Các dạng vi phân trên mặt trong e3

Mục lục Trang Lời nói đầu Đ1 Trờng vectơ tiếp xúc mặt S E3 Đ2.Dạng vi phân mặt S E3 Đ3 Dạng liên kết phơng trình cấu trúc mặt S E 15 Đ4 Biểu diễn độ cong Gauss độ cong trung bình qua dạng vi phân 28 Đ5 Độ cong Gauss mặt khả triển 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời nói đầu Lý thuyết dạng vi phân mặt đợc trình bày nhiều giáo trình hình học vi phân Các tính chất chúng đợc trình bày, chẳng hạn tài liệu [2], [3], [4] Các dạng vi phân có nhiều ứng dụng nghành Vật lý, Toán học Trong khoá luận này, tập hợp chứng minh chi tiết số tính chất dạng vi phân mặt S E Từ đó, trình bày dạng liên kết phơng trình mặt S Sau đó, sử dụng dạng liên kết phơng trình cấu trúc để tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S Ngoài ra, việc sử dụng dạng vi phân, trình bày độ cong Gauss mặt khả triển E Trong phần, ví dụ minh hoạ Khoá luận đợc chia thành mục: Đ1 Trờng vectơ tiếp xúc mặt S E3 Để thuận cho việc trình bày phơng trình mặt S mục sau, mục này, nhắc lại số khái niệm vectơ tiếp xúc trờng vectơ tiếp xúc mặt S, trình bày ánh xạ khả vi hai đa tạp, ánh xạ tiếp xúc phơng trình Đ2 Dạng vi phân mặt S E3 Trong mục này, trình bày khái niệm dạng vi phân bậc 0, bậc 1, bậc với số tính chất chúng mặt Và trình bày khái niệm vi phân dạng vi phân, tính chất chúng Ngoài ra, đa ví dụ minh hoạ Đ3 Dạng liên kết phơng trình cấu trúc mặt E Trong mục này,trớc hết trình bày khái niệm ánh xạ đối tiếp xúc với ví dụ minh hoạ cách xác định ánh xạ đối tiếp xúc Sau đó, trình bày khái niệm dạng liên kết phơng trình cấu trúc mặt E3 đa ví dụ minh hoạ mặt trụ, mặt cầu Đ4.Biểu diễn độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S qua dạng vi phân Trong mục này, trình bày độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S việc sử dụng ánh xạ Weigarten Từ biểu thị độ cong Gauss độ cong trung bình thông qua dạng liên kết phơng trình mặt S tính độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt trụ mặt cầu Cuối cùng, trình bày quan hệ ánh xạ đẳng cự với độ cong Gauss Đ5 Độ cong Gauss mặt khả triển Trong mục này, xét độ cong Gauss mặt khả triển thông qua dạng liên kết đa mệnh đề 5.7 nói rằng: Nếu mặt S có 12 S mặt khả triển Khoá luận đợc hoàn thành khoa Toán, Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo khoa Toán với gia đình, bạn bè Nhân dịp xin chân thành cảm ơn hớng dẫn tận tình thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang, với thầy cô giáo khoa Toán trờng Đại học Vinh xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập, hoàn thành khoá luận Vinh, ngày tháng05năm 2003 Tác giả Đ1: Tròng vectơ tiếp xúc mặt S E3 Nh ta biết: tập không rỗng S không gian Ơclit 3- chiều E đa tạp hai chiều E3 với điểm p thuộc S, có lân cận mở S mảnh hình học Mỗi tham số hoá mảnh hình học gọi tham số hoá địa phơng đa tạp S Mặt S E3 nói luận văn đợc hiểu là: S đa tạp chiều, liên thông định hớng;(mặt S có hớng S có trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n khác vectơ không điểm mặt S đó, xem [2] ) Trong luận văn này, xét mặt S E đợc cho tham số r: U ( R ) S , với r khả vi r phép dìm ( u, v ) r ( u, v ) I.Vectơ tiếp xúc Trong E3, cho mặt S điểm p Một phần tử thuộc không gian tiếp xúc E3 điểm p đợc gọi vectơ tiếp xúc với S p, tồn tạimộtcung tham số : I = ( a, b ) E cho : ( t ) S , ( t ) = p, ( t ) = , t I t (t) II trờng vectơ mặt S E3 Ta ký hiệu: Ru p ( r ( u, v ) = ru ( u, v ) ) p , p S ; Rv p ( r ( u, v ) = rv( u, v ) ) p , p S ; Tp S ={ p p l vectơ tiếp xúc với S p} Rõ ràng Tp S không gian vectơ Ơclit chiều có sở { Rv , Ru } p , p S 1.1.Định nghĩa: Một trờng vectơ mặt S ánh xạ đặt tơng ứng điểm n p S vectơ X p T p E Trờng vectơ X S mà với p S, , X p vectơ tiếp xúc với mặt S p, đợc gọi trờng vectơ tiếp xúc S 1.2 Nhận xét: Vì r tham số hoá địa phơng nên { ru ( u, v ) , rv( u, v )} độc lập tuyến tính, tức { Ru , Rv } độc lập tuyến tính Mặt khác, Ru , Rv trờng vectơ tiếp xúc với mặt S Do với vectơ X p T p S , biểu thị: X p = f ( p ) Ru + g ( p ) Rv , , g hàm số xác định đồ U S Hay nói cách khác { Ru , Rv } trờng mục tiêu tiếp xúc đồ S X đợc gọi trờng vectơ tiếp xúc khả vi r (U ) f, g hàm số khả vi Ký hiệu : B(S)={ X X khả vi S } Ta đa vào B(S) phép toán: X + Y : p X p + Yp , p S fX :p f ( p) X p , p S (1) ( 2) (3) Dễ chứng minh B(S) phép toán (1) (3) lập thành không gian vectơ chiều có sở { Ru , Rv } p Mặt S đợc gọi khả song S tồn trờng vectơ X1,X2 cho { X p , X p } mục tiêu TpS, với p S Từ trở xét mặt S khả song f : p X p , p S , |R III ánh xạ khả vi 1.3 Định nghĩa: Giả sử S đa tạp chiều có cấu trúc khả vi {U i , ri } , i I ; ~ S đa tạp chiều có cấu trúc khả vi {V j , r j }, j J ánh xạ f : S S từ đa tạp chiều S vào đa tạp chiều S vào đa tạp hai chiều S~ gọi khả vi ~r j f ri khả vi , ( i, j ) f ~ S S ri rj f ri1 ri U R2 1.4.Định nghĩa: Giả sử f: S S~ ánh xạ khả vi mặt S S~ ~ f *P : T p S T p S , đợc gọi ánh xạ tiếp xúc ánh xạ f p v v ánh xạ: 1.5 Định lý: Giả sử v T p S , v p = f * p ( v ) = J f trận Jacobi f p v Trong Jf ma Chứng minh: Giả sử p điểm thuộc S, p(x 1,x2) đồ U S đờng cong : t ( t ) = ( x1 ( t ) , x ( t ) ) thoả mãn: ( t ) = p, ( t ) = v p d (t) p dt = ( x1 ( t ) , x ( t ) ) vp = Ta có: p Đặt = f ( ) , ta có = ( f1 ( ) , f ( ) ) = ( f1 ( x1 , x ) , f ( x1 , x ) ) d ( f1 ( x1 ( t ) , x ( t ) ) , f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ) ) p dt d d = f1 ( x1 ( t ) , x ( t ) ) , f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ) dt dt f x f x = i p , i p t i =1, x i i =1, xi t v p = Ta suy ra: f f , p i =1, xi i =1, xi f f x1 x x1 ( t ) = f f x ( t ) p x x p = xi Vậy: f*p ( v) = J f = Jf p p vp vp p p Đ2: Dạng vi phân mặt S E3 Quy ớc: hàm số khả vi xác định mặt S E3 đợc gọi dạng vi phân bậc S Ký hiệu ( S ) = {dạng vi phân bậc S} I 1-dạng vi phân 2.1 Định nghĩa : 1-dạng vi phân bậc S việc đặt tơng ứng điểm p thuộc S với ánh xạ tuyến tính p : T p S |R Từ định nghĩa ta thấy rằng: X p thuộc T p S p ( X p ) thuộc |R Khi p thay đổi S, ta đợc tham số ( X ) Vậy 1-dạng vi phân bậc tác động vào trờng vectơ đợc hàm số: S |R 2.2 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc S gọi khả vi với trờng vectơ X khả vi S hàm số ( X ) khả vi S Ký hiệu: ( S ) ={ khả thi S} Chú ý: định nghĩa trên, ta thay S U ta có khái niệm 1dạng vi phân bậc đồ U S 2.3 Các phép toán ( S ) Giả sử , ( S ), F (S), |R Khi + , , thuộc ( S ) , đợc xác định nh sau: + : p p + p , p S ; (1) : p ( p ) p , p S ; ( 2) : p p , p S ; ( 3) Chú ý: Giả sử X,Y trờng vectơ tiếp xúc S, F (S) ( S ) Khi ta có: ( X + Y ) = ( X ) + ( Y ); ( x ) = ( x ) Chứng minh: Với p thuộc S thì: [ ( X + Y ) ] ( p ) = p ( X + Y ) p = p ( X p + Yp ) = p ( X p ) + p (Y p ) , (do p ánh xạ tuyến tính) = ( X )( p ) + ( Y )( p ) = ( ( X ) + ( Y ) )( p ) , p S ( X + Y ) = ( X ) + (Y ) Vậy: ( X )( p ) = p ( X ) p = p ( ( p ) X ( p ) ) Vậy: = ( p ) p ( X p ) (do p ánh xạ tuyến tính) = ( p ) ( X )( p ) = ( ( X ) ) ( p ) , p S ( X ) = ( X ) 2.4 Định nghĩa: Giả sử {U ,U } trờng mục tiêu đồ U S , 1-dạng vi phân thuộc (U ) , với i (U j ) = ij Khi { , } đợc gọi trờng đối mục tiêu trờng mục tiêu {U ,U } a/ (U ) phép toán (1) (3) làm thành không gian 2.5 Định lý: vectơ thực b/ (U ) phép toán (1) (2) làm thành mođun F (S) c/ Số chiều mô đun (U ) Chứng minh: Chúng ta nhận thấy (U ) với hai phép toán (1) (3) thoả mãn tiên đề không gian vectơ (U ) với phép toán (1) (2) thoả mãn tiên đề môđun đây, kiểm tra kết luận c) định lý đồ U S Giả sử { , } trờng đối mục tiêu trờng mục tiêu {U ,U } U Ta chứng minh { , } sở mô đun 1` (U ) * { , } độc lập tuyến tính 1 + 2 = 0, với 1, Xét ( ) 1 + 2 (U i ) = 0(U i ) , i = 1,2 (U i ) + 2 (U i ) = i + i = i = 0, i = 1,2 Vậy: + 2 = = = hay { , } độc lập tuyến tính (*) * { , } hệ sinh Lấy thuộc (U ) , X trờng vectơ S , X = X 1U + X 2U ( X ) = ( X 1U + X 2U ) Ta có: (U i ) = f i ( i = 1,2 ) , ta suy ra: = f X + f X Đặt: Vậy: = f1 + f hay { , } hệ sinh (**) Từ (*) (**) suy { , } sở (U ) Vậy dim (U ) =2 = f 1 ( X ) + f 2 ( X ) = f 1 + f 2 ( X ) , X S ( ) II 2-dạng vi phân: II.6 Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc hai U việc đặt tơng ứng điểm p U với ánh xạ song tuyến tính, phản xứng p : T p S ì T p S |R Dạng vi phân bậc hai gọi 2- dạng vi phân Giả sử X,Y trờng vectơ mặt S, từ định nghĩa ta thấy rằng: ( X p , Y p ) T p S ì T p S p ( X p , Y p ) |R Khi p thay đổi S cho ta hàm số Vậy, dạng vi phân bậc hai tác động vào (X,Y) đợc hàm số đợc xác định bởi: ( X , Y )( p ) = p ( X p , Y p ) 2.7 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc gọi khả vi S với X,Y khả vi S ( X , Y ) hàm số khả vi S Ký hiệu: ( S ) ={ khả vi S} Chú ý: Nếu định nghĩa trên, ta thay S U ta có khái niệm (U ) 2.8 Các phép toán ( S ) ( (U ) ) Giả sử , ( S ) , |R Khi + , , thuộc ( S ) , đợc xác định bởi: + : p p + p , p S ; (1) : p ( p ) p , p S ; (2) : p .1 Chú ý: p , p S ; (3) Giả sử X,X,Y,Y trờng vectơ tiếp xúc S, hàm số xác định S Khi đó: ( X + X , Y ) = ( X , Y ) + ( X , Y ) ; ( X , Y + Y ) = ( X , Y ) + ( X , Y ) ; ( X , Y ) = ( X , Y ) = ( X , Y ) ; Thật vậy, với p S ta có: ( X + X , Y )( p ) = p ( ( X + X ) p , Y p ) = p ( X p + X p , Y p ) = p ( X p , Y p ) + p ( X p , Y p ) (do p ánh xạ song tuyến tính) = ( X , Y )( p ) + ( X , Y )( p ) , p S Vậy: ( X + X , Y ) = ( X , Y ) + ( X , Y ) ( X , Y + Y )( p ) = p ( X p , ( Y + Y ) p ) = p ( X p , Y p + Y p ) = p ( X p , Y p ) + p ( X p , Y p ) (do p ánh xạ song tuyến tính) = ( X , Y )( p ) + ( X , Y )( p ) , p S Vậy: ( X +, Y + Y ) = ( X , Y ) + ( X , Y ) ( X , Y )( p ) = p ( ( X ) p , Y p ) = p ( ( p ) X p , Y p ) = p p ( X p , Y p ) (do p ánh xạ song tuyến tính) = ( X , Y )( p ) , p S Vậy: ( X , Y ) = ( X , Y ) Hoàn toàn tợng tự ta chứng minh đợc: ( X , Y ) = ( X , Y ) 2.9 Định nghĩa : Giả sử , 1_dạng vi phân S X,Y trờng vectơ tiếp xúc S Khi đó: gọi tích ( ) dn ( X , Y ) = ( X ). ( Y ) ( Y ). ( X ) , đợc Nhận xét: ( S ) Thật vậy: Để chứng minh ( S ) , ta cần kiểm tra tính phản xứng ( ) X , Y B(S), p S ta có: ( X , Y ) p ( = 10 ) ( X ) (Y ) (Y ) ( X ) = ( X p ,Yp ) p p p p Suy : = 13 23 d 21 (U ,U ) = 13 23 (U ,U ) (**) ( ) Từ (*) (**) ta suy : d 21 (U ,U ) = K Mặt khác ta lại có : ( )(U , U ) = Suy : d 21 (U ,U ) = K (U ,U ) Từ đó: d 21 = K 23 p 31 p = H ( p ) 4.Định lý: p Chứng minh: ( ( 13 U Tơng tự 4.3 ta có ma trận ánh xạ h p : A p = U 31 ) p (U p ,U p H ( p ) (U , U ) p =13 U p ) = ( ( ) (U ) 13 U H ( p ) = (U p ) + (U Do : Do : ( )(U , U ) = , nên ta suy : ( ) ) 3 Mặt khác: p ) (U p p p ) p ( ,U p ) ( ) p (U p p ) + (U ) p ,U = 23 (U ) p (U ) p 23 (U ) p (U ) p p p ) 31 (U ) p (U ) p + 31 (U ) p (U ) p = 32 (U ) p + 13 (U ) p Vậy: ( 32 13 )(U ,U )( p ) = 13 (U )( p ) + 23 (U )( p ) (2) Từ (1) (2) ta suy : ( ) H ( p ) (U , U )( p ) = 23 31 (U , U )( p ) , p Suy ra: 23 p 31 p = H ( p ) p 4.5 Định lý: Giả sử {U1, U2, U3} tờng mục tiêu trực chuẩn tơng thích với đa tạp hai chiều có hớng S E3, điểm thuộc E3 Giả sử hàm số i : S |R p i ( p ) = op.U i ( p ) , ( i = 1,2,3) Khi :a/ d = + + b/ d = + + Trong {1, 2} trờng đối mục tiêu {U1, U2} ; 21 , 13 dạng liên kết S trờng mục tiêu cho 1 1 2 3 29 Chứng minh : Lấy điểm p thuộc S Gọi : t ( t ) S cung cho ( t ) = p ( t ) = U ( p ) d (U ( p ) ) = U [ ]( p ) Ta có: [ ] = U1 ( p) d = (t) dt [ ] t0 d O ( t ).U ( ( t ) ) dt = t0 d( t ) D (U ( t ) ) = U ( t ) + ( t ) dt dt D = ( t )U ( p ) + ( t ) (U ) dt = + ( t0 ) ( D U1 dt ) t0 t t0 ( 1) D (U )( t ) = D ( t0 )U dt = ( t )U ( p ) + ( ( t ) )U ( p ) Mặt khác: Từ ta suy ra: ( d )U ( p ) = + ( t ) ( ( ( t ) ) ).U ( p ) + ( ( t ).U ) = ( (U ) ) + ( ( t ) ) ( t )U ( p ) + ( ( t ) ). ( t ).U ( p ) = ( (U ) )( p ) + (U ( p ) ). ( p ) + (U ( p ) ) ( p ) 1 0 1 p 0 1 2 1 Vậy 3 d (U ) = (U ) + (U ) + (U ) ( 2 = ( U ) + (U ) + (U ( p ) ) , 2 p 3 p S ) = + + (U ) Suy ra: d = + 21 + 313 Tơng tự ta chứng minh đợc: d = + 21 + 3 4.6 Định lý: Xét dạng vi phân bậc S xác định nh sau:với T p S , p S, p ( ) = O p ( U ( p ) ), p ( ) = p ( h p ( ) ) Khi : d p = 2(1 + H ( p ) ) p dà p = H ( p ) + K ( p ) 30 p Trong H(p) K(p) độ cong trung bình độ cong Gauss S điểm p Chứng minh: dạng vi phân S nên biểu diễn dới dạng: = f + g , f , g F (S) Từ ta có: (U ) p = ( f + g )(U ) p = f ( p ) (U ) = f ( p ), p + g ( p ) (U p ) p S Suy ra: (U ) = f Cũng từ (*) ta có: (U ) = ( f + g )(U ) = f ( p ) (U ) p p + g ( p ) (U ) = g ( p ) , p S (U ) = g Suy ra: (U ) p = Op U ( p ) U ( p ) Mặt khác: = OpU ( p ) = ( p ) , p S Do đó: (U ) p = (U ) p = Op U ( p ) U ( p ) = OpU ( p ) = ( p ) , p S Suy ra: (U ) = ( ( p p ) ) Vậy: f = , g = = + Hay d = d ( + ) Do đó: = d d + d + d Từ định lý 4.5 ta có: d = + 2 + 313 , d = + + Suy ra: d = ( + 21 + ) d + ( + 21 + 313 ) + 1d 3 = + + + d + d = + + + d + d Lại có: d = 21 , 31 d = d Suy ra: ( ) = + + + 2 1 ( ( = + + H = 1+ 3H Vậy : d = + H ( ) ) ) ) ( ) = ( h p ( ) ) = ( + )( h( p ) ) = ( h( p ) ) + ( h( p ) ) b/ Ta có: 2 = + = + H ( ( ) = ( )U ( p ) + ( )U ( p ) + ( + ( )U ( p ) + ( )U ( p ) 3 ) = ( ) U ( p ) ( ) U ( p ) + 3 + 1 ( ) 2U ( p ) + ( ) 2U ( p ) 3 = ( ) + ( ) ( ) = + ( ) , Vậy: Suy ra: 3 T p S = + ( dà = d 21 + 3 ) = d + d + d + 3 ( ) ( ) = + + + d + + + d 3 3 ( ) 3 = + 1 + + + + 1 + 3 ( + 3 3 ) = + + 3 3 ( = H + d = H + K = H + K Vậy : dà = H + K ( ( ) 3 3 = + 3 ) (do phơng trình Gauss d 21 = 31 ) (theo định lý 4.3 ) ) 4.7 Các ví dụ: đây, ví dụ tính độ cong Gauss độ cong trung bình theo cách để bạn so sánh kết 32 Ví dụ 1: Tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt cầu xác định tham số hoá địa phơng: r :U E3 ( u, v ) r ( u, v ) =(acosucosv, asinucosv, asinv) Trong U = ( u, v ) R u , v { } Cách1: Tính K H theo ánh xạ Weigarten Ta có r ( u, v ) = (acosucosv, asinucosv, asinv) Suy ra: ru ( u, v ) =(- acosvsinu, acosucosv, 0) rv ( u, v ) =(-acosucosv, - asinucosv, acosv) ruu ( u , v ) =(- acosucosv, - asinucosv, 0) ruv ( u , v ) =(- asinusinv, - acosusinv, 0) rvv ( u , v ) =(- acosucosv, - asinucosv, - asinv) Ta tính hệ số dạng I II: E(u,v) = ( ru ( u, v ) ) =a2cos2vsin2u + a2cos2ucos2v =a2cos2v F(u, v) = r'u (u,v) r v(u,v) = a2cosu sinu cosv sinv - a2cosv sinv cosu sinu = G(u,v) = ( r v(u,v))2 = a2cos2u sin2v + a2sin2u sin2v + a2cos2v = a2sin2v + a2cos2v = a2 Vậy: EG - F2 = a4cos2v ( r ' u , r ' v , r ' uu)uv = a cos v sin u a cos v cos u a cos u sin u a sin u sin v a cos v a cos v cos u a cos v sin u = -a3cos3v L(u,v) = (r 'u , r ' v , r"uu ) EG F (r'u , r'v , r"uv) = a cos v a cos v = -a2cos2v a cos v sin u a cos v cos u = a cos u sin v a sin u sin v a cos v a sin u sin v a cos u sin v 33 = M(u,v) = (r 'u , r ' v , r"uv ) EG F (r'u , r'v , r"vv)uv N(u,v) = = a cos v sin u a cos u cos v = a cos u sin v a sin u sin v a cos v = -a3cosv a cos u cos v a sin u cos v a sin u a cos v a cos v LN M Vậy: K = = 2 a EG F EN + LG FM H= =- 2( EG F ) a Cách 2: Ta tính độ cong Gauss độ cong trung bình theo định lý 4.3 4.4 12 = -sinv.du Theo 3.11 ta có: = a.cosv.du = a.dv 32 = dv 31 = cosv.du Do đó: d 12 = - 31 23 = cosv.du dv Mặt khác: d = K. = K.acosv.du a.dv = K.a2cosv.du dv Vậy: K.a2cosv.du dv = cosv.du dv Suy ra: K= a2 32 - 31 = dv acosv.du - cosv.du a.dv = -acosv.du dv - acosv.du dv = -2acosv.du dv Mặt khác: - 31 = 2H. = 2H.a2cosv.du dv Suy ra: -2acosv.du dv = 2H.a2cosv.du dv Vậy: H= a 34 Ví dụ 2: Tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt trụ xác định tham số hoá: (u,v) r(u,v) = (acosu, asinu, v) Cách 1: Ta có: r(u,v) = (acosu, asinu, v) Suy ra: r'u(u,v) = (-asinu, acosu, 0) r'v(u,v) = (0, 0, 1) r"uu(u,v) = (-acosu, -asinu, 0) r"uv(u,v) = (0, 0, 0) r"vv(u,v) = (0, 0, 0) Từ ta suy hệ số dạng I dạng II là: E (u,v) = a2 F (u,v) = G (u,v) = L (u,v) = -a M (u,v) = N (u,v) = LN M = EG F EN + LG FM H= =- 2( EG F ) 2a Vậy: K = Cách 2: Theo 3.11 ta có: 12 = 0, 31 = du, 32 = 0, = a.du, = dv Suy ra: d 12 = - 31 23 = Mặt khác: d 12 = K. = K.a.du dv Vậy: K.a.du dv = Suy ra: K = 1 - = 2H. - du dv = 2H.a.du dv H=- 2a III ánh xạ đẳng cự với độ cong Gauss 4.8 Định nghĩa: Giả sử S1, S2 mặt E3, ánh xạ (khả vi) f: S S2 gọi ánh xạ đẳng cự với điểm p S1 thì: f*p : TpS1 Tf(p)S2 bảo tồn tích vô hớng 35 * f gọi vi phôi đẳng cự vi phôi ánh xạ đẳng cự 4.9 Bổ đề: {U1, U2} trờng mục tiêu tiếp xúc tập mở V S E3, {1, 2} trờng đối mục tiêu {U1, U2} có dạng vi phân bậc 12 V cho: d = - 12 , d = - 12 , 12 = - 12 ~ 4.10 Định lý: Giả sử f: V V vi phôi đẳng cự từ tập mở V S lên ~ tập mở V~ S ( E3) f biến trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn {U1, U2} V thành trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn {ũ1= f*U1, ũ2 = f*U2} ~ *~ *~ * ~1 V thì: f = , f = , f = Trong đó: { , } trờng đối mục tiêu {U1, U2}, ~ ~ { , } trờng đối mục tiêu {ũ1, ũ2}, 12 , ~ 21 theo thứ tự dạng liên kết trờng mục tiêu {U1, U2} {ũ1, ũ2} Chứng minh: Ta có: f* ~ i (Uj) = ~ i (f*Uj) ~ = i (ũj) = ij = i (Uj) Vậy: f* ~ i = i Lại có: d~ = - ~21 ~ d~ = - ~12 ~ Suy ra: d = d(f*~ ) = f*d~ = f*(- ~21 ~ ) = -f* ~21 f* ~ = -f* ~21 Tơng tự: d = -f* ~12 Mặt khác: d = - 12 , d = - 12 Suy ra: -f* ~21 = - 12 -f* ~12 = - 12 Do tính 12 bổ đề 4.9 ta suy ra: f* ~21 = 12 Vậy: f* ~ = , f*~ = , f* ~21 = 12 36 ~ 4.11 Định lý (Định lý Gauss): Nếu f: S S ánh xạ đẳng cự mặt E3 f bảo tồn độ cong Gauss, tức K(p) = K~ (f(p)), p S (K K~ theo thứ tự độ cong Gauss S S~ ) Chứng minh: Lấy trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn {U1, U2} lân cận mở V p S mà fV: V f(V) vi phôi đẳng cự lên tập mở f(V) S~ (điều có đợc f ánh xạ đẳng cự suy f trải) Từ định lý 4.3 ta có: d ~21 = K~ ~ ~ ; đó: ~21 dạng liên kết ~ ~ ~ S , { , } trờng đối mục tiêu trờng mục tiêu tiếp xúc trực ~ ~ ~ chuẩn { U 1, U 2} tập mở f(V) S Mặt khác, từ 4.10 ta có: d 12 = d(f* ~21 ) = f*d ~21 Suy ra: d 12 = f*( K~ ~ ~ ) ~ ~ = K~ of.f* ( ) ~ ~ = K~ of.f* f* ~ = K~ of( ) (do f* i = i ) Theo định lý 4.3, ta có: d 12 = K ~ Vậy: K of = K 37 Đ5 Độ cong gauss mặt khả triển này, xét mối liên hệ dạng liên kết với mặt khả triển 5.1 Định nghĩa: Xét cung qui không gian E3 xác định bởi: : I ( R) E3 u (u) Cho hàm vectơ : J E3 u (u) cho (u) khác với u J Xét tập mở U R mà U = {(u,v):uJ}, với u J tập hợp {v R(u,v) U} khoảng R mảnh không gian E3 xác định bởi: r : U E3 (u,v) r(u,v) = (u) + v (u), đợc gọi mặt kẻ với đờng chuẩn khung cho Các toạ độ u = u0 (không đổi) gọi đờng thẳng sinh mặt kẻ 5.2 Định nghĩa: Điểm (u0, v0) gọi điểm qui mảnh tham số r, r dìm (u0, v0), tức {r'u(u0, v0), r'v(u0, v0)} độc lập tuyến tính Điểm không qui gọi điểm kỳ dị Mảnh tham số r gọi mảnh tham số qui điểm điểm qui 5.3 Định lý: Cho tham số hoá r : U E3 (u,v) r(u,v) = (u) + v (u), đó: : I ( R) E3 cung qui E3 Hàm véctơ : J E3 thoả mãn (u) khác với u J Khi r(u,v) điểm kỳ dị {'(u) + v '(u); (u)} phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Theo giả thiết: r(u, v) = (u) + v (u) Giả sử O điểm cố định E3 Ký hiệu: r (u,v) = Or (u,v), (u) = O (u) Ta có: v (u ) r (u,v) = (u) + v (u) Suy ra: ru '(u,v) = '(u) + v '(u) rv '(u,v) = (u) Giả sử (uo, vo) điểm kỳ dị, theo 5.2 ta có: 38 (u ) (u ) o r (u ) {r'u(u0, v0), r'v(u0, v0)} phụ thuộc tuyến tính Suy ra: {'(uo) + vo '(uo); (uo)} phụ thuộc tuyến tính Ngợc lại giả sử: {'(uo) + vo '(uo); (uo)} phụ thuộc tuyến tính, {r'u(u0, v0), r'v(u0, v0)} phụ thuộc tuyến tính Suy (uo, vo) điểm kỳ dị r : U E3 (u, v) (u) + v (u), (u) cung qui E3 Giả sử mảnh r điểm kỳ dị Hàm vectơ : J E3 thoả mãn '(u) khác O với u J Khi đó, tiếp diện đờng sinh thẳng u = uo trùng hệ vectơ { (u), (uo), '(uo)} phụ thuộc tuyến tính 5.4 Nhận xét: Cho tham số: 5.5 Định nghĩa: Mặt khả triển mặt kẻ mà tiếp diện dọc theo đờng sinh thẳng trùng 5.6 Định lý: Mặt kẻ mặt khả triển độ cong Gauss Chứng minh: Giả sử: r : U E3 tham số hoá mặt kẻ (u, v) (u) + v (u) Ta có: r'(u) = '(u) + vA'(u) Đờng sinh có phơng không đổi: (u) = o (với u J) Suy ra: r"uu = r'v = (u) Suy ra: r"vu = '(u) Ta có: N = ( no r ) r"uu = M = ( no r ) r"vu = K= ( ' x A) A ' ' + A LN M =0 EG F M = ( ' x A ) A ' = hệ { , , '} phụ thuộc tuyến tính S mặt khả triển 5.7 Mệnh đề: Giả sử S có 12 Khi S mặt khả triển 39 Chứng minh: Theo 5.6, mặt kẻ mặt khả triển độ cong Gauss K triệt tiêu Mặt khác theo 4.3, ta có: d 12 = K. (1) 12 hằng, suy ra: d 12 = (2) Từ (1) (2) ta suy ra: d = K = K = Vậy, S mặt khả triển 5.8 Nhận xét: Điều ngợc lại mệnh đề 5.7 không Thật vậy: Chẳng hạn ta xét mặt nón S cho tham số: r(u, v) = (vcosu, vsinu, v) Trớc tiên, ta chứng minh mặt nón S mặt khả triển Cách 1: Dễ dàng kiểm tra đợc độ cong Gauss K mặt nón thông qua ánh xạ Weigarten Cách 2: Ta có: R U = u = ( sin u, cos u ,0) Ru R 1 v =( cos u, sin u , ) U2 = R 2 v 1 cos u , sin u , ) U = U xU = ( 2 1 cos u cos u sin u 2 1 sin u sin u Do vậy: C = cos u 2 1 2 cos u sin u 1 sin u Từ ta có: C-1 = cos u 2 1 cos u sin u 2 40 Suy ra: 1 cos u.du sin u.du sin u.du 1 cos u.du cos u.du dC = sin u.du 2 0 1 du du 2 0 = C-1dC = du du 0 Gọi { , } trờng đối mục tiêu {U1, U2} Tơng tự nh ví dụ 4.7, ta tính đợc: Ta suy ra: d 12 = K. Ta có: = K.v.du = Do 12 = 2 du nên : d 12 = r * = v.du r * = dv = v.du = dv 2 dv K v.du dv d 2u = Vậy: K.v.du dv = Từ K = Vậy: mặt nón mặt khả triển Tuy nhiên 12 = du Điều chứng tỏ điều ngợc lại mệnh đề 5.7 không 41 Kết luận Trong trình hoàn thành khoá luận dới hớng dẫn tận tình thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang, tác giả tổng hợp số tài liệu liên quan đến đề tài: Các dạng vi phân mặt E Trong thời gian làm khoá luận tác giả xếp cách lôgic vấn đề, từ việc đa khái niệm dạng vi phân bậc 0, bậc 1, bậc tính chất chúng xây dựng nên dạng liên kết phơng trình cấu trúc mặt S E3 Định nghĩa 3.7, Định nghĩa 3.11 Chúng xác định dạng liên kết viết phơng trình cấu trúc số mặt bậc nh mặt trụ,mặt cầu( ví dụ 3.13) Nh ta biết, độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S E đợc tính nhờ công cụ ánh xạ Weigarten Trong luận văn này, xây dựng công thức tính độ cong Gauss độ cong trung bình thông qua dạng vi phân( Định lý 4.3, Định lý 4.4).Chúng tính đợc độ cong Gauss độ cong trung bình mặt trụ, mặt cầu dựa công thức xây dựng( ví dụ 4.7) Từ việc xây dựng công thức tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S thông qua dạng vi phân, nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ đẳng cự với độ cong Gauss suy đợc tính chất quan trọng nh Định lý 4.11 Cuối cùng, với việc sử dụng tính chất mặt khả triển, lý thuyết độ cong Gauss, lý thuyết dạng vi phân chứng minh đợc mặt S có 12 S mặt khả triển Với đề tài tác giả hy vọng có điều kiện để nghiên cứu lý thuyết dạng vi phân đa tạp Riman chiều tổng quát 42 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thúc Hào: Hình học vi phân (T1,T2), NXBGD 1968 [2] Đoàn Quỳnh Trần Đình Viện Trơng Đức Hinh- Nguyễn Hữu Quang: Bài tập hình học vi phân, NXBGD 1993 [3] H.Cartan: Phép tính vi phân dạng vi phân, NXBGD 1980 [4] M.Xpik: Giải tích toán học đa tạp_NXBĐH&THCN 1985 [5] B.Oneil: Eletinentany diffrential geometry,Academic press NewYorkLondon.1966 43 [...]... là cơ sở của mô đun 2 (U ) hay dim 2 (U ) =1 III Vi phân ngoài của các dạng vi phân 2.11 Định nghĩa: a/ Giả sử S là mặt trong E 3, U là bản đồ của S; F (U) Vi phân ngoài của là ánh xạ d: 0 (U ) 1 (U ) x i =1, 2 dxi , i trong đó (xi) là hệ toạ độ trên bản đồ U của S (gọi là hệ toạ độ địa phơng trên S) b/ Giả sử là 1 -dạng vi phân trên U Vi phân ngoài của 1 là ánh xạ d: (U ) 2 (U ) đợc xác... có các phơng trình cấu trúc : 2 d = 0 Đ4 Biểu diễn các độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt S qua các dạng vi phân Giả sử S là một mặt trong E3 Nh ta đã biết (xem [2]), độ cong Gauss K và độ cong trung bình H của mặt S đợc tính nhờ công cụ ánh xạ Weigarten ở mục này, chúng tôi sẽ biểu thị độ cong Gauss K và độ cong trung bình H bởi các dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt S I .Các dạng. .. S1, S2 là các mặt trong E3, ánh xạ (khả vi) f: S 1 S2 gọi là một ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p S1 thì: f*p : TpS1 Tf(p)S2 bảo tồn tích vô hớng 35 * f gọi là một vi phôi đẳng cự nếu nó là một vi phôi và là một ánh xạ đẳng cự 4.9 Bổ đề: {U1, U2} là một trờng mục tiêu tiếp xúc trên một tập mở V của S E3, {1, 2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2} thì có duy nhất một dạng vi phân bậc 1 12 trên V sao... Định lý: Xét các dạng vi phân bậc một trên S là và à xác định nh sau:với T p S , p S, p ( ) = O p ( U 3 ( p ) ), à p ( ) = p ( h p ( ) ) Khi đó : d p = 2(1 + H ( p ) ) 1 2 p dà p = 2 H ( p ) + 3 K ( p ) 1 2 30 p Trong đó H(p) và K(p) là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S tại điểm p Chứng minh: là một dạng vi phân trên S nên có thể biểu diễn dới dạng: = f 1 + g 2 , trong đó f... tiêu trực chuẩn dọc S, với mọi trờng vectơ X ta đặt: D X U i = ( X ).U , ( i = 1,2,3), j j =1, 3 i j với ij là 1- dạng vi phân dọc S ,và gọi các dạng này là dạng liên kết của S trong trờng mục tiêu {U1,U2,U3} dọc S 3 3.8 Chú ý: = ( ij ) i , j =1 là ma trận các dạng liên kết của S trong trờng mục tiêu trực chuẩn {U i } 3 i =1 dọc S thì ( ij ) i , j =1 là một ma trận phản đối xứng, nghĩa 3 là: +... v ) , rv( u , v ) ) Các hàm số E,F,G đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất trong tham số hóa địa phơng r.L,M,N đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai trong tham số hoá địa phơng r Ta có: (xem [2]) LN M 2 ( p) EG F 2 EN + LG 2 FM ( p ) H ( p) = 2 EG F 2 K ( p) = ( ) II.Biểu diễn độ cong Gauss và độ cong trung bình các dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của mặt 4.3.Định lý: Giả... =1 3.12 Chú ý: Các phơng trình sau đây đợc gọi là phơng trình cơ bản của mặt S trong E3: 21 a/ d 1 = 12 2 d 2 = 12 1 (Gọi là phơng trình cấu trúc) b/ 13 1 + 23 2 = 0 (Gọi là phơng trình đối xứng) c/ d 21 = 31 23 d/ d 31 = 12 32 d 23 = 12 31 (Gọi là phơng trình Gauss) (Gọi là phơng trình Peterson - Codazzi) 3.13 Các ví dụ: Ví dụ 1: Ta xác định các dạng liên kết và vi t các phơng trình... U3} là một tờng mục tiêu trực chuẩn tơng thích với đa tạp hai chiều có hớng S trong E3, 0 là một điểm thuộc E3 Giả sử các hàm số i : S |R p i ( p ) = op.U i ( p ) , ( i = 1,2,3) Khi đó :a/ d = + + b/ d 2 = 2 + 1 + 3 Trong đó {1, 2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2} ; 21 , 13 là các dạng liên kết trên S trong trờng mục tiêu đã cho 1 1 2 1 1 2 2 3 1 3 2 3 29 Chứng minh : Lấy điểm p... S ) ( ) 17 Vậy: f * d = df * II Dạng liên kết Trong mục này, ta xét mặt S khả song và S đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến n 3.6 Định nghĩa: Giả sử S là mặt trong E3, {U1,U2} là tròng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trên S, { 1 , 2 } là trờng mục tiêu đối ngẫu của trờng mục tiêu {U1,U2} n = U3 = U1 U 2 , thì {U1,U2,U3} đợc gọi là một trờng mục tiêu của U1 U 2 E3 dọc S 3.7 Định nghĩa: Giả sử {U1,U2,U3}... dạng cơ bản của S 4.1.Định nghĩa: Giả sử S là mặt trong E3, định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n và p là một điểm thuộc S ánh xạ h p : T p S T p S : D n , đợc gọi là ánh xạ Weigarten của mặt S tại điểm p Khi đó h p là một tự đồng cấu tuyến tính đối xứng (xem[2]) Khi p thay đổi, ký hiệu chung đó là h 4.2.Định nghĩa: Cho mặt S trong E3, p S Khi đó các ánh xạ: I p : T p S ì T p S |R ( , ) ... Đ2: Dạng vi phân mặt S E3 Quy ớc: hàm số khả vi xác định mặt S E3 đợc gọi dạng vi phân bậc S Ký hiệu ( S ) = {dạng vi phân bậc S} I 1 -dạng vi phân 2.1 Định nghĩa : 1 -dạng vi phân bậc S vi c... II 2 -dạng vi phân: II.6 Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc hai U vi c đặt tơng ứng điểm p U với ánh xạ song tuyến tính, phản xứng p : T p S ì T p S |R Dạng vi phân bậc hai gọi 2- dạng vi phân. .. đến đề tài: Các dạng vi phân mặt E Trong thời gian làm khoá luận tác giả xếp cách lôgic vấn đề, từ vi c đa khái niệm dạng vi phân bậc 0, bậc 1, bậc tính chất chúng xây dựng nên dạng liên kết