Đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp riemann

Chương 1. ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU. Trong chương này chúng tôi trình bày một số nội dung cơ bản về đa tạp khả vi (ánh xạ khả vi, vectơ tiếp xúc và trường vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc) và đồng thời chúng tôi cũng trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đa tạp Riemann 2 - chiều . Các nội dung của chương này được xem như là phần chuẩn bị cho chương 2. §1. ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng n R là không gian Ơclit n - chiều với mục tiêu trực chuẩn tự nhiên: }{ n eeO , .,; 1 và M là một không gian tôpô Hausdoff. 1.1-Định nghĩa : Giả sử U và V tương ứng là các tập mở khác rỗng trong M và n R , ϕ là phép đồng phôi: U → V. Khi đó ( ) ϕ ,U được gọi là một bản đồ của M. Ví dụ 1 : Ta giả sử S 1 là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Oxy. S 1 = }{ 1\),( 22 =+ yxyxX . Ta xét U = { } 0\),( 1 >∈ ySyxX , V=(-1,1) và ánh xạ ϕ : U → V; X  x. Khi đó ( ) ϕ ,U là một bản đồ của S 1 . Thật vậy: - Dễ kiểm tra rằng ϕ là một song ánh và ϕ )1(: 21 tt − −  ; )1;1( −∈∀ t - Ánh xạ ϕ : (x,y)  x là phép chiếu lên thành phần thứ nhất, do đó ϕ liên tục - Mặt khác, ánh xạ ϕ -1 được đồng nhất với ( 1 ϕ , 2 ϕ ). Trong đó tt : 1 ϕ và 2 ϕ : ∈∀− ttt ;1 2  ( ) 1,1 − . Do 1 ϕ , 2 ϕ liên tục nên ϕ -1 là một ánh xạ liên tục . Như vậy : ϕ song ánh ϕ , ϕ -1 đều liên tục nên ϕ là một đồng phôi: U → V. Vì vậy ( ) ϕ ,U là một bản đồ của S 1 . 1 1.2- Định nghĩa : Hai bản đồ ( ) ( ) 2211 ,,, ϕϕ UU của M được gọi là phù hợp nếu và chỉ nếu ánh xạ 12 ϕ = ( ) 2211 1 12 : ϕϕϕϕ →∩ − UU ( ) 21 UU ∩ là một vi phôi. Ta chú ý rằng, nếu ( ) φ =∩ 21 UU , ta cũng nói ( ) ( ) 2211 ,,, ϕϕ UU phù hợp . Ví dụ 2 : Ta trở lại với ví dụ 1 ở trên. Ta xét ( ) ( ) ϕϕ ,, 11 UU ≡ và ( ) 22 , ϕ U xác định như sau : ( ) { } 0\, 1 2 >∈= xSyxYU , ( ) 1,1 2 −= V và ( ) yyxY ,: 2 ϕ . Khi đó ( ) ( ) 2211 ,,, ϕϕ UU là hai bản đồ phù hợp. Thật vậy, ở đây ta kiểm tra tính chất phù hợp của ( ) 11 , ϕ U và ( ) 22 , ϕ U . Nghĩa là ta cần kiểm tra tính chất vi phôi của 12 ϕ . Ta đặt W = 21 UU ∩ . Ta có W = ( ) { } 0,0\, 1 >>∈ yxSyxZ . Ta suy ra : ( ) ( ) 1,0 11 == WW ϕ và ( ) ( ) 1,0 22 == WW ϕ Ánh xạ ( ) ( ) 2 12 1;1,01,0: tt −→  ϕ . Từ đó, ta có ánh xạ ngược ( ) ( ) .1;1,01,0: 21 12 mm −→ −  ϕ Như vậy: Ánh xạ 12 ϕ song ánh và 1 1212 , − ϕϕ đều khả vi. Vậy 12 ϕ là một vi phôi. Hay hai bản đồ đã cho là phù hợp. 1.3- Định nghĩa : a. Một họ các bản đồ { } I U ∈ α αα ϕ , của M được gọi là một Atlat của M nếu và chỉ nếu : 1.  I MU ∈ = α α 2. Hai bản đồ bất kì của họ trên đều phù hợp. b. Một Atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M (một Atlat được gọi là cực đại nếu nó không bị chứa trong một Atlat nào). c. Không gian M cùng với cấu trúc khả vi trên đựợc gọi là một đa tạp khả vi n - chiều và được kí hiệu là n M . Chú ý : 2 f ( ) o tf R S 1 - Trên cùng không gian M , ta có thể đưa vào được nhiều cấu trúc khả vi khác nhau để tạo nhiều đa tạp khác nhau. - Do tính chất phù hợp của các bản đồ trong cùng một cấu trúc khả vi nên khi cho đa tạp khả vi, người ta thường cho một cấu trúc khả vi với số lượng bản đồ thích hợp. - Giả sử điểm p ∈ M , khi đó α Up ∈ , với một α nào đó. Ta có ( ) n Rp ∈ α ϕ . Nếu ( ) p α ϕ có toạ độ ( ) n xx , ., 1 đối với hệ toạ α ϕ . Ví dụ 3 : Bây giờ ta trở lại với ví dụ 2 ở trên. Ta xét các bản đồ ( ){ } 4 1 , = i ii U ϕ với : ( ) { } ( ) ( ) xyxVySyxXU ,:;1,1;0\, 11 1 1 ϕ −=>∈= . ( ) { } ( ) ( ) yyxVxSyxYU ,:;1,1;0\, 22 1 2 ϕ −=>∈= . ( ) { } ( ) ( ) xyxVySyxZU ,:;1,1;0\, 33 1 3 ϕ −=<∈= . ( ) { } ( ) ( ) yyxVxSyxU ,:;1,1;0\,W 44 1 4 ϕ −=<∈= . Rõ ràng rằng : ( ){ } 4 1 , = i ii U ϕ là một cấu trúc khả vi trên S 1 . Do đó S 1 là một đa tạp khả vi 1 - chiều. 1.4-Định nghĩa : Giả sử M và N là hai đa tạp khả vi tương ứng với hai cấu trúc khả vi : { } I U ∈ α αα ϕ , và { } J V ∈ β ββ ψ , . Ánh xạ f : M N → được gọi là ánh xạ khả vi tại p ∈ M nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ββαααβ ψϕϕψ VUf → − : 1 khả vi, ,, JI ∈∈∀ βα sao cho ( ) βα VpfUp ∈∈ , Ánh xạ f khả vi với Mp ∈∀ thì f được gọi là khả vi trên M . Ví dụ 4 : M = R , N = 1 S với U = M , V = R , .id = ψ Khi đó ( ) ϕ ,U là một cấu trúc khả vi trên R , như trong ví dụ 3. 3 t t sint-1 1 R R Ta xét f : R tS , 1 → ( sint, cost ). Khi đó f là khả vi trên R . 1 1 − ψϕ f Thật vậy : Giả sử t ∈ R và ( ) tf ∈ 1 U . Ta có ( ) tf 1 1 − ψϕ = sint. Rõ ràng 1 1 − ψϕ f khả vi . Tương tự, đối với ( ) tf α U ∈ ; ( α = 2, 3, 4).Vậy f khả vi. Bây giờ ta kí hiệu : ( ) MF p = { f : M → R | f khả vi tại p } ; F ( M ) = { f : M → R | f khả vi trên M } ; Như ta đã biết ( xem [1] ), một đường cong khả vi Γ trên M đó là ảnh qua một ánh xạ khả vi ρ : J → M , t  ρ (t) ; ở đây J = (a,b) ⊂ R . 1.5-Định nghĩa : - Giả sử điểm p ∈ M . Một vectơ v tiếp xúc với đường cong Γ tại p , đó là ánh xạ v : MF p → R f  ρ f dt d (t)|  t . Trong đó ρ (t  ) = p - Nếu vectơ v tiếp xúc với Γ tại p thì ta cũng nói vectơ v tiếp xúc với M tại p . 1.6-Mệnh đề : 1/. v là ánh xạ tuyến tính. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fvpggvpfgfv . += ; ( ) MFgf p ∈∀ , Chứng minh : 1/. Với ∀ gf , ∈ ( ) MF p , ∀ λ , α ∈ R . Ta có : v ( α f + λ g ) = dt d ( α f + λ g )  ρ (t) | t = dt d α f  ρ (t) | t + dt d λ g  ρ (t) | t = α dt d f  ρ (t) | t + λ dt d g  ρ (t) | t 4 = α v ( f ) + λ v(g ). Như vậy v là ánh xạ tuyến tính từ ( ) MF p → R . 2/ ∀ f , g ∈ ( ) MF p , ta nhận được : v ( f .g ) = dt d ( f g )  ρ (t) | t = dt d [ f  ρ (t) . g  ρ (t)]| t = f  ρ (t  ). dt d g  ρ (t)| t + g  ρ (t  ). dt d f  ρ (t) | t = f (p).v(g) + g(p).v( f ) Ta kí hiệu : MT p = {v | v là vectơ tiếp xúc với M tại p}. Hai phép toán trong T p M được xác định như sau : - Phép cộng : 1 v + 2 v : f  f ( 1 v ) + f ( 2 v ); ∀ f ∈ ( ) MF p . - Phép nhân với λ ∈ R : λ v  λ .v ( f ) ; ∀ f ∈ ( ) MF p ; ∀ λ ∈ R. 1.7-Mệnh đề : 1/. Với hai phép toán trên thì MT p lập thành một không gian vectơ thực. 2/. dim MT p = n. Ch ứng minh : 1/. Dễ kiểm tra rằng: hai phép toán trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ. Ở đây ta chỉ lưu ý rằng vectơ O là ánh xạ O: f  0. Mỗi vectơ v ∈ MT p có vectơ đối là –v: f  -v( f ); ∀ f ∈ F p ( M ). Bây giờ để tìm số chiều của MT p , ta chú ý tới các toạ độ địa phương tại p. Giả sử p ∈ α U , p ( ) n pp , ., 1 . Khi đó với f ∈ F p ( M ), ta có thể xem f như là một hàm số n - biến số. Và ta xét các ánh xạ p i x | ∂ ∂ : F p ( M ) → R f  p i x f | ∂ ∂ 1.8- Bổ đề : p i x | ∂ ∂ là một vectơ tiếp xúc tại p. Chứng minh : 5 Ta xét đường cong i Γ được cho bởi tham số hoá ρ : J → M ,t  ρ (t) ; trong đó ρ (t) = ( ) ni ptpp , .,, ., 1 + . Khi đó ρ là ánh xạ khả vi và ρ ( 0) = p . Ta chứng minh p i x | ∂ ∂ là vectơ tiếp xúc với đường cong i Γ . Thật vậy: p i x | ∂ ∂ ( f ) = p i x f | ∂ ∂ = ( ) 0 1 1 | , .,, ., = = ∑ ∂ +∂ t n i i ni x ptppf = dt d f  ρ (t) | 0 = t Bây giờ ta trở lại việc chứng minh dim T p M = n của mệnh đề 1.8.Ta nhận thấy rằng { p i x | ∂ ∂ } n i 1 = là cơ sở của T p M . Thật vậy : Từ p i n i i x | 1 ∂ ∂ ∑ = λ = 0 ⇒ p i n i i x | 1 ∂ ∂ ∑ = λ ( ) j x = O ( ) j x ; j = n,1 . ( j x : RU → α , p ( ) n pp , ., 1 j p ). j λ ⇒ = 0; j λ ⇒ Mặt khác với v ∈ T p M thì v tiếp xúc với đường cong Γ được cho bởi tham số hoá ρ : J → M, t  ρ (t) ; ρ (t) = ( ( ) ( ) txtx n , ., 1 ). Ta có: v( f ) = dt d f  ρ (t) tt = | = dt d f ( ( ) ( ) txtx n , ., 1 )  t| = ( )  tx x f ip n i i ′ ∂ ∂ ∑ = .| 1 = )(|)( 1 f x tx p i n i i       ∂ ∂ ⋅ ′ ∑ =  ; f ∈ F p ( M ). Từ đó, suy ra: v = p i n i i x tx |)( 1 ∂ ∂ ⋅ ′ ∑ =  . 6 1.9- Định nghĩa : Một trường vectơ tiếp xúc trên M, đó là một ánh xạ X : p  X p ; trong đó X p ∈ T p M ; ∀ p ∈ M. Ta chú ý tới hàm số X[ f ] : M → R ; ∀ f ∈ F p ( M ). p  X p ( f ) Ta nói trường vectơ X khả vi trên α U nếu và chỉ nếu hàm số X[ f ] khả vi ∀ f ∈ ( ) MF p Ta đưa vào ß( α U ) ( hoặc ß(M)) các phép toán sau: 1/. Phép cộng: X + Y: p  X p + Y p ; ∀ p ∈ α U ; X, Y ∈ ß( α U ) ( hoặc ∀ p ∈ M ; X, Y ∈ ß(M) ). 2/. Phép nhân với hàm số ϕ : ϕ X  ϕ ( p). X p ; ∀ p ∈ α U ; ϕ ∈ F( α U ) ; X ∈ ß( α U ) ( ho ặc ∀ p ∈ M , ϕ ∈ F( M), X ∈ ß(M) ) ). 3/. Trong trường hợp riêng ϕ = const = λ , ta có định nghĩa λ X. 1.10 - Mệnh đề : 1/. Đối với phép toán 1) và 2) thì ß ( α U ) lập thành một môđun trên F( α U ) và dim ß ( α U ) = n. 2/. Đối với phép toán 1) và 3) thì ß ( α U ) lập thành một không gian vectơ thực. Ch ứng minh : - Ta sẽ thấy rằng các phép toán 1) và 2) thoả mãn các tiên đề của môđun và của không gian vectơ tương ứng . - Việc chứng minh chiều của môđun ß ( α U ) bằng n, được suy ra từ nhận xét rằng       ∂ ∂ = ∂ ∂ = n n x E x E , ., 1 1 là cơ sở của ß ( α U ) . 1.11-Định nghĩa: Giả sử f là ánh xạ khả vi, f : M → N . Ánh xạ tiếp xúc của f tại điểm p ∈ M, được kí hiệu pf ∗ , được xác định như sau: pf ∗ : ( ) ( ) .; vpfvNTMT pfp ∗ →  7 Trong đó, nếu v là vectơ tiếp xúc với đường cong Γ tại p thì ( ) vpf ∗ là vectơ tiếp xúc với đường cong ( ) Γ f tại f(p). (nghĩa là: ( ) ( ) ( )  tt tfg dt d gvpf =∗ = | ρ ; ( ) NFg pf ∈∀ ) Bây giờ ta xét α Up ∈ và ( ) β Vpf ∈ . Khi đó nếu ( ) n xxp , ., 1 thì ( ) ( ) n yypf , ., 1 = với: ( ) .,1;, ., 1 kjxxy nj =∀ Ta kí hiệu : p n kk n pf x y x y x y x y J               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = . . | 1 1 1 1 Ma trận pf J | được gọi là ma trận Jacôbi của f tại p. Như ta đã biết trong 1.8 nếu MTv p ∈ thì v được viết dưới dạng p n i i i x v |. 1 ∑ = ∂ ∂ trong đó ( )  txv ii ′ = . Giả sử ( ) vpfv ∗ = ′ , khi đó v ′ cũng được viết dưới dạng ( ) pf k j j j y vv |. 1 ∑ = ∂ ∂ ′ = ′ . 1.12- Mệnh đề : 1/.               =               ′ ′ k pf k v v J v v . . . .| . . . 11 2/. p f | ∗ là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh : 1/. Từ định nghĩa của v ′ ta nhận thấy v ′ tiếp xúc với đường cong Γ được cho bởi tham số hoá NJ → : ~ ρ ; ( ) tft ρ  Trong đó: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) txtxytxtxytf nkn , .,, .,, ., 111 = ρ  . Từ đó, ta có: ( )  tyv jj ′ = ′ =  t j dt dy | 8 = ( ) ( ) kjtx x y ipf n i i j ,1;.| 1 =∀ ′ ∂ ∂ ∑ =  Ta suy ra :               =               ′ ′ k pf k v v J v v . . . | . . . 11 . 2/. Giả sử v, v ~ MT p ∈ và R ∈ βλ , Ta có : ( )           + + =+ ∗ nn pfp vv vv Jvvf ~ ~ .| ~ | 11 βλ βλ βλ =           +           ⋅ n pf n pf v v J v v J ~ . ~ .| .| 11 βλ ; ( p i i x vv |. ~~ ∂ ∂ = ∑ ) = ( ) ( ) . ~ |.|. vfvf pp ∗∗ + βλ Vậy p f | ∗ là ánh xạ tuyến tính. § 2. ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU. 9 Như ta đã biết ( xem [ ] ) một đa tạp khả vi n - chiều M được gọi là đa tạp khả song nếu tồn tại trên M một hệ trường mục tiêu { } ∈ in XXX ;, ., 1 ß ( M ), (nghĩa là ( ) ( ){ } pXpX n , ., 1 là một cơ sở của T p M ; Mp ∈∀ ). Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một đa tạp khả song 2 - chiều. 2.1 -Định nghĩa : Một cấu trúc Riemann trên M đó là một ánh xạ g đặt tương ứng với mỗi điểm p ∈ M với một p g thoả mãn : 1/. p g Là một tích vô hướng trong T p M ; .Mp ∈∀ 2/. g khả vi phụ thuộc vào p .( nghĩa là g ( X,Y ) là một hàm số khả vi trên M ; ∈∀ YX , ß ( M ) ). Đa tạp M cùng với cấu trúc Rieman g được gọi là đa tạp Riemann 2- chiều . 2.2- Ví dụ : Ví dụ 1 : M là mặt phẳng Oxy thông thường và g là tích vô hướng thông thường trong mặt phẳng. ( ( ) ( ) ppppp g βαβα ,, = ). Khi đó ( Oxy, g ) là một đa tạp Riemann 2 - chiều. Ví dụ 2 : Ta kí hiệu H = {( x, y) ∈ Oxy | y>0}. Ta đưa vào H một cấu trúc Riemann g như sau g : p  p g .Trong đó ( ) ppp YXg , = 2 1 y ( ) pp YX , với p(x,y) ∈ H. Thật vậy, ta sẽ kiểm tra cấu trúc Riemann g Trước hết, ta sẽ chứng minh p g là tích vô hướng trên H ; .Hp ∈∀ • ( ) ppp YXg , = 2 1 y ( ) pp YX , = 2 1 y ( ) pp XY , = p g ( ) pp XY , ; ∀ p(x,y) ∈ H. 10