Liên thông trên đa tạp KAHLER

1 MC LC Mc lc Li núi u Kin thc c s 1.1 k-dng vi phõn v liờn thụng 1.2 a symplectic 11 Liờn thụng trờn a Kă ahler 2.1 Cỏc cu trỳc tng thớch 14 14 2.2 a Kăahler 23 2.3 Liờn thụng trờn a Kăahler 24 Kt lun Ti liu tham kho 31 32 LI NểI U Cỏch õy hn hai th k, cỏc khỏi nim ban u ca Hỡnh hc Kăahler ó xut hin cỏc thut ng ca ngnh Vt lý c hc Hỡnh hc Kăahler phỏt trin mnh m vo nhng nm 70 ca th k trc vi nhiu cụng trỡnh nghiờn cu ca cỏc nh toỏn hc nh: Weinrstein, Gromov, Taube, v cú nhiu ng dng hỡnh hc, c hc, h ng lc, Trong nhng nm gn õy ang c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc Trong lun ny, chỳng tụi nghiờn cu cỏc tớnh cht ca liờn thụng trờn a to Kăahler Lun c chia lm chng: Chng Kin thc c s Trong chng ny, chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim c s liờn quan chớnh n ni dung ca chng sau C th, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht c bn ca k-dng vi phõn v a Symplectic Chng ny c chia lm hai mc 1.1 k-dng vi phõn v liờn thụng 1.2 a symplectic Chng Liờn thụng trờn a Kă ahler Chng ny c chia lm hai phn: 2.1 Cỏc cu trỳc phc tng thớch Trong phn ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v tớnh cht ca cu trỳc phc tng thớch 2.2 a Kăahler Trong phn ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha v tớnh cht ca a Kăahler 2.3 Liờn thụng trờn a Kăaler Phn ny chỳng tụi phỏt biu nh ngha liờn thụng trờn a Kăahler v mt s tớnh cht ca nú Lun c hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo PGS TS Nguyn Hu Quang Nhõn dp ny, tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc nht n thy, ngi ó t bi toỏn v ch dn cng nghiờn cu cho tỏc gi Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc ó to iu kin, giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh cụng tỏc v hc c bit, tỏc gi xin by t lũng bit n n cỏc thy giỏo, cụ giỏo t Hỡnh hc, khoa Toỏn v cỏc bn hc viờn Cao hc 16 Hỡnh hc - Tụpụ, trng i hc Vinh ó ging dy v hng dn, giỳp sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Cng nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n BGH trng THPT Nghi Lc 2, bn bố ng nghip v gia ỡnh , ó ng viờn v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Vinh, thỏng 12 nm 2010 Tỏc gi CHNG KIN THC C S Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht c bn ca k-dng vi phõn v a symplectic Trong lun ny, ta luụn gi thit M l a Riemann n-chiu cú c s m c vi h bn {U , X }I v ký hiu: Tp M l khụng gian tip xỳc vi M ti p M B(M)= {X : X l trng vect kh vi trờn M } k (Tp M ) = {f | f : Tp M ì ã ã ã ì Tp M R k-tuyn tớnh, phn xng } 1.1 k-dng vi phõn v liờn thụng k 1.1.1 nh ngha Anh x : U p (Tp M ) c gi l k-dng vi pM p phõn trờn a U vi giỏ tr thc Ta ký hiu: k (U ) = { : l k-dng vi phõn kh vi trờn U} v quy c: (U ) = F(U ) = {f | f : U R kh vi trờn U.} 1.1.2 Chỳ ý i) kh vi v ch (X1 , , Xk ) l hm kh vi, vi mi X1 , , Xk B(M ) ii) Trờn k (U ) ta trang b cỏc phộp toỏn sau: a) Phộp cng: + : p p + p b) Phộp nhõn vi mt hm kh vi: : p p p , F(U ) Khi ú: k (U ) cựng vi hai phộp toỏn trờn l mt mụun trờn vnh F(U ) 1.1.3 Vớ d Gi s M=R3 , ta xột = xdy dz Khi ú l 2-dng vi phõn trờn R3 1.1.4 nh ngha Gi s k (M ) v l (M ) Tớch ngoi ca v c ký hiu àv c xỏc nh bi: ( à)p = p àp , p M ;trong ú (p àp )(X1 (p), , Xk+l (p)) = = sign()p (X(1) (p), , X(k) (p)).àp (X(k+1) (p), , X(k+l) (p)) k k+1 k+l 1.1.5 Vớ d Xột M=R3 , = xdx dy, = ydx Khi ú = 1.1.6 nh ngha Gi s (U, x) l h ta a phng trờn a M v k (M ), = i i dxi dxi Anh x 1i1 ik n k k d : k (U ) k+1 (U ) d c gi l vi phõn ngoi ca k-dng vi phõn trờn a M, ú d c xỏc nh bi: n Nu k=0 thỡ df = i=1 f xi dxi , f Nu k>0 thỡ d = 1i1 ik n F(U ) di1 ik (dxi1 dxik ), k (U ) 1.1.7 Vớ d Gi s M=R3 , ta xột = xdy + xydz Khi ú d = dx dy + ydx dz + xdy dz 1.1.8 Mnh (Xem [2]) Gi s k (M ), l (M ) Khi ú i) d( à) = d + (1)k dà, ii) d2 = 1.1.9 nh ngha Gi s M, N l cỏc a Riemann m, n-chiu tng ng v f : M N l ỏnh x kh vi Anh x : f : k (N ) k (M ) f c gi l ỏnh x i tip xỳc ca f, ú f c xỏc nh bi: (f )(X1 , , Xk ) = (f X1 , , f Xk ), X1 , , Xk B(M ) Ta qui c: f () = f, F(M ) 1.1.10 Vớ d Cho (R2 ), = xdy dz v f : R2 R3 (u, v) f (u, v) = (u, uv, uv ) Gi s X, Y B(M ), X = (X1 , X2 ); Y = (Y1 , Y2 ) Ta cú f kh vi trờn R2 v: Jf = v u v 2uv X1 f X = v u X2 v 2uv = (X1 , vX1 + uX2 , v X1 + 2uvX2 ) Y1 f Y = v u Y2 v 2uv = (Y1 , vY1 + uY2 , v Y1 + 2uvY2 ) Mt khỏc, ta cú: f (X, Y ) = (f X, f Y ) = (xdy dz)(f X, f Y ) = x (vX1 + uX2 )(v Y1 + 2uvY2 ) (vY1 + uY2 )(v X1 + 2uvX2 ) = x v X1 Y1 + 2uv X1 Y2 + uv X2 Y1 + u2 vX2 Y2 v X1 Y1 2uv X2 Y1 uv X1 Y2 2u2 vX2 Y2 = 2u2 v (X1 Y2 X2 Y1 ) u2 v (X1 Y2 X2 Y1 ) = u2 v (X1 Y2 X2 Y1 ) = u2 v2 [du(X)dv(Y ) dv(X)du(Y )] = u2 v du dv(X, Y ); X, Y B(M ) Vy f () = u2 v du dv 1.1.11 Nhn xột f l ỏnh x tuyn tớnh Chng minh Vi mi , k (M ), , R, ta cú: f (1 + )(X1 , , Xk ) = (1 + )(f X1 , , f Xk ) = (f X1 , , f Xk ) + (f X1 , , f Xk ) = f (X1 , , Xk ) + f (X1 , , Xk ) = (f + f )(X1 , , Xk ), X1 , , Xk B(M ) Do ú f (1 + ) = f + f Vy f l ỏnh x tuyn tớnh 1.1.12 Mnh Gi s k (M ), l (M ) Khi ú f (1 ) = f f Chng minh Gi s k (M ), l (M ), ta cú: f (1 )(X1 , , Xk+l ) = (1 )(f X1 , , f Xk+l ) = sign()1 (f X(1) , , f X(k) ).2 (f X(k+1) , , f X(k+l) ) k k+1 k+l = = sign()(f )(X(1) , , X(k) ).(f )(X(k+1) , , X(k+l) ) k k+1 k+l (f f )(X1 , , Xk+l ); X1 , , Xk Vy f (1 ) = f f B(M ) 1.1.13 Mnh f (d) = d(f ), k (M ) Chng minh Gi s (U, x) v (V, y) ln lt l h ta a phng trờn a kh vi M v N Vi mi k (M ), = 1i1 ik n di1 ik dyi1 dyik ta cú: d = Ta li cú: i1 ik dyi1 dyik , 1i1 ik n f (X1 , , Xk ) = (f X1 , , f Xk ) = 1i1 ik n Do ú d(f )(X1 , , Xk ) = 1i1 ik n i1 ik dyi1 dyik (f X1 , , f Xk ) di1 ik dyi1 dyik (f X1 , , f Xk ) = 1i1 ik n f di1 ik dyi1 dyik (X1 , , Xk ) = f 1i1 ik n di1 ik dyi1 dyik (X1 , , Xk ) = f (d)(X1 , , Xk ); X1 , , Xk B(M ) Vy f (d) = d(f ), k (M ) 1.1.14 Mnh (Xem [3]) Gi s M, N, G l cỏc a kh vi v f : M N, g : N G l cỏc ỏnh x kh vi Khi ú (gof ) = f og Chng minh Vi mi k (M ), X1 , , Xk B(M ), ta cú: (gof ) (X1 , , Xk ) = ((gof ) X1 , , (gof ) Xk ) = (g (f X1 ), , g (f Xk )) = g (f X1 , , f Xk ) = f g (X1 , , Xk ) = (f og )(X1 , , Xk ), X1 , , Xk B(M ) Suy (gof ) = (f og ), k (M ) Vy (gof ) = f og 1.1.15 nh ngha Gi s M l a Riemann vi mờtric g Anh x : B(M ) ì B(M ) B(M ) (X, Y ) XY c gi l liờn thụng tuyn tớnh trờn M nu tha cỏc iu kin sau: X (Y + Z) = XY + X Z; X, Y, Z B(M ) = XZ X+Y (Z) X (Y )= X (Y ) = X[].Y + X + Y Z; X, Y, Z B(M ) Y ; X, Y B(M ); F(M ) X Y ; X, Y B(M ); F(M ) 1.1.16 nh ngha Gi s (M, g) l a Riemann Liờn thụng tuyn tớnh c gi l liờn thụng Riemann nu i vi mi ng kh vi c : I M (I R) v X, Y l cỏc trng vect song song dc c, ta cú g(X,Y) l hm hng trờn I 1.1.17 nh lý (Xem [1]) Gi s (M, g) l a Riemann vi liờn thụng tuyn tớnh Khi ú liờn thụng l liờn thụng Riemann v ch g = 0, ngha l i vi mi trng vect kh vi X, Y, Z F(M ), ta cú: X[g(Y, Z)] = g( X Y, Z) + g(Y, X Z) (1.1) 1.1.18 nh ngha Gi s M l a kh vi vi liờn thụng tuyn tớnh Anh x T : B(M ) ì B(M ) B(M ) (X, Y ) T (X, Y ) = XY YX [X, Y ] c gi l tenx xon (hay xon) trờn a kh vi M Nh ta ó bit: a kh vi M c gi l khụng xon nu T=0; ( ngha l T (X, Y ) = 0, X, Y B(M ).) 1.1.19 nh ngha Gi s (M, g) l a Riemann Liờn thụng Riemann trờn M c gi l liờn thụng Levi-Civita, nu T = Khi ú ta cng núi khụng xon 1.1.20 nh lý (nh lý c bn ca Hỡnh hc Riemann; xem [3]) Gi s (M, g) l a Riemann, ú tn ti nht mt liờn thụng Levi-Civita trờn M 10 Chng minh Gi s X, Y B(M ) Ta xỏc nh g( X Y, Z) = XY bi phng trỡnh sau: X[g(Y, Z)] + Y [g(Z, X)] Z[g(X, Y )] + g([X, Y ], Z) +g([Z, X], Y )+g(X, [Z, X]) , Z B(M ) Kim tra trc tip, ta thy ỏnh x (X, Y ) kin ca nh ngha liờn thụng tuyn tớnh Vy XY (1) tha cỏc iu l liờn thụng tuyn tớnh trờn M Do cụng thc (1) ta cú: g(T(X,Y),Z)=0, vi mi Z B(M ) T ú T(X,Y)=0, ngha l liờn thụng chng minh khụng cú xon l liờn thụng Riemann, ta xột X, Y, Z tựy ý thuc B(M ) Do (1), ta thu c: X[g(Y, Z)] = g( theo nh lý 1.1.17, ta cú X Y, Z) + g(Y, X Z), l liờn thụng Riemann chng minh tớnh nht, ta chng t rng nu tha iu kin (2.1) v cú tenx xon T=0 thỡ nú tha phng trỡnh (1) Tht vy, t (1) ta cú: X[g(Y, Z)] = g( X Y, Z)+g(Y, Y [g(Z, X)] = g( Y Z, X) Z[g(X, Y )] = g( Z X, Y Do T (X, Y ) = XY YX X Z), + g(Z, (2) Y X), ) + g(X, ZY ), [X, Y ] = 0, nờn ta cú: Z[g(X, Y )] = g( X Z, Y ) + g([Z, X], Y ) + g(X, Y [g(Z, X)] = g( Y Z, X)+g(Z, XY Y Z) + g(X, [Z, Y )+g(Z, [Y, X]) ]), (3) Cng v theo v (2) v (3) ta c: g( X Y, Z) = X[g(Y, Z)] + Y [g(Z, X)] Z[g(X, Y )] + g([X, Y ], Z) +g([Z, X], Y )+g(X, [Z, X]) , Z B(M ) õy chớnh l ng thc (1) Vy tớnh nht c chng minh 18 Suy GJ tuyn tớnh i vi v Vy GJ l dng song tuyn tớnh Bõy gi ta chng minh GJ l dng i xng Tht vy, u, v V, ta cú: GJ (u, v) = (u, Jv) = (Ju, JJv) = (Ju, id(v)) = (Ju, v) = (Ju, v) = (v, Ju) = GJ (v, u) T ú GJ l dng i xng Suy GJ l mt tớch vụ hng trờn V Vy (J, ) tng thớch 2.1.6 Mnh Gi s V l khụng gian vect 2n-chiu, J l cu trỳc phc trờn V v g l tớch vụ hng trờn V tha món: g(Ju, Jv) = g(u, v), u, v V Ta t (u, v) = g(Ju, v) Khi ú (V, ) l khụng gian vect symplectic v tng thớch vi J Chng minh Chng minh (V, ) l khụng gian vect symplectic Do g l song tuyn tớnh v J l tuyn tớnh nờn l song tuyn tớnh Ta cú: (u, v) = g(Ju, v) = g(JJu, Jv) = g(u, Jv) = g(Jv, u) = (v, u), u, v V Suy phn xng Mt khỏc ta cú: U = {u V : (u, v) = 0, v V } = {u V : g(Ju, v) = 0, v V } = {u V : Ju = 0} = {0} 19 Do ú l song ỏnh Vy (V, ) l khụng gian vect symplectic Chng minh tng thớch vi J Vi mi u, v V, ta cú: g(u, v) = g(Ju, Jv) = (u, Jv) GJ (u, v) = g(u, v) Vy tng thớch vi J 2.1.7 Mnh Gi s (V, ) l khụng gian vộc t symplectic 2n-chiu v J l cu trỳc phc trờn V Khi ú J v tng thớch v ch V tn ti c s tiờu chun {e1 , , en , Je1 , , Jen } Chng minh iu kin Gi s {e1 , , en , Je1 , , Jen } l c s tiờu chun ca V Ta cn chng minh J tng thớch vi Tht vy, vỡ {e1 , , en , Je1 , , Jen } l c s ca V nờn u, v V, ta cú: n n u= ui ei + ui fi , i=1 i=1 n n v= vi ei + i=1 vi fi , i=1 õy fi = Jei ; i = 1, n Khi ú ta cú: n Jv = J n vi ei + i=1 i=1 n = vi fi n vi Jei + i=1 n vi Jfi i=1 n vi fi = i=1 vi ei i=1 20 Do ú GJ (u, v) = (u, Jv) n = n ui ei + i=1 n vi fi ui fi , i=1 i=1 n vi ei i=1 n ui vj (ei , fj ) = i,j=1 ui vj (ei , ej )+ i,j=1 n n ui vj (fi , fj ) + i,j=1 n n ui vj (ei , fj ) + = i,j=1 n = n ui vj (fi , ej ) i,j=1 ui vj (ej , fi ) i,j=1 n ui vi + i=1 ui vi i=1 Do ú GJ l tớch vụ hng trờn V Vy J tng thớch vi iu kin cn Gi s J tng thớch vi Ta cn chng minh V tn ti c s tiờu chun {e1 , , en , Je1 , , Jen } tha món: (ei , ej ) = (Jei , Jej ) = 0, i, j = 1, n (ei , Jej ) = ij , i, j = 1, n Vỡ J tng thớch vi nờn GJ : V ì V R (u, v) GJ (u, v) = (u, Jv) l tớch vụ hng trờn V Vi mi e1 V, e1 = thỡ Je1 V v GJ (e1 , e1 ) = Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi thit GJ (e1 , e1 ) = (e1 , Je1 ) = Do ú {e1 , Je1 } c lp tuyn tớnh Ký hiu V1 =< e1 , Je1 >; V1 = {u V : (u, v) = 0, v V1 } Khi ú V = V1 V1 Tht vy, vi mi v V1 V1 , ta cú: v = ae1 + bJe1 , a, b R 21 Suy (v, e1 ) = (v, Je1 ) = (ae1 + bJe1 , e1 ) = (ae1 + bJe1 , Je1 ) = b(Je1 , e1 ) = a(e1 , Je1 ) = a = b = v = Suy V1 V1 = {0} Mt khỏc, vi mi v V , ta t: = (v, e1 ), = (v, Je1 ) Khi ú v = (Je1 + e1 ) + (v + Je1 e1 ) M (Je1 + e1 ) V1 v (v + Je1 e1 ) V1 Do ú V = V1 V1 Tip tc chng minh nh trờn i vi V1 , V2 , ta cú s phõn tớch: V = V1 V2 Vn Vy {e1 , , en , Je1 , , Jen } l c s tiờu chun ca V 2.1.8 Mnh Gi s J tng thớch vi v Khi ú t = t1 + (1 t)2 , t cng tng thớch vi J Chng minh Vỡ (J, ) tng thớch nờn G1 (x, y) = (x, Jy), x, y V Vỡ (J, ) tng thớch nờn G2 (x, y) = (x, Jy), x, y V Xột ỏnh x Gt : V ì V R (x, y) Gt (x, y) = t (x, Jy) Ta cn chng minh Gt l tớch vụ hng trờn V 22 Tht vy, vi mi x, y V, ta cú: Gt (x, y) = t (x, Jy) = (t1 + (1 t)2 )(x, Jy) = t1 (x, Jy) + (1 t)2 (x, Jy) = tG1 (x, y) + (1 t)G2 (x, y) = (tG1 + (1 t)G2 )(x, y), x, y V Suy Gt = tG1 + (1 t)G2 Vỡ G1 , G2 l song tuyn tớnh xỏc nh dng v t [0, 1] nờn Gt l song tuyn tớnh xỏc nh dng Mt khỏc, vi mi x, y V, ta cú: Gt (x, y) = tG1 (x, y) + (1 t)G2 (x, y) = tG1 (y, x) + (1 t)G2 (y, x) = Gt (y, x) Do ú Gt l tớch vụ hng trờn V Vy J tng thớch vi 2.1.9 nh ngha Gi M l a kh vi Anh x tuyn tớnh J : x Jx , x M ; ú Jx : Tx M Tx M v Jx (v) c gi l cu trỳc hu phc trờn M nu Jx2 = id Khi ú (M, J) c gi l a hu phc 2.1.10 Vớ d Cho M = S = {(x1 , x2 , x3 ) R3 |x21 + x22 + x23 = 1} Khụng gian vộct tip xỳc vi S ti x cho bi: Tx S = {v R3 |x.v = 0} Ta xột ỏnh x tuyn tớnh Jx : Tx S Tx S v Jx (v) = x v õy "" l tớch cú hng trờn R3 Khi ú (S , J) l a hu phc 23 Tht vy, x Tx S ta cú: Jx2 (v) = Jx (Jx (v)) = Jx (x v) = x (x v) = v 2.1.11 Nhn xột Gi s J l cu trỳc hu phc trờn M Khi ú ỏnh x J : B(M ) B(M ) X JX l ng cu tuyn tớnh Hin nhiờn J l mt ng cu tuyn tớnh Ta cn chng minh J l song Tht vy, gi s JX = JY, X, Y B(M ) J X = J Y ỏnh X = Y X=Y Nh vy J l n ỏnh Mt khỏc, vi mi X B(M ), ta xột JX B(M ), ta cú: J(JX) = J X = X Do ú J l ton ỏnh Vy J l ng cu tuyn tớnh 2.2 a Kă ahler Trong mc ny, ta luụn gi thit M l mt a symplectic 2m-chiu ng vi dng symplectic , 2.2.1 nh ngha Gi s g , J ln lt l mờtric Riemann v cu trỳc hu phc trờn a symplectic (M, ) Khi ú (, g, J) c gi l b ba tng 24 thớch nu g(X, Y ) = (X, JY ), X, Y B(M ) 2.2.2 Mnh Gi s (M, ) l a symplectic, g l mt mờtric Riemann trờn M Khi ú tn ti cu trỳc hu phc J trờn a symplectic (M, ) tng thớch vi Chng minh Vi mi x M, ta cú (Tx M, x ) l khụng gian vộct symplectic Khi ú tn ti cu trỳc phc Jx trờn Tx M tng thớch vi g(u, v) = x (u, Jv), x M ; u, v Tx M Mt khỏc, v g ph thuc kh vi vo x nờn J ph thuc kh vi vo x Vy J : x Jx : Tx M Tx M l cu trỳc hu phc tng thớch vi trờn M 2.2.3 nh ngha Mt a symplectic (M, ) c trang b mt b ba tng thớch (, g, J) c gi l a Kăahler, ký hiu: (M, , J, g) Dng symplectic c gi l dng Kăahler 2.3 Liờn thụng trờn a Kă ahler 2.3.1 nh ngha Gi s (M, , J) 2n-chiu Anh x XJ l liờn thụng tuyn tớnh trờn a Kăahler : B(M ) B(M ) Y ( X J)(Y )= X (JY ) J( XY ) c gi l o hm ca cu trỳc phc J theo trng vộct X 2.3.2 nh ngha Gi s (M, , J, g) l a tp Kăahler 2n-chiu Liờn thụng tuyn tớnh cỏc iu kin sau: trờn M c gi l liờn thụng Kăahler nu tha 25 1) T l tenx khụng xon 2) song song, ngha l vi mi X, Y, Z B(M ), ta cú: ( X )(Y, Z) = X[(Y, Z)] ( XJ ta vit (Y, X Z) = = 0) (Trong trng hp ny ta vit 3) J song song, ngha l X Y, Z) = 0, X B(M ) (Trong trng hp ny J = J ) 2.3.3 Mnh Gi s (M, , J, g) l a tp Kă ahler 2n-chiu Khi ú liờn thụng Kăahler l liờn thụng Levi - Civita trờn M Chng minh T nh ngha ca liờn thụng Levi - Civita trờn a Riemann (M, gJ ), ta ch cn chng minh: X[gJ (Y, Z)] = gJ ( X Y, Z) + gJ (Y, X Z), X, Y, Z B(M ) Tht vy, vỡ J tng thớch vi nờn ta cú: X[gJ (Y, Z)] = X[(Y, JZ)] Vy = ( X Y, JZ) + (Y, = ( X Y, JZ) + (Y, J = gJ ( X Y, Z) + gJ (Y, X JZ) X Z) (vỡ J = J) X Z) l liờn thụng Levi - Civita trờn M 2.3.4 nh ngha Gi s (M, J) l a hu phc Anh x N : B(M ) ì B(M ) B(M ) (X, Y ) N (X, Y ) xỏc nh bi: N (X, Y ) = [JX, JY ] J[X, JY ] J[JX, Y ] [X, Y ], X, Y B(M ), c gi l tenx Nijenhui 26 2.3.5 Mnh Gi s N l tenx Nijenhui Khi ú i) N l dng song tuyn tớnh, phn xng, ii) N (JX, JY ) = N (X, Y ), iii) N (JX, Y ) = N (X, JY ) Chng minh i) Vi mi X, Y, Z B(M ), ta cú: N (X + Y, Z) = [J(X + Y ), JZ] J[X + Y, JZ] J[J(X + Y ), Z] [X + Y, Z] = [JX, JZ] + [JY, JZ] J[X, JZ] J[Y, JZ] J[JX, Z]J[JY, Z][X, Z][Y, Z] = [JX, JZ] J[X, JZ] J[JX, Z] [X, Z] + + [JY, JZ]J[Y, JZ]J[JY, Z][Y, Z] = N (X, Z) + N (Y, Z) Chng minh tng t ta cú N (X, Y + Z) = N (X, Y ) + N (X, Z) Do ú N l dng song tuyn tớnh Mt khỏc vi mi X, Y, Z B(M ), ta cú: N (X, Y ) = [JX, JY ] J[X, JY ] J[JX, Y ] [X, Y ] = [JY, JX] J[JY, X] J[Y, JX] [Y, X] = [JY, JX] J[JY, X] J[Y, JX] [Y, X] = N (Y, X) Vy N l dng song tuyn tớnh, phn xng ii)Vi mi X, Y B(M ), ta cú: N (JX, JY ) = [JJX, JJY ] J[JX, JJY ] J[JJX, JY ] [JX, JY ] = [X, Y ] J[JX, Y ] J[X, JY ] [JX, JY ] = [X, Y ] + J[JX, Y ] + J[X, JY ] [JX, JY ] = [JX, JY ] J[JX, Y ] J[X, JY ] [X, Y ] 27 = N (X, Y ) iii)Vi mi X, Y B(M ), ỏp dng Mnh 2.3.5.ii, ta cú: N (JX, Y ) = N (J X, JY ) = N (X, JY ) = N (X, JY ) l liờn thụng Kă ahler (M, , J, g) thỡ tenx Nijenhui 2.3.6 nh lý Nu N = Chng minh Vi mi X, Y B(M ), ta cú: [JX, JY ] = JX JY =J JX J[X, JY ] = J( X = X J[JX, Y ] = J( JY JX Y J X JY = J2 [X, Y ] JY X) Y J JY JX Y J2 =J JX Y + XY X Y JX) =J = X JY Y J JX Y X JY Y X YX Y X Do ú: N (X, Y ) = [JX, JY ] J[X, JY ] J[JX, Y ] [X, Y ] =J Y J JX JY X+ J XY JX +J Y JY YX X XY + YX = 0, X, Y B(M ) Vy tenx Nijenhui N = Nh chỳng ta ó bit (Xem [1]), vi phõn ngoi ca k-dng vi phõn liờn kt vi trờn M c cho bi cụng thc : k d(X0 , X1 , , Xk ) = (1)i i=0 Xi (X0 , X1 , , Xi , , Xk )+ (1)i+j ([Xi , Xj ], X0 , X1 , , Xi , , Xj , , Xk ), + 0i[...]... là đa tạp K¨ahler, ký hiệu: (M, ω, J, g) Dạng symplectic ω được gọi là dạng K¨ahler 2.3 Liên thông trên đa tạp K¨ ahler 2.3.1 Định nghĩa Giả sử (M, ω, J) 2n-chiều A´nh xạ XJ là liên thông tuyến tính trên đa tạp K¨ahler : B(M ) → B(M ) Y →( X J)(Y )= X (JY ) − J( XY ) được gọi là đạo hàm của cấu trúc phức J theo trường véctơ X 2.3.2 Định nghĩa Giả sử (M, ω, J, g) là đa tạp tạp K¨ahler 2n-chiều Liên thông. .. (JY = 0, ∀X ∈ B(M ) hay J song song là liên thông K¨ahler trên M 31 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được những kết quả sau đây: 1 Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất của k−dạng vi phân, liên thông trên đa tạp Riemann, đa tạp symplectic 2 Trình bày các tính chất cơ bản về các cấu trúc tương thích trên đa tap symplectic và đa tạp K¨ahler Chứng minh chi tiết: Mệnh... Vậy (M, ω) là đa tạp symplectic ii) Tổng quát hơn, M = R2n = {(x1 , , xn , y1 , , yn )} và ω0 = n i=1 Khi đó (M, ω0 ) là một đa tạp symplectic 1.2.3 Chú ý i) Nếu M là đa tạp symplectic thì M có chiều chẵn dx∧i dyi 13 ii) Trên M có thể trang bị được nhiều dạng symplectic để M trở thành các đa tạp symplectic khác nhau 1.2.4 Định nghĩa Giả sử (M, ω) là đa tạp symplectic 2n-chiều và Y là đa tạp con của... biểu và chứng minh chi tiết các tính chất về liên thông trên đa tạp K¨ahler như: Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6, Mệnh đề 2.3.7, Định lý 2.3.8 Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu bài toán đạo hàm liên kết với liên thông K¨ahler trên đa tạp K¨ahler 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Lý thuyết liên thông và hình học Riemann, Đại học sư phạm Hà... là liên thông Levi - Civita trên M Chứng minh Từ định nghĩa của liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann (M, gJ ), ta chỉ cần chứng minh: X[gJ (Y, Z)] = gJ ( X Y, Z) + gJ (Y, X Z), ∀X, Y, Z ∈ B(M ) Thật vậy, vì J tương thích với ω nên ta có: X[gJ (Y, Z)] = X[ω(Y, JZ)] Vậy = ω( X Y, JZ) + ω(Y, = ω( X Y, JZ) + ω(Y, J = gJ ( X Y, Z) + gJ (Y, X JZ) X Z) (vì J = J) X Z) là liên thông Levi - Civita trên. .. đa tạp con Lagrange của (M, ω) Thật vậy, hiển nhiên Y là đa tạp con của M và dimY = 12 dimM Bây giờ ta chứng minh: ω|p = 0, ∀p ∈ Y Với mọi u, v ∈ B(Y ) và u(ui ), v(vi ) ta có: n dxi ∧ dyi ω|Y (u, v) = i=1 n dxi (u)dyi (v) − dxi (v)dyi (u) = i=1 n ui 0 − vi 0 = i=1 =0 Vậy Y là đa tạp con Lagrange của (M, ω) 14 CHƯƠNG 2 ¨ LIÊN THÔNG TRÊN ĐA TẠP KAHLER 2.1 Các cấu trúc tương thích Giả sử V là không gian... tính 2.2 Đa tạp K¨ ahler Trong mục này, ta luôn giả thiết M là một đa tạp symplectic 2m-chiều ứng với dạng symplectic ω, 2.2.1 Định nghĩa Giả sử g , J lần lượt là mêtric Riemann và cấu trúc hầu phức trên đa tạp symplectic (M, ω) Khi đó (ω, g, J) được gọi là bộ ba tương 24 thích nếu g(X, Y ) = ω(X, JY ), ∀X, Y ∈ B(M ) 2.2.2 Mệnh đề Giả sử (M, ω) là đa tạp symplectic, g là một mêtric Riemann trên M Khi... Định nghĩa Giả sử đa tạp M được trang bị 2-dạng vi phân ω thỏa mãn: i) ω đóng, ii) ωp là dạng symplectic trên Tp M, ∀p ∈ M Khi đó M được gọi là đa tạp symplectic, ký hiệu (M, ω) và ω được gọi là cấu trúc symplectic trên M 1.2.2 Ví dụ i) Cho M = R4 = (x1 , x2 , x3 , x4 ) : xi ∈ R, i = 1, 4 và ω = dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx4 Khi đó (M, ω) là một đa tạp symplectic Thật vậy, ta có R4 là đa tạp khả vi với cấu... kiện sau: trên M được gọi là liên thông K¨ahler nếu thỏa mãn 25 1) T là tenxơ không xoắn 2) ω song song, nghĩa là với mọi X, Y, Z ∈ B(M ), ta có: ( X ω)(Y, Z) = X[ω(Y, Z)] − ω( XJ ta viết − ω(Y, X Z) = 0 ω = 0) (Trong trường hợp này ta viết 3) J song song, nghĩa là X Y, Z) = 0, ∀X ∈ B(M ) (Trong trường hợp này J = J ) 2.3.3 Mệnh đề Giả sử (M, ω, J, g) là đa tạp tạp K¨ ahler 2n-chiều Khi đó liên thông K¨ahler... là đa tạp con Lagrange của M nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) dimY = 21 dimM, ii) ω|p = 0, ∀p ∈ Y 1.2.5 Nhận xét Y là đa tạp con Lagrange của M khi và chỉ khi Tp Y là không gian con Lagrange của Tp M 1.2.6 Ví dụ Cho M = R2n = (x1 , , xn , y1 , , yn )|xi ∈ R, yi ∈ R; i = 1, n n dxi ∧ dyi , ta có (M, ω) là đa tạp symplectic và ω = i=1 Xét Y = (x1 , , xn , 0, , 0)|xi ∈ R; i = 1, n Khi đó Y là đa tạp ... (v)dyi (u) = i=1 n ui vi = i=1 =0 Vy Y l a Lagrange ca (M, ) 14 CHNG ă LIấN THễNG TRấN A TP KAHLER 2.1 Cỏc cu trỳc tng thớch Gi s V l khụng gian vộc t symplectic 2n-chiu v l dng symplectic