Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
915,5 KB
Nội dung
Trờng đại học vinh Khoa toán ----------- Nguyễn thị thuý hằng vềdạngviphânvà phơng trìnhcấutrúccủa E n Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh,5/2006 mục lục 1 Lời nói đầu 1 Đ1. Dạngviphân bậc một trong E n .2 1. Dạngviphân .2 2. Viphâncủa hàm số .2 Đ2. Dạngviphân bậc hai trong E n .12 I. Dạngviphân bậc hai .12 II. Tích ngoài của các 1 - dạng .14 III. Viphân ngoài củadạngviphân bậc 1 .16 IV. ánh xạ đối tiếp xúc .20 Đ3. Dạng liên kết và phơng trìnhcấutrúccủa E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn 25 I. Dạng liên kết và phơng trìnhcấutrúc .25 II. ứng dụng 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo .38 Lời nói đầu Dạng liên kết- phơng trìnhcấutrúc trên mặt là một trong các đặc trng mô tả các tính chất hình học nội tại của mặt,đợc nhiều tác giả quan tâm vàtrình bày trong nhiều tài liệu nh [1], [2], Trong luận văn này,chúng tôi trình bày và chứng minh cụ thể các tính chất vềdạngviphânvà phơng trìnhcấutrúc trong E n ,ứng dụng của nó để tính độ cong của mặt trong E 3 . Luận văn đợc chia làm 3 mục: Đ1.Dạng viphân bậc một trong E n Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa,tính chất củadạngviphân bậc 1 trên một tập mở trong E n và chỉ ra cách tìm trờng mục tiêu đối ngẫu của tr- ờng mục tiêu. 2 Đ2. Dạngviphân bậc hai trong E n Trong mục này , trình bày định nghĩa , tính chất củadạngviphân bậc 2 trên một tập mở trong E n , viphân ngoài củadạngviphân bậc 1 và ánh xạ đối tiếp xúc. Đ3.Dạng liên kết và phơng trìnhcấutrúccủa E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn. Trong mục này chúng tôi trình bày công thức dạng liên kết và phơng trìnhcấutrúccủa trờng mục tiêu bất kỳ trong E n .Từ đó áp dụng nó vào việc tìm độ cong trung bình,độ cong Gauss của mặt trong E 3 Luận văn đợc thực hiện tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của thầy giáo , PGS -TS Nguyễn Hữu Quang . Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn của thầy giáo, PGS- TS Nguyễn Hữu Quang, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán và xin cảm ơn các bạn bè cùng khoa đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này . Vinh , tháng 4 năm 2006 Sinh viên Nguyễn Thị Thuý Hằng Đ1. Dạngviphân bậc 1 trên tập mở trong E n Ta ký hiệu : U là tập mở trong E n .( E n vơi tôpô tự nhiên) TpU là không gian các vectơ tiếp xúc của U tại điểm p U. B(U) là tập các trờng vectơ khả vi trên U. F (U) là tập các hàm số khả vi trên U. I. Dạngviphân bậc 1. 1.1 Định nghĩa i) Dạngviphân bậc 1 (hay là 1- dạngviphân ) trên U là ánh xạ : p p ; p U , trong đó p là ánh xạ tuyến tính . p : TpU R 3 Xp p (Xp) , Xp TpU ii) Dạngviphân bậc một trên U là khả vi nếu mọi trờng véctơ X khả vi trên U thì hàm số (X) khả vi trên U. Từ nay trở đi ta chỉ xét với những khả vi. Ta ký hiệu 1 (U) = { / là dạngviphân khả vi trên } U . 1.2. Các phép toán trên 1 (U) Giả sử 1 , 2 1 (U), F (U), R khi đó, trên 1 (U) xác định bởi các phép toán. Phép cộng 1 + 2 : P 1 (p) + 2 (p) ; Up (1) Phép nhân 1 p (p) 1 p ; Up (2) Nếu là hằng số = thì 1 : p 1 p ; Up (3) Nhận xét i) 1 (U) với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ . ii) 1 (U) với hai phép toán (1) và (2) lập thành modun trên vành F (U) iii) Giả sử X, Y là các trờng véctơ khả vi trên U, F (U), 1 (U) Thì : (X + Y) = (X) + (Y) ( .X) = (X) Thật vậy, với mọi p U ta có [ (X + Y)] (p) = p (X+ Y) p = p(Xp+Yp) = p(Xp) + p (Yp) (do p là ánh xạ tuyến tính) = (X)(p)+ (Y)(p) = ( (X) + (Y)) (p) ; với mọi p U . Vậy : (X + Y) = (X) + (Y) . * ( X) (p) = p ( X)p = p ( (p)Xp) = (p) p(Xp) (do p là ánh xạ tuyến tính) = (p) (X)(p) = ( (X ))(p) ; Với mọi p U 4 Vậy ( X) = (X) 1.3. Định nghĩa Giả sử { } nU i i ,1 = là trờng mục tiêu trên U , là họ các 1 - dạngviphân thuộc 1 (U) thoả mãn i (U j ) = ij khi đó { } n i i ,1 = đợc gọi là trờng mục tiêu đối ngẫu của trờng mục tiêu { } n i i U ,1 = . 1.4. Mệnh đề Giả sử { } n i i U ,1= và { } n i i U ,1 ' = là hai trờng mục tiêu trên tập mở U trong E n . { } n i i ,1 = và { } n i i ,1 ' = là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của { } n i i U ,1 = và { } nU i i ,1 ' = Ký hiệu U =[ n UUU 21 ] , U' = [ '' 2 ' 1 n UUU ] = n . 2 1 = n ' . ' ' 2 1 ' C = (C ij ) n x n là ma trận chuyển từ trờng mục tiêu U sang U' ; C ij F (U). Khi đó ' = C -1 . (trong đó C -1 là ma trận nghịch đảo của C) Chứng minh : Vì C là ma trận chuyển từ mục tiêu từ U sang U' nên det C 0 từ đó suy ra luôn tồn tại C -1 5 Gọi = nnnn n n CCC CCC CCC C . . . . 21 22221 11211 Theo giả thiết U' = UC. Tức là [ ] [ ] nn UUUUUU 21 '' 2 ' 1 = nnnn n n CCC CCC CCC . . . . 21 22221 11211 +++= +++= +++= nnnnnn nn nn UCUCUCU UCUCUCU UCUCUCU . . . 2211 ' 2222112 ' 2 1221111 ' 1 Gọi = . ' (*) trong đó : = nnnn n n . . . 21 22221 11211 Ta có (*) tơng đơng với 6 = n . 2 1 nnnn n n . . . 21 22221 11211 ' ' 2 ' 1 . n ++= ++= ++= '' 22 ' 11 ' 2 ' 222 ' 1212 ' 1 ' 212 ' 1111 . . . nnnnnn nn nn Ta sẽ chứng minh = C Thật vậy, i, j = n,1 ta có : i ( ) = ' j U ( i1 '1 + i2 ' 2 + . . . in ' n ) ( ) ' j U = ij i ( ) ' j U = i (C 1j U 1 + C 2j U 2 + + C nj U n ) = C ij Suy ra : ij = C ij , i, j = n,1 Hay = C Thay vào (*) ta đợc = C. ' hay ' = C -1 1.5. Mệnh đề ánh xạ : 1 (U) x B(U) F (U) ( , X ) ( ,X) = (X) là song tuyến tính. Chứng minh *) tuyến tính đối với biến thứ nhất. Với mọi 1 , 2 R, 1 , 2 1 (U), cố định X B(U) Ta có : ( 1 1 + 2 2 , X) = ( 1 1 + 2 2 ) (X) = ( 1 1 (X) + 2 2 (X)) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 , X) 7 Suy ra : ( 1 1 + 2 2 , X) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 , X). *) tuyến tính đối với biến thứ hai. Với mọi X, Y B(U), cố định 1 (U); 1 , 2 R Ta có : ( , 1 X + 2 Y) = ( 1 X + 2 Y) = 1 (X) + 2 (X) = 1 ( ,X) + 2 ( ,Y) Suy ra : ( , 1 X + 2 Y) = 1 ( ,X) + 2 ( ,Y). II. Viphâncủa hàm số 1.6. Định nghĩa : Viphâncủa hàm số F (U) là 1 - dạngviphân d 1 (U ) đợc xác định bởi : d (X) = X [ ] ; X B(U). Nhận xét: Giả sử X(X 1 , X 2 , X n ) thì X [ ] = = n i i i x X 1 1.7. Mệnh đề: Giả sử , 1 (U) ; X, Y B(U). Khi đó ta có: (X + Y) [ ] = X [ ] + Y [ ] X [ + ] = X [ ] + X [ ] X [ ] = .X [ ] + X [ ] X [ ] = X [ ] Chứng minh Giả sử X(X i ) , Y(Y i ) ; i = n,1 . *) (X + Y) [ ] = = + n i i ii x YX 1 )( = == + n i i i n i i i x Y x X 11 = X [ ] + Y[ ] . *) X [ + ] = === + = + n i i i n i i i n i i i x X x X x X 111 )( = X [ ] + X [ ] . *) X [ . ] = = n i i i x X 1 ).( = = + n i i i x X 1 8 = ϕ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑∑ == n i i n i i i xx X 11 ϕ ψ ψ ϕ .X [ ψ ] + ψ .X [ ϕ ] VÝ dô: i) Cho X(x,y,z) , Y(y, z, x) ϕ : E 3 → R (x, y, z) x + yz TÝnh X [ ϕ ]; X [X.Y]; Y[X 2 ]; (X ^ Y) [ ϕ ] *) X [ ϕ ] = z z y y x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕ . = x.1 + y.z + z.y = x + 2yz *) X.Y = xy + yz + zx X [X.Y] = x(y+z) + y(x+z) + z(y+x) = 2(xy + yz + zx) *) X 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) Y[X 2 ] = y.2x + z.2y + x.2z = 2(xy + yz + zx) *) X ^ Y = (xy - z 2 , yz - x 2 , xz - y 2 ) X ^ Y [ ϕ ] = (xy - z 2 )1 + (yz - x 2 )z + (xz -y 2 ) y = xy + yz 2 + xyz - z 2 - x 2 z - y 3 ii) Cho E 1 , E… n lµ trêng môc tiªu tù nhiªn TÝnh E 1 [ ϕ ] , E 2 [ ϕ ] ,E… n [ ϕ ] Gi¶i : E 1 (1, 0, . . . 0) E 2 (0, 1, . . . 0) … E n (0, 0, . . . 1) E 1 [ ϕ ] = 121 0.1 xxxx n ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ E 2 [ ϕ ] = 221 .0 1.0 xxxx n ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ E n [ ϕ ] = nn xxxx ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ .1 0.0 21 9 Nh vậy E i [ ] = i x 1.8. Mệnh đề . Giả sử { } n EEE , ., 21 là trờng mục tiêu tự nhiên của E n và các hàm số x i : U R p(p 1 , p 2 , ,p n ) P i với mọi ni ,1 = . Khi đó { } n dxdxdx , .,, 21 là trờng đối mục tiêu của { } n EEE , .,, 21 và { } ndx i i ,1 = là cơ sở của môdun 1 (U) Chứng minh *) dx i (E j ) = (E j ) [x i ] = ij j i x x = Vậy dx i (E j ) = ij *) Hệ { } n dxdxdx , .,, 11 độc lập tuyến tính. Giả sử 1 , 2 , , n R thoả mãn = = n i ii dx 1 0 = = n i jjii EEdx 1 )(0)( ; j = n,1 j = 0 ; j = n,1 *) Hệ { } n dxdxdx , .,, 21 là hệ sinh Lấy bất kỳ thuộc 1 (U), X B (U), X = X 1 E 1 + X 2 E 2 + + X n E n (X) = == = n i ii n i ii EXEX 11 )( do là ánh xạ tuyến tính) = i n i i XE )( 1 = = )()( 1 XdxE i n i i = = ))()(( 1 XdxE i n i i = , X B (U). Vậy = i n i i dxE )( 1 = . 10