Hệ thống bài tập về ánh xạ weingarten và các loại độ cong của mặt trong e3

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ************ Lê thị hà hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E3 khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Hà Nội, 2013 Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ************ Lê thị hà hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E3 khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học pgs.ts nguyễn tâm Hà Nội, 2013 lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm- Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn đến thầy cô khoa ToánTrường đại học sư phạm hà nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Lê thị hà Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E trùng lập với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Lê thị hà mở đầu Lý chọn đề tài: ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E mảng kiến thức quan trọng môn hình học vi phân Sau học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong môn hình học vi phân em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Và để xây dựng hệ thống tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khóa sau cách đầy đủ Đồng thời rèn luyện tư Logic, tính xác cẩn then cho người đọc Nên qua lí em định nghiên cứu đề tài Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Mục đích nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Đối tượng nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu dạng tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài: - Giới hạn nội dung: Nghiên cứu dạng tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E môn hình học vi phân, - Giới hạn đối tượng: Bài tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E - Giới hạn thời gian: tháng Giả thiết khoa học: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E làm thành tài liệu giúp cho sinh viên khóa sau có hệ thống tập phần cách đầy đủ Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài: - Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E - Làm vấn đề lí luận đề tài: ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt định hướng, công thức tính độ cong, - Nghiên cứu dạng tập từ dễ đến khó Phương pháp nghiên cứu: - Cơ sở lí luận: phân tích, tổng hợp, đánh giá - Nghiên cứu sách giáo trình, sách tập, sách tham khảo, tài liệu liên quan đến nội dung Dự kiến nội dung chương trình nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, , tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương: Chương 1: Lí thuyết Chương 2: Hệ thống tâp Nội dung Chương 1: lý thuyết Trong chương nhắc lại số kiến thức ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ công trung bình, công thức tính độ cong, độ cong pháp dạng, mối liên hệ độ cong pháp dạng theo v độ cong cung mặt Từ kiến thức ta có ứng dụng giải số toán sơ cấp trình bày chương 1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten) Để hiểu rõ ánh xạ Weingarten tính chất ánh xạ ta chứng minh bổ đề sau: 1.1.1: Bổ đề Cho mặt S E , điểm p S , vectơ v Tp S Khi tồn cung : J S , t t cho có t0 J để t0 p , v t0 Chứng minh: Lấy tham số hóa địa phương r : U S , u , v r u , v p S giả sử p r u0 , v0 Giả sử v ru uo , vo rv uo , vo Lấy cung : J U , t t t , t đặt r : U S Khi t r t ru t rv t ru rv Suy ra: to ru uo , vo rv uo , vo v 1.1.2: Bổ đề Cho mặt S E , hàm vectơ : S E khả vi S , điểm p S vectơ v Tp S Giả sử , : J S hai cung thỏa mãn to t0 , to t0 v Khi đó, to to Chứng minh: Lấy tham số hóa địa phương r : U S , u , v r u , v S p Cho : J S tồn cung : J U cho r Đặt t u t , v t , u t0 u0 , v t0 v0 r : u, v u, v Khi đó: to r t0 t0 u uo , vo u t0 v uo , vo v t0 Tương tự với có cung : J U cho r Đặt t u* t , v* t ta có u t0 , v t0 u* t , v* t (vì to t0 v to u uo , vo u* t0 v uo , vo v* t0 ) Suy ra: to to Ta có định nghĩa: 1.1.3: Định nghĩa Cho mặt S E định hướng trường pháp vectơ đơn vị khả vi n dọc theo S Với điểm cố định p S vectơ v Tp S ta lây tham số hóa địa phương r : U S p , cung tham số : J S , t t cho p t0 , t0 Có cung tham số : J U , t u t , v t cho r Kí hiệu D n n r t0 gọi vectơ đạo hàm n theo vectơ Vì n r nên n r n r tức D n n Do D n Tp S Vậy lập ánh xạ: h p : Tp S Tp S h p D n Ta gọi h p ánh xạ Weingarten S p tương thích với trường pháp vectơ đơn vị n ánh xạ đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hình dạng S E nên gọi ánh xạ dạng 1.1.4: Tính chất 1.1.1.1: ánh xạ Weingarten tự đồng cấu tuyến tính Tp S Chứng minh: Cho Tp S ta viết được: r t0 ruu t0 rvv t0 Trong đó: r : U S thám số hóa địa phương S p , với r u t0 , v t0 p : J U t u t , v t Đẳng thức ruu t0 rvv t0 chứng tỏ có tọa độ u t0 , v t0 sở ru , rv Tp S Theo định nghĩa: h p D n n r t0 n r t0 n r u u t0 n r v v t0 Vì n r u n r v hai vectơ cố định Tp S nên từ h p n r u u t0 n r v v t0 dễ thấy h p tự đồng cấu tuyến tính Tp S 1.1.4.2: Với tham số hóa địa phương r : U S điểm p , ta có: h p ru rv nu rv n ruv h p rv ru nv ru n rvu h p ru ru nu ru n ruu h p rv rv nv rv n rvv Chứng minh: Vì n rv nên n r rv Lấy đạo hàm hai vế theo u ta được: n r u rv n r ruv , n r u rv n r ruv Mặt khác: h p ru Dr n n r u Suy ra: h p ru rv nu rv n ruv u Tương tự ta có: h p rv ru nv ru n rvu Lại có: h p rv Dr n n r v v Gọi k1 , k2 hai độ cong S k1 k2 H Ta có: k1 k2 K Giải hệ ta được: k1 , k2 cox cos y tan x tan y Nhận xét: Mặt e z cos x cos y mặt tối tiểu Nó gọi mặt Scherk Bài 2.2.16: Trong E , cho mặt đinh ốc đứng S xác định tham số hóa tọa độ trực chuẩn x, y, z : r u , v u cos v, u sin v, av (a 0) Hãy tính độ cong Gauss độ cong trung bình S theo hướng tự chọn S Giải: Ta có: ru cos v,sin v,0 rv u sin v, u cos v, a ruu 0,0,0 rvv u cos v, u sin v,0 ruv sin v,cos v,0 ru rv a sin v, a cos v, u ru rv a u 38 r r a sin v, a cos v, u Định hướng S bởi: n u v 2 ru rv a u Khi đó: E 1, G a2 u2 F , L0 , M a a u Do đó: K a a u 2 , N ; H Bài 2.2.17: Trong E , cho mặt S xác định tham số hóa: r u , v u v u , với :J E cung song quy Hãy tính độ cong Gauss độ cong trung bình S theo hướng tự chọn S Giải: Ta có: ru v rv ruu v rvv ruv ru rv v ru rv u Định hướng S bởi: n ( chọn dấu hay độ cong trung bình phụ thuộc vào dấu chọn) 39 Khi đó: E v 2v , F v , G L v , , , M 0, N Lại có: v , , EN FM GL GL EG F v 2v v v Do vậy: K ; H v 2 v , , v Chú ý: Giả sử cung có độ cong k độ xoắn từ k , , ta được: H , v u tham số hóa tự nhiên 2 v k v nên H v k Bài 2.2.18: Chứng minh điểm p điểm rốn mặt S E K p H p Chứng minh: Điểm p điểm rốn S hai độ cong k1 k2 S p 40 Nghĩa là: k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k k 4k1k2 k1k2 H p K p (đpcm) Bài 2.2.19: Cho mặt định hướng S E , điểm p S sở trực k k chuẩn , Tp S Chứng minh H p Chứng minh: Gọi k1 , k2 hai độ cong S p e1 , e2 hai vectơ đơn vị phương ứng với k1 , k2 cho e1 e2 Nếu k1 k2 bắt buộc e1 e2 , k1 k2 phương p phương nên lấy hai vectơ đơn vị e1 , e2 trực giao Khi e1 , e2 sở trực chuẩn Tp S khai triển được: a1e1 a2e2 với a12 a2 b1e1 b2e2 với b12 b2 Hơn nữa: a1b1 a2b2 Kết hợp với a12b12 a2 2b2 , a12 a2 b12 b2 Suy ra: a12 b12 , a2 b2 41 Do đó, theo conng thức Euler ta có: k k k1a12 k2 a2 k1b12 k2b2 k1 a12 b12 k2 a2 b2 k1 a12 a2 k2 b12 b2 k1 k2 H p Vậy: H p k k (đpcm) Bài 2.2.20: Tìm phương độ cong tương ứng mặt đinh ốc đứng r u , v u cos v, u sin v, av (a 0) Giải: Theo 2.2.16 ta có: E 1, L0 , G a2 u2 F , M a a u , N Vectơ v ru rv phương khi: E L F M 2 a G N a2 u 0 a2 u2 a u a2 u2 ( theo giả thiết suy ) 42 Lấy a u Vậy có hai phương xác định hai vectơ: v1 a u ru rv , v2 a u ru rv Gọi k1 , k2 hai độ cong ứng với v1 , v2 thì: h v1 v1 h k1 k v1 v12 a u ru rv a u h ru h rv a u ru rv a u ru rv a a u ru rv a u ru rv u h ru rv a u h ru rv h ru rv a u r a u r r r a u L a u M N a u E a u F G 2 2 u 2 2 u v v 2 a a2 u h v2 v2 a 2 k2 k v2 v2 a u Tương tự tính được: Theo tạo độ Đêcác ta có: ru cos v,sin v,0 rv u sin v, u cos v, a Thay vào biểu thức v1 , v2 ta được: a u cos v u sin v, a u sin v u cos v,0 v a u cos v u sin v, a u sin v u cos v,0 v1 2 2 2 2 43 Bài 2.2.21: Tìm phương độ cong tương ứng mặt tròn xoay: r u , v x u cos v, x u sin v, z u ( với x u , z u const ) Hướng mặt hướng xác định trường pháp vectơ đơn vị tắc tham số hóa cho Giải: Ta có: ru x u cos v, x u sin v, z u rv x u sin v, x u cos v,0 ru rv xz cos v, xz sin v, xx ru rv x x2 z2 Lại có: ruu x u cos v, x u sin v, z u ruv x sin v, x cos v,0 rvv x cos v, x sin v,0 r r z cos v, z sin v, x Định hướng S bởi: n u v 2 ru rv x z Lấy hướng mặt xác định trường pháp vectơ n u , v thì: E x2 z2 , L xz xz x2 z2 , F , M 0, G x2 N xz x2 z2 Vectơ v ru rv phương x2 z2 xz xz x xz x2 z2 x xz xz xz z x2 z2 x xz xz (*) 44 Đẳng thức (*) xảy có hai trường hợp sau xảy ra: Trường hợp 1: , r u , v có hai phương xác định hai vectơ phương v ru ( ứng với 1, ) v rv (ứng với 0, ) Phương v ru phương (tiếp xúc) kinh tuyến v v0 , phương v rv phương (tiếp xúc) vĩ tuyến u u0 Trường hợp 2: z x2 z2 x xz xz , cặp số , 0,0 thỏa mãn (*) Do vectơ v ru rv r u , v phương S r u , v Từ hai trường hợp suy rằng: Trên mặt tròn xoay S tất đường kinh tuyến vĩ tuyến đường khúc Mọi đường S có phương trình tham số: p t x u t cos v t , x u t sin v t , z t thỏa mãn z x2 z2 x xz xz đường khúc Đặc biệt, xét S mặt cầu bán kính a ta lấy x u u , z u a sin u , hay xét S mặt phẳng, ta lấy x u u , z const ta thấy z x2 z2 x xz xz Do mặt cầu mặt phẳng đường quy đường khúc 45 Điều thấy mặt cầu mặt phẳng điểm điểm cầu hay điểm dẹt Do đó, phương mặt cầu hay mặt phẳng phương Gọi k1 , k2 hai độ cong theo phương kinh tuyến vĩ tuyến L xz xz N z , k2 k rv k1 k ru E G x2 z2 x2 z2 Đối với mặt cầu bán kính a độ cong a Đối với mặt phẳng độ cong Bài 2.2.22: Tìm phương độ cong mặt yên ngựa x2 y z ( E ) gốc tọa độ 0,0,0 Hướng mặt xách định a b x2 y trường pháp vectơ đơn vị tắc n tham số hóa r x, y x, y, a b Giải: Gốc tọa độ điểm r 0,0 Tính cụ thể ta được: rx 0,0 1,0,0 ry 0,0 0,1,0 n 0,0 0,0,1 rxx 0,0, a ryy 0,0, b rxy 0,0,0 46 Và E 1, F , G , L 2 , M , N ( điểm 0,0 ) a b Vectơ v rx 0,0 ry 0,0 phương r 0,0 2 a2 0 b Vậy r 0,0 có hai phương xác định hai vectơ phương v rx 0,0 1,0,0 e1 , ry 0,0 0,1,0 e2 Độ cong k1 , k2 ứng với phương v , xác định sau: h rx rx L k1 k v 0,0 E a rx k2 k h ry ry ry 47 0,0 N G b Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung nhiều hình học vi phân, cụ thể ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E , đồng thời thấy phong phú, lí thú Toán học Đặc biệt, khóa luận em nghiên cứu cách khái quát hệ thống tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E , xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt Đó cính thành công đề tài Như vậy, nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em xin chân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình Học, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có gắng nhiều, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo Hình học vi phân Đoàn Quỳnh NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000 Bài tập hình học vi phân Đoàn Quỳnh( chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993 Hình học vi phân Phạm Bình Đô NXB Đại học sư phạm 49 MC LC mở đầu 1 Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu đề tài: Đối tượng nghiên cứu đề tài: Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài: Giả thiết khoa học: Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài: Phương pháp nghiên cứu: Dự kiến nội dung chương trình nghiên cứu Nội dung Chương 1: lý thuyết 1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten) 1.1.1: Bổ đề 1.1.2: Bổ đề 1.1.3: Định nghĩa 1.1.4: Tính chất 1.2: Các loại độ cong mặt định hướng E 1.2.1: Định nghĩa: 1.2.2: Công thức tính độ cong 1.2.3: Công thức tìm phương độ cong tương ứng 12 1.2.4: Độ cong pháp dạng 15 1.2.5: Liên hệ độ cong pháp dạng theo v độ cong cung mặt 16 1.2.6: Tính độ cong pháp dạng theo hai độ cong 17 50 Chương 2: hệ thống tập 19 2.1: ánh xạ Weingarten 19 2.2: Độ cong mặt E 21 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 51 52 [...]... nhắc lại toàn bộ kiến thức về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 18 Chương 2: hệ thống bài tập Trong chương này chúng ta sẽ đi giải một số bài tập cơ bản từ dễ đến khó về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 sử dụng các kiến thức đã nêu ở chương 1 2.1: ánh xạ Weingarten Bài 2.1.1: Cho măt cầu S trong E 3 có phương trình tham số theo tọa độ trực chuẩn r u , v ... rvu ( theo tính chất của đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hai biến) thì hp ru rv hp rv ru Từ đó suy ra tính chất 1.1.4.3 1.1.4.3: ánh xạ Weingarten là tự đông cấu tuyến tính đối xứng của (không gian Ơclit) Tp S 1.2: Các loại độ cong của mặt trong định hướng trong E 3 hp : Trong E 3 , cho mặt định hướng S , điểm p S và ánh xạ Weingarten Tp S Tp S Lấy mục tiêu ru , rv của Tp S và khai triển h p... đoạn con có ảnh nằm trong một tập mở liên thông của S trên đó có trường vectơ pháp tuyến đơn vị như nói trên 26 Do đó, dễ thấy các điểm O cho mỗi đoạn con đó là trùng nhau và vì vậy với mọi t thuộc đoạn 0;1 , 1 t thuộc mặt cầu tâm O , bán kính R , do vậy q thuộc mặt cầu ấy Bài 2.2.8: Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt S trong E 3 có tham số hóa kiểu đồ thị với tọa độ đ các x, y, z là:... p là điểm rốn R 1 Suy ra K p k1 k2 2 0 R p là điểm cầu đồng thời là điểm eliptic 2.2: Độ cong của mặt trong E 3 Bài 2.2.1: Trong E 3 cho mặt cầu S có tâm O , bán kính a Tính độ cong Gauss K p , độ cong trung bình H p của S tại p ( trường pháp vectơ đơn vị hướng vào trong) Giải: Phương trình tham số của mặt cầu S tâm O , bán kính a là: r u , v a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u , a ... dụng công thức tính độ cong ta được: K f xx f yy f xy 2 1 f x2 f y2 2 2 2 2 1 1 f y f xx 1 f x f yy 2 f x f y f xy H 3 2 1 f x2 f y2 Bài 2.2.9: Trong E 3 với hệ tọa độ đ các vuông góc Oxyz cho mặt hình học xác định bởi phương trình z f x g y , trong đó f và g là hai hàm khả vi lớp C Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của S theo một hướng tự chọn của S Giải: Lấy một... niệm độ cong pháp dạng theo phương v rõ ràng là mở rộng khái niệm độ cong chính ứng với một phương chính v (nếu v chỉ 15 phương chính thì k v là độ cong chính tương ứng) Nếu v aru brv là vectơ khác 0 thuộc Tp S thì dễ thấy rằng: a 2 L 2abM b 2 N k v 2 a E 2abF b 2G 1.2.5: Liên hệ giữa độ cong pháp dạng theo v và độ cong của cung trên mặt 1.2.5.1: Định lí 2.4: Cho mặt định hướng S trong. .. của của h p là: A a 0 Suy ra: K p det A 0 , H p 0 0 1 1 vết A 2 2a 1 Từ đó ta có: k1 , k2 0 a 1 Vậy: Phương chính ứng với k1 là phương của ru , đó là phương tiếp a xúc của cung tọa độ v v0 ( cung vĩ tuyến) Phương chính ứng với k2 0 là phương của rv , đó là phương tiếp xúc của cung tọa độ u u0 ( cung kinh tuyến) Bài 2.2.3: Trong E 3 , cho mặt phẳng P Tính độ cong Gauss K p , độ cong. .. là góc giữa N và n tại p thì N n cos Do đó từ công thức Meusnier ta có: k s0 k s0 cos Nếu có ảnh là giao tuyến của S với mặt phẳng P đi qua p và chứa n tại p thì N n ; do đó 0 hoặc Suy ra: cos 1 và k s0 k s0 Độ cong k s0 trong trường hợp này còn gọi là độ cong tiết diện theo mặt tiết diện P Điều này giải thích cho độ cong pháp dạng 1.2.6: Tính độ cong pháp dạng... p det A Hp 1 a2 1 1 vết A 2 a Bài 2.2.2: Trong E 3 , cho mặt trụ tròn xoay S có bán kính a , trục quay là Oz của hệ tọa độ đ các Oxyz Phương trình tham số của S là: r u , v a cos u , a sin u , v Tính độ cong Gauss K p , độ cong trung bình H p của S tại p và phương chính (nếu có) của S Giải: Ta có: ru a sin u , a cos u ,0 rv 0,0,1 22 Mặt S có trường pháp vectơ đơn vị liên tục khác... u Bài 2.2.11: Trong E 3 với hệ tọa độ đ các vuông góc Oxyz cho mặt S xác định bởi phương trình z e x sin y Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của S theo một hướng tự chọn của S Giải: Lấy một tham số hóa kiểu đồ thị của S là: r x, y x, y, e x sin y Ta có: rx 1,0, e x sin y ry 0,1, e x cos y rxx 0,0, e x sin y 0,0, e x sin y ryy rxy 0,0, e x cos y Lấy hướng của ... thức ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E 18 Chương 2: hệ thống tập Trong chương giải số tập từ dễ đến khó ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E sử dụng kiến thức nêu chương 2.1: ánh xạ Weingarten. .. dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Mục đích nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Đối tượng nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu dạng tập. .. Giới hạn đối tượng: Bài tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E - Giới hạn thời gian: tháng Giả thiết khoa học: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E làm thành tài