Dạng liên thông trên đa tap symplectic

Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH ===== ===== Lê văn hiểu V ề d ng l i ên t h ô ng tr ê n đ a t p s y m pl e c t ic Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2007 Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH ===== ===== Lê văn hiểu V ề d ng liê n thô ng t rên đ a tạp sym plectic Chuyên ngành hình học - tôpô Mã số 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng i h ng d n khoa h c 1: PGS.TS NGUYN HU QUANG Ng i h ng d n khoa h c 2: PGS.TS PHAN THNH AN Vinh 2007 mục lục Trang Mở đầu ii Chơng I đa tạp symplectic I Không gian véctơ symplectic II Đa tạp symplectic 14 Chơng II CC CU TRC tơng thích dạng liên thông đa tạp symplectic 16 I Cỏc c u trỳc t ng thớch 16 II D ng liên thông đa tạp symplectic 33 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 mở đầu Nhchúng ta biết hình học symplectic đời cách hai kỷ phát triển mạnh vào năm 1970 với nhiều công trình nghiên cứu nhà toán học nhWeinrstein, Gromov, Taube, có nhiều ứng dụng hình học, vật lý học, học hệ động lực Hiện Hình học symplectic môn học đ ợc giảng dạy tr ờng Đại học sphạm, Đại học KHTN Cao học ngành hình học - TôPô Trong luận văn tập hợp trình bày khái niệm, tính chất dạng liên thông đa tạp symplectic, đồng thời khảo sát mối liên hệ dạng liên thông với cấu trúc symplectic cấu trúc hầu phức Luận văn đợc chia làm hai ch ơng Chơng I Đa tạp symplectic Trong ch ơng này, tập hợp khái niệm hình học symplectic nhcác khái niệm dạng song tuyến tính, dạng symplectic, không gian véctơ symplectic, đa tạp symplectic nhằm phục vụ cho chơng sau Ch ơng đ ợc chia làm hai mục I Không gian véctơ symplectic II Đa tạp symplectic Chng II Cỏc cu trỳc t ng thớch v d ng liờn thụng trờn a t p symplectic Ch ơng đ ợc chia làm hai phần: I Cỏc c u trỳc t ng thớch Trong phần trình bày khái niệm v tớnh ch t, m i liờn h c a ba c u trỳc trờn a t p II Dạng liên thông đa tạp symplectic Phần trình bày dạng liên thông dạng liên kết đa tạp symplectic, số tính chất mối liên hệ chúng áp dụng để chứng minh Tenxơ Nijenhuis N ( X , Y ) đa tạp symplectic Luận văn đợc thực hoàn thành Khoa sau Đại học tr ờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy giáo TS Phan Thành An PGS.TS Nguyễn Hữu Quang đặt toán dẫn hớng nghiên cứu Cảm ơn thầy giáo tổ Hình học giảng dạy bảo vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng tụi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa sau Đại học, bạn bè gia đình quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Chơng I đa tạp symplectic Trong ch ng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi ni m, tớnh ch t cb n c a khụng gian vộct symplectic, a t p symplectic, khụng gian Lagrangian I không gian véctơ symplectic Ta luụn githi t V không gian véctơ n - chiều Dạng song : V V tuyến tính: (u, v ) (u, v ) đ ợc gọi phản xứng nếu: (u, v ) (v, u) , u, v V 1.1.1 Mệnh đề (xem [5]) Giả sử dạng song tuyến tính phản xứng Khi tồn sở u1, u2, , uk , e1, e2, , em, f1, f2, , fm V cho: i 1, , , k ( u i , v ) ( ei , e j ) ( f i , f j ) 0, i, j 1, 2, , m i , j 1, , , m (ei , f i ) ij , Chứng minh Giả sử U { u V (u , v ) 0, v V } Rõ ràng U U Giả sử dimU k U có sở Đặt u , u , , u k V U W ; ( dim U n k ) Lấy e1 W , e1 Khi tồn f1 W cho (e1 , f1 ) Vì không tồn f1 để (e1 , f1 ) thì: (e1 , f1 ) 0; f1 W (e1 , v ) 0; v V e1 U Mâu thuẫn với tính chất V U W (e1 , f1 ) Đặt (e1 , ( ) f1 ) f1 Chọn f1 Khi {e1 , f1 } độc lập tuyến tính Thật giả sử ng ợc lại hệ phụ thuộc tuyến tính thì: f1 .e1 (e1 , f1 ) (e1 , .e1 ) .(e1 , e1 ) mâu thuẫn với ( ) Đặt W1 span{e1 , f1 } Xét W1 { w (w, v ) 0; v W } Ta chứng minh W W1 W1 W1 W1 {0} Giả sử w W1 W1 w W1 ( w, v) 0; v W1 Do ( ) w W1 , nên w a.e1 b f1 Từ ta có (w, e1 ) (a.e1 b f1 , e1 ) b (do () ) (w, f1 ) (a.e1 b f1 , f1 ) a (do () ) w W W1 W1 W W1 W1 hiển nhiên W W1 W1 v W đặt (v , e1 ) b , (v , f ) a v (ae1 bf1 ) (v ae1 bf1 ) ae1 bf1 W1 (v ae1 bf1 , e1 ) (v, e1 ) b(e1 , f1 ) b b Mà (v ae1 bf1 , f1 ) (v , f1 ) a(e1 , f1 ) a a v ae1 bf1 W1 v W1 W1 Vậy W W1 W1 Từ V U W1 W1 T ơng tự với cách làm W1 ta có phân tích: W1 W2 W2: W2 span{e2 , f } Tiếp tục trình sau hữu hạn bớc ta đợc: V U W1 W2 Wn ; với Wi span{ei , f i } Ta có sở V là: u1, u2, , uk , e1, e2 , , em, f1, f2 , , f m thỏa mãn điều kiện định lý Chú ý Cơ sở xác định không Cơ sở đ ợc gọi sở tắc Đối với sở (u, v) u t Av , matrận A (i , j ) n n A có dạng là: 0 0 Id Id Giả sử dạng song tuyến tính phản xứng V , V không gian đối ngẩu không gian V ( dimV dimV ) ~ Xột ỏnh x : V V ~ v v ~ Trong v (u ) (u, v); u V Khi ta có: ~ i) tuyến tính ~ ~ ii) Ker v V v U ~ iii) song ánh U {0} 1.1.2 Định nghĩa Dạng song tuyến tính phản xứng đợc gọi dạng ~ symplectic song ánh Khi ánh xạ cũn đợc gọi cấu trúc symplectic (V , ) đợc gọi không gian véctơ symplectic ~ Nhận xét V không gian véctơ symplectic song ánh U {0} Id A Id 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (V , ) không gian véctơ symplectic i) Không gian W V đợc gọi không gian symplectic W không suy biến ii) Không gian Y đ ợc gọi đẳng hớng Y iii) Khụng gian trực giao symplectic Y Y đợc xác định: Y v V (v, u ) 0; u Y Không gian Y đợc gọi đối đẳng hớng Y Y 1.1.4 Mệnh đề (xem [5]) Cho V không gian tuyến tính không gian symplectic (V , ) ta có: i) dim V dim Y dim Y Y ii) Y iii) Nếu Y W không gian (V , ) Khi đó: Y W W Y iv) không gian symplectic (nghĩa Y Y không suy biến) Y Y {0} V Y Y Chứng minh i) dim V dim Y dim Y Giả sử V có sở e1, e2 , , em (m n) Với v e1 , e2 , , en m Y ; v vi ei i Y có sở Xét ánh xạ: : V Y ( Y đối ngẩu Y ) v (v ) ( , v ) Ta cần chứng minh toàn ánh Thật f Y cần v V để (v ) f ( , v ) f ( x, v) f (x ); x Y (1) ta chọn v Y thỏa mãn phơng trình (1) m m Giả sử v vi ei thay vào (1) ta đợc: x , v e i i f ( x) i i m vi ( x, ei ) f ( x) (2) i Lần l ợt lấy x e1 , e2 , , em thay vào (2) ta đợc hệ ph ơng trình: m (e , e )v f (e ) i i i m (e , ei )v i f (e2 ) i m (e m , ei )v i f (em ) i (3) Do Y không gian véctơ symplectic nên matrận A (ei , e j ) mm không suy biến, nên hệ (3) có nghiệm tồn v Y để (x , v ) f ( x); x Y v V để ( , v) f (v) f Vậy toàn ánh Ta có dimV dim(Im) dim( Ker) Mà toàn ánh Im (V ) Y 2.1.12 Mệnh đề [5] Giả sử (M , ) đa tạp symplectic, g mêtric Riemann M Thì tồn cấu trúc hầu phức J M tơng thích với Chứng minh x M , Tx M , x không gian véctơ symplecvvtic Theo mệnh đề 2.1.5 tồn cấu trúc phức J x Tx M tơng thích với x GJ x (u, v) x (u , Jv), x M , u , v T x M Do g mêtric Riemann nên GJ x sinh g mêtric Riemann trờn M Mặt khác phụ thuộc khả vi vào x , ta suy J phụ thuộc khả vi vào x Vậy J : x J x : Tx M Tx M cấu trúc hầu phức tơng thích với M 2.1.13 Mệnh đề [5] Giả sử (, g , J ) ba t ơng thích đa tạp M ~ : TM T M ~(u ) u ~ (u )(v ) (u , v ), u , v TM Xác định g~ : TM T M u ~ g (u ) Xác định g~(u )(v) g (u, v ), u , v TM Khi ta có: ~ J ~ g Chứng minh g ( Ju, v ) g (v , Ju ), u , v TM (v , JJu ) (v, u ) (u, v ) g ( Ju, v) (u , v ), u, v TM ~ (u )(v ), u , v TM g~( Ju )(v ) ~ (u ), u TM g~( Ju ) ~ g~ J ~ J ~ g 29 2.1.14 Mệnh đề Giả sử (M , J ) đa tạp hầu phức v J t ng thớch v i hai c u trỳc symplectic v Khi ú t n t i hkhvi t , t c u trỳc symplectic n i v i Chứng minh Xột t t0 (1 t )1 , t Khi ú: t đóng ( dt ) dt d t.0 (1 t )1 t.d0 (1 t )d1 t.0 (1 t ).0 J t - tơng thích Vì J t ng thớch v i v nờn ta cú: (u, Jv ) g0 (u, v ), u , v B (M ) tích vụ hng (u, Jv ) g1 (u, v ), u, v B (M ) tích vụ hng V Suy t (u , Jv) t0 (1 t )1 (u, Jv ) t.0 (u , Jv) (1 t )1 (u, Jv ) t.g (u , v ) (1 t) g1 (u , v ) gt (u, v ) tích vụ h ng (1) t không suy biến Giả sử ngợc lại t suy biến Vì J đẳng cấu tuyến tính nên từ (1) suy g t suy biến Từ dẫn đến g tích vụ h ng điều vô lý Vậy t không suy biến Hqu t (M , J ) J t ng thớch v i Khi ú (M , J ) l t p co rỳt c Th t v y v i (M , J ) Ta xột ỏnh x : : ( M , J ) (M , J ) 30 Id : (M , J ) (M , J ) F : (M , J ) [0, 1] (M , J ) v (, t) t0 (1 t ) Khi ú F ánh xạ liên tục thomón: F (, 0) Id() F (, 1) 0 () Nhv y F ánh xạ đồng luân nối Id với Hay t p (M , J ) co rút đợc 2.1.15 Mệnh đề Giả sử ( M , ) đa tạp symplectic, J (M , ) J J tơng thích với v J , J1 J (M , ); , , 2 ( J J J J ) (2 1) Id Khi t p J ( M , ) co rút đ ợc Để chứng minh mệnh đề ta c n bổ đề sau: Bổ đề Giả sử J1 , J J (M , ); t, [0, 1] Khi đó: J t tJ (1 t ) J J (M , ) Chứng minh b J t2 Id u B (M ) ta có: J t u tJ (1 t) J tJ (1 t ) J1 (u ) t Id (1 t ) Id t (1 t ) Id (u ) t J 02 (1 t )2 J 12 t (1 t )( J J J J1 ) (u ) 2 Id(u ), u B( M ) (ta sử dụng t (1 t )( J J J J1 ) t (1 t )2 Id ) J t2 Id J t tuyến tính J , J tuyến tính 31 J t - tơng thích Vì J t ơng thích nờn: (u, J v) g (u, v ), u, v B (M ) tích vụ hng Tơng tự J tơng thích nên: (u, J 1v ) g1 (u, v ), u, v B (M ) tích vụ hng t [0, 1] ta có: t.(u , J v ) (1 t )(u, J 1v ) t g (u , v ) (1 t ) g1 (u , v) g t (u, Jv ) tích vụ h ng u, (tJ (1 t ) J1 )(v ) g t (u, v ) tích vụ h ng J t tJ (1 t )J - tơng thích Ta trl i vi c chng minh mệnh đề V i J J (M , ) ta xột cỏc ỏnh x : : J (M , ) J (M , ) J J0 Id : J (M , ) J ( M , ) J J v h : J (M , ) [0, 1] J (M , ) ( J , t ) tJ (1 t) J Theo bồ đề ta có tJ (1 t ) J J (M , ) Khi ú h ánh xạ liên tục thỏa mãn h(J , 0) J Id( J ) F (, 1) () Vậy h ánh xạ đồng luân nối Id với Hay t p J (M , ) co rút đợc 32 II dạng liên thông đa tạp symplectic Trong mc ny ta luụn githi t M đa tạp khả vi 2n chiều, B (M ) tập tất trờng véctơ khả vi M v F (M ) tập hàm khả vi M 2.2.1 Định nghĩa M t liên thông tuyến tính M ú ánh xạ: : B (M ) B (M ) B (M ) X Y (X ,Y) thỏa mãn: X , Y , Z B (M ) , F (M ) 1) X Y Z X Z Y Z 2) X Y X Y 3) X Y Z X Y X Z 4) X Y X []Y X Y 2.2.2 Mệnh đề Gis M , đa tạp symplectic J cấu trúc hầu phức tơng thích với Khi tồn liên thông tuyến tính M thỏa mãn 5) 6) X , Y X Y Y X Z ( X , Y ) Z X , Y X , Z Y Chứng minh Do M, đa tạp symplectic, J cấu trúc hầu phức tơng thớch với Theo mệnh đề 2.1.7 tồn trờng véctơ sở B (M ) có dạng: E1 , E , , E n , JE1 , JE2 , , JEn Trong (E i , E j ) ( JEi , JE j ) ; ( Ei , JE j ) ij ~ Xét ánh xạ : B ( M ) B ( M ) B ( M ) ~ ( X , Y ) X Y Thỏa mãn n n i i X , Y B (M ), X X i Ei X i JEi 33 n n i i Y Yi Ei Yi JEi n n ~ X Y X [Yi ]Ei X [Yi ]JEi i i ~ Khi liên thông tuyến tính M thỏa mãn 5) 6) Thật 1) n n ~ X X Y ( X X )[Yi ]E i ( X X )[Yi ]JEi i i n n n n i i i i X [Yi ]E i X [Yi ]JEi X [Yi ]E i X [Yi ]JEi ~ ~ X Y X Y 2) n n ~ X Y X [Yi ]Ei X [Yi ]JEi i i n n X [ Y ] E X [ Y ] JE i i i i i i ~ X Y 3) n n ~ X [Y Z ] X [Yi Z i ]E i X [ Yi Zi ]JEi i i n n n n i i i i X [Yi ]E i X [Zi ]Ei X [Yi ]JEi X [Zi ]JEi ~ ~ X Y X Z n n ~ X Y X [Yi ]E i X [Yi ]JEi 4) i i n n n n i i i i X []Yi Ei X [Yi ]Ei X []Yi JEi X [Yi ]JEi n n n n X [] Y E Y JE X [ Y ] E X [ Y ] JE i i i i i i i i i i i i X []Y X Y 34 5) n n ~ ~ X Y Y X X [Yi ] Y [ X i ] Ei X [Yi ] Y [ X i ] JEi i i [ X , Y ] 6) n n n n ( X , Y ) X E X JE , Y E Y JE i i i i i i i i i i i i n n i i X i Yi X iYi n n Z[( X , Y )] Z X i Yi X iYi i i (1) n n n n Z [ X i ]Yi X i Z[Yi ] Z [ X ] Y X Z [ Y ] i i i i i i i i n n n n ~ (Z X , Y ) Z [ X ] E Z [ X ] JE , Y E Y JE i i i i i i i i i i i i n n i i Z[ X i ]Yi Z [ X i ]Yi (2) n n n n ~ ( X , Z Y ) X E X JE , Z [ Y ] E Z [ Y ] JE i i i i i i i i i i i i n n i i X i Z[Yi ] X i Z[Yi ] (3) ~ ~ Từ (1), (2) (3) suy Z [( X , Y )] (Z X , Y ) ( X , Z Y ) () Bõy gita xột U , U , , U n trờng véctơ sở B (M ) , liên thông tuyến tính M V i X B (M ) ta luụn cú sbi u di n n X U i i j ( X )U j j 2.2.3 nh ngh a i j đ ợc gọi dạng liên kết liên thông sở (*) v ma trận [i j ]2 n n c gọi ma trận liên kết 35 2.2.4 Mệnh đề Giả sử M , đa tạp symplectic, J cấu trúc hầu phức t ơng thích với Xét tr ờng véctơ sở {E1 , E , , E n , JE1 , JE2 , , JEn } n n ~ B (M ) Với dạng liên thông X Y X [Yi ]E i X [Yi ]JEi Khi ta i ` i ` có kết 1) A ~ Ma trận dạng liên kết sở có dạng B B Trong A i A (ij )n n ma trận phản xứng, B ( j ) n n ma trận đối xứng 2) 3) ~ ij ( X ) (X E i , JE j ) , ~ i j ( X ) ( X E i , E j ) Chứng minh Đầu tiên ta có bổ đề Với dạng liên thông n n ~ ~ ~ X Y X [Yi ]E i X [Yi ]JEi JX Y X JY i ` Thật i ` n n i ` i ` Y Yi Ei Yi JEi n n i ` i ` JY Yi JEi Yi J Ei n n i ` i ` Yi Ei Yi JEi n n ~ X JY X [ Yi ]Ei X [Yi ]JEi i ` i ` n n i ` i ` X [Yi ]E i X [Yi ]JEi (*) n n ~ JX Y X [Yi ]JEi X [Yi ]J E i i ` i ` n n i ` i ` X [Yi ]E i X [Yi ]JEi ~ ~ Từ (*) (**) ta có: J X Y X JY Trở lại ch ng minh mệnh đề: 36 (**) 1) Ta có: n n ~ j X E1 1j ( X )E j ( X ) JE j j j n n ~ j X E n nj ( X )E j n ( X ) JE j j j n n ~ j X JE1 ( X )E j 1j ( X ) JE j j j n n ~ j X JEn ( X ) E nj ( X ) JE j n j j j A B M B A n 11 1n A ; B n 1n nn n n Vậy ma trận dạng liên kết: Trong *) A [i j ]n n ma trận phản xứng Ta có: ~ ~ X [(u, v)] (X u , v ) (u , X v ) ~ ~ X [(E i , JE j )] (X E i , JE j ) ( E i , X JE j ) ~ ~ (X E i , JE j ) (X E j , JEi ) i j ( X ) ij ( X ) ; X B( M ) ij ij (sử dụng kết (2) (3)) Vậy A ma trận phản xứng *) j B [i ]n n ma trận đối xứng ~ ~ X [(E i , E j )] (X E i , E j ) (E i , X E j ) j i i ( X ) j ( X ) ; X B ( M ) j i i j (sử dụng kết (2) (3)) Vậy B ma trận phản xứng 37 2) n n j ~ j (X Ei , JEk ) ( X ) E ( X ) JE , JE i j i j k j j n n j i ( X )(E j , JEk ) i ( X )( JE j , JEk ) j j j i (X ) k 3) n n j ~ j (X Ei , E k ) i ( X )E j i ( X ) JE j , E k j j n n j j j i j ( X )E j (E j , E k ) i ( X )( JE j , E k ) k i (X ) 2.2.5 Mệnh đề Giả sử M, đa tạp symplectic, J cấu trúc hầu phức t ơng thích với Giả sử liên thông tuyến tính M thỏa mãn 5), 6) JJ Khi liên thông Levi - Civita đa tạp Riemann ( M , g J ) Chứng minh Từ định nghĩa liên thông Levi - Civita đa tạp (M , g J ) ta cần chứng minh Z[ g J ( X , Y )] g J (Z X , Y ) g J ( X , Z ) Thật Z[ g J ( X , Y )] Z[( X , JY )] (vì J - t ơng thích) (Z X , JY ) ( X , Z JY ) (Z X , JY ) ( X , JZ Y ) (vì J J) g J (Z X , Y ) g J ( X , ZY ) Vậy liên thông Levi - Civita đa tạp Riemann M , gJ 2.2.6 Định nghĩa Giả sử M , J đa tạp phức B (M ) tập tất trờng véctơ khả vi M nh xạ: N : B (M ) B (M B (M ( X ,Y ) N ( X ,Y ) xác định bởi: N ( X , Y ) [JX , JY ] J [ X , JY ] J [ JX , Y ] [ X , Y ] đ ợc gọi tenxor Nijenhui 38 2.2.7 Mệnh đề GisN tenxor Nijenhui Khi ú: i) N có tính song tuyến tính phản xứng ( N ( X , Y ) N (Y , X ) ), ii) N ( JX , JY ) N ( X , Y ) , iii) N ( JX , Y ) N ( X , JY ) Chứng minh i) N song tuyến tính phản xứng N ( X Y , Z ) [J ( X Y ), JZ ] J [ X Y , JZ ] J [J ( X Y ), Z ] [ X Y , Z ] [JX JY , JZ ] J [ X , JZ ] [Y , JZ ] J [ JX , Z ] [ JY , Z ][ X , Z ] [Y , Z ] [JX , JZ ] [JY , JZ ] J [ X , JZ ] J [Y , JZ ] J [ JX , Z ] J [ JY , Z ] [ X , Z ] [Y , Z ] N ( X , Z ) N (Y , Z ); X , Y , Z B( M ) T ơng tự N ( X , Y Z ) N ( X , Y ) N ( X , Z ); X , Y , Z B (M ) N (X , Y ) [ J (X ), JY ] J [X , JY ] J [J (X ), Y ] [X , Y ] [ JX , JY ] J [ X , JY ] J [ JX , Y ] [ X , Y ] N ( X , Y ); X , Y B (M ) , T ơng tự N ( X , Y ) N ( X , Y ); X , Y B (M ) , ( ta có sử dụng tính chất song tuyến tính tích Lie) N ( X , Y ) N (Y , X ) N ( X , Y ) [JX , JY ] J [ X , JY ] J [ JX , Y ] [ X , Y ] N (Y , X ) [JY , JX ] J [Y , JX ] J [JY , X ] [Y , X ] [ JX , JY ] J [ X , JY ] J [JX , Y ] [ X , Y ] [JX , JY ] J [ X , JY ] J [JX , Y ] [ X , Y ] N ( X , Y ); X , Y B( M ) 39 Vậy N có tính song tuyến tính phản xứng ii) N ( JX , JY ) N ( X , Y ) Ta có: N ( X , Y ) [ JX , JY ] J [ X , JY ] J [JX , Y ] [ X , Y ] N ( JX , JY ) [ JJX , JJY ] J [ JX , JJY ] J [ JJX , JY ] [ JX , JY ] [ J X , J Y ] J [ JX , J Y ] J [ J X , JY ] [ JX , JY ] [X ,Y ] J [ JX ,Y ] J [X , JY ] [ JX , JY ] [ X , Y ] J [ JX , Y ] J [ X , JY ] [ JX , JY ] N ( X , Y ); X , Y B (M ) iii) N ( JX , Y ) N ( X , JY ) (gọi tính tự liên hợp J N ) N ( JX , Y ) N ( J X , JY ) (theo ii) Ta có: N (X , JY ) N ( X , JY ); X , Y B ( M ) 2.2.8 Mệnh đề Giả sử M , đa tạp symplectic, J cấu trúc hầu phức t ơng thích với Khi tenxơ Nijenhui N ( X , Y ) 0; X , Y B (M ) Chứng minh Do M , đa tạp symplectic, J cấu trúc hầu phức tơng thích với Nên tồn sở {E1 , E2 , , E n , JE1 , JE2 , , JEn } B(M ) Khi X , Y B( M ) : n n n n i ` i ` i ` i ` X X i E i X JEi , Y Yi Ei Yi JEi i n n ~ X Y X [Yi ]E i X [Yi ]JEi liên thông tuyến tính M thỏa i ` i ` ~ ~ mãn 5) 6) Ta có X JY JX Y ; X , Y B (M ) ~ ~ M t khỏc JX , JY JX JY JY JX ~ ~ J JX Y JJY X 40 (1) ~ ~ J X , JY J (X JY JY X ) ~ ~ X J 2Y J JY X ~ ~ X Y JJY X ~ ~ J JX , Y J (JX Y Y JX ) ~ ~ J JX Y Y J X ~ ~ JJX Y Y X ~ ~ X Y Y X [ X , Y ] (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3) (4) ta suy JX , JY J X , JY J JX , Y [ X , Y ] N (X ,Y) 41 Kết luận Luận văn đạt đ ợc kết sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm chng minh chi ti t m t stớnh ch t không gian véctơ symplectic, đa tạp symplectic, đa tạp Lagrangian v cỏc c u trỳc t ơng thích đa tạp symplectic Phát biểu chứng minh tính co rút đ ợc tập (M , J ) J (M , ) : mệnh đề 2.1.12 v m nh 2.1.13 Chứng minh chi tiết hai tính chất dạng liên thông: mệnh đề 2.2.2 v m h 2.2.4) Chứng minh m nh 2.2.8 vTenxơ Nijenhuis đa tạp symplectic Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu dạng liên thông đa tạp Khaler ph ơng trình cấu trúc c a nú 42 tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh Nguyễn Doãn Tuấn Lý thuyết liên thông hình học Riemann (2004) NXBGD Hà Nội [2] u ThC p Gi i tớch hm (2002) NXBGD TP.HCM [3] Nguyễn Hữu Quang Bài giảng hình học symplectic (2007) Đại học Vinh [4] Đoàn Quỳnh Hình học vi phân (2001) NXBGD Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh Trần Đình Viện Tr ơng Đức Hinh Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân (1993) NXBGD Hà Nội Tiếng Anh [6] Ana Canas da Sillva Lectures on symplectic geometry Pd Pringer 2001 [7] Robert L.Bryant An introduction on Lie groups and symplectic Duke University Durham, NC 1991 [8] S Kobayashi and K Nomizu Foundations of Differential Geometry Interscience Publishers New York London Sydney Vol.1 (1963) [9] V.V Trofimov and A.T Fomenko Riemannian Geometry Journal of Mathematical sciences, Vol.109, No 2, 2002 43 [...]... không gian con Lagrangian 13 II đa tạp symplectic 1.2.1 Định nghĩa i) Giả sử M là đa tạp, là 2 - dạng vi phân trên M : : p p : Tp M T p M đợc gọi là dạng symplectic trên M nếu đóng ( d 0 ) và p là dạng symplectic, p M ii) Một đa tạp symplectic là một cặp ( M , ) , trong đó M là đa tạp và là dạng symplectic iii) Giả sử (M1 , 1 ) và (M 2 , 2 ) là hai đa tạp symplectic và g : M 1 M 2 là vi... bồ đề trên ta có tJ 0 (1 t ) J J (M , ) Khi ú h là ánh xạ liên tục và thỏa mãn h(J , 0) J Id( J ) F (, 1) 0 () Vậy h là ánh xạ đồng luân nối Id với Hay t p J (M , ) co rút đợc 32 II dạng liên thông trên đa tạp symplectic Trong mc ny ta luụn githi t M là đa tạp khả vi 2n chiều, B (M ) là tập tất cả các trờng véctơ khả vi trên M v F (M ) là tập các hàm khả vi trên M 2.2.1 Định nghĩa M t liên thông. .. tính trên M ú là một ánh xạ: : B (M ) B (M ) B (M ) X Y (X ,Y) thỏa mãn: X , Y , Z B (M ) , F (M ) 1) X Y Z X Z Y Z 2) X Y X Y 3) X Y Z X Y X Z 4) X Y X []Y X Y 2.2.2 Mệnh đề Gis M , là một đa tạp symplectic J là cấu trúc hầu phức tơng thích với Khi đó luôn tồn tại liên thông tuyến tính trên M thỏa mãn 5) 6) X , Y X Y Y X Z ( X , Y ) Z X , Y X , Z Y Chứng minh Do M, là đa tạp symplectic, ... Y ) ( X , Z Y ) () Bõy gita xột U 1 , U 2 , , U 2 n là trờng véctơ cơ sở của B (M ) , là liên thông tuyến tính trên M V i X B (M ) ta luụn cú sbi u di n n X U i i j ( X )U j j 1 2.2.3 nh ngh a i j đ ợc gọi là dạng liên kết của liên thông đối với cơ sở (*) v ma trận [i j ]2 n 2 n c gọi là ma trận liên kết 35 ... ánh v J là tuyến tính (vì J là cấu trúc hầu phức trên M ) Do ú J là đẳng cấu tuyến tính 27 2.1.10 Định nghĩa Giả sử (M , ) là đa tạp symplectic Một cấu trúc hầu phức J trên M đ ợc gọi là t ơng thích với nếu sự xác định: g : x g x : Tx M Tx M (u , v ) g x (u, v ) x (u, J xu ) là một mêtric Riemann trên M 2.1.11 Mệnh đề Giả sử (M , ) là đa tạp symplectic, f : M M là một vi phụi v f p : Tp M ... vi phôi Khi đó g c g i là đẳng cấu symplectic nếu g 2 1 , tức là: u, v T p M 1 , g (u, v) 2 p 2 g (u), g (v ) g ( p) Ví dụ Giả sử M 2n với hệ tọa độ ( x1 , x2 , , xn , y1 , y 2 , , y n ) Khi ú n 0 dxi dy i là dạng symplectic và (n , 0 ) là đa tạp symplectic i 1 1.2.5 Mệnh đề [5] Giả sử Y là không gian con Lagrangian của (V , ) thì (V , ) đẳng cấu symplectic với không gian (Y Y , 0 )... u trỳc hu phc tng thớch 2.1.9 Định nghĩa Giả sử M là đa tạp Một cấu trúc hầu phức J trên M ú là m t ỏnh x : J : x J x; Tx M x Tx M tuyến tính và J 2x Id J Khi đó c p (M , J ) c g i l đa tạp hầu phức Chỳ ý Ta chxột J nhm t ỏnh x J : B (M ) B( M ) X JX õy B(M ) là t p cỏc trờng vộctkhả vi trên M Nh n xột Giả sử J là cấu trúc hầu phức trên đa tạp M khi đó J là đẳng cấu tuyến tính Th t v y, J... 2.1.7 Mệnh đề Giả sử (V , ) là không gian vectơ symplectic 2n chiều; J : V V , J 2 Id ( J là cấu trúc phức trên V ) Khi đó J và - tơng thích khi và chỉ khi tồn tại cơ sở có dạng {e1 , e2 , , e n , Je1 , Je 2 , , Jen }(*) Trong đó (ei , e j ) ( Jei , Je j ) 0 và (ei , Je j ) (i j ) Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử J là cấu trúc phức trên không gian (V , ) symplectic (*) là cơ sở của V ta cần chứng minh... minh Th t v y p M , X , Y B (M ) ta có: f ( X , Y ) p f p ( X p , Yp ) p p f p ( X p ), fp (Yp ) p X p , Yp (vì f p là cấu trúc phức trên Tp M ) X , Y p f Suy ra Chỳ ý Trên M ta cú thtrang bcỏc c u trỳc sau: là dạng symplectic : x x : Tx M Tx M là dạng song tuyến tính không suy biến, x phụ thuộc khả vi vào x g là một mêtric Riemann g : x g x : Tx M Tx M là tích vụ h ng, g x phụ thuộc... 2.1.7 thì tồn tại trờng véctơ cơ sở trên B (M ) có dạng: E1 , E 2 , , E n , JE1 , JE2 , , JEn Trong đó (E i , E j ) ( JEi , JE j ) 0 ; ( Ei , JE j ) ij ~ Xét ánh xạ : B ( M ) B ( M ) B ( M ) ~ ( X , Y ) X Y Thỏa mãn n n i 1 i 1 X , Y B (M ), X X i Ei X i JEi 33 n n i 1 i 1 Y Yi Ei Yi JEi n n ~ X Y X [Yi ]Ei X [Yi ]JEi i 1 i 1 ~ Khi đó là liên thông tuyến tính trên M thỏa mãn 5) và 6) Thật vậy ... I đa tạp symplectic I Không gian véctơ symplectic II Đa tạp symplectic 14 Chơng II CC CU TRC tơng thích dạng liên thông đa tạp symplectic 16 I Cỏc c u trỳc t ng thớch 16 II D ng liên thông đa. .. tạp symplectic Phần trình bày dạng liên thông dạng liên kết đa tạp symplectic, số tính chất mối liên hệ chúng áp dụng để chứng minh Tenxơ Nijenhuis N ( X , Y ) đa tạp symplectic Luận văn đợc thực... 13 II đa tạp symplectic 1.2.1 Định nghĩa i) Giả sử M đa tạp, - dạng vi phân M : : p p : Tp M T p M đợc gọi dạng symplectic M đóng ( d ) p dạng symplectic, p M ii) Một đa tạp symplectic