Hệ thống bài tập về các đường đáng chú ý trên mặt trong e3

Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán Nguyễn thị Hệ thống tập đường đáng ý mặt E Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học p.g.s nguyễn tâm Hà nội - 2013 Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn đến thầy cô tổ hình học thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa hoc nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô ban Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Lời cam đoan Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm thầy, cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em khẳng định kết đề tài Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Mục lục Mở đầu Chương 1: Kiến thức đường đặc biệt mặt 1.1 Đường khúc 1.2 Đường tiệm cận 1.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 1.4 Đường trắc địa Chương 2: Hệ thống tập 11 2.1 Đường khúc 11 2.2 Đường tiệm cận 18 2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 24 2.4 Đường trắc địa 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Mở đầu Lí chọn đề tài Hình học vi phân nhánh toán học sử dụng công cụ phương pháp phép tính vi phân, tích phân, đại số tuyến tính đại số đa tuyến để nghiên cứu vấn đề hinh học Hình học vi phân phát triển từ đầu kỉ XIX Gauss nhà tiên phong lĩnh vực hinh học vi phân Cuối kỉ XIX, tất nhà nghiên cứu tập hợp hệ thống hoá lại nhà toán học jeangaston darboux luigi bianchi Việc xây dựng hệ thống tập môn hình học vi phân giúp hiểu rõ chất nghiên cứu hình hình học Nhưng thời gian có hạn nên dừng lại việc xây đựng hệ thống tập đường đặc biệt mặt E Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Đối tượng nghiên cứu Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn phạm vi nghiên cứu Giới hạn nội dung: Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn đối tượng: Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn thời gian: tháng Giả thiết khoa học Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt giúp hiểu rõ tính chất đối tượng đặc biệt mặt, đồng thời tài liệu cho bạn sinh viên khoá sau -1- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức liên quan đến đường đặc biệt mặt Nghiên cứu dạng tập từ dễ đến khó đường đặc biệt măt Phương pháp nghiên cứu đề tài Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, đọc sách Dự kiến nội dung công trình Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn trình bày hai chương Chương 1: Lý thuyết đường đặc biệt mặt Chương 2: Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt -2- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni kí hiệu Trong khoá luận này, em sử dụng kí hiệu sau: ru' : (u, v) a ru' (u, v ) , rv' : (u, v) a rv' (u, v ) trường vectơ tiếp xúc dọc theo r " , M = n r " , N = n r " E = ru' ru' , F = ru' rv' , G = rv' rv' , L = n ruu uv vv r r T pS = ( p, a ) : a ẻ ru' (u , v ), rv' (u , v ) { 0 0 } không gian tiếp xúc với S p ; S mặt hinh học, điểm p ẻ S , r :U đ S ,(u, v ) a r (u, v ) tham số hoá địa phương gần p = r (u , v ) 0 Các vectơ T , N , B phương tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến cung song quy K p độ cong Gauss mặt định hướng E k độ cong cung quy k% độ cong pháp dạng mặt định hướng E theo phương hp ánh xạ Weingarten hay ánh xạ dạng mặt định hướng S E -3- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Chương kiến thức đường đáng ý mặt E Trong chương em trình bày kiến thức đường đáng ý mặt: đường khúc; đường tệm cận; độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa 1.1 Đường khúc Định nghĩa 1.1: Cho mặt định hướng S E Một đường có phương tiếp tuyến điểm r S r phương S gọi đường khúc Tính chất 1.1: Nếu điểm S điểm rốn đường S đường khúc Thật vậy, giả sử điểm p ẻ S điểm rốn Khi đó, % k% 1( p) = k2( p) nên p phương phương Do phương tiếp xúc p phương Do p nên đường S đường khúc Tính chất 1.2: r : J đ S , t a r (t ) đường khúc mặt định hướng S (n o r )' Pr ' , với n trường pháp vectơ đơn vị S Chứng minh: Gọi k%(t ) độ cong S r (t ) r đường khúc r '(t ) phương S , tức hp (r '(t )) = k%(t ).r '(t ) (1) -4- Khúa lun tt nghip Mặt khác, theo Trng HSP H Ni định nghĩa ánh xạ Vaigacten ta có: hp (r '(t )) = - (n o r )'(t ) (2) Từ (1) (2), suy (n o r )'(t ) Pr '(t ) Tính chất 1.3: Cho mặt định hướng S E , điểm p ẻ S , tham số hoá địa phương gần p r :U đ S , (u, v ) a r (u, v) tương thích hướng S p , đường r S có tham số hoá r : J đ S , t a r (t ) Khi đó, r đường khúc gần p v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t) E F G =0 L M N Chứng minh: Do r tham số hoá địa phương tương thích gần p nên ta có: r (t ) = r (u(t ), v(t )) , r '(t ) = u '(t ).ru' + v '(t ).rv' Hơn nữa, r khúc gần p r ' (t ) phương S r (t ) áp dụng công thức tìm phương suy r khúc gần p v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t) 1.2 E F G =0 L M N Đường tiệm cận Định nghĩa 1.2: Cho S è E định hướng, p ẻ S , v ẻ TpS , v gọi vectơ phương tiệm cận độ cong pháp dạng % k(v) = -5- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Ta gọi v phương tiệm cận S p Đường r S đường tiệm cận S tiếp tuyến điểm có phương phương tiệm cận, hay p ẻ S ta ' có r (t ) phương tiệm cận Tính chất 1.4: Cho S è E định hướng xác định trường pháp vectơ đơn vị n Đường r S có tham số hoá địa phương n đường tiệm cận S (n o r )' ^ r ' Chứng minh: r đường tiệm cận k%(r '(t )) = hp (r ' ).r ' = - (n o r )'.r ' = (n o r )'.r ' = (n o r )' ^ r ' Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.5: Đường song quy mặt định hướng S è E đường tiệm cận mặt phẳng mặt tiếp r điểm tiếp diện S điểm Chứng minh: Giả sử r có tham số hoá gần p ẻ S là: r : s đ r (s ) theo tham số hoá tự nhiên s -6- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Cung v = v0 có v '(t ) = , thay vào phương trình vi phân đường tiệm cận (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = ta (u '(t ))2.L = L = Vậy v = v0 đường tiệm cận L = Tương tự, u = u đường tiệm cận N = Bài 2.13: Trong E với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số hoá r : Ă Ă đ E xác định r (u, v) = (cos v, sin v, u ) Hãy tìm đường tiệm cận S Giải Giả sử đường tiệm cận S có phương trình vi phân là: (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = (1) Ta có: ru' = (0, 0, 1) rv' = (- sin v, cos v, 0) '' = (0, 0, 0) ruu '' = (0, 0, 0) ruv rvv'' = (- cos v, - sin v, 0) r ' rv' = (- cos v, - sin v, 0) u r ' rv' = u r ' r ' n = ru' rv' = (- cos v, - sin v, 0) ru rv L = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = M = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = N = (- cos v, - sin v, 0).(- cos v, - sin v, 0) = Thay L, N , M vào (1) ta được: v '2(t ) = v '(t ) = v(t ) = c Vậy họ đường tiệm cận v = c Bài 2.14: Cho tham số hoá mặt Enneper 3 r (u, v ) = (u - u + uv 2, v - v + vu 2, u - v ) 3 Chứng minh rằng: Các đường u v = const đường tiệm cận Giải Ta có: ru' = (1 - u + v 2, 2uv, 2u ) - 19 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni rv' = (2uv, - v + u 2, - 2v) '' = (- 2u, 2v, 2) ruu '' = (2v, 2u, 0) ruv rvv'' = (2u, - 2v, - 2) ru' rv' = (- 2uv - 2u - 2u 3, 2u 2v + 2v + 2v 3, - 2u 2v - u - v ) 3 2 4 n = ( - 2uv -' 2u' - 2u , 2u v +' 2v +' 2v , - 2u v' - u' - v ) ru rv ru rv ru rv 2 L = 4u + 2u + 4u' v +' 4v + 2v + ru rv M= - (4u + 2u + 4u 2v + 4v + 2v + 2) N= ru' rv' Thay L, N , M vào phương trình vi phân đường tiệm cận ta được: ộ '2 ờu (t ) ờở ộ '2 ờu (t ) ờở ự v ' 2(t )ỳỳ.L = ỷ ự v ' 2(t ) ỳ= ỳ ỷ (do L > " (u, v )) ộu ' = v ' ờ ' ' ờu = - v ờở ộu - v = c ờ ờu + v = c ờở Như đường u v = const đường tiệm cận Bài 2.15: Xác định đường khúc mặt Helicoid xác định tham số hoá r (u, v ) = (cos u sin v, sin u sin v, cu ) c Ta có: ru' Giải = (- sin u sin v, cos u sin v, c) rv' = (cos uco s v, sin uco s v, 0) r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0) uu '' ruv = (- sin uco s v, cos uco s v, 0) r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0) vv - 20 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni r ' rv' = (- c sin u cos v, c cos u cos v, - sin u cos v) u ru' rv' = cos v c + sin v n= ổ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗố cos u sin u , 2 c + sin v ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ sin v ữứữ sin v , c2 + c + sin v L= M= c cos v c + sin v N =0 Thay L, N , M vào phương trình vi phân đường tiệm cận ta được: 2.u '(t ).v '(t ) c cos v =0 c + sin v ộ ' ờv = ờ ' ờu = ờ ờcos v = ộu = u ờ ờv = v Vậy đường tiệm cận mặt Helicoid v = v0, u = u Bài 2.16: Xác định đường tiệm cận mặt Catenoid xác định tham số hoá r (u, v ) = (cos v cos u, cos v sin u, v) Ta có: ru' Giải = (- cos v sin u, cos v cos u, 0) rv' = (- sin v cos u, - sin v sin u, 1) r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0) uu '' ruv = (- sin v sin u, sin v cos u, 0) r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0) vv r ' rv' = (cos v cos u, cos v sin u, cos v sin v) u ru' rv' = cos v + sin v - 21 - Khúa lun tt nghip n= L= ổ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗố cos u Trng HSP H Ni , 1+ sin v sin u , 1+ sin v ửữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ sin v ữữứ sin v 1+ cos v 1+ sin v M=0 - cos v N= 1+ sin v Thay vào phương trình vi phân đường tiệm cận ta được: cos v ộ '2 ự ờu (t ) - v ' 2(t ) ỳ =0 ỳ ởờ ỷ 1+ sin v ộu ' = v ' ờ ờờu ' = - v ' ờcos v = ộ ờu - v = c ờ ờu + v = c ờ p + k p, k ờv = ờở ẻ Â Bài 2.17: Cho đường song quy r E với mục tiêu Frene (T , N , B ) dọc theo r Giả sử r đường tiệm cận mặt r S è E đinh hướng trường pháp vectơ đơn vị n S Gọi t độ xoắn r Chứng minh rằng: a) h(T ) = t N b) K ( p) = - t 2( p), " p ẻ r Giải a) Lấy tham số hoá tự nhiên địa phương r s đ r (s ) Do r đường tiêm cận S nên theo công thức Meusnier ta có: = k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = k%(r '(s )), k (s ) độ cong r p = r (s ) Vì r song quy nên k (s ) nên từ k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = , suy N (s ).(n o r )(s ) = , hay (n o r )(s ) ^ N (s ) Mặt khác: (n o r )(s ) ^ T (s ) Do đó, (n o r )(s ) P(T (s ) N (s )) = B (s ) - 22 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Do n , B hai vectơ đơn vị, phương nên (n o r )(s ) = B (s ) Khi đó, ta có: hp (T (s )) = - (n o r )'(s ) = B (s ) = t (s ).N (s ) Vậy h(T ) = t N b) Để tính K p ta tính qua ma trận hp sở T pS ta chứng minh N (s ) ^ (n o r )(s ) Lại có T (s ) ^ (n o r )(s ) Do T (s ), N (s ) ẻ T pS (T , N ) sở T pS Ta khai triển hp (N (s )) = aT (s ) + b.N (s ) Khi đó, hp (N (s )).T (s ) = (aT (s ) + b.N (s )).T (s ) = a Mặt khác, hp (N (s )).T (s ) = hp (T (s )).N (s ) = N (s ).( t (s ).N (s )) = t (s ) Suy ra, a = t (s ) Do đó, ta có hp (T ) = t N , hp (N ) = t T + b.N Vì ma trận hp là: A= ổ0 ỗỗ ỗỗ ỗỗ t ố t ửữữ ữ ữ b ứữữữ Do đó, K p = A = - t Bài 2.18: Trong E cho mặt S định hướng trường pháp vectơ r đơn vị n dọc theo S đường song quy r S Chứng minh r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận r nằm tiếp diện S dọc theo r Giải Giả sử r : s đ r (s ) tham số hoá tự nhiên địa phương r Điều kiện cần: Giả sử r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận Khi đó, h(r '(s )) Pr '(s ) k%(r '(s )) = Do h(r '(s )) Pr '(s ) k%(r '(s )) = h(r '(s )) r '(s ) = Suy h(r '(s )) Pr '(s ) h(r '(s )) ^ r '(s ) Vậy h(r '(s )) = , suy (n o r )'(s ) = Do (n o r )(s ) = const lân cận p = r (s ) Mặt khác, theo công thức Meusnier ta có: k%(r '(s )) = k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = Vì r song quy nên k (s ) N (s ).(n o r )(s ) = , hay (n o r )(s ) ^ N (s ) Mặt khác: (n o r )(s ) ^ T (s ) Do đó, (n o r )(s ) P(T (s ) N (s )) = B (s ) - 23 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Do n , B hai vectơ đơn vị, phương nên (n o r )(s ) = B (s ) , suy B (s ) = const (tại lân cận p = r (s ) ) Khi đó, B (s ) = - t (s ).N (s ) = , suy t (s ) = Vậy r cung phẳng lân cận p = r (s ) thuộc vào tiếp diện S dọc theo r lân cận p = r (s ) Điều kiện đủ: Giả sử r nằm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc theo r (n o r )(s ) = const nên (n o r )'(s ) = , suy h(r '(s )) = Khi đó, h(r '(s )) Pr '(s ) k%(r '(s )) = Vậy r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận Bài 2.19: Trong E cho đường cong quy g Gọi S mặt kẻ tạo pháp tuyến g Chứng minh g đường tiệm cận S Giải Giả sử g có tham số hoá tự nhiên địa phương r :J đ E , u đ r (u ) có vectơ pháp tuyến N (u ) Khi mặt kẻ S có tham số hoá địa phương xác định r (u, v) = r (u ) + v.N (u ) Ta có: ru' = r ' + v.N ' = r ' + v.(- k T + t B ) = T + v.(- k T + t B ) = (1 - k v ).T + v.t B rv' = N (s ) ru' rv' = ộ(1- k.v).T + v.t B ự N (s ) = (1 - k v ).B - t vT ởờ ỳ ỷ ru' rv' = (1- k v)2 + v t Lấy hướng S xác định trường pháp vectơ đơn vị : r ' r ' (1- k v ).B - t vT n o r = u' v' = ru rv 2 (1- k v) + v t Ta có: (n o r )(s ) = B (s ) nên (n o r )'(s ) = B '(s ) = - t N (s ) Suy độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến g là: h (T ).T - (n o r )(s ).T k%(T ) = p = = t N T = 1 T Hay phương tiếp tuyến điểm S phương tiệm cận Vậy g đường tiệm cận 2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa Bài 2.20: Mọi cung thẳng mặt S è E cung tiền trắc địa Thật vậy, cung thẳng có độ cong k (t ) = Do kg (t ) = 0, " t ẻ J - 24 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Vậy cung thẳng cung tiền trắc địa Bài 2.21: Trong E , mặt S nằm mặt phẳng, r cung quy định hướng S Chứng minh rằng: độ cong trắc địa r độ cong cung phẳng r Giải Lấy mục tiêu trực chuẩn oxyz E cho S nằm mặt phẳng oxy Giả sử r có tham số hoá r (t ) = (x (t ), y(t ), 0) Ta có: r '(t ) = (x '(t ), y '(t ), 0) r "(t ) = (x "(t ), y "(t ), 0) r '(t ) r "(t ) = (0, 0, x '(t ).y "(t ) - x "(t ).y '(t )) (n o r )(t ) = (0, 0, 1) , (chỉ hướng oz , r '(t ) = x ' 2(t ) + y ' 2(t ) ) Suy ra: kg (t ) = (r '(t ) r "(t )).(n o r )(t ) r '(t ) = x ' (t ).y "(t )- x "(t ).y ' (t ) '2 '2 (x (t ) + y (t )) = k (t ) Bài 2.22: Trong E cho đường đinh ốc tròn r nằm mặt trụ tròn xoay S Với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz E phương trình S x + y = a (a > 0) Phương trình tham số r r (u ) = (a cos u, a sin u, bu ) Tính độ cong trắc địa r Ta có: r '(t ) = Giải (- a sin u, a cos u, b) r "(t ) = (- a cos u, - a sin u, 0) Vì ổ- a sin u - a sin u a cos u a cos u b ửữữ ỗ ữ = a nên rank ỗỗỗ = ữ ữ ỗỗ- a cos u - a sin u 0ữ - a cos u - a sin u ữ ố ứ Do r cung song quy, hay r có đọ cong trắc địa Măt trụ S tham số hoá r (u, v ) = (a cos u, a sin u, bv ) ru' = (- a sin u, a cos u, 0) rv' = (0, 0, v ) ru' rv' = (ab cos u, ab sin u, 0) - 25 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni ru' rv' = ab Lấy hướng S xác định (n o r ) = ru' rv' ru' rv' = (cos u, sin u, 0) r ' r " = (ab sin u, - ab cos u,a ) , r ' = a + b2 kg = (r ' r ").(n o r ) r' =0 Bài 2.23: Trong E cho mặt cầu S tâm O bán kính R , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị r Op n : p đ n ( p) = ( p; ) R Hãy chứng minh rằng, g đường tiến trắc địa S g có ảnh nằm đường tròn lớn S Giải Lấy tham số hoá tự nhiên g r : J đ S , s a r (s ) cho r '(s ) = r r r r Ta có: O r (s ).O r (s ) = R nên r (s ).r '(s ) = , đạo hàm hai vế ta được: r r r r (r '(s ))2 + r (s ).r "(s ) = , suy r '' , hay k (s ) Do g đường tiền trắc địa Vì g đường tiền trắc địa nên N P(n o r ) Do n , N hai vectơ đơn vị nên N = (n o r ) Theo công thức Frene, k T - t B = N ' = (n o r )' = mhp (r ' ) = mhp (T ) Mặt khác, độ cong mặt cầu S điểm R phương tiếp xúc p = r (s ) phương nên hp (T ) = ìT , suy k T - t B = m ìT Khi đó, t = 0, k = m R R R Do r cung phẳng có độ cong tuyệt đối R s s Ta có: j (s ) = ũ ds = suy ra, r (s ) = ( ũ cos ds, ũ sin s ds ) , hay R R R R s s r (s ) = (R sin , - R cos ) R R Vậy ảnh r nằm đường tròn tâm tâm O bán kính R ; tức cung tròn lớn S - 26 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Bài 2.24: Cho g đường song quy E Chứng minh g đường tiền trắc địa mặt kẻ tạo trùng pháp tuyến g Giải Giả sử r : J đ S , s a r (s ) tham số hoá tự nhiên g Gọi (T , N , B ) trường mục tiêu Frene g ; k, t độ cong, độ xoắn Khi đó, mặt kẻ tạo trùng pháp tuyến g xác định (s, v ) a r (s, v ) = r (s ) + v.B (s ) Gọi n trường vectơ đơn vị pháp tuyến mặt kẻ Ta có: rs' = r ' + v.B ' = r ' + v.(- t N ) = T - v.t N rv' = B (s ) rs' rv' = (T - v.t N ) B (s ) = - N - v.t T rs' rv' = + v 2.t rs' rv' = - N - v.t T ' ' rs rv + v 2.t Dọc theo g v = nên n o r = - N (s ) Lại có, r " = T '(s ) = T '(s ) N (s ) = k (s ).N (s ) Do r " Pn o r , tức g n or = đường tiền trắc địa mặt kẻ xét Bài 2.25: Trong E cho mặt S định hướng trường vectơ dơn vị dọc theo S đường song quy r S Chứng minh rằng: r vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa r nằm mặt phẳng trực giao với S dọc theo r Giải Điều kiện cần: Giả sử r có tham số hoá tự nhiên địa phương s a r (s ) , r vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa Khi h(T (s )) P T (s ) kg (s ) = Do đó, (n o r )' P T (T N ).(n o r ) = Từ (T N ).n = suy n ^ B Mặt khác, n ^ T nên n P(B T ) = N Hơn nữa, n , N hai vectơ đơn vị nên n = N Vì (n o r )'(s ) P T (s ) n = N nên N ' PT , tức N ' = - k T + t B P T Do đó, t = Vậy r cung phẳng r r r r Gọi P mặt phẳng chứa r N è P , n è P , suy P^ S - 27 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Điều kiện đủ: Giả sử r è P ^ S (dọc theo r ) Khi đó, t = , r r r r n è P n = N suy (n o r )(s ).B (s ) = Lấy đạo hàm hai vế theo s ta được: (n o r )'(s ).B (s ) - (n o r )(s ).t (s ).N (s ) = Do t = nên (n o r )'(s ).B (s ) = , suy n ' ^ B Măt khác, (n o r )'(s ) ^ (n o r )(s ) (do (n o r ) = ) suy n ' P T hay h(r '(s )) P r '(s ) Do r đường r r khúc Hơn nữa, n = N nên k = (T N ).n = Do r đường tiền g trắc địa Bài 2.26: Hai mặt S S% E tiếp xúc doạ theo đường r Chứng minh rằng: r đường tiền trắc địa S đường tiền trắc địa S% Giải Giả sử r đường tiền trắc địa S có tham số hoá t a r (t ) cho r " Pn o r , n trường vectơ đơn vị pháp tuyến S Do S tiếp xúc với S% dọc theo r nên dọc theo r trường vectơ đơn vị pháp tuyến n% S% song song với n Suy r " Pn%o r , hay k (t ) = g Vậy r đường tiền trắc địa S% Bài 2.27: Hai mặt S S% E cắt trực giao dọc đường r Chứng minh rằng: r đường tiệm cận S đường tiền trắc địa S% Giải Giả sử r có tham số hoá tự nhiên s a r (s ) , (T , N , B ) trường mục tiêu Frene r Gọi n , n% trường vectơ đơn vị pháp tuyến S , S% Vì (n%o r ).(n o r ) = 0, n%.r ' = nên (n%o r ) P((n o r ) r ' ) Do r đường tiệm cận S nên (n o r )' ^ r ' , tức (n o r )' P r '' = T ' Lại có, n '.n = , r ''.(n o r ) = Mặt khác, r ".r ' = nên r " P((n o r ) r ' ) Vậy (n%o r ) P r " , tức r đường tiền trắc địa S% 2.4 Đường trắc địa Bài 2.28: Nếu đường tham số r với tham số độ dài cung nằm mặt S nằm mặt phẳng P cắt trực giao với S r đường trắc địa - 28 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Giải Gọi n trường pháp vec tơ đơn vị S Do r ' = nên r " ^ r ' Nhưng r ', r " nằm mặt phẳng P cắt trực giao với S vectơ tiếp xúc S nên r " ^ S suy r " Pn Vậy r đường trắc địa Bài 2.29: Cho mặt phẳng P E , định hướng trường vectơ pháp r tuyến đơn vị n với n = a = const Tìm tất cung tham số quy trắc địa P Giải Ta biết tham số hoá cung thẳng P cung tham số trắc địa Ngược lại, giả sử r : J đ P , t a r (t ) cung tham số r r r r r quy trắc địa r " Pn Vì r " ẻ P nên r " ^ n Do r " = , suy r r r r r ' = v = const o (vì r quy), suy r (t ) = p + t v , p ẻ r Vậy r tham số hoá cung thẳng Bài 2.30: Cho mặt cầu S bán kính R E , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hoá tự nhiên cung tham số trắc địa Giải Cho cung quy r : J đ S , s a r (s ) , với s tham số hoá tự nhiên Trước hết ta chứng minh S r song quy Thật vậy, r không song quy r '(s ) r "(s ) = Khi đó, k (s ) = , suy lân cận r (s ) cung cho cung thẳng mặt cầu chứa cung thẳng Vậy r song quy Giả sử r cung tham số quy trắc địa S Khi đó, r tiền trắc địa nên N P n Vì N , n vectơ đơn vị nên N = n Suy N ' = k T - t B = (n o r )' = mhp (r ' ), p = r (s ) Mặt khác độ cong mặt cầu S điểm phương tiếp xúc R p = r (s ) phương nên hp (T ) = ìT , suy R k T - t B = m ìT Khi đó, t = 0, k = m Do r cung R R phẳng có độ cong tuyệt đối R s Ta có: j (s ) = ũ ds = suy ra, r (s ) = ( ũ cos s ds, ũ sin s ds ) , hay R R R R - 29 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni s s , - R cos ) R R Vậy ảnh r nằm đường tròn tâm tâm O bán kính R ; tức cung tròn lớn S Ngược lại, r cung tròn lớn S có tham số hoá tự nhiên r : J đ S , s a r (s ) N (s ) P (n o r )(s ) , suy r "(s ) P(n o r )(s ) Vậy r r (s ) = (R sin tham số hoá trắc địa Bài 2.31: Cho mặt trụ tròn xoay S E có trục quay V , bán kính R , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hoá cung trắc địa Giải Lấy mục tiêu trực chuẩn oxyz mà V trục oz Phương trình tham số S có dạng: r (u, v ) = (R cos u, R sin u, v) Giả sử r : J đ S , t a r (t ) cung tham số quy trắc địa S Vì r (J ) ẻ S nên r (t ) = (R cos u(t ), R sin u(t ), v(t )) Lại có r : J đ S , t a r (t ) trắc địa nên r '(t ) = const r " P(n o r ) ^ oz Do r '(t ) = R 2.u ' 2(t ) + v ' 2(t ) = const : r "(t ) = (R (cos u(t ))", R (sin u(t ))", v "(t )) ^ e3 = (0, 0, 1) (vectơ e3 phương oz ) Suy ra, r "(t ).e3 = Do đó, v "(t ) = suy v '(t ) = c = const (tại lân cận r (t ) ) suy v(t ) = c.t + d (d = const ) Thay v '(t ) = c vào r '(t ) = const ta được: R 2.u ' 2(t ) + c = const , suy u ' 2(t ) = const Vì u '(t ) nên u '(t ) = A = const , suy u(t ) = a.t + b, (b = const ) Như lân cận r (t ) ta có: r (t ) = (R cos(a.t + b), R sin(a.t + b), c.t + d ) Do r quy r r nên r ' o , a, c không đồng thời Ta xét trường hợp: Nếu c = lân cận r (t ) , ảnh r nằm vĩ tuyến S Nếu a = 0, c ảnh r nằm kinh tuyến S Nếu a 0, c ảnh r nằm cung đinh ốc tròn S - 30 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Ngược lại, với a, b, c, d cho a, c không đồng thời Lấy cung tham số r (t ) = (R cos(a.t + b), R sin(a.t + b), c.t + d ) ảnh r nằm S r "(t ) = - R a 2(cos(a.t + b), sin(a.t + b), 0) Ta có: r n = (cos u, sin u, 0) , r " P(n o r ) Như vậy, r : J đ S , t a r (t ) cung trắc địa S Tóm lại, cung quy mặt trụ S có tham số hoá trắc địa có ảnh nằm vĩ tuyến, kinh tuyến, cung đinh ốc tròn - 31 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em bắt đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung nhiều Hình học vi phân, cụ thể đường đáng ý mặt, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận này, em nghiên cứu cách khái quát hệ thống tập đường đặc biệt mặt, xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến tập đường đặc biệt mặt thành công đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tôt nghiệp em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Hình học, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy, cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! - 32 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh Hình học vi phân NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2000 Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân NXB Giáo Dục, Hà Nội, 1993 Phạm Đình Đô Hinh học vi phân Nhà xuất Đại học sư phạm - 33 - [...]... cách thức làm việc khoa học, hiệu quả Qua đó, em có nét hình dung nhiều hơn về Hình học vi phân, cụ thể là về các đường đáng chú ý trên mặt, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học Đặc biệt trong khoá luận này, em đã nghiên cứu một cách khái quát về hệ thống bài tập của các đường đặc biệt trên mặt, có thể xem như là một tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến bài tập của các đường. .. quy trên mặt định hướng và r : s đ r (s ) là tham số hoá tự nhiên của r "(s ) = T '(s ) = k(s ).(N o r )(s ) Mặt khác, kg (s ) = (r ' r ").(n o r ) =0 r ' r " n o r ẻ r ', r " = T , N n o r PN (do n o r ^ T , N ^ T ) Do đó, r "(s ) P(n o r )(s ) hay r là cung trắc địa - 10 - r thì Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Chương 2 hệ thống bài tập Trong chương này, em đưa ra hệ thống bài tập về các đường. .. là n or = đường tiền trắc địa của mặt kẻ đang xét Bài 2.25: Trong E 3 cho mặt S định hướng bởi một trường vectơ dơn vị dọc theo S và một đường song chính quy r trên S Chứng minh rằng: r vừa là đường chính khúc vừa là đường tiền trắc địa khi và chỉ khi r nằm trên mặt phẳng trực giao với S dọc theo r Giải Điều kiện cần: Giả sử r có tham số hoá tự nhiên địa phương là s a r (s ) , r vừa là đường chính... r ' ) Do r là đường tiệm cận trên S nên (n o r )' ^ r ' , tức (n o r )' P r '' = T ' Lại có, n '.n = 0 , do đó r ''.(n o r ) = 0 Mặt khác, r ".r ' = 0 nên r " P((n o r ) r ' ) Vậy (n%o r ) P r " , tức r là đường tiền trắc địa của S% 2.4 Đường trắc địa Bài 2.28: Nếu đường tham số r với tham số là độ dài cung nằm trên mặt S và cũng nằm trên mặt phẳng P cắt trực giao với S thì r là đường trắc địa... sin v ữữứ sin v 1+ Nhận thấy F = 0 và M = 0 nên theo bài 2.3 suy ra các đường toạ độ là các đường chính khúc Bài 2.9: Cho đường r chính quy là giao của mặt định hướng S với mặt phẳng P Nếu góc giữa S và P là hằng số dọc theo r thì r là đường chính khúc Giải Giả sử n , n 1 là các trường pháp vectơ đơn vị của S và P (tương ứng) dọc theo r Do P là mặt phẳng, n 1 = const nên n 1' = 0 Vì n n 1 = const... phương tiệm cận Vậy g là đường tiệm cận 2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa Bài 2.20: Mọi cung thẳng trên mặt S è E 3 đều là cung tiền trắc địa Thật vậy, cung thẳng có độ cong k (t ) = 0 Do đó kg (t ) = 0, " t ẻ J - 24 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Vậy cung thẳng là cung tiền trắc địa Bài 2.21: Trong E 3 , mặt S nằm trong một mặt phẳng, r là cung chính quy định hướng trên S Chứng minh rằng:... - r thì Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Chương 2 hệ thống bài tập Trong chương này, em đưa ra hệ thống bài tập về các đường đặc biệt trên mặt, đồng thời sử dụng các kiến thức ở chương 1 để giải các bài tập đó 2.1 Đường chính khúc Bài 2.1: Giả sử S là mặt định hướng trong E 3 có tham số hoá địa phương r :U đ S , (u, v ) a r (u, v) tương thích với hướng của S sao cho tại mỗi điểm S hai cung toạ độ trực... được (u '(t ))2.L = 0 khi và chỉ khi L = 0 Vậy v = v0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi L = 0 Tương tự, u = u 0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi N = 0 Bài 2.13: Trong E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số hoá r : Ă Ă đ E 3 xác định bởi r (u, v) = (cos v, sin v, u ) Hãy tìm các đường tiệm cận của S Giải Giả sử đường tiệm cận trên S có phương trình vi phân là: (u '(t ))2.L + 2.u '(t... p = A = - t 2 Bài 2.18: Trong E 3 cho mặt S định hướng bởi một trường pháp vectơ r đơn vị n dọc theo S và một đường song chính quy r trên S Chứng minh rằng r vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận khi và chỉ khi r nằm trên tiếp diện của S dọc theo r Giải Giả sử r : s đ r (s ) là một tham số hoá tự nhiên địa phương của r Điều kiện cần: Giả sử r vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận... ) Điều kiện đủ: Giả sử r nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với S dọc theo r thì (n o r )(s ) = const nên (n o r )'(s ) = 0 , suy ra h(r '(s )) = 0 Khi đó, h(r '(s )) Pr '(s ) và k%(r '(s )) = 0 Vậy r vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận Bài 2.19: Trong E 3 cho đường cong chính quy của g Gọi S là mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến chính của g Chứng minh rằng g là một đường tiệm cận của S Giải Giả ... thức đường đáng ý mặt E Trong chương em trình bày kiến thức đường đáng ý mặt: đường khúc; đường tệm cận; độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa 1.1 Đường khúc Định nghĩa 1.1: Cho mặt. .. Trng HSP H Ni Chương hệ thống tập Trong chương này, em đưa hệ thống tập đường đặc biệt mặt, đồng thời sử dụng kiến thức chương để giải tập 2.1 Đường khúc Bài 2.1: Giả sử S mặt định hướng E có... nên dừng lại việc xây đựng hệ thống tập đường đặc biệt mặt E Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Đối tượng nghiên cứu Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn phạm vi nghiên