Đạo hàm lie của dòng trên đa tạp

1 MC LC Mc lc Li núi u Dng vi phõn v dũng trờn a 1.1 kdng vi phõn trờn a 1.2 kdũng trờn a 12 o hm Lie ca dng vi phõn trờn a 15 2.1 Nhúm mt tham s 15 2.2 o hm Lie ca hm s 17 2.3 o hm Lie ca trng vect 19 2.4 o hm Lie ca dng vi phõn 22 o hm Lie ca dũng trờn a 33 3.1 o hm Lie ca kdũng trờn a 33 3.2 o hm Lie ca kdũng trờn nhúm Lie 40 Kt lun 47 Ti liu tham kho 49 LI NểI U Khỏi nim o hm Lie xut hin t nhng nm 30 ca th k trc cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Slebodzinski, Dantzig, Schouten and Van Kampen (Xem [18]) Phộp o hm Lie trờn a cho ta gii quyt nhiu bi toỏn v vic tỡm kim cỏc a cú th tớch cc tiu a phng, xỏc nh cỏc cong chớnh, cong Ricci ca a Lý thuyt dũng l mt nhng lnh vc c bn ca Toỏn hc hin i Hn na th k phỏt trin, ngy lý thuyt dũng ó t c nhng thnh tu ỏng k T cui nhng nm 60, cựng vi s hỡnh thnh v phỏt trin ca lý thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic, lý thuyt dũng ó cú nhng bc tin mnh m v c ng dng sõu sc gii tớch phc nhiu bin, hỡnh hc gii tớch, hỡnh hc i s, h ng lc, Vic s dng lý thuyt dũng cỏc nghiờn cu v th tớch cc tiu ca kmt trờn a Riemann cú th tỡm thy cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca A T Fomenko, Havey, o Trng Thi, Lờ Hng Võn, (Xem [17]) Nghiờn cu cỏc phộp o hm trờn a Riemann cú nhiu ng dng vic mụ t cỏc c trng hỡnh hc ca a ú Trong trng hp riờng, o hm Lie l mt cụng c hu hiu nghiờn cu cỏc tớnh cht hỡnh hc trờn a Trong nhng nm gn õy, o hm Lie ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm, chng hn: Katharina Habermann, Andreas Klein (Xem [10]); Jung-Hwan Kwon, Young Jin Suh (Xem [12]); R P Singh, S D Singh (Xem [16]), Vi cỏc lý nờu trờn tụi chn ti nghiờn cu cho lun ca mỡnh l: "o hm Lie ca dũng trờn a tp" Trong lun ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht c bn v o hm Lie ca dũng trờn a Lun c chia lm chng: Chng Dng vi phõn v dũng trờn a Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht c bn ca dng vi phõn v dũng trờn a Chng o hm Lie ca dng vi phõn trờn a Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dng vi phõn trờn a Chng o hm Lie ca dũng trờn a Trong chng ny, chỳng tụi xõy dng khỏi nim o hm Lie ca dũng trờn a v phỏt biu mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng trờn nhúm Lie Lun c hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo PGS TS Nguyn Hu Quang Tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc nht n thy, ngi ó t bi toỏn cho tỏc gi Nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Sau i hc ó to iu kin, giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh cụng tỏc v hc c bit, tỏc gi xin by t lũng bit n n cỏc thy giỏo, cụ giỏo t Hỡnh hc, khoa Toỏn, trng i hc Vinh ó ging dy v giỳp sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Tỏc gi xin cm n quý thy cụ Seminar "Lý thuyt dũng v cỏc tớnh cht hỡnh hc trờn a tp", TS Kiu Phng Chi, cỏc bn hc viờn Cao hc 16, chuyờn ngnh Hỡnh hc - Tụpụ, BGH trng THPT Thỏi Phiờn - Qung Nam, bn bố ng nghip v gia ỡnh ó ng viờn v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Vinh, thỏng 12 nm 2010 Tỏc gi CHNG DNG VI PHN V DềNG TRấN A TP Trong chng ny, chỳng tụi luụn gi thit M l a kh vi nchiu cú c s m c vi h bn {U , X }I Ta ký hiu: Tp M l khụng gian tip xỳc vi M ti p M k (Tp M ) = {f | f : Tp M ì ã ã ã ì Tp M R ktuyn tớnh, phn xng} B(M )= {X | X l trng vect kh vi trờn M } F(M ) = {f | f : M R kh vi trờn M } k (M ) = { | l kdng vi phõn kh vi trờn M } 1.1 kdng vi phõn trờn a 1.1.1 nh ngha Anh x k :M (Tp M ) pM p p c gi l kdng vi phõn trờn a M , ú p : Tp M ì ã ã ã ì Tp M R (X1 (p), , Xk (p)) p (X1 (p), , Xk (p)) l k-dng tuyn tớnh, phn xng Gi s (U, x) l bn a phng trờn a kh vi M Ký hiu: Ei = xi , i = 1, 2, , n l trng vect c s v {dxi } , i = 1, 2, , n l 1dng vi phõn trờn U , i ngu vi { x i } Khi ú mi kdng vi phõn trờn bn (U, xi ) c biu din di dng: i1 ik dxi1 dxik , = 1i1 ik n ú i1 ik l cỏc hm xỏc nh trờn U 1.1.2 nh ngha Gi s k (M ) v l (M ) Tớch ngoi ca v ký hiu v c xỏc nh bi: ( à)p = p àp , p M, ú (p àp )(X1 (p), , Xk+l (p)) = = sign()p X(1) (p), , X(k) (p) àp X(k+1) (p), , X(k+l) (p) k k+1 k+l T nh ngha v bng cỏc tớnh toỏn trc tip, ta cú mt s tớch cht v tớch ngoi ca cỏc dng vi phõn 1.1.3 Mnh (Xem [3]) Cho k (M ), à, à1 , à2 l (M ), p (M ) Khi ú i) = (1)kl ; ii) (à1 + à2 ) = à1 + à2 ; iii) ( à) = (à ) Ta quy c rng, nu f l mt hm thỡ f = f Ta nhn thy rng: (f ) = f ( à) v kdng vi k > n u bng 1.1.4 nh ngha Gi s = 1i1 ik n i1 ik dxi1 dxik , ỏnh x d : k (U ) k+1 (U ) d c gi l vi phõn ngoi ca k-dng vi phõn trờn a M , ú d xỏc nh bi: n + Nu k = thỡ df = i=1 f xi dxi , f + Nu k>0 thỡ d = 1i1 ik n F(U ) di1 ik (dxi1 dxik ), k (U ) Ta chỳ ý rng, nu d = thỡ ta núi l kdng úng Nh vy, mi dng cú bc cc i u úng v nu tn ti k1 (M ) cho dà = thỡ ta núi l kdng khp 1.1.5 Mnh (Xem [3]) Gi s k (M ), l (M ) Khi ú d( à) = d + (1)k dà Chng minh Do d cú tớnh cht tuyn tớnh nờn ta ch cn chng minh trờn cỏc phn t c s Gi s = f dxi1 dxik , = gdxj1 dxjl , ta cú: = (f g)dxi1 dxik dxj1 dxjl Do ú d( à) = d(f g) dxi1 dxik dxj1 dxjl n = i=1 (f g) dxi (dxi1 dxik dxj1 dxjl ) xi n = i=1 n = i=1 f gdxi + xi n i=1 g f dxi (dxi1 dxik dxj1 dxjl ) xi f gdxi dxi1 dxik dxj1 dxjl + xi n + i=1 g f dxi dxi1 dxik dxj1 dxjl xi = (df dxi1 dxik ) (gdxj1 dxjl )+ n + i=1 g f (1)k (dxi1 dxik ) (dxi dxj1 dxjl ) xi n k = d + (1) f dxi1 dxik ( i=1 k g dxi dxj1 dxjl ) xi = d + (1) f dxi1 dxik (dg dxj1 dxjl ) = d + (1)k dà 1.1.6 nh lý (Xem [3]) Nu k (M ) thỡ d2 = Chng minh Do d cú tớnh cht tuyn tớnh nờn ta ch cn chng minh trờn cỏc phn t c s Gi s = dxi1 dxik , ta cú: d = d dxi1 dxik n =( i=1 dxi ) dxi1 dxik xi Do ú n d = d(d) = d( i=1 n ) dxi dxi1 dxik xi dxj ) dxi dxi1 dxik x x j i i,j=1 =( n dxj dxi ) dxi1 dxik x x j i i,j=1 =( = ij dxj dxi dxi1 dxik xj xi M = , i, j = 1, 2, , n dxi dxi = 0; dxi dxj = dxj dxi ; xj xi xi xj Do ú i[...]... ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG TRÊN ĐA TẠP Trong chương này, chúng tôi xây dựng định nghĩa và phát biểu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp, công thức kiểu Cartan Đồng thời chỉ ra một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie Các kết quả chính trong chương này là: định lý 3.1.6, mệnh đề 3.1.7, mệnh đề 3.1.8, định lý 3.2.3, định lý 3.2.7, mệnh đề 3.2.8, mệnh đề 3.2.9, 3.1 Đạo hàm Lie của. .. hàm Lie của k dòng trên đa tạp 3.1.1 Định nghĩa A´nh xạ LX : Dk (M ) → Dk (M ) T → LX T được gọi là đạo hàm Lie của k -dòng T theo trường vectơ X, trong đó LX T được xác định bởi: (LX T )(ω) = T (LX ω), ∀ω ∈ Ωn−k (M ) và LX ω là đạo hàm Lie của (n − k)−dạng vi phân ω trên đa tạp M theo trường vectơ X Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp 3.1.2 Ví dụ Cho E là tập con Borel của Rn , X là... dω)(α) = (dT ∧ ω + (−1)k T ∧ dω)(α), ∀α ∈ Ωn−k−p−1 (M ) c Vậy d(T ∧ ω) = dT ∧ ω + (−1)k T ∧ dω 15 CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM LIE CỦA DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP Trong chương này, chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết các tính chất về đạo hàm Lie của hàm số, của trường vectơ và của dạng vi phân trên đa tạp 2.1 Nhóm một tham số 2.1.1 Định nghĩa Ký hiệu Iε = (−ε, ε), với ε dương A´nh xạ khả vi ϕ : Iε × M → M (t,... đều trên K khi j → ∞ với mọi I và mọi β ∈ Zn+ 12 1.2 k dòng trên đa tạp 1.2.1 Định nghĩa k dòng (hay dòng bậc k ) có chiều (n − k) trên tập mở U ⊂ M là dạng tuyến tính liên tục T : Ωn−k (U ) → R Nếu ω là dạng trong c Ωn−k (U ), giá trị của T tại ω , ký hiệu T (ω) hay < T, ω > c Dòng bậc n ( chiều 0) được gọi là một phân bố Ký hiệu Dk (M ) = {T | T là k -dòng trên đa tạp M } Sau đây là ví dụ về dòng trên. .. là đạo hàm Lie của hàm f theo trường vectơ X , trong đó d (LX f )(p) = f (ϕt (p)) , ∀p ∈ M t=0 dt ∂ 2.2.2 Nhận xét Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và Ei = ∂x , i = 1, 2, , n i là các trường vectơ cơ sở trên M Khi đó i) LX f = X[f ]; ii) LEi f = ∂f ∂xi , ∀i = 1, 2, , n Chứng minh i) Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và {ϕt } là nhóm một tham số sinh ra bởi trường vectơ X Theo định nghĩa đạo hàm Lie của hàm. .. , LX Xi , , Xk ) i=1 Công thức (2.1) cho phép ta tính đạo hàm Lie của dạng vi phân theo một trường vectơ Trong [11], S Kobayashi và K Nomizu trình bày chứng minh 27 định lý 2.4.5 rất phức tạp, ở đây chúng tôi chứng minh dựa vào định nghĩa đạo hàm Lie của k−dạng vi phân và bằng các tính toán trực tiếp Trong [1], vi phân ngoài của k-dạng vi phân trên M được cho bởi công thức: k dω(X0 , X1 , , Xk ) =... (LY oLX )(f ) = (LX oLY − LY oLX )(f ), ∀f ∈ F(M ) Vậy L[X,Y ] = LX oLY − LY oLX 19 2.3 Đạo hàm Lie của trường vectơ 2.3.1 Định nghĩa Giả sử X, Y ∈ B(M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X ; Iε = (−ε, ε), với ε dương A´nh xạ LX : B(M ) → B(M ) Y → LX Y được gọi là đạo hàm Lie của trường vectơ Y theo trường vectơ X , trong đó LX Y được xác định bởi: (LX Y )(p) = lim... Y t s=0 dt ds d (ϕ∗ (ϕ∗ Y )) = s=0 ds t s d = ϕ∗t (ϕ∗s Y ) s=0 ds ∗ = ϕt LX Y 2.4 Đạo hàm Lie của dạng vi phân 2.4.1 Định nghĩa Giả sử X ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X ; I = (−ε, ε), với ε dương A´nh xạ k LX ω : M → (Tp M ) p → (LX ω)p được gọi là đạo hàm Lie của k−dạng vi phân ω theo trường vectơ X , trong đó (LX ω)p được xác định bởi: (ϕt... iX µ (X2 , , Xk+l ), ∀X2 , , Xk+l ∈ B(M ) Vậy iX (ω ∧ µ) = iX ω ∧ µ + (−1)k ω ∧ iX µ Từ định nghĩa đạo hàm Lie của k−dạng vi phân theo một trường vectơ và bằng kỹ thuật tính toán ta chứng minh được công thức sau: 2.4.5 Định lý (Xem [11]) Giả sử X, X1 , X2 , , Xk ∈ B(M ); ω ∈ Ωk (M ) Khi đó đạo hàm Lie của k-dạng vi phân ω theo trường vectơ X được xác định bởi công thức: k (LX ω)(X1 , , Xk ) = LX (ω(X1... trường vectơ trên Rn và [E] là dòng tích phân được xác định bởi: α, ∀α ∈ Ωn (Rn ) [E](α) = E 34 Khi đó đạo hàm Lie của [E] theo trường vectơ X cho bởi: LX α, ∀α ∈ Ωn (Rn ) (LX ([E]))(α) = E Từ định nghĩa về ánh xạ kéo lùi k−dạng vi phân, chúng tôi xây dựng định nghĩa ánh xạ kéo lùi k dòng theo một trường vectơ 3.1.3 Định nghĩa A´nh xạ iX : Dk (M ) → Dk−1 (M ) T → iX T được gọi là ánh xạ kéo lùi k dòng T ... LIE CA DềNG TRấN A TP Trong chng ny, chỳng tụi xõy dng nh ngha v phỏt biu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dũng trờn a tp, cụng thc kiu Cartan ng thi ch mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng trờn nhúm Lie. .. hm Lie ca kdũng trờn nhúm Lie Cho G l nhúm Lie nchiu vi mờtric g, a G v La : G G, La (x) = ax, x G; Ra : G G, La (x) = ax, x G ln lt l phộp tnh tin trỏi v phộp tnh tin phi trờn nhúm Lie. .. vi phõn v dũng trờn a Chng o hm Lie ca dng vi phõn trờn a Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dng vi phõn trờn a Chng o hm Lie ca dũng trờn a Trong chng ny,