Giáo trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng phần b TS lê văn hạp

Giáo trình, vi phân, và phương trình đạo hàm , riêng phần b, TS lê văn hạp

Phần B Phương trình đạo hàm riêng

Chương I – Nhập môn Phân loại phương trình

Đ1 Các định nghĩa và ví dụ

1.1 Các định nghĩa

a) Một phương trình liên hệ giữa các biến độc lập : x1, x2, …, x n ; các ẩn hàm u1(x1, …, x n), …,

u N (x1, …, u n) và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó, gọi là một phương trình đạo hàm riêng (PTDHR)

Ví dụ

0

∂ + ∂ =

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng của các ẩn hàm u1, …, u N đối với các biến

độc lập : x1, …, x n là :

F(x1, …, x n , u1, …, u N, …

1

1 n

k i k k n

u

∂

trong đó i = 1, N , k i ∈ Z+

và

=

=

∑

1

n i i

b) Cấp của phương trình (1.1) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình (1.1) Một phương trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của ẩn hàm u đối với hai biến x, y có dạng :

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ,

c) Phương trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với các ẩn hàm u1, …,

u N và các đạo hàm riêng của chúng có mặt trong phương trình Phương trình không tuyến tính gọi

là phương trình phi tuyến Nếu F chỉ tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất thì phương

trình (1.1) gọi là phương trình á tuyến tính

Ví dụ

là phương trình tuyến tính cấp hai của u đối với hai biến x, y

( )

2

là phương trình á tuyến tính

d) Hệ (u1, …, u N) gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay hệ đó vào (1.1), ta được một đồng nhất thức của các biến độc lập

Ví dụ

( )

có nghiệm là u(x, y) = x2 + y2

1.2 Ví dụ

Phương trình dao động của một sợi dây

Trong mặt phẳng (xOu), xét một sợi dây ab căng thẳng & Ox Bằng một cách nào đó, ta làm dây rung

động và nghiên cứu quy luật dao động của sợi dây ab

Giả sử dây ab rất nhỏ để nó không cưỡng lại sự uốn và có lực căng tương đối lớn so với trọng lượng

của dây khiến ta bỏ qua yếu tố trọng lượng của dây

Ta chỉ xét dao động ngang của dây, tức là khi dao động của chất điểm trên dây chuyển động thẳng góc với trục Ox

Gọi u(x, t) là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng M(x) tại thời điểm t

Ta giả thiết độ lệch u(x, t) nhỏ và đạo hàm u

x

∂

∂ rất nhỏ nên có thể bỏ qua lượng

2

u x

∂

⎛ ⎞

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠

Độ dài dây

( )

1

x

nói cách khác, ta xem độ dài dây không thay đổi khi dây dao động

Như vậy, theo định luật Hook, lực căng T tại mọi vị trí đều có cường độ không đổi Kí hiệu lực căng tại M(x), ứng với thời điểm t là T(x, t) Ta có :

T(x, t) = T0, ∀x ∈ [a, b]

Giả sử lực ngoài tác động lên sợi dây song song với trục Ou và phân bố trên một đơn vị dài

là F(x, t) Gọi p(x) là tỉ trọng dài của sợi dây

Khối lượng dây trong khoảng dx là :

Theo định luật Newton : tổng các lực tác động vào sợi dây bằng khối lượng dây nhân với quán tính của sợi dây :

F = ma (*)

Gọi α(x) là góc hợp bởi trục Ox và lực căng T hướng theo tiếp tuyến với sợi dây tại M(x)

Chiếu đẳng thức (*) lên trục Ou, ta có :

t0sinα(x + dx) – T0sinα(x) + Fdx = p(x)dx.

2 2

u t

∂

∂ vì

sinα(x) = ( )

( )

∂

=

∂

+ ⎜ ⎟⎝∂ ⎠

tg

1 tg

1

u

x

x

Vậy

T0( u

x

∂

∂ (x + dx) –

u x

∂

∂ (x)) + F(x, t)dx = p(x)

2

2

u dx t

∂

∂

Hay p(x)

2

2

u t

∂

∂ = T0

( ) ( )

x

dx

x + F(x, t),

cho dx → 0, ta có :

p(x)

2

2

u t

∂

∂ = T0

2

2

u x

∂

Khi đó (1.4) gọi là phương trình dao động của dây

Nếu sợi dây đồng chất p(x) = p0, (1.4) có dạng :

( )

2

với a2 = 0

0

T

p , f(x, t) =

( )

0

,

F x t

p gọi là phương trình truyền sóng một chiều

Phương trình truyền sóng hai chiều có dạng :

( )

2

Phương trình truyền nhiệt có dạng :

( )

2

Phương trình truyền âm có dạng :

( )

2

Ph−¬ng tr×nh Laplace cã d¹ng :

∆u = ∂22 + ∂22 = 0

Đ2 Phương trình đạo hàm riêng cấp một

2.1 Một số khái niệm

Phương trình tuyến tính cấp một của ẩn hàm u đối với x1, x2, …, x n là phương trình có dạng :

( 1 ) ( 1 1

, , , , , ,

n

u

x

=

∂

=

∂

trong đó X i , i = 1, n , và f là các hàm của x1, …, x n và u

Nếu (2.1) có dạng :

( 1 )

1

n

u

x

=

∂ =

∂

(2.2) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

2.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình tuyến tính thuần nhất của (2.2) Giả sử X i , i = 1, n, là các hàm liên tục cùng

với các đạo hàm riêng của chúng trong một lân cận v(X 0), X 0 = (x , …, x ) và không đồng thời

bằng không tại X

0 1

0

n

0

, chẳng hạn :

Rõ ràng u = C (C : hằng số) là nghiệm của (2.2) gọi là nghiệm hiển nhiên Sau đây ta sẽ

chứng minh rằng, với những giả thiết thích hợp nào đó, phương trình (2.2) có vô số nghiệm không

hiển nhiên

Tương ứng với (2.2), ta xét hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng :

n

n

dx

(2.4) gọi là hệ đối xứng tương ứng với (2.2)

Nếu với giả thiết (2.3) thì trong một lân cận nào đó của X 0 hệ (2.4) tương đương với một hệ dạng chuẩn tắc sau đây :

⎧

=

⎪

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

(2.5)

a) Định nghĩa. Hàm ϕ(x1, x2, …, x n) khả vi liên tục và không đồng nhất bằng hằng số gọi là tích

phân của hệ (2.4) hay (2.5) nếu nó trở thành đồng nhất bằng hằng số khi ta thay x1, x2, …, x n – 1 bởi

bất kì nghiệm riêng nào của (2.4) hay (2.5)

Giả sử ϕ(x1, x2, …, x n ) là tích phân của (2.5) và (x1, x2, …, x n – 1 ), trong đó x i = x i (x n),

i = 1, n ư1, là một nghiệm riêng của (2.4) Khi đó ta có :

dϕ = C, C là hằng số,

hay

dϕ =

1

0

n

i

i i

dx x

=

∂

=

∂

∑ ϕ

1

1

n

i

n

X

dx

ư

=

Vậy

1

0

n i

i i

X x

=

∂

=

∂

b) Định lí

1) Nếu hàm số ϕ(x1, x2, …, x n ) là tích phân khả vi liên tục của hệ (2.4) thì u = ϕ(x1, x2, …, x n)

là nghiệm của phương trình (2.2)

2) Ngược lại, nếu u = ϕ(x1, x2, …, x n) khác hằng số là nghiệm của (2.2) thì ϕ(x1, x2, …, x n) là

tích phân của hệ (2.4)

Chứng minh

1) Theo giả thiết và (2.6) ta suy ra u = ϕ(x1, x2, …, x n) là nghiệm của (2.2)

2) Giả sử u = ϕ(x1, x2, …, x n) là nghiệm của (2.2) Ta có :

dϕ =

1

0

n

i

i i

dx x

=

∂

Với xi = x i (x n), 1, n, thoả mãn (2.5) nên :

dϕ =

1

1

n

i

n

X

dx

ư

=

hay

1

0

n

i

i i

X x

=

∂

=

∂

theo định nghĩa, ϕ(x1, x2, …, x n) chính là tích phân của (2.4)

Như vậy, việc tìm nghiệm của phương trình (2.2) tương đương với việc tìm tích phân của hệ

(2.4) Với giả thiết (2.3) hệ (2.4) tương đương với hệ (2.5) trong một lân cận nào đó của X 0 = (x ,

…, x ) và giả sử rằng trong lân cận này hệ (2.5) có (n – 1) tích phân độc lập

0 1 0

n

ϕ1(x1, x2, …, x n), ϕ2(x1, x2, …, x n), …, ϕn – 1 (x1, x2, …, x n)

Khi đó

với Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là một tích phân của (2.5) Vậy

u = Φ(ϕ1, …, ϕn – 1) là nghiệm của (2.2)

c) Ví dụ Xét phương trình

0

∂ + ∂ + ∂ =

x y z (*)

Hệ đối xứng tương ứng u u u

∂ = ∂ = ∂

Dễ thấy ϕ1(x, y) = y

x, ϕ2(x, z) = z

x ; (x ≠ 0) là hai tích phân độc lập của hệ (**) Vậy nghiệm

tổng quát của phương trình (*) là u = Φ( y

x,

z

x), với Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì

2.3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Xét phương trình

( 1 ) ( 1 1

, , , , , ,

=

∂

=

∂

u

Giả thiết X i , i = 1, n và f liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một lân cận của điểm X0= (x , …, x , u10 0n 0) ngoài ra X n( ) ≠ 0 Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của

phương trình (2.1) có dạng ẩn :

0

X

V(x1, x2, …, x n , u) = 0, (*)

trong đó V là hàm khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện : V( )0

u u

∂

∂ ≠ 0

Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (*) khả vi và :

i i

V x u

V x

u

∂

∂

∂ = ư

∂

∂

∂

, i = 1, n

Thế vào (2.1) ta được :

1

0

n i

=

Như vậy V(x1, x2, …, x n , u) = 0 là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (2.8)

Gọi ϕ1(x1, x2, …, x n , u), …, ϕn (x1, x2, …, x n , u) là n tích phân độc lập của hệ đối xứng tương

ứng với (2.8) :

1

1

n

n

dx

f

Khi đó nghiệm tổng quát (2.8) có dạng :

V = Φ(ϕ1, …, ϕn)

trong đó Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì Vậy nghiệm của (2.1) có dạng V = Φ(ϕ1, …, ϕn) = 0

2.4 Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét bài toán Cauchy sau đây :

( 1 )

1

n

u

x

=

∂

=

∂

x =x

trong đó X i , i = 1, n , liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một lân cận của X 0

= (x , …, x ) và ϕ là một hàm khả vi liên tục của các biến x10 0n 1, …, x n – 1

Gọi ϕ1, …, ϕn–1 là n – 1 tích phân độc lập của hệ vi phân (2.4) tương ứng với (2.2)

Đặt

0

0

, , ,

, , ,

ư

⎪⎪

⎨

ϕ

ϕ

Giải từ hệ này ra các x i , i = 1, n ư1, trong lân cận của điểm X 0 :

x1 = ψ1(ϕ1, …, ϕn ư1)

………

x n – 1 = ψn – 1(ϕ1, …, ϕn ư1)

Hàm số u = ϕ(ψ1(ϕ1, …, ϕn – 1), …, ψn – 1(ϕ1, …, ϕn – 1)) là nghiệm của

bài toán (2.2) – (2.9)

Thật vậy, theo (2.7), u thoả mãn phương trình (2.2) Mặt khác

x =x = ϕ(ψ1(ϕ1, …, ϕn ư1), …, ψn – 1(ϕ1, …, ϕn ư1) = ϕ(x1, …, x n – 1)

Ví dụ Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau đây :

⎨

⎩

Hệ vi phân tương ứng : dx dy 2 dz

có hai tích phân độc lập ϕ1(x, y) =

2

x

ư , ϕ2(x, z) = z

x Thế x = 2 vào các tích phân độc lập và

xét hệ :

1

2

4 2 2

y z

ư

⎪⎪

⎨

⎪ = ϕ

⎪⎩

hay 1

2

2

y z

⎧ = ϕ +

⎪

⎨

= ϕ

⎪⎩

Ta có z = y – 4 hay 2ϕ1 + 4 – 4 = 2ϕ2

Suy ra ϕ2 = ϕ1, tức là :

2

ư =

Vậy z = y – x2 là nghiệm phải tìm

Đ3 Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m Khái niệm đặc

trưng

3.1 Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m

Cho Ω ⊂ R n

và hàm u = u(x1, …, x n) xác định trên Ω Kí hiệu :

j

x

D u =

j

u x

∂

∂ = u ; x j

j j

x

j

D

x

α α

α

∂

=

∂ , j = 1, n

1

n

n

α α

α

α α

∂

∂ ∂ ,

ở đây α = (α1, …, αn), αj ∈ Z+ và

1

n j

j =

= ∑

Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m trong miền Ω ⊂ R n là :

( ) ( )

m

α ≤

=

với x ∈ Ω, f, aα là những hàm xác định trên Ω

Ví dụ. Phương trình tuyến tính cấp hai có dạng :

( ) 2 ( ) ( ) ( )

3.2 Khái niệm đặc trưng

Kí hiệu : ξ = (ξ1, …, ξn) ; ξα = 1

n

α α

ξ ξ với α = (α1, …, αn), αi ≥ 0, αi ∈ Z, i = 1, n a) Phương trình

( ) 0

m

a x

α =

α

∑ gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (3.1)

b) ξ = (ξ1, …, ξn) ≠ 0 gọi là vectơ có hướng đặc trưng nếu nó thoả mãn phương trình đặc

trưng

= n(x) của S tại x có hướng đặc trưng

3.3 Bài toán Cauchy

Kí hiệu

x = (x1, …, x n ) ∈ R n , t = x n ∈ R, x′ = (x1, …, x n–1 ) ∈ R n–1,

t = t0 là siêu phẳng của R n–1

Xét bài toán : tìm nghiệm của phương trình (3.1) trong miền Ω = R n–1 ì (t0 ; +∞) và thoả mãn

điều kiện ban đầu sau đây :

( )

0

j

t t t j

trong đó ϕj , j = 0, 1, 2, …, m – 1 là các hàm cho trước xác định trong R n – 1 Bài toán (3.1) – (3.2)

gọi là bài toán Cauchy Ta có định lí sau đây :

Định lí Cauchy-Covarlepskaia

Giả sử thực hiện được các điều kiện sau :

a) aα(x), và f(x) là các hàm giải tích trong lân cận của điểm x0 = (x0′, t0) với x0′ =

(x10, , x n0ư1)

b) aα∗(x0

) ≠ 0 với α*

= (0, …, 0, m)

c) ϕj(x′), j = 0, 1, …,m – 1 giải tích trong lân cận của x0′

Khi đó bài toán Cauchy (3.1) – (3.2) tồn tại duy nhất nghiệm u(x) giải tích trong lân cận của

điểm x0

Đ4 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Tuyến tính

cấp hai trong trường hợp hai biến

Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực xác định trong miền Ω ⊂ R2 :

a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy + F(x, y, u, u x , u y) = 0 (4.1)

Xét (x0, y0) ∈ Ω là một điểm cố định

a) Phương trình (4.1) gọi là elip tại (x0, y0) nếu tại điểm đó b2 – ac < 0

b) Phương trình (4.1) gọi là hyperbol tại (x0, y0) nếu tại điểm đó b2 – ac > 0

c) Phương trình (4.1) gọi là parabol tại (x0, y0) nếu tại điểm đó b2 – ac = 0

Nếu phương trình (4.1) là elip (hyperbol, parabol) tại mọi (x, y) ∈ Ω thì ta gọi (4.1) là elip

(hyperbol, parabol) trên Ω

Ta sẽ dùng phép đổi để đưa phương trình (4.1) thuộc từng loại về các phương trình dạng rút gọn, gọi là các phương trình chính tắc

Xét phép biến đổi không suy biến :

( ) ( )

, ,

x y

x y

⎧ξ = ξ

⎪

⎨

η = η

Trong đó ξ, η là những hàm khả vi liên tục hai lần và Jacobien

( )

,

0 ,

y x y x

D

D x y

ξ ξ

ξ η

η

Khi đó

; 2

2

= ξ + η = ξ + η

⎧

⎪

= ξ + ξ η + η + ξ + η

⎪⎪

⎨ = ξ ξ + ξ η + ξ η + η η + ξ + η

⎪

⎪

= ξ + ξ η + η + ξ + η

⎪⎩

xy

(4.3)

Thay (4.3) vào (4.1) ta được phương trình sau :

a1(ξ, η)uξξ + 2b1(ξ, η)uξη + c1(ξ, η)uηη + F1(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (4.4)

trong đó :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1

1

2 2

1

,

⎧ ξ η = ξ + ξ ξ + ξ

⎪

⎪ ξ η = ξ η + ξ η + ξ η + η η

⎨

⎪

⎪ ξ η = η + η η + η

⎩

Ta có b12 – a1c1 = (b2 – ac)J2(x, y)

Vậy qua phép biến đổi không suy biến (4.2), loại của phương trình (4.1) không thay đổi Ta

có thể chọn phép biến đổi để phương trình (4.4) có dạng đơn giản Trong (4.5) nếu chọn ξ, η là nghiệm của phương trình :

aϕx2 + 2bϕxϕy + c 2

y

ϕ = 0,

thì a1 = c1 = 0 và phương trình (4.4) có dạng :

2b1(ξ, η)uξη + F1(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 gọi là phương trình chính tắc

Phương trình (4.6) là phương trình đặc trưng của (4.1) Để tìm nghiệm của phương trình đặc trưng (4.6), ta thiết lập bổ đề sau đây :

Bổ đề. Giả sử ϕ ∈ C1(Ω) với Ω ⊂ R2 và ϕ2x +ϕy2 > 0, ∀(x, y) ∈ Ω Khi đó z = ϕ(x, y) là nghiệm

riêng của phương trình (4.6) khi và chỉ khi ϕ(x, y) = C (hằng số) là tích phân tổng quát của

phương trình sau đây :

(4.7) cũng gọi là phương trình đặc trưng của (4.1)

Chứng minh

Giả sử z = ϕ(x, y) là một nghiệm riêng của (4.6) Nếu ϕy ≠ 0 thì từ (4.6) suy ra :

2

Xét hệ thức ϕ(x, y) = C (C : hằng số), với giả thiết của bổ đề, hệ thức này xác định một ẩn hàm y = y(x) khả vi và y′(x) = – x

y

ϕ

ϕ ,

do đó a(y′)2 – 2by′ + c = 0,

hay a(dy)2 – 2bdxdy + c(dx)2 = 0

Nếu ϕy = 0 thì ϕx ≠ 0, lặp lại lí luận trên, trong đó ϕy được thay bằng ϕx, ta cũng đi đến kết luận của bổ đề

Ngược lại, giả sử ϕ(x, y) = C là tích phân tổng quát của (4.7) Ta cần chứng minh rằng : với mọi (x0, y0) ∈ Ω, z = ϕ(x, y) là nghiệm riêng nào đó của (4.6) tại điểm (x0, y0)

Thật vậy, đặt ϕ(x0, y0) = C0 và xét hệ thức : ϕ(x, y) = C0 Nếu ϕy ≠ 0, theo định lí hàm ẩn, ta

có hàm y = y(x) khả vi và y′(x) = –ϕx

ϕ

Theo giả thiết ta có :

a(y′)2 – 2by′ + c = 0,

hay

y

ϕ

ϕ )2 + 2b x y

ϕ

ϕ + c

2

y

ϕ = 0

Vậy z = ϕ(x, y) là nghiệm riêng của (4.6) thoả mãn điều kiện đầu ϕ(x, y)⏐(x0 ,y0 ) = C0

Nếu ϕy = 0 thì ϕx ≠ 0, lí luận hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh đượ z = ϕ(x, y) là

nghiệm riêng của (4.6)

Như vậy, việc tìm nghiệm của (4.6) tương ứng với việc tìm tích phân tổng quát của (4.7)

Ta thường xét phương trình vi phân (4.7) dưới một trong hai dạng sau :

Ta xét các trường hợp sau đây :

trưng (4.8) hay (4.9) có hai nghiệm phân biệt

2 1

y

a

=

;

2 2

y

a

=

Suy ra

y1 =

2

1

a

+

2

2

a

+

trong đó C1, C2 là các hằng số

Vậy (4.6) có hai tích phân tổng quát :

ϕ(x, y) = y –

2

1

a

=

ψ(x, y) = y – b b2 ac dx C2

a

=

Dùng phép biến đổi :

( ) ( )

, ,

x y

x y

⎧ξ = ϕ

⎪

⎨

η = ψ

⎪⎩

Vì

y x

ξ ξ

η

(do y1 x 2 x

y

ϕ ψ ) nên phép biến đổi này là không suy biến

Theo bổ đề, qua phép biến đổi này ta có a1 = c1 = 0 và :

b = b ư a c = J b ư ac >

nên b1 ≠ 0 Khi đó phương trình (4.4) có dạng :

2

2b ∂ u F , , ,u u uξ, η

hay

(

2

1 , , , ξ, η 0,

∂ξ∂η

u

1

1

2

F F

b

= ư

Nếu c = 0 thì b ≠ 0 (do b2 – ac > 0) Khi đó phương trình (4.1) đã có dạng (4.10)

Nếu c ≠ 0 Thay vì xét phương trình đặc trưng dạng (4.8) ta xét (4.9) và lí luận hoàn toàn

tương tự như trên, ta cũng đi đến phương trình (4.10)

Nhận xét : Bằng phép biến đổi tiếp theo :

ξ = α + β

⎧

⎨η = α ư β

⎩ Phương trình (4.10) được đưa về dạng :

uαα – uββ = F1(α, β, u, uα, uβ) (4.11) Cả hai phương trình (4.10) và phương trình (4.11) đều gọi là phương trình chính tắc của phương trình loại hyperbol

(

2

2 , , , x, y 0

u

y

∂

hoặc

(

2

2 , , , x, y 0

u

x

b y

a

= ư

′

, hay (4.6) có một tích phân tổng quát :

ϕ(x, y) = y + b dx C