Ánh xạ tiếp xúc và liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Trờng Đại học vinh Khoa toán Nguyễn thị thu hơng ánh xạ TIếP XúC và liên thông tuyếntính trên đa tạp khả vi chuyên ngành hình học Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn Th.S. Trơng Chí TrunG Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thu Hơng Lớp 43B-Khoa Toán Vinh-2006 Lời mở đầu ánh xạ tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích, ., chẳng hạn sử dụng nó để tính độ dài cung, diện tích, thể tích của các hình trên đa tạp nhiều chiều. Vấn đề này đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu Hình học (xem [2], [5], [6], [7]). Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạ tiếp xúc, liên thông tuyến tính. Khoá luận đợc chia làm 4 mục : Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi. Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. Đ3. ánh xạ tiếp xúc trên R n . Đ4. Liên thông tuyến tính trên R n . Ta có thể xem Đ 3, Đ 4 là trờng hợp cụ thể của Đ 1, Đ 2. Trong Đ1, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi (định nghĩa 1.1.1, định nghĩa 1.2.5) và các định nghĩa có liên quan. Các tính chất cơ bản của chúng đợc chứng minh khá chi tiết (mệnh đề 1.1.3, mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.2.6, mệnh đề 1.2.7, hệ quả 1.2.8, mệnh đề 1.2.10). Trong Đ 2, chúng tôi trình bày định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (định nghĩa 2.1) và các định nghĩa có liên quan. Nêu đợc hai ví dụ về liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.5) và một số nhận xét quan trọng. Trong Đ3, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ tiếp xúc trên R n . Ngoài những tính chất đã nêu ở Đ1 chúng tôi còn bổ sung thêm một số tính chất khác (mệnh đề 3.7). Đồng thời đã nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa, dựa vào ma trận Jacobi (ví dụ 3.3, mệnh đề 3.4). Ngoài ra trong 3 mục này chúng tôi đã đa ra khái niệm trờng véctơ bất biến trái và một số tính chất của nó (thể hiện ở mệnh đề 3.9, nhận xét 3.10). Trong Đ4, chúng tôi đã đa ra đợc 2 ví dụ về liên thông tuyến tính trên R n (mệnh đề 4.1, mệnh đề 4.6), các tính chất đợc chúng tôi trình bày và chứng minh khá chi tiết (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mênh đề 4.8, mệnh đề 4.9) Trong quá trình làm khoá luận, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng chắc chắn không tránh khỏi các thiếu sót, chúng tôi mong muốn thiết tha đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn. Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo Th.S. Tr- ơng Chí Trung lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn, chỉ dạy tận tình của thầy giáo trong suốt quá trình chúng tôi làm khoá luận. Đồng thời chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã động viên, giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Vinh, tháng 4 năm 2006 Tác giả 4 Mục lục Trang Lời mở đầu 3 Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi 6 Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi 13 Đ3. ánh xạ tiếp xúc trong R n 17 Đ4. Liên thông tuyến tính trên R n 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi 5 Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi (vi phân của ánh xạ khả vi) cùng với các tính chất cơ bản của chúng trên đa tạp khả vi. 1.1. ánh xạ khả vi. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều n, k tơng ứng. ánh xạ f : M N đợc gọi là ánh xạ khả vi (lớp C r ) nếu với mọi bản đồ khả vi (U, ) trên M và (V, ) trên N thì ánh xạ f -1 : R n R k là một ánh xạ khả vi. 1.1.2. Nhận xét. 1) Nếu M, N, Q là các đa tạp khả vi và nếu f : M N, g : N Q là các ánh xạ khi vi thì g f : M Q là một ánh xạ khả vi. 2) Trong trờng hợp N = R và M là đa tạp khả vi tuỳ ý thì các ánh xạ khả vi từ M vào R đợc gọi là các hàm khả vi trên M. Tập hợp các hàm khả vi trên M ký hiệu là F (M). 3) Với mỗi p M ta ký hiệu F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong một lân cận của p. 1.1.3. Mệnh đề. Cho đa tạp khả vi M, trên tập hợp F (M) là các hàm khả vi trên M đa vào các phép toán sau : Phép cộng : f, g F (M) ta xác định f + g F (M) nh sau : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x M Phép nhân với số thực : f F (M), R ta xác định f F (M) nh sau : (f)(x) = .f(x), x M Phép nhân : f, g F (M) ta xác định f.g F (M) nh sau : 6 (f.g)(x) = f(x).g(x), x M . Khi đó F (M) trở thành một R- đại số và đợc gọi là đại số các C k - hàm trên M. Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra đợc (F (M), +) là một nhóm và vì phép cộng các số thực có tính chất giao hoán nên (F (M),+) làm một nhóm aben. Ngoài ra, f, g, h F (M) ; , R ta có ( + )f = f+f (f + g) = f + g ()f = (f) = (f) 1.f = f (f + g)h = (fh) + (gh). Vậy F (M) là một R-đại số. 1.1.4. Định nghĩa. Cho các đa tạp khả vi M, N. Khi đó f : M N đợc gọi là một vi phôi nếu f là song ánh và f, f -1 là các ánh xạ khả vi. Các đa tạp M, N đợc gọi là vi phôi với nhau nếu tồn tại một vi phôi giữa chúng. 1.2. Vi phân của ánh xạ khả vi. Trong mục này, để tiện cho việc xây dựng vi phân của một ánh xạ, trớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm véc tơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc và các tính chất cơ bản của chúng. 1.2.1. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi M, một đờng cong lớp C r trên M là một C r - ánh xạ x : [a,b] M t x(t). 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp khả vi, p M, x(t) là một đờng cong khả vi trên M sao cho x(t o ) = p. Một véc tơ tiếp xúc với đờng cong x(t) tại p = x(t o ) là một ánh xạ v : F (p) R 7 f v(f) = dt d f(x(t)) tt o = khi đó v cũng đợc gọi là một véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p và v(f) đ- ợc gọi là đạo hàm của hàm f dọc đờng cong x(t) tại điểm p = x(t o ). 1.2.3. Mệnh đề. 1) Nếu v là véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p thì v : F (p) R là một ánh xạ tuyến tính. 2) Với bất kỳ f, g F (p) ta có v(f.g) = v(f).g(p) + f(p).v(g). Chứng minh. 1) Giả sử x(t) là một đờng cong khả vi trong M sao cho p = x(t o ) và giả sử v là véc tơ tiếp xúc với x(t) tại p. Khi đó , R; f, g F (p) ta có v(f+g) = dt d (f + g)(x(t)) tt o = = dt d [(f)(x(t)) + (g)(x(t))] tt o = = dt d [.f(x(t)) + .g(x(t))] tt o = = dt d f(x(t)) tt o = + dt d g(x(t)) tt o = = .v(f) + .v(g). Do đó v là ánh xạ tuyến tính. 2) Ta có v(f.g) = dt d (f.g)(x(t)) tt o = = dt d [f(x(t)).g(x(t))] tt o = = dt d f(x(t)) tt o = .g(x(t o )) + f(x(t o )). dt d g(x(t)) tt o = = v(f).g(p) + f(p).v(g). Mệnh đề đợc chứng minh. 8 1.2.4. Mệnh đề. Ký hiệu T p M là tập hợp các véc tơ tiếp xúc của M tại điểm p. Trên T p M đa vào các phép toán cộng và nhân với số thực nh sau (v+)(f) = v(f) + (f) (v)(f) = .v(f) v, T p M; f F (p); R khi đó T p M trở thành một R-không gian véc tơ và đợc gọi là không gian tiếp xúc của M tại điểm p. Bây giờ giả sử M, N là các đa tạp khả vi, f : M N là một ánh xạ khả vi, ta xây dựng ánh xạ tiếp xúc (còn gọi là vi phân) của ánh xạ f cùng với các tính chất của nó. 1.2.5. Định nghĩa. Vi phân của ánh xạ f tại điểm p là ánh xạ f *p : T p M T f(p) N v f *p (v) đợc xác định nh sau : nếu v là véc tơ tiếp xúc với đờng cong x(t) tại p = x(t o ) thì f *p (v) là véc tơ tiếp xúc với đờng cong f(x(t)) tại điểm f(p) = f(x(t o )). Chú ý. Nếu v là véc tơ tiếp xúc với các đờng cong x(t), y(u) tại p = x(t o ) = y(u o ) thì ngời ta đã chứng minh đợc các đờng cong f(x(t)) và f(y(u)) cùng xác định một véc tơ tiếp xúc tại f(p) = f(x(t o )) = f(y(u o )). Do đó định nghĩa 1.2.5 là hoàn toàn hợp lý. 1.2.6. Mệnh đề. Cho f : M N là ánh xạ khả vi từ đa tạp M vào đa tạp N. Khi đó 1) [f *p (v)](g) = v(g f), v T p M, g F (N). 2) f *p là ánh xạ tuyến tính từ T p M vào T f(p) N. Chứng minh. 1) Ta có [(f *p (v)] (g) = dt d g (f x(t)) 0t = = dt d (g f) x(t) 0t = = v (g f). 9 2) Giả sử v, T p M, g F (N), ta có [f *p (v + )](g) = (v + )(g f) = v(g f) + (g f) = [f *p (v)](g) + [f *p ()](g) = [f *p (v) + f *p ()](g), g F (N) f *p (v+)=f *p (v)+f *p (). Tơng tự, v T p M, R ta có f *p (v) = f *p (v). Vậy f *p là ánh xạ tuyến tính. 1.2.7. Mệnh đề. 1) Cho M, N, L là các đa tạp khả vi và f : M N, g: N L là các ánh xạ khả vi. Khi đó (g f) *p = g *f(p) .f *p 2) Nếu f : M N là vi phôi thì f *p là song ánh và ta có (f *p ) -1 = (f -1 ) *f(p) Chứng minh. 1) v T p M, h F (L) ta có [(g f) *p (v)](h) = v(h g f) = [f *p (v)](h g) = [g *f(p) (f *p (v))](h) = [(g *f(p) f *p )(v)](h) (g f) *p (v) = (g *f(p) f *p )(v), vT p M (g f) *p = g *f(p) f *p . 2) Vì f là vi phôi nên f -1 và ta có f -1 o f = id M (f -1 o f) *p = (id M ) *p (f -1 *f(p) f *p )(v) = (id M ) *p (v), v T p M (f -1 *f(p) f *p )(v) = v, v T p M 10 f -1 *f(p) f *p = (id M ) *p . (1) Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc f *p f -1 *f(p) = (id N ) *f(p) . (2) Từ (1) f *p là đơn ánh. Từ (2) f *p là toàn ánh. Do đó f *p là song ánh và ta có (f *p ) -1 = (f -1 ) *f(p) . Mệnh đề đã đợc chứng minh. Nhận xét. Từ mệnh đề 1.2.6 và mệnh đề 1.2.7 ta suy đợc nếu f : M N là vi phôi thì f *p là đẳng cấu tuyến tính, p M. 1.2.8. Hệ quả. Nếu f : M N là vi phôi từ đa tạp M vào đa tạp N thì dim M = dimN. Chứng minh. Vì f là vi phôi nên f *p : T p M T f(p) N đẳng cấu tuyến tính và ta có dimT p M = dimT f(p) N, tức là dimM = dimN. 1.2.9. Chú ý. Cho vi phôi f : M N, X Vec(M), ta có f * X Vec(N) và đợc xác định bởi (f * X) (f(p) = f *p (X(p)). 1.2.10. Mệnh đề. Giả sử f : M N là phép vi phôi. Khi đó 1) . f * X = f * ( f) X, X Vec(M), f (M). 2) f * X[] = X [ f] f -1 , f (M), X Vec(M). Chứng minh. 1) f (M), p M thì ( f * X) (f (p)) = (f(p)).f * X (f(p)) = ( f) (p) . f *P (X(p)) = f *p (( f) (p) X (p)) = f *P [(( f) X)(p)] = (f * ( f) X)f(p), p M. 11 . Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi 6 Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi 13 Đ3. ánh xạ tiếp xúc trong R n 17 Đ4. Liên thông tuyến tính trên. khảo 33 Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi 5 Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi