Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị vectơ luận văn thạc sỹ toán học

MỤC LỤC Lêi MỞ ĐẦU .1 Ch¬ng I: Liªn th«ng trªn ®a t¹p riemann .2 I. Liên thông tuyến tính . 2 II. Liên thông Levi – Civita 10 Ch¬ng II: ĐẠO HÀM CỦA c¸c DẠNG vi ph©n víi gi¸ trÞ vÐc t¬ .16 I. k – d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p Riemann víi gi¸ trÞ vÐct¬ trªn M 16 II. Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị véc tơ 21 III. Ứng dụng của c¸c d¹ng vi ph©n víi gi¸ trÞ vÐct¬ 25 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Lời Mở đầu Hỡnh hc Riemann ó c nghiờn cu vo nhng nm giữa thế kỉ XIX qua cỏc cụng trỡnh ca Riemann (1826 1866). Sau ú nhiu nh toỏn hc phỏt trin v nghiờn cu nh: Krixstophen (1829 1900), Lipsit (1832 1903), Klein (1849 1925), Ricci v Levi-Civita. nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hỡnh hc ngi ta thng sử dụng công cụ liờn thụng Levi Civita, c bit l khi nghiờn cu tớnh cht ca cong v xon trờn a tp Riemann. Chn ti v o hm ca cỏc dng vi phõn vi giỏ tr vộc t chỳng tụi mun tỡm hiu v mi liờn h gia liờn thông Levi - Civita và cỏc dạng vi phõn vi giỏ tr vộc t trờn a tp Riemann. Vi ni dung ú, lun vn c trỡnh by trong 2 chơng: Chơng 1: Liên thông trên đa tạp Riemann. I. Liờn thụng tuyn tớnh II. Liên thông Levi - Civita. Chơng 2: o hm ca các dạng vi phân với giá trị véctơ. I. k dạng vi phân trên đa tạp Riemann với giá trị véctơ. II. o h m c a các dạng vi phân với giá trị véctơ. III. ứng dụng các dạng vi phân với giá trị véctơ . Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2011, tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS TS.Nguyễn Hữu Quang . Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy, ngời đã nhiệt tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Hình học Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Sau Đại học của trờng . 2 Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn này. Tỏc gi. Chơng i. Liên thông trên đa tạp Riemann Trong chơng ny, chỳng ta gi s l mt a tp Riemann n - chiu vi h bn ồ {U , } , M cú c s ếm c , g là một mêtric Riemann trên M. T p (M) = { p / p tip xỳc vi M ti p}; B(M) = { X/ X là trờng véc tơ tiếp xúc kh vi trên M}; F(M) l vnh cỏc hm s kh vi trên M. I. Liờn thụng tuyn tớnh 1.1. nh ngha: (xem [2]) nh x: : B (M) x B (M) B (M) (X,Y) x Y , tha món cỏc tớnh cht sau vi mi X,Y,Z B(M) v vi mi f F(M): 1) X (Y+Z) = X Y + X Z 2) X+Y Z = X Z + Y Z 3) X Y = X Y 4) X (Y) = X[].Y + X Y c gi l mt liờn thụng tuyn tớnh trờn M. ( X Y gi l o hm thun bin ca trng vộct Y dc trng vộct X và toỏn t X : Y X Y gi l o hm thun bin dc trng vộct X.) 1.2. Vớ d (xem [2]) Vớ d 1 : M = R n , =D: B (R n ) x B (R n ) B (R n ) (X,Y) D x Y = (X[Y 1 ], , X[Y n ]); Trong đó Y có toạ độ (Y 1 , ,Y n ). Khi đó là liên thông tuyến tính. . 3 Thật vậy, theo [2] thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính: 1) X (Y+Z) = D X (Y+Z) = D X Y + D X Z 2) X+Y Z = D X+Y Z = D X Z + D Y Z 3) X Y = D X Y = D X Y 4) X (Y) = D X (Y) = X[].Y + D X Y Nhận xét: M là đa tạp khả song với trờng mục tiêu { E 1 , , E n }: Y = = n i ii EY 1 , ta đặt X Y = [ ] = n i ii EYX 1 .Khi đó là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy, ta có: 1) X (Y+Z) = [ ] [ ] )( 1 ii n i ii EZXEYX + = = [ ] [ ] == + n i ii n i ii EZXEYX 11 = X Y + X Z 2) X+Y Z = [ ] [ ] )( 1 ii n i ii EZYEZX + = = [ ] [ ] == + n i ii n i ii EZYEZX 11 = X Z + Y Z 3) X Y = [ ] = n i ii EYX 1 = [ ] = n i ii EYX 1 = X Y 4) X (Y) = [ ] = n i ii EYX 1 = [ ] [ ] 1 ( . ) n i i i i X Y X Y E = + = [ ] = n i i YX 1 . E i + [ ] = n i ii EYX 1 = X[].Y + D X Y . 4 Vậy là liên thông tuyến tính. Ví dụ 2: ( xem [2], [3], [4] ) Giả sử M là một đa tạp khả song, gọi {X i },i = 1, ., n là trờng mục tiêu trên M. Ta có sự biểu diễn: X i X j = k k ij X . Nếu ij k = 0, i,j, k thì xác định nh trên đợc gọi là liên thông tuyến tính chính tắc ứng với trờng mục tiêu {X i }. Giả sử M = G là nhóm Lie. Chọn trờng mục tiêu bất biến trái { } i X % . Gọi là liên thông tuyến tính chính tắc trên M, xác định bởi X i X j = 0 , i,j . Thế thì liên thông này không phụ thuộc vào việc chọn trờng mục tiêu bất biến trái { } i X % . Thật vậy, Giả sử { j X % }là trờng mục tiêu bất biến trái khác của G, ta có: { X % j } = 1 n i X j i i = Do { } i X % , { X % j } bất biến trái nên j i là hằng số. Khi đó nếu gọi % là liên thông tuyến tính ứng với { X % j } thì j i X X % % % = 0, i,j . Mặt khác, với mọi i,j ta có: 0 , l k l X x x j i j l j i X k X X k k i i k i k = = = % % % Giả sử: 1 n X X i i i = = % , 1 n Y X j j j = = % Ta có: ( )Y X j j X X j i i i = % % = ( ) 1 1 n n X i j j X i j i = = % % = , 1 , 1 n n X X X i i j i j j j X i j i j i + = = % % % % . 5 = , 1 n X X i i j j i j = % % ( ) 1 1 n Y X j j X n j X i i i = = = % % % % = [ ] , 1 n X j X i i j i j = % % Suy ra: X X Y Y = % Vậy: = % . 1.3.Mnh (xem [2]) : Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính . Chứng minh: Thật vậy, giả sử: X,Y B(U ). Trong đó : U V . Ta đặt : (X,Y) = ( -1 ) * (D ~ ~ X D Y ), ( X % = ( -1 ) * X và Y % = ( -1 ) * Y ). Khi đó là liên thông tuyến tính trên U . Giả sử { } g là phân hoạch đơn vị ứng với phủ { } U của M. Ta đặt = I g . Thế thì là liên thông tuyến tính trên M. 1.4. Mệnh đề (xem [2]) a) Giỏ tr ca ti p M ch ph thuc vo giỏ tr ca trong mt lõn cn ca p. b) Giỏ tr ca ti im p M ch ph thuc vo giỏ tr ca p . 6 Chứng minh: a) Giỏ tr ca ti p M ch ph thuc vo giỏ tr ca trong mt lõn cn ca p Ti mi im p M luụn cú mt lõn cn U p ca p v mt hm kh vi tha món | U p = 1 v | M/ p = 0.(Vi p l mt tp m no ú m p U p ). Ta gi s cú hai trng vộc t Y v sao cho Y| U p = | U p v ta t: Z = Y - , khi ú trng vộc t Z| U p = 0. Ta cú: ( x Z)|U p = 0 hay (X[]Z|U p + ( x Z)|U p = 0. Do ú (p) ( x Z) p = 0. Vậy ( x Y - x ) p = 0. Ngha l: ( x Y) p =( x ) p . b) Giỏ tr ca ti im p M ch ph thuc vo giỏ tr ca p Với mỗi Y B(M), ánh xạ Y : T p (M) T p (M) X p ( X Y) p là ánh xạ tuyến tính. Do đó: Y : biến véc tơ không thành véc tơ không. Ta xét hai trờng véc tơ Z và Z % ; sao cho Z p = p Z % . Khi đó: 0Y Z Z p p = % => 0Y Z Z p p p = ữ ữ % . Vậy: ( Z Y) p - ( )Y p Z % = 0. 1.5. Mệnh đề (xem [2], [3]): Giả sử và % là hai liên thông tuyến tính trên M. Ta đặt = + % Khi đó là liên thông tuyến tính trên M khi và chỉ khi + =1 ( , F (M)). Chứng minh: *) Điều kiện đủ: Giả sử + = 1, ta chứng minh là liên thông tuyến tính trên M. . 7 1) X+Z Y = X+Z Y + % X+Z Y = ( X Y + Z Y) + ( % X Y + % Z Y) = ( X Y + % X Y) + ( Z Y+ % Z Y) = X Y + Z Y. 2) fX Y = fX Y + % fX Y = f X Y + f % X Y = f(( 1X Y + % X Y) = f . X Y 3) X (Y+Z) = X (Y+Z) + % Z (Y+Z) = ( X Y + X Z) + ( % X Y + % X Z) = ( X Y + % X Y) + ( X Z + % X Z) = X Y + X Z 4) X (Y) = X (Y) + % X (Y) ; F(M) = (X[].Y + X Y) + (X[].Y + % X Y) = ( + ) X[].Y + ( + )( X Y + % X Y) = X[].Y + X Y Suy ra là liên thông tuyến tính trên M. *) Điều kiện cần: Giả sử là liên thông tuyến tính trên M. Ta cần chứng minh + = 1. Thật vậy,do là liên thông tuyến tính trên M nên: X (Y) = X[].Y + X Y (1). Mặt khác ta có : X (Y) = X (Y) + % X (Y) = (X[].Y + X Y) + (X[].Y + % X Y) = ( + ) X[].Y + ( + )( X Y + % X Y) = ( + ) X[].Y + ( + ) X Y (2) Từ (1) và (2) suy ra: . 8 X[].Y + X Y = ( + ) (X[].Y + X Y) X,Y B(M) ;, , , F(M). + = 1. Kết luận: = + % là liên thông tuyến tính trên M khi và chỉ khi + = 1. (, F(M)). 1.6. Mệnh đề: Giả sử M = R n và S là đa tạp con trên R n . Với mọi X,Y B( S). Ta đặt X Y = (D X Y) T . ((D X Y) T là thành phần tiếp xúc trên S). Khi đó là liên thông tuyến tính trên S . Chứng minh: Ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính. Thật vậy, ta có: 1) X (Y+Z) = (D X (Y+Z)) T = (D X Y + D X Z) T = (D X Y) T + (D X Z) T = X Y + X Z 2) X+Z Y = (D X+Z Y) T = (D X Y + D Z Y) T = (D X Y) T + (D Z Y) T = X Y + Z Y 3) X Y = (D X Y) T = ( D X Y) T = (D X Y) T = X Y. 4) X (Y) = (D X ( Y)) T = (X[]Y + .D X Y) T = X[].Y T + D X Y Mà Y = Y T do Y B(S). Do đó X (Y) = X[].Y + X Y. . 9 D S-k chiều T p S N p S R n P N T Vậy là liên thông tuyến tính. 1.7. Mệnh đề (xem [2]): Giả sử S : B( R n ) x B( R n ) B( R n ) (X,Y) S (X,Y) , là ánh xạ song tuyến tính trên M, Ta đặt X Y = D X Y + S (X,Y) X,Y B (R n ). Khi đó là liên thông tuyến tính trên M. Chứng minh: Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính: 1) X (Y+Z) = D X (Y+Z) + S (X,Y+Z) = D X Y + D X Z + S (X,Y) + S (X,Z) = (D X Y + S (X,Y)) + (D X Z+ S (X,Z)) = X Y + X Z ; X, Y, Z B (R n ) 2) X+Z Y = D X+Z Y + S (X+Z,Y) = D X Y + D Z Y + S (X,Y) + S (Z,Y) = (D X Y + S (X,Y)) + (D Z Y+ S (Z,Y)) = X Y + Z Y ; X, Y B (R n ) 3) X Y = D X Y + S ( X,Y) = D X Y + S (X,Y) = (D X Y + S (X,Y)) = X Y; X, Y B (R n ); F( R n ) 4) X (Y) = D X (Y) + S (X, Y) = X[].Y + D X Y + S (X,Y) = X[].Y + (D X Y + S (X,Y)) = X[].Y + X Y; X, Y B (R n ); F( R n ) Vậy là liên thông tuyến tính. . 10 . Levi - Civita. Chơng 2: o hm ca các dạng vi phân với giá trị véctơ. I. k dạng vi phân trên đa tạp Riemann với giá trị véctơ. II. o h m c a các dạng vi phân. vi phân với giá trị véctơ. III. ứng dụng các dạng vi phân với giá trị véctơ . Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2011, tại trờng Đại học Vinh dới