Đạo hàm lie của k dạng vi phân với giá trị vectơ luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo TrƯờng đại học vinh NGUYN TH THU HNG O HM LIE CA k-DNG VI PHN VI GI TR VECT Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc PGS. TS. NGUYN HU QUANG Vinh - 2011 MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ . . . . . . . . . . . 4 1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Đạo hàm Lie của trường véc tơ và dạng vi phân. . . . . . . . . . 8 1.3. Vi phân ngoài của các dạng vi phân với giá trị trên B(M) . . . . . . . 12 1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Liên thông Levi- Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Ten xơ cong của đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2: Đạo hàm Lie của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ . 24 2.1. Đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ . . . . . . . . . 24 2.2. Đạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita. . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Đạo hàm Lie của độ xoắn và độ cong . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 LỜI NÓI ĐẦU Đa tạp Riemann là những khái niệm cơ sở của toán học hiện đại, xuất hiện vào thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích, lý thuyết hệ động lực, vật lý, các nghành khoa học kỹ thuật, . Đến những năm cuối của thế kỷ 19 , cùng với sự phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdoff, Poincaré . thì hình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ. Và chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học , chẳng hạn như: liên thông, độ cong, độ xoắn, đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp. Khi nghiên cứu sâu vào các loại đạo hàm, các nhà Hình học và Giải tích đã thu được những tính chất hình học đặc trưng phong phú. Một trong những đạo hàm thu hút được được nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong một vài thập niên gần đây phải kể đến đó là đạo hàm Lie. Như chúng ta đã biết, đạo hàm Lie trên đa tạp giúp ta giải quyết việc tìm kiếm các đa tạp con có cực tiểu địa phương và xác định các loại độ cong của đa tạp. Ngoài ra đạo hàm Lie còn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, …. Việc nghiên cứu đạo hàm Lie trên đa tạp và các tính chất của nó đang nhận được sự quan tâm nghiên cứu của một số nhà toán học trong và ngoài nước. Với mục đích là tìm hiểu về đạo hàm Lie và ứng dụng của nó, chúng tôi xây dựng khái niệm đạo hàm Lie của k –dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp và phát biểu các tính chất về đạo hàm Lie của độ cong trên đa tạp. Chính vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: “ Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ ”. 4 Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan chính đến nội dung của chương sau. Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ bản của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ngoài và ánh xạ đối tiếp xúc. Chương 2: Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ các định nghĩa, và phát biểu một số tính chất về đạo hàm Lie của độ cong , độ xoắn và liên thông trên đa tạp . Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hữu Quang, người đã đặt bài toán, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện , giúp đỡ tác giả trong quá trình công tác và học tập. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng các bạn học viên Cao học 17 Hình học - Tôpô, trường Đại học Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ Trong chương này, ta luôn giả thiết (M,g) là đa tạp Riemann n- chiều với cấu trúc Riemann g và ký hiệu: B(M) = { X: X là trường véc tơ khả vi trên M }. T p M là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M. ( ) k p p T MΛ ={ : . p p p p p k T M T M T M ω ω × × → 1 4 4 2 4 4 3 là ánh xạ k-tuyến tính phản xứng} ( )M F = { :f f M R→ khả vi }. Và ánh xạ song tuyến tính ( ) ( ) ( ): M M M φ × → B B B ( ) ( ) 1 1 ( ), ( ) . , ., . n n i i X X Y Y X Y X Ya 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ :M ω → ( ) k p p p M T M ∈ ∪ Λ được gọi là k- dạng vi phân p p ω a trên M với giá trị trên B (M), trong đó ( ) k T M p p p ω ∈Λ . 1.1.2 Nhận xét Trong hệ tọa độ địa phương ( ) , I U α α α ϕ ∈ với cơ sở 1 n i i i E x =       ∂ = ∂ .Với mỗi p ∈ M và 1 , ., k X X ∈ B(M), ta có sự biểu diễn: ( ) 1 1 1 1 ( ( ), . ( )) ( )( ( ), ., ( )), ., ( )( ( ), ., ( )) p n n k k X p X p p X p X p p X p X p ω ω ω = , ở đây j ω (j=1,…,n) là k- dạng vi phân với giá trị thực trên M. Từ định nghĩa trên, ta có: ( ) 1 , ., k X X ω = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , ., , ., , ., k n k X X X X ω ω ( ), ; k j j M X ω Ω ∈ ∈ B(M). Như vậy, ta có thể đồng nhất ω với ( ) 1 , ., n ω ω ; trong đó ( ) k j M ω Ω∈ 6 Ta nói ω khả vi trên M nếu và chỉ nếu j ω khả vi với 1, .,j n∀ = , với mọi 1 , ., k X X ∈ B(M). Ta ký hiệu: ( , ( )) k M MΩ B ={ ω ω là k-dạng vi phân khả vi với giá trị trên B(M) } Quy ước: 0 ( , ( ))M MΩ B = ² ( )M F = { ( ) 1 , ., : n j f f f M R→ khả vi }. 1.1.3. Chú ý Trên ( , ( )) k M MΩ B ta trang bị các phép toán cộng và nhân như sau: a) Phép cộng: ' ' : p p p ω ω ω ω + +a ' ; ( , ( )), k M M Mp ω ω ∀ Ω∈ ∈ B b) Phép nhân : ( ) 1 , ., n ϕω ϕω ϕω = , ( ), ( , ( )) k M M M ϕ ω ∀ Ω∈ ∈ F B Khi đó: ( , ( )) k M MΩ B cùng với hai phép toán trên là một mô đun trên vành F(M). 1.1.4. Ví dụ Giả sử M =R 3 , ta xét ( ) ; ;xdx dy ydy dz zdx dz ω = ∧ ∧ ∧ . Khi đó ω là 2- dạng vi phân trên R 3 với giá trị trên B(R 3 ). Thật vậy: 1 2 3 , ,xdx dy ydy dz zdx dz ω ω ω = = =∧ ∧ ∧ . Dễ thấy rằng 1 ω , 2 ω , 3 ω là các 2- dạng vi phân khả vi. Do đó ( ) 1 2 3 , , ω ω ω ω = khả vi. 1.1.5. Định nghĩa Giả sử ( , ( )) ( , ( )), k l M M M M ω η Ω Ω∈ ∈ B B . Tích ngoài của , ω η ký hiệu là ω η ∧ và được xác định bởi: ( ) 1 ( , ., ) k l X X ω η + ∧ = = ( ) (1) ( ) ( 1) ( ) (1) . ( ) ( 1) . ( ) ( ( , ., ), ( , ., )) k k k l k k k l X X X X δ δ δ δ δ δ δ δ ε δ φ ω η + + < < + < < + ∑ , với j X∀ ∈ B (M), 1, .,j k l= + . 1.1.6. Ví dụ Giả sử M= R 3 , ta xét ω = ( ) ; ;xdx dy ydy dz zdx dz ∧ ∧ ∧ ∈ 2 3 3 ( , ( ))R RΩ B , ( ) 1 3 3 ( , ( )) , , R R xdx dy dz η Ω = ∈ B và cho các trường véc tơ X(x, y, xz), Y(x, z, xy), Z(y, z, x). Tính ( ) ω η ∧ (X, Y, Z) = ? 7 Giải: Ta có : ω η ∧ 3 3 3 ( , ( ))R RΩ ∈ B . Suy ra ( )( , , )X Y Z ω η ∧ = ( ( , ), ( ))X Y Z φ ω η ( ( , ), ( ))X Z Y φ ω η − ( ( , ), ( ))Y Z X φ ω η + . ( , )X Y ω = ( ) 1 2 3 ( , ), ( , ), ( , )X Y X Y X Y ω ω ω = ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ,xdx dy X Y ydy dz X Y zdx dz X Y ∧ ∧ ∧ = ( ) ( ), ( . . ), ( . . )x xz xy y y xy z xz z x xy x xz − − − = ( ) 2 2 3 2 2 2 2 , ,x z x y xy xyz x yz x z − − − . ( )Z η = ( ) 1 2 3 ( ), ( ), ( )Z Z Z η η η = ( ) ( ), ( ), ( )xdx Z dy Z dz Z = ( ) , ,xy z x . Do đó ( ( , ), ( ))X Y Z φ ω η = ( ) 3 3 2 3 3 3 3 2 , ,x yz x y xy z xyz x yz x z− − − . ( ) 1 2 3 ( , ) ( , ), ( , ), ( , )X Z X Z X Z X Z ω ω ω ω = = ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ,xdx dy X Z ydy dz X Z zdx dz X Z ∧ ∧ ∧ = ( ) 2 2 ( ), ( . . ), ( . )x xz y y y x z xz z x y xz− − − = ( ) 2 2 2 2 2 2 , ,x z xy xy xyz x z xyz − − − . ( )Y η = ( ) 1 2 3 ( ), ( ), ( )Y Y Y η η η = ( ) ( ), ( ), ( )xdx Y dy Y dz Y = ( ) 2 , ,x z xy . Do đó ( ( , ), ( ))X Z Y φ ω η = ( ) 4 3 2 2 3 3 2 2 2 , ,x z x y xy z xyz x yz x y z− − − . ( , )Y Z ω = ( ) 1 2 3 ( , ), ( , ), ( , )Y Z Y Z Y Z ω ω ω = ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ,xdx dy Y Z ydy dz Y Z zdx dz Y Z ∧ ∧ ∧ = ( ) 2 ( ), ( . . ), ( . )x xz yz y z x z xy z x y xy − − − = ( ) 2 2 2 2 , ,x z xyz xyz xy z x z xy z− − − . ( )X η = ( ) 1 2 3 ( ), ( ), ( )X X X η η η = ( ) ( ), ( ), ( )xdx X dy X dz X = ( ) 2 , ,x y xz . Do đó ( ( , ), ( ))Y Z X φ ω η = ( ) 4 3 2 3 3 2 2 2 2 , ,x z x yz xy z xy z x z x y z− − − . Suy ra ( )( , , )X Y Z ω η ∧ = ( ) 0,0,0 = 0. 1.1.7. Mệnh đề ( Xem [5]) Giả sử ( ) ( ) 1 , ., , ( ) k n M M ω ω ω = ∈Ω B ; ( ) ( ) 1 , ., , ( ) l n M M η η η = ∈Ω B , ( ) k j M ω ∈Ω , ( ), 1, , l j M j n η ∈Ω ∀ = . Khi đó: ( ) 1 1 , ., n n ω η ω η ω η ∧ = ∧ ∧ Chứng minh Giả sử ( ) , I U α α α ϕ ∈ là bản đồ trên M. Theo định nghĩa tích ngoài ta có: ( ) 1 ( ) , ., k l X X ω η + ∧ = 8 = ( ) ( ) (1) ( ) ( 1) ( ) (1) . ( ) ( 1) . ( ) ( , ., ), ( , ., ) k k k l k k k l X X X X δ δ δ δ δ δ δ δ ε δ φ ω η + + < < + < < + ∑ = ( ) (1) ( ) ( 1) ( ) 1 (1) . ( ) ( 1) . ( ) ( , ., ). ( , ., ) . n i i i k k k l i k k k l X X X X E δ δ δ δ δ δ δ δ ε δ ω η + + = < < + < < +    ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷   ∑ ∑ = ( ) 1 1 ( )( , ., ) . n i i i k l i X X E ω η + = ∧ ∑ , j X ∀ ∈ B(M), 1, .,j k l = + . Ta suy ra: ω η ∧ = ( ) 1 1 , ., n n ω η ω η ∧ ∧ . W 1.1.8. Hệ quả Giả sử ( ) ( ) 1 , ., , ( ) k n M M ω ω ω = ∈Ω B ; ( ) ( ) 1 , ., , ( ) l n M M η η η = ∈Ω B ; ( ) ( ) 1 , ., , ( ) r n M M µ µ µ = ∈Ω B . Khi đó: i) ω η ∧ = ( ) 1 kl η ω − ∧ . ii) ( ) ( ) ω η µ ω η µ ∧ ∧ = ∧ ∧ Chứng minh i) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có: ω η ∧ = ( ) 1 1 , ., n n ω η ω η ∧ ∧ = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , ., 1 kl kl n n η ω η ω − ∧ − ∧ = ( ) ( ) 1 1 1 , ., kl n n η ω η ω − ∧ ∧ = ( ) 1 kl η ω − ∧ . Vậy ω η ∧ = ( ) 1 kl η ω − ∧ . W ii) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có: ( ) ω η µ ∧ ∧ = ( ) 1 1 1 ( ) , .,( ) n n n ω η µ ω η µ ∧ ∧ ∧ ∧ = ( ) 1 1 1 ( ), ., ( ) n n n ω η µ ω η µ ∧ ∧ ∧ ∧ = ( ) ω η µ ∧ ∧ . Vậy ( ) ( ) ω η µ ω η µ ∧ ∧ = ∧ ∧ . W 1.1.9. Chú ý Ta quy ước ( ) 1 1 . . , ., . n n f f f f ω ω ω ω ∧ = = ; ( ) ² 1 , ., ( ) n f f f M ∀ = ∈ F và ( ) ( ) 1 , ., , ( ) k n M M ω ω ω ∀ = ∈Ω B . W 9 1.2. Đạo hàm Lie của trường véc tơ và dạng vi phân 1.2.1. Định nghĩa ( Xem [6] ) Giả sử ,X Y ∈ B (M) và { } t t I ε ϕ ∈ là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường véc tơ X ; ( ) ,I ε ε ε = − , với ε dương. Ánh xạ : X L ( ) ( )M M → B B X Y L Ya được gọi là đạo hàm Lie của trường véc tơ Y theo trường véc tơ X, trong đó X L Y được xác định bởi: ( ) ( ) * 0 ( ) ( )( ) lim t p t p p t X t Y Y L Y p t ϕ ϕ ϕ − → − = ( ) ( ) * ( ) t p t p t t o d Y dt ϕ ϕ ϕ − =    ÷   = , p M∀ ∈ . 1.2.2. Mệnh đề ( Xem [8] ) Giả sử ,X Y ∈ B (M) và ( )f M ∈ F . Khi đó i. ( ) X X X L Y Z L Y L Z+ = + . ii. ( ) X X X L fY fL Y YL f= + . iii. , X Y L Y L X X Y     = − = . Chứng minh. Giả sử ,X Y ∈ B(M) ; ( )f M∈ F và { } t t I ε ϕ ∈ là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường véc tơ X. i. Với p M∀ ∈ , ta có: ( ( ))( ) X L Y Z p+ = ( ) ( ) * ( ) )( t p t p t t o d Y Z dt ϕ ϕ ϕ − =    ÷   + = ( ) ( ) ( ) ( ) * * ( ) ( ) t p t p t p t p t t t o d Y dt Z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − =    ÷   + = ( ) ( ) ( ) ( ) * * ( ) ( ) t p t p t p t p t t t o t o d d Y dt dt Z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = =      ÷  ÷     + 10 . Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ . 24 2.1. Đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ . . . . . . . . . 24 2.2. Đạo hàm Lie của liên. 2: Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với