Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG

Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học của SV các bài TOÁN dẫn đến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG

TRUONG DAI HOC TAY BAC

Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng

BÁO CÁO TÔNG KẾT

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CAC BAI TOAN DAN DEN PHUONG TRINH VI PHAN,

DAO HAM RIENG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sơn La, tháng 0Š năm 2017

BAO CAO TONG KET

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CAC BAI TOAN DAN DEN PHUONG TRINH VI PHAN,

DAO HAM RIENG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Vũ Thị Hong Nhung Ciới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị My Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Thị Ngoan Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Nguyễn Như Quỳnh Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Lop: K55 DHSP Toan Khoa: Toan — Ly — Tin

Năm thir 3/S6 nam dao tao: 4

Nganh hoc: Su pham Toan

Sinh viên chịu trách nhiệm chính: Vũ Thị Hồng Nhung

Người hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng

Son La, thang 05 nam 2017

Muc luc

Lời cảm ơn

I_ Câc băi toân dẫn đến phương trình vi phđn

] Một số mô hình toân học trong vật lý, cơ học, kithuật

I1 — Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

LỆ Phương trình chuyển động của hănh tinh trong Hệ Mặt Trời

1.3 Phương trình vi phđn cho câc mạch điện

1.4 Phương tình pH X4 ¿có cc ‹ c š šš š š š £ š R 6 2 06s ksế 5 Một số mô hình toân học trong sinh thâi học quần thể

24 MôliinhqudhtR6đGilOĂÏ s ¿ ¿ ¿vẽ vẽ v v vă k So oan s22 Le NAG in Bí (i26 6E § š š 0ố š B5 h 6â k2 eee | 23 Mo Reni ante tranh hit NIT vee« k« k x v x RH OO RH encom c II Câc băi toân dẫn đến phương trình đạo hăm riíng l 2 Ftidöns trình đề độn Cia O3y sec cac s FERRE KEES SESS WES & Phương trình dao động củamăng

PhiiwiptinhiiqertHiHEEs s eeueuenraok nh h R kn v HA HH HH ROME 4 Sự khuếch tân trong không gian bachiều

Phương trình Laplacee ẶẶ

11

II

II

tă

17

19

19

19

20 2)

23

KET LUAN

TAI LIEU THAM KHAO

38

39

LOI CAM ON

Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy T.S Vũ Trọng Lưỡng, người đã

định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài này

Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo

trong khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng KHCN

& HTQT, thư viện trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán Những ý

kiến đóng góp giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng

em hoàn thành đề tài này Nhân dịp này chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự

giúp đỡ quý báu nói trên

Sơn La, tháng 9 năm 2016

Nhóm sinh viên thực hiện

Vũ Thị Hồng Nhung

Nguyễn Thị My

Vũ Thị Ngọc Mai Nguyễn Thị Ngoan Nguyễn Như Quỳnh

MO DAU

1 LI DO CHON DE TAI

Phương trình vi phân và đạo hàm riêng là những nội dung mới mẻ, thú vị nhưng sinh viên

thường gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu học tập nội dung này Đặc biệt việc học tập

nghiên cứu các mô hình giải tích dưới dạng phương trình vi phân và đạo hàm riêng của các

quá trình hiện tượng vật lí, hóa, sinh, đây là kiến thức mới và được sử dụng nhiều trong giải

tích và ứng dụng Các bài toán về phương trình vi phân và đạo hàm riêng là các bài toán hay

có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật và đời sống Vì vậy, chúng em chọn đề tài nghiên

cứu là các bài toán dẫn đến phương trình vi phân và đạo hàm riêng

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Đề tài được thực hiện nhằm củng cố và nâng cao kiến thức về phương trình vi phân,

phương trình đạo hàm riêng

- Tìm hiểu và tổng hợp có hệ thống các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương

trình đạo hàm riêng

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

trong hóa học, sinh học, vật lí

4 ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày với giáo viên hướng dẫn từ đó

tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành đề tài

6 CÂU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI

Với mục đích như vậy ngoài phan mở đầu, ký hiệu và kiến thức liên quan đề tài này được

chia ra làm hai chương với những nội dung chính như sau:

Chương I:

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân

Bao gồm:

1 Một số mô hình toán học trong vật lí, cơ học, kĩ thuật

- Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

- Phương trình dao động của con lắc

- Phương trình chuyển động của hành tỉnh trong Hệ Mặt Trời

- Phương trình vi phân cho các mạch điện

- Phương trình phóng xạ

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

- Mô hình quân thể đơn loài

- Phương trình dao động của dây

- Phương trình dao động của màng

- Phương trình truyền nhiệt

- Phương trình truyền sóng

- Sự khuếch tán trong không gian ba chiều

- Phương trình Laplace

Ki HIEU VA KIEN THUC LIEN QUAN

Or, Oni (x) (hoae u;,.;(«)) la dao ham riéng cầp hai của + theo các biên z;, z; tại điểm x

a i

3 D"ˆu = ———a- Sao cho |a| = đi + đa + + œ„ = rn là tập hợp tat ca các đạo hàm Oxy .02n"

riêng cấp zn của hàm wu O đó a = (a}, ,a,) € N” goi la da chi sé

4 Khi m = 1 ta ki hiệu V 1a vecto gradient

s.ấ= > = 5 goi la toan tu Laplace

Lj

6.2 c R" dude goi 1a mét mién néu © là tập mở và là tap lién thong Gia stt 1a mét mién

bi chan trong R”, ki hiéu 00 1a bién cia 2 Ta noi © thuộc lớp C# nếu tại mỗi điểm z? € AO tồn tại một lân cận L/„o của điểm z? trong ïR" sao cho ØQ f1 ;o nằm trên siêu mặt

i= f(x, +> Li-1, Vi+1, sug te)

Véi f €¢ C*(G), G 1a mién bién thién cia d6éi s6 Ta ndi 2 tron néu thudc lép C*, véi moi k

Ta nói miền © trơn từng khúc nếu biên của nó được hợp bởi hữu hạn các mặt cong trơn Đối

với các miền này ta có công thức Ostrogradsky - Gauss sau

ih ») stds = = [> » u;v;ds

G day u = (u, uz, ., un) 1a ham vects tit 2 vao R” va uj € C!(Q), cdn v = (v1, v2 , Un)

là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của ØO Trong trường hợp + là hàm vô hướng chúng ta đặt u; = 0 7 # ¡ và u; = u thì công thức Ostrogradsky - Gauss trở thành công thức

Ostrogradsky - Gauss được viết dưới dạng vectơ như sau

} | J dịu tdrdụdz = J TỶ TỶ ds

a9 hay

an VỚI TỶ = _ a, cos 3, cos y) Cong thife Ostrogradsky - Gauss cé thé phat biéu nhu sau

Thông lượng cua truéng vectd W(x, y,z) qua mat OQ hudng ra ngoài bằng tích phân bội

ba của diu tt trên miền ©

f'(xo) hay y'(xo) Nhu vay

f' (x0) = lim f(x) Tê f (xo)

Một phương trình vi phân thường (gọi tắt là phương trình vi phân) là một phương trình

chứa ẩn hàm z = z(£) của một biến độc lập t € R va nhitng dao ham x, x’, x”, cla dn ham

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong

phương trình Như vậy, một phương trình vi phân cấp n có dạng

Ở đó F là hàm đã biết Phương trình (0.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu F là hàm tuyến tính đối với các hàm đối với các biến z z”, z”, trong trường hợp ngược lại, phương trình (0.1) gọi là phi tuyến Phương trình (0.1) gọi là otonom nếu F không phụ thuộc tường

minh vào t, tức là “' = F(z,z“, z"), và gọi là không otonom nếu E phụ thuộc tường minh vào f

Nói riêng, một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng

Hàm «x = x(t),¢ € Ì, gọi là một nghiệm hiện( còn gọi là nghiệm tường minh) của (0.2) nếu F(t z(t).z?(£)) = 0 trong (0.1) Hệ thức (¿ z) = 0 gọi là nghiệm ẩn của (0.2) nếu nó xác định

một hoặc nhiều ham « = ¢(t) thoa man F(t, ó(¿) #'(£)) = 0 Mặc dù ta có thể không giải được

tường minh z từ hệ thức ¿(¿ z) = 0 nhưng ta có thể tính được ¿/(£) = BI nếu 1; # 0

#

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Giả sử U là một tập mở trong không gian IR?

Ƒƒ:UDR M(+,g.z) c> f(M) = f(z, y, z)

là một ham s6 xdc dinh trén tap hop U, Mp = (x0 yo 2) € U vi U 1a mot tap hop mé nên với

> 0 đủ nhỏ, ta có (zo yo zo) € U với mọi z € (zọ — + #o + r;) Nêu hàm số một biến số

g: (#0 — 1Ị.#o + rỊ) —> R + —> g(#) = f(x, 0o z0)

có đạo hàm tại điểm zọ thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f theo bién x

tai diém Mo = (x0, 0o z0) và được kí hiệu là ƒ/(Afe) = /£(zo o zo) hoặc 2G, yo, zo) hoặc

Df (x0; Yo: 20)

a) Mot phương trình liên hệ giữa các biến độc lập (+1 z2, ., z„) và các ẩn hàm ứ (1, , zn) .„ (1

và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó gọi là một phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ

ee Ai t— =(

“7

Dạng phương trình tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp m của các ẩn hàm

uị, uạy đối với các biến độc lập z z„ là

F(œ,u(z), Du(+) , D”u(+)) = 0,z € Q,m € Ñ” (0.3)

với f là hàm, và + : O —› ïR là hàm cần tìm

b) Các cấp của phương trình (0.3) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

(0.3) Một phương trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng cấp một, cấp hai của ẩn hàm + đối với hai biến z „ có dạng

Ou Ou F(z, y,u, —,—) = (2, 9,4, a 2y) 0 (0.4) A

” Ox’ Oy’ Ox2’ Axdy’ Oy?

c) Phuong trinh (0.3) dude goi 1a tuyén tinh néu n6 cé dang

`» dg(D™~*u, ., Du, u, 2)D°u + ap(D™"u, ., Du, u,x) =

|a|=m

Phương trình (0.3) được gọi là phi tuyến tính hoàn toàn nếu nó không phụ thuộc tuyến tính

vào các đạo hàm bậc cao nhất

đ) Hệ (u¡ ¿xy) được gọi là nghiệm của (0.3) nếu khi thay hệ đó vào (0.3) ta được một đồng nhất thức của các biến độc lập

Chuong I

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân

1_ Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật

Như đã trình bày ở trên, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý và khoa học xã hội ta thường

gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân

Dưới dây là một số bài toán vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học, dẫn đến việc nghiên cứu

phương trình vi phân

1.1 Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

Định luật Newton mô tả chuyển động của chất điểm có khối lượng r: chịu tác dụng của lực

F ` có dạng

F=ma

trong đó ø là gia tốc của chất điểm

Ta xét một vài trường hợp đơn giản của chuyển động

(ï) Vật có khối lượng z: rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực

Trong trường hợp này

„(£) là chiều cao của vật rơi tại thời điểm ¢ so v6i mat dat Dé x4c dinh quy luat chuyén động

Bây giờ ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)

Để đơn giản ta chọ các hệ số bằng 1,phương trình trở thành :

Hệ nghiệm cơ bản của (1.4) là 1, e”f

Nghiém riéng : y(t) = 4: = 0; = 0 thay vào (1) ta dude A = 1

Vậy nghiệm tổng quát của (1.3) là

(f) = Œì + Cse~” +1

(ii) Phương trình chuyển động của con lắc đơn

Xét đao động của một con lắc đơn Giả sử con lắc có độ đài L, khối lượng của trục có thể

bỏ qua và khối lượng của con lắc là rn

Gọi 9 là góc tạo bởi con lắc với phương thắng đứng Thế năng của con lắc là

phương trình tuyến tính

Dat w? = = ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng

Đây là phương trình dao động của một vật dao động điều hòa

13

Nếu tính cả lực cản của không khí thì từ định luật thứ hai của Newton, ta suy ra phương

trình đao động tắt dần của con lắc sẽ là

2

moe = - kết — w’ sin 6

(iii) Chuyển động của hệ : Quả cầu và lò xo

Ta treo quả cầu nhỏ khối lượng zn vào một lò xo, kéo quả cầu xuống rồi thả ra và khảo sát

chúng trong trường hợp hệ có cản và hệ không cản

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8)

y(t) = Cie? * cos (5) +Œe7t sin( Sp

1.2 Phương trình chuyển động của hành tỉnh trong Hệ Mặt Trời

Xét chuyển động của một hành tinh xung quanh Mặt Trời Giả sử Mặt Trời cố định tại gốc tọa độ trong RỶ và hành tinh tương đối nhỏ sao cho lực tác động lên Mặt Trời là không đáng

kể Mặt Trời gây ra một lực tác động lên hành tinh tuân theo định luật hấp dẫn của Newton,

tức là Mặt Trời gây ra một lực lên hành tinh ở vị trí z c RỶ theo hướng Mặt Trời, có độ lớn

la Gm m,/r?, trong đó rn; là khối lượng của Mặt Trời, zn„ là khối lượng của hành tỉnh, Œ là hằng số hấp dẫn, z là khoảng cách giữa Mặt Trời và hành tỉnh

15

Áp dụng định luật thứ hai của Newton ta có phương trình vi phân

Hệ này được gọi là hệ lực xuyên tâm Newton

Chú ý rằng: F(z) là một trường lực xuyên tâm và bảo toàn, do

bí

in = gradU (x)

ở đó thế năng L/ cho bởi

(1.9)

Bây giờ ta xét một đường cong nghiệm của phương trình này Momen góc ¡ và năng lượng

toàn phần được coi là những hằng số đối với thời gian vì chúng bằng nhau tại mọi điểm của

đường cong Trường hợp / = 0 tương ứng với chuyển động dọc theo đường thẳng hướng tới

hoặc đi khỏi Mặt Trời Vì vậy ta giả thiết ! ¥ 0

Đưa vào hệ tọa độ cực (zr.Ø) dọc theo đường cong nghiệm chúng là những hàm của thời

Bây giờ ta tìm một phương trình vị phân liên hệ giữa W và 0

Chú ý răng đây chính là phương trình dao động điều hòa với ngoại lực hăng sô Pe

1.3 Phương trình vi phân cho các mạch điện

Xét mạch điện gồm một điện trở 7, một cuộn cảm ⁄ và một tụ điện Œ mắc nối tiếp

Trong mạch, ta cho một dòng điện chạy qua mdi nhanh Goi ig, iz ic lần lượt là các dòng

điện chạy qua #, L và Œ Định luật về dòng cảm của Kirchhoff nói rằng tổng dòng chạy vào một nút bằng tổng dòng chạy ra khỏi nút đó, tức là

ÈR = ‡L = —1C

Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bởi dòng điện ¡ và điện áp qua mỗi nhánh Kí

hiệu các điện áp này lần lượt 1a Vp Vp, Vo ta c6

Va + Vụ, —Vo = (Vi) — Via) + ia) ~ Veo) ~ Vea) — Voy) =0

17

Dién tré trong nhanh R áp đặt một " quan hé ham " trén ip, Vp

Dé don gian, ta coi L = 1,C = 1 va néu ki hiéu x = i, y = Vo, ta c6é hé phuong trinh vi

phân của mạch điện

1.4 Phương trình phóng xạ

Thực nghiệm chỉ ra rằng các chất phóng xạ, chẳng hạn như uranium, tốc độ phóng xạ tỉ lệ

với khối lượng A⁄/(/) tại thời điểm đang xét Ta có thể viết công thức để tính khối lượng này tại

bắt kì thời điểm nào bằng cách giải phương trình sau

dM

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

2.1 Mô hình quân thể đơn loài

Giả sử z(¿) là số lượng của một loài tại thời điểm ¿ (chẳng hạn dân số trên Trái Đất, số cá