Giáo trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng phần b TS lê văn hạp

Giáo trình, vi phân, và phương trình đạo hàm , riêng phần b, TS lê văn hạp

Phần B Phơng trình đạo hàm riêng Chơng I Nhập môn Phân loại phơng trình Đ1 Các định nghĩa ví dụ 1.1 Các định nghĩa a) Một phơng trình liên hệ biến độc lập : x1, x2, , xn ; ẩn hàm u1(x1, , xn), , uN(x1, , un) đạo hàm riêng ẩn hàm đó, gọi phơng trình đạo hàm riêng (PTDHR) Ví dụ u u x +y = 0; ∂x ∂y ∂2u ∂2u + = ∂x y Dạng tổng quát phơng trình đạo hàm riêng ẩn hàm u1, , uN biến độc lập : x1, , xn : ∂ k ui F(x1, …, xn, u1, …, uN, … k1 , …) = 0, k ∂x1 ∂x nn ®ã i = 1, N , ki ∈ Z+ vµ n ∑k i =1 i (1.1) = k , F hàm nhiều biến b) Cấp phơng trình (1.1) cấp cao đạo hàm có mặt phơng trình (1.1) Một phơng trình mặt đạo hàm riêng phơng trình đạo hàm riêng Phơng trình đạo hàm riêng cấp cấp hai ẩn hàm u hai biến x, y có dạng : F(x, y, u, ∂u ∂u , ) = 0, ∂x ∂y (1.2) F(x, y, u, ∂u ∂u ∂ u ∂ u ∂ u , , , , )=0 ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y (1.3) c) Phơng trình (1.1) gọi tuyến tính F hàm tuyến tính ẩn hàm u1, , uN đạo hàm riêng chúng có mặt phơng trình Phơng trình không tuyến tính gọi phơng trình phi tuyến Nếu F tuyến tính đạo hàm riêng cấp cao phơng trình (1.1) gọi phơng trình tuyến tính VÝ dô ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u +2 + + x2 + y2 + x2 + y2 u = , ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ( 74 ) phơng trình tuyến tính cấp hai u ®èi víi hai biÕn x, y x ∂ 2u ∂ 2u ∂2u + xy + y + ( x + y ) u2 = ∂x ∂x∂y y phơng trình tuyến tính d) Hệ (u1, …, uN) gäi lµ nghiƯm cđa (1.1) nÕu thay hệ vào (1.1), ta đợc đồng thức biến độc lập Ví dụ 2 uxx + ( uxx − ) uxy − uyy = cã nghiƯm lµ u(x, y) = x2 + y2 1.2 Ví dụ Phơng trình dao động sợi dây Trong mặt phẳng (xOu), xét sợi dây ab căng thẳng Ox Bằng cách đó, ta làm dây rung động nghiên cứu quy luật dao động sợi dây ab Giả sử dây ab nhỏ để không cỡng lại uốn có lực căng tơng đối lớn so với trọng lợng dây khiến ta bỏ qua yếu tố trọng lợng dây Ta xét dao động ngang dây, tức dao động chất điểm dây chuyển ®éng th¼ng gãc víi trơc Ox Gäi u(x, t) độ lệch dây so với vị trí cân M(x) thời điểm t u u Ta giả thiết độ lệch u(x, t) nhỏ đạo hàm nhỏ nên bỏ qua lợng x x Độ dài dây l′ = b ∫ a + ( ux ) dx b ∫ dx = b − a , a nói cách khác, ta xem độ dài dây không thay đổi dây dao động Nh vậy, theo định luật Hook, lực căng T vị trí có cờng độ không đổi Kí hiệu lực căng M(x), ứng với thời điểm t T(x, t) Ta cã : T(x, t) = T0, ∀x ∈ [a, b] Giả sử lực tác động lên sợi dây song song với trục Ou phân bố đơn vị dài F(x, t) Gọi p(x) tỉ trọng dài sợi dây Khối lợng dây khoảng dx : m = p(x)dx 75 Theo định luật Newton : tổng lực tác động vào sợi dây khối lợng dây nhân với quán tính sợi dây : F = ma (*) Gọi (x) góc hợp trục Ox lực căng T hớng theo tiếp tuyến với sợi dây M(x) Chiếu đẳng thức (*) lªn trơc Ou , ta cã : ∂2u t0sinα(x + dx) – T0sinα(x) + Fdx = p(x)dx ∂t v× sinα(x) = tgα ( x ) + tg α ( x ) = ∂u ∂x ⎛ ∂u ⎞ 1+⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ∂u ∂x VËy T0 ( ∂2u ∂u ∂u (x + dx) – (x)) + F(x, t)dx = p(x) dx ∂x ∂x ∂t ∂u ⎡ ∂u ⎤ ∂2u ⎢ ∂x ( x + dx ) − ∂x ( x ) ⎥ Hay p(x) = T0 ⎢ ⎥ + F(x, t), ∂t dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ cho dx → 0, ta cã : ∂2u = T0 ∂ u + F(x, t) t x Khi (1.4) gọi phơng trình dao động dây Nếu sợi dây đồng chÊt p(x) = p0, (1.4) cã d¹ng : p(x) (1.4) ∂2u ∂2u = a2 + f ( x, t ) , ∂t ∂x F ( x, t ) T0 , f(x, t) = gọi phơng trình truyền sóng chiều p0 p0 Phơng trình truyền sóng hai chiỊu cã d¹ng : víi a2 = ⎛ ∂2u ∂2u ⎞ ∂2u = a ⎜ + ⎟ + f ( x , y, t ) ∂t y x Phơng trình truyền nhiệt có d¹ng : ⎛ ∂2u ∂2u ⎞ ∂u = a ⎜ + ⎟ + f ( x , y, t ) ∂t ∂y ⎠ ⎝ ∂x Ph−¬ng trình truyền âm có dạng : 2u 2u 2u ⎞ 2⎛∂ u = a ⎜ + + ⎟ + f ( x , y, t ) ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x 76 Ph−¬ng trình Laplace có dạng : 2u 2u u = + = x y 77 Đ2 Phơng trình đạo hàm riêng cấp 2.1 Một số khái niệm Phơng trình tuyến tính cấp ẩn hàm u x1, x2, , xn phơng trình cã d¹ng : n ∂u (2.1) ∑1 X i ( x1 , , xn , u ) ∂x = f ( x1 , , xn , u ) i= i Xi, i = 1, n , f hàm x1, , xn u Nếu (2.1) cã d¹ng : n ∂u ∑1 X i ( x1 , , xn ) ∂x = , i= i (2.2) (2.2) gọi phơng trình tuyến tính 2.2 Phơng trình tuyến tính Xét phơng trình tuyến tính (2.2) Giả sử Xi, i = 1, n , hàm liên tục với đạo hàm riêng chúng mét l©n cËn v(X 0), X = (x , , x ) không đồng thời n không X 0, chẳng hạn : Xn(X0) (2.3) Râ rµng u = C (C : h»ng số) nghiệm (2.2) gọi nghiệm hiển nhiên Sau ta chứng minh rằng, với giả thiết thích hợp đó, phơng trình (2.2) có vô số nghiệm không hiển nhiên Tơng ứng với (2.2), ta xét hệ phơng trình vi phân thờng dạng đối xứng : dx dx1 dx2 = = = n , X1 X2 Xn (2.4) (2.4) gọi hệ đối xứng tơng ứng với (2.2) Nếu với giả thiết (2.3) lân cận X hệ (2.4) tơng đơng với hệ dạng chuẩn tắc sau ®©y : ⎧ dx1 X1 ⎪ dx = X n ⎪ n ⎪ ⎨ ⎪ dx X ⎪ n −1 = n −1 ⎪ dx n Xn ⎩ (2.5) a) Định nghĩa Hàm (x1, x2, , xn) khả vi liên tục không đồng số gọi tích phân hệ (2.4) hay (2.5) trở thành đồng số ta thay x1, x2, …, xn – bëi bÊt k× nghiƯm riêng (2.4) hay (2.5) Giả sử (x1, x2, , xn) tích phân (2.5) (x1, x2, …, xn – 1), ®ã xi = xi(xn), i = 1, n , nghiệm riêng cđa (2.4) Khi ®ã ta cã : dϕ = C, C lµ h»ng sè, 78 hay dϕ = ∂ϕ n ∑ ∂x i =1 dxi = i ∂ϕ X i ∂ϕ + ) dx n = ∂x n i = ∂xi X n n −1 (∑ VËy n ∂ϕ ∑ ∂x X i =1 i =0 (2.6) i b) Định lí 1) Nếu hàm số (x1, x2, , xn) tích phân khả vi liên tục cđa hƯ (2.4) th× u = ϕ(x1, x2, …, xn) nghiệm phơng trình (2.2) 2) Ngợc lại, u = (x1, x2, , xn) khác số nghiệm (2.2) (x1, x2, , xn) tích phân hệ (2.4) Chứng minh 1) Theo giả thiết vµ (2.6) ta suy u = ϕ(x1, x2, …, xn) nghiệm (2.2) 2) Giả sử u = ϕ(x1, x2, …, xn) lµ nghiƯm cđa (2.2) Ta cã : n ∂ϕ dϕ = ∑ dxi = i = ∂xi Víi xi = xi(xn), 1, n , thoả mÃn (2.5) nên : X i + ) dx n = , ∂x n i = ∂xi X n n −1 dϕ = ( ∑ hay n ∂ϕ ∑ ∂x i =1 Xi = , i theo định nghĩa, (x1, x2, , xn) tích phân (2.4) Nh vậy, việc tìm nghiệm phơng trình (2.2) tơng đơng với việc tìm tích phân hệ (2.4) Với giả thiết (2.3) hệ (2.4) tơng đơng với hệ (2.5) lân cận X = (x , , x ) giả sử lân cận hệ (2.5) có (n 1) tích phân ®éc lËp n ϕ1(x1, x2, …, xn), ϕ2(x1, x2, …, xn), …, ϕn – 1(x1, x2, …, xn) Khi ®ã u = Φ(ϕ1, …, ϕn – 1), (2.7) víi Φ hàm khả vi liên tục bất kì, tích phân (2.5) Vậy u = (1, …, ϕn – 1) lµ nghiƯm cđa (2.2) c) VÝ dụ Xét phơng trình u u u x +y +z = (*) ∂x ∂y ∂z 79 ∂u ∂u ∂u = = (**) ∂x ∂y ∂z y z DÔ thÊy ϕ1(x, y) = , ϕ2(x, z) = ; (x 0) hai tích phân độc lập hệ (**) VËy nghiƯm x x y z tỉng qu¸t cđa phơng trình (*) u = ( , ), với hàm khả vi liên tục x x Hệ đối xứng tơng ứng 2.3 Phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình n u ∑1 X i ( x1 , , xn , u ) ∂x = f ( x1 , , xn , u ) i= i (2.1) Gi¶ thiÕt Xi, i = 1, n f liên tục đạo hàm riêng cấp chúng lân cËn cđa ®iĨm X = (x , …, x , u0) ngoµi Xn( X ) ≠ Ta sÏ chøng minh r»ng nghiƯm cđa n phơng trình (2.1) có dạng ẩn : V(x1, x2, , xn, u) = 0, (*) ∂V ®ã V hàm khả vi liên tục thoả mÃn điều kiện : u u Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (*) khả vi vµ : ∂V ∂x ∂u = − i , i = 1, n ∂V ∂xi ∂u ThÕ vµo (2.1) ta đợc : n V V (2.8) X i ∂x + f ∂u = i= i ( ) Nh− vËy V(x1, x2, …, xn, u) = nghiệm phơng trình tuyến tính (2.8) Gäi ϕ1(x1, x2, …, xn, u), …, ϕn (x1, x2, , xn, u) n tích phân độc lập hệ đối xứng tơng ứng với (2.8) : dx dx1 du = = n = X1 Xn f Khi nghiệm tổng quát (2.8) có dạng : V = (1, , n) hàm khả vi liên tục Vậy nghiệm (2.1) cã d¹ng V = Φ(ϕ1, …, ϕn) = 2.4 Nghiệm toán Cauchy phơng trình tuyến tính Xét toán Cauchy sau : n ∂u (2.2) ∑1 X i ( x1 , , xn ) ∂x = , i= i (2.9) u ⏐x = x = ϕ(x1, …, xn – 1), n n 80 ®ã Xi, i = 1, n , liên tục đạo hàm riêng cấp mét cđa chóng mét l©n cËn cđa X 0 = (x , …, x ) vµ hàm khả vi liên tục biÕn x1, …, xn – n Gäi ϕ1, …, n1 n tích phân độc lập hệ vi phân (2.4) tơng ứng với (2.2) Đặt ⎧ϕ1 x1 , , xn − , xn = ϕ1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ϕn − x1 , , x n − , x n = ϕn − ⎩ ( ) ( ) Gi¶i tõ hệ xi, i = 1, n , lân cận điểm X : x1 = ψ1( ϕ1 , …, ϕ n − ) …………… xn – = ψn – 1( ϕ1 , …, ϕ n − ) Hµm sè u = ϕ(ψ1(ϕ1, …, ϕn – 1), …, ψn – 1(ϕ1, , n 1)) nghiệm toán (2.2) (2.9) Thật vậy, theo (2.7), u thoả mÃn phơng trình (2.2) Mặt khác u x = x = ϕ(ψ1( ϕ1 , …, ϕ n − ), …, ψn – 1( ϕ1 , …, ϕ n − ) = ϕ(x1, …, xn – 1) n n VÝ dụ Tìm nghiệm toán Cauchy sau : ∂z ⎧ ∂z + y + x2 =z ⎪x ∂y ⎨ ∂x ⎪z = y − x = ( Hệ vi phân tơng ứng : ) dx dy dz = = , x y+x z có hai tích phân độc lập 1(x, y) = y − x2 z , ϕ2(x, z) = ThÕ x = vào tích phân độc lập x x xÐt hÖ : ⎧y − ⎪ = ϕ1 ⎪ ⎨ ⎪z = ϕ ⎪2 ⎩ ⎧ ⎪ y = 2ϕ1 + hay ⎨ ⎪ z = ϕ2 ⎩ Ta cã z = y – hay 2ϕ1 + – = 2ϕ2 y − x2 z = x x VËy z = y x nghiệm phải tìm Suy = 1, tức : 81 Đ3 Dạng tổng quát phơng trình tuyến tính cấp m Khái niệm đặc trng 3.1 Dạng tổng quát phơng trình tuyến tÝnh cÊp m Cho Ω ⊂ Rn vµ hµm u = u(x1, , xn) xác định Kí hiệu : α ∂ j ∂u α Dx j u = = ux j ; Dx j j = α j , ∂x j ∂x j α α α α Dα = Dx = Dx11 Dx22 Dxnn = α = (α1, …, αn), j = 1, n α ∂ , α1 ∂x1 ∂x n αn n ∑α αj ∈ Z + vµ α = j =1 j Dạng tổng quát phơng trình tuyến tính cÊp m miỊn Ω ⊂ Rn lµ : ∑ a (x)D α ≤m α α u = f (x), (3.1) với x , f, a hàm xác định Ví dụ Phơng trình tuyến tính cÊp hai cã d¹ng : n ∑ i, j = aij ( x ) ∂2u + ∂xi ∂x j ∂u n ∑ b ( x ) ∂x i =1 i + c ( x ) u = f ( x ) i 3.2 Khái niệm đặc trng Kí hiÖu : ξ = (ξ1, …, ξn) ; ξα = ξ1 ξα n n víi α = (α1, …, αn), αi ≥ 0, αi ∈ Z, i = 1, n a) Phơng trình a (x) =0 = m gọi phơng trình đặc trng phơng trình (3.1) b) = (1, , n) gọi vectơ có hớng đặc trng thoả mÃn phơng trình đặc trng c) Mặt S Rn gọi đặc trng phơng trình (1) với x S vectơ pháp tun ξ = n(x) cđa S t¹i x cã h−íng đặc trng 3.3 Bài toán Cauchy Kí hiệu x = (x1, …, xn) ∈ Rn, t = xn ∈ R, x′ = (x1, …, xn–1) ∈ Rn–1, t = t0 siêu phẳng Rn1 82 Xét toán : tìm nghiệm phơng trình (3.1) miền = Rn1 ì (t0 ; +) thoả mÃn điều kiện ban đầu sau : ( ) Dtj ut = t0 = ϕ j x ′ (3.2) ®ã ϕj, j = 0, 1, 2, …, m – lµ hàm cho trớc xác định Rn Bài toán (3.1) (3.2) gọi toán Cauchy Ta có định lí sau : Định lí Cauchy-Covarlepskaia Giả sử thực đợc điều kiện sau : a) a(x), f(x) hàm giải tích lân cận điểm x0 = ( x , t0) víi x = ( x10 , , x n − ) b) aα∗ (x0) ≠ víi α* = (0, …, 0, m) ′ c) ϕj(x′), j = 0, 1, …,m – giải tích lân cận x Khi toán Cauchy (3.1) (3.2) tồn nghiệm u(x) giải tích lân cận điểm x0 83 Đ4 Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trờng hợp hai biến Xét phơng trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực xác ®Þnh miỊn Ω ⊂ R2 : a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = (4.1) XÐt (x0, y0) ∈ Ω lµ điểm cố định a) Phơng trình (4.1) gọi elip (x0, y0) điểm b2 ac < b) Phơng trình (4.1) gọi hyperbol (x0, y0) điểm b2 ac > c) Phơng trình (4.1) gọi parabol (x0, y0) điểm b2 ac = Nếu phơng trình (4.1) elip (hyperbol, parabol) (x, y) ta gọi (4.1) elip (hyperbol, parabol) Ta dùng phép đổi để đa phơng trình (4.1) thuộc loại phơng trình dạng rút gọn, gọi phơng trình tắc Xét phép biến đổi không suy biến : ⎧ξ = ξ ( x, y ) ⎪ ⎨ ⎪η = η ( x , y ) ⎩ (4.2) Trong , hàm khả vi liên tục hai lần Jacobien J(x, y) = D ( , η) D ( x, y ) = ξx ξy ηx ηy ≠ Khi ®ã ⎧ux = uξ ξ x + uηηx ; uy = uξ ξ y + uηηy ⎪ 2 ⎪uxx = uξξ ( ξ x ) + 2uξηξ x ηx + uηη ( ηx ) + uξ ξ xx + uηηxx ⎪ (4.3) ⎨ ⎪uxy = uξξ ξ x ξ y + uξη ( ξ x ηy + ξ y ηx ) + uηηηx ηy + uξ ξ xy + uηη xy ⎪ 2 ⎪uyy = uξξ ( ξ y ) + 2uξηξ y ηy + uηη ( ηy ) + uξ ξ yy + uyy Thay (4.3) vào (4.1) ta đợc phơng trình sau : a1(ξ, η)uξξ + 2b1(ξ, η)uξη + c1(ξ, η)uηη + F1(ξ, η, u, uξ, uη) = (4.4) ®ã : ⎧a ( ξ, η) = a ( ξ )2 + bξ ξ + c ( ξ )2 x x y y ⎪ ⎪ ⎨b1 ( ξ, η) = aξ x ηx + b ( ξ x ηy + ξ y ηx ) + cηx ηy ⎪ 2 ⎪c1 ( ξ, η) = a ( ηx ) + bηx ηy + c ( ηy ) ⎩ 84 (4.5) Ta cã b12 – a1c1 = (b2 ac)J2(x, y) Vậy qua phép biến đổi không suy biến (4.2), loại phơng trình (4.1) không thay đổi Ta chọn phép biến đổi để phơng trình (4.4) có dạng đơn giản Trong (4.5) chọn , nghiệm phơng trình : a x + 2bϕxϕy + c ϕ y = 0, a1 = c1 = phơng trình (4.4) cã d¹ng : 2b1(ξ, η)uξη + F1(ξ, η, u, uξ, u) = gọi phơng trình tắc Phơng trình (4.6) phơng trình đặc trng (4.1) Để tìm nghiệm phơng trình đặc trng (4.6), ta thiết lập bổ đề sau : 2 Bổ đề Giả sử C1() với R2 ϕ x + ϕ y > 0, ∀(x, y) ∈ Khi z = (x, y) nghiệm riêng phơng trình (4.6) (x, y) = C (hằng số) tích phân tổng quát phơng trình sau : a(dy)2 2bdxdy + c(dx)2 = (4.7) (4.7) gọi phơng trình đặc tr−ng cđa (4.1) Chøng minh Gi¶ sư z = ϕ(x, y) nghiệm riêng (4.6) Nếu y th× tõ (4.6) suy : ⎛ ϕ a⎜− x ⎜ ϕ y ⎝ ⎞ ⎛ ϕ ⎟ − 2b ⎜ − x ⎟ ⎜ ϕ y ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ + c = ⎟ ⎠ XÐt hÖ thøc ϕ(x, y) = C (C : h»ng sè), với giả thiết bổ đề, hệ thức xác định ẩn hàm y = y(x) khả vi y(x) = x , y hay a(y′)2 – 2by′ + c = 0, a(dy)2 – 2bdxdy + c(dx)2 = NÕu ϕy = th× ϕx 0, lặp lại lí luận trên, y ®−ỵc thay b»ng ϕx, ta cịng ®i ®Õn kÕt ln bổ đề Ngợc lại, giả sử (x, y) = C tích phân tổng quát (4.7) Ta cần chøng minh r»ng : víi mäi (x0, y0) ∈ Ω, z = (x, y) nghiệm riêng (4.6) điểm (x0, y0) Thật vậy, đặt (x0, y0) = C0 vµ xÐt hƯ thøc : ϕ(x, y) = C0 Nếu y 0, theo định lí hàm ẩn, ta có hàm y = y(x) khả vi y′(x) = – x ϕy 85 Theo gi¶ thiÕt ta cã : a(y′)2 – 2by′ + c = 0, hay a(– ϕx ϕ ) + 2b x + c ϕ y = ϕy ϕy VËy z = (x, y) nghiệm riêng (4.6) thoả mÃn ®iỊu kiƯn ®Çu ϕ(x, y)⏐ ( x0 , y0 ) = C0 NÕu ϕy = th× ϕx ≠ 0, lí luận hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợ z = (x, y) nghiệm riêng (4.6) Nh vậy, việc tìm nghiệm (4.6) tơng ứng với việc tìm tích phân tổng quát (4.7) Ta thờng xét phơng trình vi phân (4.7) dới hai d¹ng sau : a(y′(x))2 – 2by′(x) + c = a ≠ 0, (4.8) a – 2bx′(y) + c(x′(y))2 = a = vµ c ≠ Ta xét trờng hợp sau : (4.9) Trờng hợp I : b2 ac > 0, phơng trình (4.1) thuộc loại hyperbol phơng trình đặc tr−ng (4.8) hay (4.9) cã hai nghiƯm ph©n biƯt 1) a ≠ 0, hai nghiƯm cđa (4.8) lµ : ′ y1 = b− b − ac ; a ′ y2 = b+ b − ac a Suy b− b − ac dx + C1 ; y2 = y1 = a C1, C2 số Vậy (4.6) có hai tích phân tổng qu¸t : ∫ ϕ(x, y) = y – ∫ ψ(x, y) = y – ∫ b− b − ac dx = C1 , a b+ b − ac dx = C2 a Dïng phÐp biÕn ®ỉi : ⎧ξ = ϕ ( x, y ) ⎪ ⎨ ⎪η = ψ ( x , y ) ⎩ V× J= ξx ξy ηx ηy = ϕxψ y − ϕyψ x ≠ , 86 b+ b − ac dx + C2 , a ′ (do y = − ϕx ψ ′ ≠ y2 = − x ) nªn phép biến đổi không suy biến y y Theo bổ đề, qua phép biến đổi ta có a1 = c1 = vµ : ( ) b12 = b12 − a1c1 = J b − ac > nên b1 Khi phơng trình (4.4) có dạng : 2u b1 + F1 ( ξ, η, u, uξ , uη ) = 0, ∂ξ∂η hay ∂2u = F1 ( ξ, η, u, uξ , uη ) = 0, ∂ξ∂η (4.10) F1 b1 2) a = NÕu c = th× b ≠ (do b2 – ac > 0) Khi phơng trình (4.1) đà có dạng (4.10) Nếu c Thay xét phơng trình đặc trng dạng (4.8) ta xét (4.9) lí luận hoàn toàn tơng tự nh trên, ta đến phơng trình (4.10) NhËn xÐt : B»ng phÐp biÕn ®ỉi tiÕp theo : ⎧ξ = α + β ⎨ ⎩η = α Phơng trình (4.10) đợc đa dạng : (4.11) uαα – uββ = F1(α, β, u, uα, uβ) Cả hai phơng trình (4.10) phơng trình (4.11) gọi phơng trình tắc phơng trình loại hyperbol víi F1 = − Tr−êng hỵp II : b2 ac = Khi phơng trình (4.1) thuộc loại parabol 1) Nếu b = a = c = Khi phơng trình (4.1) có dạng tắc : c 2u + F ( x, y, u, ux , uy ) = , (a = 0), ∂y hc ∂2u a + F ( x, y, u, ux , uy ) = , (c = 0) ∂x 2) NÕu b ≠ ac hay a c 0, phơng trình đặc trng (4.8) có nghiệm kÐp : b y′ = − , a hay (4.6) có tích phân tổng quát : b (x, y) = y + ∫ dx = C a 87 Dïng phÐp biÕn ®ỉi : ⎧ξ ⎪ = ϕ ( x, y ) ⎨ ⎪η = ψ ( x , y ) C2() J = D(ξ, η) ≠ Víi phÐp biÕn ®ỉi không suy biến theo bổ đề, ta có: D ( x, y ) a1 = Ta sÏ chøng tá r»ng b1 = vµ c1 ≠ ThËt vËy : b12 – a1c1 = (b2 – ac)J2 = = b12 hay b1 = Mặt khác ta có b2 = ac; giả thiết a, c dơng, ®ã C1 = a ηx + ac ηx ηy + cηy = ( a ηx + c ηy ) Do J ≠ ta suy C1 ≠ VËy (4.4) cã d¹ng C1uηη + F1(ξ, η, u, uξ, uη) = 0, hay uηη = F1 (ξ, η, u, uξ, uη) (4.12) F1 C1 Phơng trình (4.12) gọi phơng trình tắc loại parabol Tr−êng hỵp III : b2 – ac < Khi (4.1) thuộc loại phơng trình elip Trong trờng hợp này, ta giả thiết a, b, c hàm giải tích miền Do < b2 < ac nên a c Phơng trình (4.8) có hai nghiệm phức liên hợp F1 = – b − i ac − b b + i ac − b ′ + C1 ; y2 = + C2 a a Do tích phân tổng quát (4.6) có dạng : y1 = b − i ac − b dx = C1 , ϕ(x, y) = y – ∫ a ψ(x, y) = y – b + i ac − b dx = C2 a Đặt (x, y) = C1 d−íi d¹ng : ϕ(x, y) = α(x, y) + iβ(x, y) = C1, ®ã α, β hàm thực Dùng phép biến đổi : = α ( x, y ) ⎪ ⎨ ⎪η = β ( x , y ) ⎩ dƠ dµng kiĨm chứng phép biến đổi không suy biến Do (x, y) = C1 tích phân tổng quát (4.6) nªn : 88 a(ξx + iηx)2 + 2b(ξx + iηx)(ξy + iηy) + c(ξy + iηy)2 = T¸ch phần thực phần ảo đẳng thức ta ®−ỵc : ⎧aξ x + bξ x ξ y + cξ y = aηx + bηx ηy + cηy ⎪ ⎨ ⎪aξ x ηx + b ( ξ x ηy + ξ y ηx ) + cξ y ηy = ⎩ VËy a1 = c1 ≠ vµ b1 = Suy a1c1 > v× b12 – a1c1 < Khi phơng trình (4.4) có dạng : a1u + a1u + F1(ξ, η, u, uξ, uη) = 0, hay uξξ + uηη = F1* (ξ, η, u, uξ, uη) F1 = F1 a1 Phơng trình (4.13) gọi phơng trình tắc loại elip 89 Đ5 Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trờng hợp nhiều biến Xét phơng trình tuyến tÝnh d¹ng : n L(u) = ∑ i, j = aij uxi x j + n ∑bu i =1 i xi + cu = f ( x1 , , x n ) , (5.1) ®ã aij = aji, bi, f, i, j = 1, n hàm thực biến x1, , xn xác định miỊn Ω ⊂ Rn vµ A = (aij) in, j =1 ma trận đối xứng Với x0 = ( x10 , , x n ) ∈ Ω cố định, ma trận : A(x0) = (aij(x0)) n i , j =1 ma trận đối xứng, xác định dạng toàn phơng : a (x ) x x n g(x) = i , j =1 ij i j = x ′ A( xi0 ) xi (5.2) ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ®ã x = ⎜ ⎟ ∈ Ω, x′ = (x1, …, xn) ∈ Ω ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ NÕu dïng phÐp biến đổi không suy biến : x = Ty ®ã ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ T = (αij) in, j =1 , y = ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n⎠ (5.3) n hay xi = ∑α k =1 y , i = 1, n (5.3) ki k dạng toàn phơng (5.2) trở thành : h(y) = g(Ty) = y′T′A(x0)Ty, h(y) = y′By, ®ã B = T′AT = (bij) n i , j =1 , T′ vµ y′ ma trận chuyển vị T y n h(y) = ∑ b yy i, j = ij i j Vì A(x0) ma trận đối xứng nên tồn ma trận trực giao T cho B cã d¹ng chÐo : 90 ⎛ λ1 … ⎞ ⎜ ⎟ B=⎜ ⎟ ⎜0 λn ⎟ ⎝ ⎠ Khi ®ã n g(y) = ∑λ y i i i =1 (5.4) Số phần tử dơng, số phần tử âm số phần tử đờng chéo cđa B bÊt biÕn ®èi víi phÐp biÕn ®ỉi (5.3) số nghiệm dơng, nghiệm âm nghiệm không phơng trình: det(A(x0) E) = (5.5) E ma trận đơn vị cấp n Phơng trình (5.5) phơng trình đặc trng phơng trình (5.1) Chính vậy, ta định nghĩa : 1) Các phơng trình (5.1) gọi phơng trình elip x0 tất nghiệm (5.5) khác không dấu Khi dạng toàn phơng tơng ứng (5.4) dạng xác định (dơng âm) 2) Phơng trình (5.1) gọi phơng trình hyperbol x0 tất nghiệm (5.5) khác không, có n nghiệm dấu, nghiệm lại trái dấu 3) Phơng trình (5.1) gọi phơng trình parabol t¹i x0 ∈ Ω nÕu n nghiƯm cđa (5.5) cã mét nghiƯm b»ng kh«ng, n – nghiƯm lại khác không dấu Nếu điểm x0 Rn, phơng trình (5.1) thuộc loại elip (hyperbol, parabol) ta gọi (5.1) thuộc loại miền Khi đó, ®iÓm x0 = ( x10 , , x n )∈ , ta đa phơng trình (5.1) dạng đơn giản, gọi dạng tắc Gọi T = (αij) lµ ma trËn trùc giao cho : ⎛ λ1 … ⎞ ⎜ ⎟ B=⎜ ⎟ ⎜0 λn ⎟ Xét phép biến đổi không suy biến : x = Ty ⇔ y = T′x, n yk = ∑α i =1 x ki i Khi ®ã uxi = n ∑α k =1 ki uyk ; uxi x j = n ∑α k ,l = ki α lj uyk yl phơng trình (5.1) trở thành : 91 L(u) ≡ n n ∑ a (∑ α ij i, j = hay L(u) ≡ n ∑a k ,l = k , l uyk yl + k ,l = ki α lj uyk yl ) + n ∑b u n i =1 i k =1 u ) + cu = f ki yk + cu = f k yk k =1 n ∑ b ( Đa thức đặc trng tơng ứng có dạng : n ∑ g(y) = y′By = k ,l = ak ,l yk yl = n ∑λ y k =1 k k VËy ⎧λ nÕu k = l ak ,l = ⎨ k ⎩0 nÕu k ≠ l Khi (5.1) trở thành : L(u) n u k yk yl k =1 ( ) + F y1 , , yn , u, uy1 , , uyn = dạng tắc phơng trình (5.1) 1) Nếu x0 phơng trình (5.1) có dạng elip Giả sử k = vk > , ®Ỉt yk = vkzk, k = 1, n Khi ®ã : L(u) ≡ n ∑u i =1 zi zi ( ) + Φ z1 , , u, uz1 , , uzn = dạng tắc phơng trình elip 2) Nếu x0 phơng trình (5.1) có dạng hyperbol Giả sử < 0, , n < n > 0, cách đổi biến số nh trờng hợp 1), phơng trình (5.1) có dạng tắc : L(u) uzn zn n −1 ∑u i =1 zn zn ( ) + Φ z1 , , zn , u, uz1 , , uzn = 3) Nếu x0 phơng trình (5.1) có dạng parabol Giả sử 1, , n dơng, n = (5.1) có dạng chÝnh t¾c : L(u) ≡ n ∑u i =1 zi zi ( ) + Φ z1 , , zn , u, uz1 , , uzn = VÝ dô 1) Phơng trình Laplace có dạng elip 2) Phơng trình truyền sóng có dạng hyperbol 3) Phơng trình truyền nhiệt có dạng parabol Khi n = 2, cách phân loại trùng với cách phân loại đà đợc trình bày Đ4 Thật vậy, với phơng trình : 92 a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0, ma trËn ⎛ a ( x, y ) b ( x, y ) ⎞ A(x, y) = ⎜ ⎟, ⎝ b ( x, y ) c ( x, y ) phơng trình đặc trng : det(A – λE) = ⇔ λ2 – (a + c)λ + ac – b2 = 1) Ph−¬ng trình loại elip det(A E) = có hai nghiÖm cïng dÊu ⇔ P = ac – b2 > 2) Phơng trình loại hyperbol det(A λE) = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P = ac b2 < 3) Phơng trình loại parabol ⇔ det(A – λE) = cã mét nghiÖm b»ng ⇔ P = ac – b2 = Bài tập 1.1 Tìm nghiệm tổng quát phơng trình sau : a) yzx + xzy = x – y b) xyz.x – x2zy = yz c) zxsin2x + zytgz = cos2z 1.2 Xác định loại phơng trình đa dạng tắc phơng trình sau : a) uxx + 2uxy + 5uyy 32u = b) uxx – 2uxy + uyy + 9ux + 9uy – 9u = c) 2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy – 2u = d) uxx + 4uxy + 13uyy + 3uy – 9u + 9(x + y) = e) uxx – 2cosx.uxy – (3 + sin2x)uyy – yuy = 1.3 Tìm nghiệm tổng quát phơng trình sau : a) uxx – 2sinx.uxy – cos2x.uyy – cosx.uy = b) xuxx – xuyy + 2ux = c) (x – y)uxy – ux + uy = 93 ... trình (4.1) gọi elip (x0, y0) điểm b2 ac < b) Phơng trình (4.1) gọi hyperbol (x0, y0) điểm b2 ac > c) Phơng trình (4.1) gọi parabol (x0, y0) điểm b2 ac = Nếu phơng trình (4.1) elip (hyperbol,... ′ y1 = b? ?? b − ac ; a ′ y2 = b+ b − ac a Suy b? ?? b − ac dx + C1 ; y2 = y1 = a C1, C2 số Vậy (4.6) có hai tích phân tổng quát : ∫ ϕ(x, y) = y – ∫ ψ(x, y) = y – ∫ b? ?? b − ac dx = C1 , a b+ b − ac... D(, ) Với phép biến đổi không suy biến theo b? ?? đề, ta có: D ( x, y ) a1 = Ta sÏ chøng tá r»ng b1 = vµ c1 ≠ ThËt vËy : b1 2 – a1c1 = (b2 – ac)J2 = = b1 2 hay b1 = Mặt khác ta có b2 = ac; giả thiết