Dạng liên kết trên đa tạp hai chiều

Lời Nói Đầu . . . . . . . . . Trong lĩnh vực hình học vi phân, dạng liên kết, phơng trình cấu trúc trên đa tạp đợc nhiều tác giả quan tâm thể hiện trong nhiều tài liệu nh: [1], [2], [3] . Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu và chứng minh cụ thể các tính chất dạng vi phân trên tập mở, dạng liên kết, phơng trình cấu trúc của mặt trong E 3 , tính độ cong của mặt trong E 3 thông qua dạng liên kết và dạng liên kết, phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann hai chiều. Luận văn đợc chia thành 3 mục Đ 1. Các dạng vi phân trên tập mở trong E n Đ 2. Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt trong E 3 Đ 3. Dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều. Trong Đ1.Trình bày 1- dạng , 2- dạng vi phân trên tập mở trong E n , vi phân ngoài của dạng vi phân, ánh xạ đối tiếp xúc. Trong Đ2. Trình bày dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt trong E 3 thông qua dạng liên kết. Trong Đ 3.Trình bày đa tạp Riemann hai chiều liên thông Lêvi- Civita, định nghĩa dạng liên kết thông qua liên thông Lêvi Civita, phơng trình cấu trúc, các tính chất và cách tìm dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều. Luận văn đợc thực hiện tại Khoa Toán Trờng Đại Học Vinh, dới sự hớng dẫn tận tình của cô giáo Thạc Sỹ Nguyễn Ngọc Bích và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán cùng với sự giúp đỡ của bạn bè cùng khoá. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của cô giáo Thạc sỹ Nguyễn Ngọc Bích cùng các thầy cô giáo trong Trờng Đại Học Vinh và xin cảm ơn các bạn bè cùng khoá đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh , Ngày 22 tháng 4 năm 2004. 1 Tác giả Đ1. Dạng Vi Phân Trên Tập Mở U Trong E n I. Dạng vi phân bậc một trên tập mở Trong E n 1.1.Định nghĩa. i) Một dạng vi phân bậc một trên U là việc đặt tơng ứng mỗi đểm P thuộc U với một ánh xạ tuyến tính P : T P U R. Từ định nghĩa ta thấy rằng mỗi X P thuộc T P U thì P (X P ) R. Khi P thay đổi trên U ta đợc (X) là một hàm số :U R. ii) Dạng vi phân bậc một trên U là khả vi nếu với mọi trờng vecto X khả vi trên U thì hàm số (X) khả vi trên U. Ký hiệu 1 (U) = { \ là 1 - dạng vi phân khả vi trên U} 1.2. Các phép toán trên 1 (U). Ký hiệu F(U) là tập tất cả các ánh xạ khả vi trên U. Giả sử 1 , 2 1 (U) , F(U), R. Khi đó 1 + 2 , 1 , 1 thuộc vào 1 (U) và xác định bởi : 1 + 2 : P 1 P + 2 P ,với mọi P thuộc U (1) 1 :P (P) 1 P , với mọi P thuộc U (2) 1 : P 1 P , với mọi P thuộc U (3) Nhận xét: Giả sử X, Y là các trờng vectơ trên U, F(U) và 1 (U) khi đó ta có: (X +Y) = (X) + (Y) (X) = (X). Thật vậy . Với mọi P U ta có: ) [(X +Y)](P) = P (X +Y) P = P (X P + Y P ) = P (X P ) + P (Y P ) , (Do P là ánh xạ tuyến tính) = (X)(P) + (Y)(P) = ((X) + (Y))(P), với mọi P U. Vậy : (X +Y) = (X) + (Y). ) (X)(P) = P (X) P = P ((P)X P ) = (P) P (X P ) , (Do P là ánh xạ tuyến tính) = (P)(X)(P) = (X)(P), với mọi PU Vậy : (X) = (X). 2 1.3. Định nghĩa. Giả sử {U i } i = n,1 và trờng mục tiêu trên U, { i } i = n,1 là họ các 1- dạng vi phân thuộc 1 (U) thoả mãn i (U j ) = ij .Khi đó { i } i = n,1 đợc gọi là trờng mục tiêu đối ngẫu của trờng mục tiêu {U i } i = n,1 1.4.Nhận xét. i) 1 (U) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành không gian vectơ trên trờng số thực R . ii) 1 (U) cùng với hai phép toán (1) và (2) lập thành môđun trên vành F(U) 1.5. Mệnh đề. Giả sử {U i } i = n,1 và {U i } i = n,1 là hai trờng mục tiêu trên tập mở U trong E n , { i } i = n,1 và { i } i = n,1 là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của {U i } i = n,1 và {U i } i = n,1 Ký hiệu U = [U 1 U 2 . U n ] , U = [U 1 U 2 . U n ] 1 1 = 2 = 2 . . n n C = (C ij ) n.n là ma trận chuyển từ trờng mục tiêu U sang U, C ij F(U). Khi đó = C -1 . (Trong đó C -1 là ma trận nghịch đảo của C). Chứng minh. Do C là ma trận chuyển từ mục tiêu từ U sang U nên detC 0, từ đó suy ra luôn tồn tại C -1 Gọi: C 11 C 12 . C 1n C = C 21 C 22 . C 2n C n1 C n2 . C nn Theo giả thiết U = U.C nghĩa là: C 11 C 12 . C 1n [U 1 U 2 . U n ] = [U 1 U 2 . U n ] C 21 C 22 . C 2n C n1 C n2 . C nn U 1 = C 11 U 1 + C 21 U 2 + .+ C n1 U n U 2 = C 12 U 1 + C 22 U 2 + . + C n2 U n . U 2 = C 1n U 1 + C 2n U 2 + . + C nn U n Gọi = . () trong đó . 11 12 . 1n = 21 22 . 2n n1 n2 . nn Ta có () Tơng đơng 3 1 11 12 . 1n 1 2 = 21 22 . 2n 2 . . n n1 n2 . nn n 1 = 11 1 + 12 2 + . + 1n n 2 = 21 1 + 22 2 + . + 2n n . n = n1 1 + n2 2 + . + nn n Ta sẽ chứng minh = C. Thật vậy : ji, = n,1 ta có: i (U j ) = ( i1 1 + i2 2 + . + in n )(U j ) = ij . Mặt khác . i (U j ) = i (C 1j U 1 + C 2j U 2 + . + C nj U n ) = C ij Suy ra: ij = C ij , ji, = n,1 Hay = C. Thay vào (*) ta đợc: = C. hay = C -1 . 1.6. Mệnh đề. Ký hiệu vec(U) là tập các trờng vectơ khả vi trên U. Khi đó ánh xạ : 1 (U) ì vec(U) F(U). (, X) (, X) = (X) là song tuyến tính. Chứng minh. ) tuyến tính đối với biến thứ nhất. Với mọi 1 , 2 R; 1 , 2 1 (U), cố định X vec(U). Ta có: ( 1 1 + 2 2 ,X) = ( 1 1 + 2 2 )(X) = 1 1 (X) +( 2 2 (X) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 ,X) Suy ra: ( 1 1 + 2 2 ,X) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 ,X). ) tuyến tính đối với biến thứ hai Với mọi X,Y vec(U), cố định 1 (U); 1 , 2 R Ta có : (, 1 X + 2 Y) = ( 1 X + 2 Y) = 1 (X) + 2 (Y) = 1 (,X) + 2 (,Y) Suy ra : (, 1 X + 2 Y) = 1 (,X) + 2 (,Y) 4 1.7.Định nghĩa. Vi phân của hàm số F(U) là 1- dạng vi phân 1 (U).xác định bởi d(X) = X[] , X vec(U). 1.8. Mệnh đề . Giả sử , là các hàm số khả vi trên U . Khi đó d(. ) = d + d . Chứng minh. Với X vec(U) Ta có : d(. ) = X[. ] = = n i 1 X i i x )'.( = = n i 1 X i i x + ''. = = n i 1 X i i x ' + = n i 1 X i i x = X[ ] + X[ ] = d (X) + d (X) = ( d + d )(X) , X vec(U). Vậy: d(. ) = d + d . 1.9. Mệnh đề. Giả sử {E 1 , E 2 , . , E n } là trờng mục tiêu trên U sinh bởi trờng mục tiêu tự nhiên và các hàm số x i : U R P(P 1 ,P 2 , ., P n ) P i với ni ,1 = Khi đó {dx 1 , dx 2 , ., dx n } là trờng đối mục tiêu của {E 1 , E 2 , . , E n } hay {dx i } ni ,1 = là cơ sở của 1 (U). Chứng minh. ) dx i (E j ) = E j [x i ] = j i x x = ij . Vậy : dx i (E j ) = ij . ) Hệ {dx 1 , dx 2 , ., dx n } độc lập tyuến tính. Giả sử 1 , 2 , ., n R thoả mãn. = n i 1 i dx i = 0 ( = n i 1 i dx i )(E j ) = 0(E j ), nj ,1 = . = n i 1 i dx i (E j ) = 0 , nj ,1 = . j = 0 , nj ,1 = . ) Hệ {dx 1 , dx 2 , ., dx n } là hệ sinh. Lấy bất kỳ thuộc vào 1 (U), X vec(U), X = X 1 E 1 + X 2 E 2 + . + X n E n 5 (X) = ( = n i 1 X i E i ) = = n i 1 X i (E i ) (Do là tuyến tính) = = n i 1 (E i )X i = = n i 1 (E i )dx i (X) = ( = n i 1 (E i )dx i )(X) . X vec(U) Vậy: = = n i 1 (E i )dx i . Chú ý . {dx 1 , dx 2 , ., dx n } gọi là cơ sở chính tắc của 1 (U). Vì thế với mọi 1 (U) thì = 1 dx 1 + 2 dx 2 + . + n dx n , ( i F(U)) và( 1 , 2 , ., n ) gọi là tọa độ của đối với cơ sở {dx 1 , dx 2 , ., dx n }. 1.10. Ví dụ: i) Giả sử U là tập mở trong R 2 , {E 1 , E 2 } là trờng mục tiêu song song trên U t- ơng ứng với mục tiêu trực chuẩn {0; e 1 , e 2 } trong E 2 . Trong hệ toạ độ cực {r,}.Với tham số hoá I: (r, ) (rcos, rsin ), (r 0) .Xét trờng mục tiêu {U 1 , U 2 }: U 1 = cosE 1 + sinE 2 U 2 = -sinE 1 + cosE 2 Khi đó trờng đối mục tiêu của {U 1 ,U 2 } là {dr, rd }. Chứng minh. ta có: dr(U 1 ) = U 1 [r] = cos x r + sin y r = cos cos + sin sin = 1. (1) rd(U 1 ) = rU 1 [] = r(cos x + sin y ) 6 = r[cos(- r sin ) +sin r cos ] = 0. (2) ( x r = cos , y r = sin , x y = r sin , y = r cos đợc tính từ phơng trình tham số ) Tơng tự (1) và (2): dr(U 2 ) = 0 (3) rd(U 2 ) =1 . (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có {dr, rd } là trờng đối mục tiêu của {U 1 ,U 2 } và gọi là trờng đối mục tiêu toạ độ cực . ii) Giả sử U là tập mở trong R 3 .Xét tọa độ trụ { r, , t } với tham số hoá: ( r, , t) (rcos, rsin,t ) và trờng mục tiêu {U 1 ,U 2 ,U 3 } xác định bởi U 1 = cosE 1 + sinE 2 U 2 = E 3 U 3 = -sin E 1 + cosE 2 Khi đó trờng đối mục tiêu của { U 1 , U 2 , U 3 } là { dr, dt, rd }. Chứng minh . Ta có: dr(U 1 ) = 1. ( Sử dụng kết quả của i ) dr(U 2 ) = U 2 [r] = z r = 0. dr(U 3 ) = 0. ( Sử dụng kết quả của i ) dt(U 1 ) = U 1 [t] = 0. dt(U 2 ) = U 2 [t] = z t = 1. dt(U 3 ) = 0. rd(U 1 ) = 0. ( Sử dụng kết quả của i ) rd(U 2 ) = r z = 0. rd(U 3 ) = 1. ( Sử dụng kết quả của i ) . Vậy : {dr, dt, rd } là trờng đối mục tiêu của {U 1 , U 2 , U 3 } và gọi là trờng đối muc tiêu của hệ toạ độ trụ . iii).Giả sử U là tập mở trong R 3 . Toạ độ cầu {r, u, v } với tham số hoá:( u, v ) (rcosucosv, rsinucosv, rsinv ) (với r 0; 0 < u < 2 ; - 2 < v < 2 ) 7 Xét trờng mục tiêu {U 1 , U 2 , U 3 } xác định bởi : U 1 = cosu cosvE 1 + sinu cosvE 2 + sinvE 3 U 2 = - sinuE 1 + cosuE 2 U 3 = - cosu sinvE 1 sinu sinvE 2 + cosvE 3 Khi đó trờng đối mục tiêu của {U 1 , U 2 , U 3 } là {dr, rcosvdu, rdv} Chứng minh . Từ phơng trình tham số của mặt cầu ta suy ra các kết quả sau : x r = r x = cosu cosv (1) y r = sinu cosv (2) z r = sinv (3) x v = - r vu sincos (4) y v = - r vu sinsin (5) z v = r vcos (6) x u = - vr u cos sin (7) y u = vr u cos cos (8) z u = 0 (9) Lần lợt cho tác động và sử dụng kết quả (1),(2), .,(9) ta đợc: dr(U 1 ) = U 1 [r] = cosu cosv x r + sinu cosv y r + sinv z r = cos 2 u cos 2 v + sin 2 u cos 2 v + sin 2 v = 1. Với cách tính nh vậy ta đợc các kết quả : dr(U 2 ) = 0; dr(U 3 ) = 0; rcosvdu(U 1 ) = 0; rcosvdu(U 2 ) = 1 ;rcosvdu(U 3 ) = 0; rdv(U 1 ) = 0; rdv(U 2 ) = 0; rdv(U 2 ) = 1 . Vậy : {dr, rcosvdu, rdv } là trờng đối mục tiêu của {U 1 , U 2 , U 3 }. II . Dạng vi phân bậc hai trên tập mở U trong E n . 1.11. Định nghĩa . U là một tâp mở trong E n i) Một dạng vi phân bậc hai trên U là việc đặt tơng ứng mỗi điểm P U với một ánh xạ song tuyến, tính phản xứng P : T P U ì T P U R. Dạng vi phân bậc hai còn gọi là 2 dạng vi phân . Nhận xét. Giả sử X,Y là các trờng vectơ khả vi trên U từ định nghĩa ta thấy rằng: Mỗi (X P , Y P ) T P U ì T P U thì P (X P , Y P ) R khi P thay đổi trên U cho ta một hàm số trên U. Nh vậy mỗi dạng vi phân bậc hai trên U tác động vào (X, Y) bất kỳ thì đợc một hàm số xác định bởi (X, Y)(P) = P (X P , Y P ). 8 ii) Dạng vi phân bậc hai gọi là khả vi trên U nếu với mọi X, Y là các trờng vectơ khả vi trên U thì (X, Y) là hàm khả vi trên U. Ký hiệu 2 (U) là tập các 2- dạng khả vi trên U. 1.12. Các phép toán trên 2 (U). Giả sử 1 , 2 2 (U); F(U), R. Khi đó 1 + 2 , 1 , 1 thuộc vào 2 (U) đợc xác định bởi: 1 + 2 : P 1P + 2P , P U (1) 1 : P (P). 1P , P U (2) 1 : P 1P , P U (3) Nhận xét . Giả sử X, X, Y, Y là các trờng vectơ trên U, là hàm số xác định trên U. Khi đó: (X + X, Y) = (X, Y) + (X, Y). (X, Y + Y) = (X, Y) + (X, Y) (X, Y) = (X, Y) = (X, Y). Thật vậy. ) Với mọi P U ta có : (X + X, Y)(P) = P ((X + X) P , Y P ) = P (X P + X P , Y P ) = P (X P , Y P ) + P (X P , Y P ), (Do P là song tuyến tính) = (X, Y)(P) + (X, Y)(P) = ((X, Y) + (X, Y))(P) ,P U Suy ra (X + X, Y) = (X, Y) + (X, Y). ) Tơng tự ta chứng minh đợc . (X, Y + Y) = (X, Y) + (X, Y). ) (X,Y)(P) = P ((X) P , Y P ) = P ((P)X P , Y P ) =(P) P (X P , Y P ), (do là song tuyến tính ) = [(X,Y)](P) , P U. Suy ra: (X,Y) = (X,Y) . Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc : (X,Y) = (X,Y) 1.13 . Định nghĩa . Giả sử 1 , 2 1 (U) . Tích ngoài của 1 với 2 , ký hiệu 1 2 , là 2- dạng vi phân xác định bởi : 1 2 (X,Y) = 1 (X). 2 (Y) - 1 (Y). 2 (X) ; X,Y vec(U). Nhận xét: Định nghĩa trên là phù hợp . Thật vậy ta kiểm tra tính song tuyến tính phản xứng của 1 2 . Ta có: Với mọi X,Y vec(U), P U 1 2 (X,Y)(P) =( 1 (X). 2 (Y) - 1 (Y). 2 (X))(P) = 1 P (X P ). 2 P (Y P ) - 1 P (Y P ). 2 P (X P ) = - (- 1 P (X P ). 2 P (Y P ) + 1 P (Y P ). 2 P (X P )) = - 1 2 (X,Y)(P) Vậy 1 2 (X,Y) = - 1 2 (Y,X). 9 1.14. Nhận xét. ) 2 (U) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành không gian vectơ trên trờng số thực R. ) 2 (U) cùng với phép toán (1) và (2) lập thành môđun trên vành F(U) 1.15.Mệnh đề . Giả sử {U i } i= n,1 là trờng mục tiêu trên U, { i } i= n,1 là trơng đối mục tiêu tơng ứng . Khi đó { i j } i < j là cơ sở của 2 (U). Chứng minh . ) Hệ { i j } i < j độc lập tuyến tính. Giả sử { ij } i < j là các số thực thoả mãn : < ji ij i j = 0 < ji ij i j (U r ,U k ) = 0(U r ,U k ) ( kr < , 1,1 = nr , nk ,2 = ) r k = 0 , ( kr < , 1,1 = nr , nk ,2 = ) ) Hệ { i j } i < j là hệ sinh. Với mọi 2 (U); với mọi X,Y vec(U) . Ta có : (X,Y) = ( = n i 1 X i E i , = n j 1 Y j E j ) = = n i 1 X i Y j (E i , E j ) = < ji X i Y j (E i , E j ) + < ji X i Y j (E i , E j ) = < ji X i Y j (E i , E j ) + < ji X i Y j (E j , E i ) = < ji X i Y j (E i , E j ) - < ji X i Y j (E i , E j ) = < ji X i Y j (E i , E j ) - < ji X i Y j (E i , E j ) = < ji (X i Y j X j Y i ) (E i , E j ) = < ji (E i , E j ) i j (X, Y) ; X,Y vec(U). Vậy : = < ji (E i , E j ) i j . 1.16. Ví dụ: Giả sử U là tập mở Trong R n , {E 1 , E 2 , ., E n } là trờng mục tiêu trên U sinh bởi trờng mục tiêu tự nhiên trong R n . {dx 1 , dx 2 , ., dx n } là trờng đối mục tiêu tơng ứng. khi đó {dx i dx j } i <j là cơ sở của 2 (U) 1.17. Định nghĩa. Vi phân ngoài của dạng vi phân là ánh xạ d: i (U) i+1 , i = 0, 1. +) i = 0 d: 0 (U) 1 (U) (quy ớc 0 (U) F(U) ) 10