sivita đã sử dụng tính chất tuyệt đối của liên thông để ứng dụng trong việc biến đổi các dạng toán phơng và nghiên cứu liên thông tuyến tính trong trờng hợp đặc biệt. Liên thông tuyên tính và đăc biệt là liên thông Lêvi- sivita là một cấu trúc trên đa tạp khả vi mà nhờ đó chúng ta có thể nghiên cứu các tính chất của hình học nội tại. Chẳng hạn liên thông Lêvi-sivita đã đợc dùng để nghiên cứu phép chuyển dịch song song và các phơng trình cấu trúc. Phép chuyển dịch song song là một đẳng cấu trực giao giữa các không gian tiếp xúc của đa tạp. Phép chuyển dịch song song đã đợc trình bày hầu hết trong các sách chuyên khảo về hình học vi phân, chẳng hạn nh: Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh, Đa tạp Riemann trong toàn cục của Kligenber Trong luận văn này chúng tôi đã tính các góc Hôlônômicủa một số mặt thờng gặp trong không gian Oxyz. Để thuận lợi hơn, chúng tôi đã trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản về liên thông Lêvi- sivita, phép chuyển dịch song song, các phơng trình cấu trúc ,và chúng tôi đã bổ sung một số tính chất của chúng Luận văn đợc chia làm 3 chơng. Chơng 1: Liên thông 1.1. Liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi 1.2. Liên thông Lêvi- sivita trên một đa tạp Riemann. 3 Chơng 2: Dạng liên thông và phơng trình cấu trúc. 2.1. Dạng liên thông. 2.2.Phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann M. Chơng 3. Các góc Hôlônômi. 3.1. Phép chuyển dịch song song. 3.2. Góc Hôlônômi của một số mặt trong không gian Oxyz. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hớng dẫn PGS - TS Nguyễn Hữu Quang đã đặt bài toán và hớng dẫn chúng tôi nghiên cứu .Cảm ơn các cô giáo trong bộ môn hình học đã giảng dạy và chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo làm việc tại khoa Toán, khoa sau đại học và Ban giám hiệu trờng Đại học Vinh, trờng THPT Nguyễn Công Trứ, các đồng nghiệp và bạn bè, gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày. tháng năm 2005 Tác giả 4 Chơng 1 Liên thông Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản ,chứng minh chi tiết một số tính chất về liên thông tuyến tính để phục vụ cho việc trình bày liên thông Lêvi-sivita trên một đa tạp khả vi . 1.1. Liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi 1.1.1. Định nghĩa. M là đa tạp khả vi, B(M) là tập các trờng khả vi trên M. ánh xạ : B(M) x B(M) B(M) (X, Y) a X Y = (X, Y) đợc gọi là một liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi M nếu thoã mãn các tính chất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 X X X X 2 X X 3 X 1 2 X 1 X 2 4 X X T Y Y Y T Y Y T Y Y Y Y T Y X[ ]Y Y + = + = + = + = + Với mọi X, X 1 , X 2 , Y, Y 1 , Y 2 B(M); F(M) ( X Y còn đợc gọi là đạo hàm thuận biến của trờng vectơ Y dọc trờng vectơ X). Nh chúng ta đã biết, đa tạp n chiều đợc gọi là khả song nếu tồn tại n tr- ờng vectơ khả vi X 1 , X 2 , , X n sao cho tại mọi điểm trên đa tạp chúng tạo thành một hệ vectơ cơ sở của T P M. 1.1.2.Các nhận xét. 1. Trên R n với trờng mục tiêu tự nhiên {E 1 ,, E n }với X, Y B(R n ). Ta ký hiệu: D X Y = n i 1= X[Y i ]E i (Trong đó X = n i 1= X i E i , Y = n i 1= Y i E i ) Khi đó D là một liên thông tuyến tính trên R n 5 Thật vậy, ta sẽ chỉ ra D thoả mãn 4 tiên đề của định nghĩa. (T 1 ) : D (X + X') Y = n i 1= (X + X') [Yi] E i = n i 1= X[Y i ]E i + n i 1= X'[Y i ]E i = D X Y + D X' Y . (T 2 ) D X Y = n i 1= (X) [Y i ]E i = n i 1= X [Y i ]E i = D X Y (T 3 ) D X (Y + Y') = n i 1= X[Y + Y']E i = n i 1= X[Y]E i + n i 1= X[Y']E i = D X Y + D X Y' (T 4 ) D X (Y) = n i 1= X[Y]E i = n i 1= (X[Y i ])E i + n i 1= Y i X[]E i = D X Y + X[]Y Với X, X', Y, Y' B(R n ), F(R n ). 2. Giả sử M là đa tạp khả song. Xét ánh xạ : B(M) x B(M) B(M) (X,Y) a X Y = n i 1= (X i )X i , trong đó Y = n i 1= i X i . Khi đó là liên thông tuyến tính trên M. 6 Thật vậy, ta sẽ chỉ ra thoả mãn 4 tiên đề của định nghĩa. (T 1 ) Y 1 = n n i i 1 i 2 2 i i 1 i 1 X , Y X = = = Y 1 + Y 2 = ( ) n i i 1 2 i i 1 X = + X (Y 1 + Y 2 ) = ( ) n i i 1 2 i i 1 X X = + = ( ) n i i 1 2 i i 1 X X X = + = n n i i 1 i 2 i i 1 i 1 X X X X = = + = X Y 1 + X Y 2 (T 2 ): Y = n n i i i i i 1 i 1 X , f(Y) (f )X = = = X f(Y)= n i 1= X(f( i ) X i ) ( ) n i i i i 1 n n i i i i i 1 i 1 n n i i i i i 1 i 1 X(f fX( ))X X(f) X fX( )X X(f) X f X( )X = = = = = = + = + = + = X(f) .Y + f X Y. (T 3 ) Y = n i 1= i X i f(X) Y= n i 1= f(X) ( i ) X i 7 = n i 1= ∑ f(Xϕ i )X i = f n i 1= ∑ (Xϕ i )X i = f ∇ X Y (T 4 ) 1 2 X X Y + ∇ = n i 1= ∑ (X 1 + X 2 ) (ϕ i )X i = n i 1= ∑ (X 1 ϕ i + X 2 ϕ i )X i = n i 1= ∑ (X 1 ϕ i )X i + n i 1= ∑ (X 2 ϕ i )X i = ∇ 1 2 X X Y Y+∇ 3. Gi¶ sö X, Y ∈ B(M), ∇ lµ liªn th«ng tuyÕn tÝnh trªn M, vµ ( ) p X X p Y Y∇ = ∇ . Khi ®ã ϕ: X p → p X Y∇ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. ThËt vËy,ta cã ϕ(X p + X' p ) = ( ) ' p p X X Y + ∇ ( ) ' ' p p X X p X X ' p p Y Y Y (X ) (X ) +   = ∇  ÷   =∇ +∇ =ϕ +ϕ ϕ(λX p ) = p X Y λ ∇ ( ) ( ) X p X p p Y Y (X ) λ = ∇ = λ∇ =λϕ VËy ϕ: X p → p X Y∇ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. 8 1.2. Liên thông Lêvi - sivita trên một đa tạp Riemann Nh ta đã biết , ánhxạ g: B(M) x B(M) F(M) (X, Y) a g(X, Y) đợc gọi là metric Riemann trên M nếu có việc đặt tơng ứng với mỗi p M một tích vô hớng < , > p trên T p M ,sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là X, Y B(M) thì hàm số p a <X p , Y p > là một hàm số khả vi. Mỗi đa tạp khả vi M cùng với một metric Riemann đã cho trên nó đợc gọi là đa tạp Riemann. Ví dụ 1. M = R n , với X, Y B(R n ) ta đặt g(X, Y) = X. Y Khi đó g là metric Riemann. Thật vậy i) Hiển nhiên g(X, Y) là tích vô hớng ii) g(X, Y) khả vi. Ta gọi {E 1 ,, E n } là trờng mục tiêu trực chuẩn trong R n với X, Y B(R n ) ,ta có sự biểu diễn X = n i,j 1= X i E i , Y = n i,j 1= Y i E i Khi đó ta có X. Y = n i,j 1= X i Y i hay g(X, Y) = n i,j 1= X i Y i X B(R n ) X i khả vi ,i Y B(R n ) Y i khả vi ,i Do đó n i,j 1= X i Y i khả vi i g(X, Y) khả vi Vậy, g là mtric Riemann trên M. 2.Ta xét nửa phẳng Poincare H = {(x, y) R 2 y > 0} với g(X, Y) = 2 1 y X. Y 9 Rõ ràng g là metric Riemann trên H .Vậy, (H, g) là đa tạp Riemann 2 chiều 3. M là đa tạp khả vi n chiều có trờng mục tiêu {E 1 ,,E n }. Hệ {E 1 , ,E n } đợc gọi là trực chuẩn nếu và chỉ nếu g(E i , E j ) = ij = 0 nếu i j 1 nếu i = j Khi đó g là metric Riemann trên M và (M, g) là đa tạp Riemann 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann,và là liên thông tuyến tính trên M.Khi đó đợc gọi là liên thông Lêvi - sivita nếu thoả mãn hai tính chất. (T 5 ) Trờng tenxơ xoắn T = 0 T(X, Y)= X Y - Y X - [X, Y] = 0 (T 6 ) Z [X, Y] = ( Z X)Y - ( Z Y)X ,với mọi X, Y, Z B(M) 1.2.2. Ví dụ. 1. M khả song ,{E 1 , , E n } là trờng mục tiêu trực chuẩn trên M, với X, Y B(M), đặt X Y = n i 1= X[Y i ]U i Khi đó là một liên thông Lêvi - sivita trên M. 2. Liên thông tuyến tính chính tắc trong R n là một liên thông Lêvi - sivita. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử (M , g), (N, g') là hai đa tạp Riemann, f: M N khả vi. i) f đợc gọi là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi: g(X, Y) = g'(f * X, f * Y) với X, Y B(R n ) ii) Nếu ánh xạ f là đẳng cự và vi phôi thì ánh xạ f đợc gọi là một vi phôi đẳng cự. 10