Luận văn sư phạm Hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E3

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ************ Lê thị hà hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E3 khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Hà Nội, 2013 Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ************ Lê thị hà hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại ®é cong cđa mỈt E3 khãa ln tèt nghiƯp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học pgs.ts nguyễn tâm Hà Nội, 2013 lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm- Người thầy đà trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn đến thầy cô khoa ToánTrường đại học sư phạm hà nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đà tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Lê thị hà Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em đà tham khảo số tài liệu đà ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E trùng lập với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Lê thị hà mở đầu Lý chọn đề tài: ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E mảng kiến thức quan trọng môn hình học vi phân Sau học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong môn hình học vi phân em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Và để xây dựng hệ thống tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khóa sau cách đầy đủ Đồng thời rèn luyện tư Logic, tính xác cẩn then cho người đọc Nên qua lí em đà định nghiên cứu đề tài Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Mục đích nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Đối tượng nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu dạng tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài: - Giới hạn nội dung: Nghiên cứu dạng tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E môn hình học vi phân, - Giới hạn đối tượng: Bài tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E - Giới hạn thời gian: tháng Giả thiết khoa học: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E làm thành tài liệu giúp cho sinh viên khóa sau có hệ thống tập phần cách đầy đủ Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài: - Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E - Làm vấn đề lí luận đề tài: ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt định hướng, công thức tính độ cong, - Nghiên cứu dạng tập từ dễ đến khó Phương pháp nghiên cứu: - Cơ sở lí luận: phân tích, tổng hợp, đánh giá - Nghiên cứu sách giáo trình, sách tập, sách tham khảo, tài liệu liên quan đến nội dung Dự kiến nội dung chương trình nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, , tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương: Chương 1: Lí thuyết Chương 2: Hệ thống tâp Nội dung Chương 1: lý thuyết Trong chương nhắc lại số kiến thức ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ công trung bình, công thức tính độ cong, độ cong pháp dạng, mối liên hệ độ cong pháp dạng theo v độ cong cung mặt Từ kiến thức ta có ứng dụng giải số toán sơ cấp trình bày chương 1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten) Để hiểu rõ ánh xạ Weingarten tính chất ánh xạ ta chứng minh bổ đề sau: 1.1.1: Bổ đề Cho mặt S E , điểm p S , vectơ v Tp S Khi tồn cung : J  S , t    t  cho cã t0  J ®Ĩ   t0   p , v     t0 Chứng minh: Lấy tham số hóa địa phương r : U  S ,  u , v   r  u , v  t¹i p S giả sử p r u0 , v0  Gi¶ sư v   ru  uo , vo    rv  uo , vo  LÊy cung  : J  U , t    t    t , t đặt r   : U  S Khi ®ã    t    r     t   ru  t   rv   t    ru   rv Suy ra:    to    ru  uo , vo    rv  uo , vo   v 1.1.2: Bæ ®Ị Cho mỈt S E , mét hàm vectơ : S E khả vi S , điểm p S vectơ v  Tp S Gi¶ sư  ,  : J  S lµ hai cung cïng tháa m·n   to     t0    ,    to      t0   v Khi ®ã,      to        to  Chøng minh: LÊy mét tham sè hóa địa phương r : U S , u , v   r  u , v  cđa S t¹i p Cho  : J S tồn cung : J U cho r Đặt   t    u  t  , v  t   , u  t0   u0 , v  t0   v0 vµ     r :  u, v     u, v  Khi ®ã:      to     r     t0        t0    u  uo , vo  u  t0    v  uo , vo  v  t0  T­¬ng tù víi  th× cã cung  : J  U cho r Đặt   t    u*  t  , v*  t   ta cã  u  t0  , v  t0     u*  t  , v*  t   (v×    to      t0   v vµ      to    u  uo , vo  u*  t0    v  uo , vo  v*  t0  ) Suy ra:      to     to Ta có định nghĩa: 1.1.3: Định nghĩa Cho mặt S E định hướng trường pháp vectơ đơn vị khả vi n dọc theo S Với điểm cố định p S vectơ v Tp S ta lây tham số hóa địa phương r : U S t¹i p , mét cung tham sè  : J  S , t    t  cho p    t0  ,      t0  Cã cung tham sè  : J  U , t   u  t  , v  t   cho   r   KÝ hiÖu D n   n  r   t0 gọi vectơ đạo hàm n theo vectơ Vì n r    nªn  n  r      n  r    tức D n n Do D n  Tp S VËy cã thĨ lËp ¸nh x¹: h p : Tp S  Tp S   h p     D n Ta gọi h p ánh xạ Weingarten S p tương thích với trường pháp vectơ đơn vị n ánh xạ đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hình dạng S E nên gọi ánh xạ dạng 1.1.4: Tính chất 1.1.1.1: ánh xạ Weingarten tự đồng cÊu tuyÕn tÝnh cña Tp S Chøng minh: Cho Tp S ta viết được: r     t0   ruu  t0   rvv  t0  Trong ®ã: r : U S thám số hóa địa phương cđa S t¹i p , víi r  u  t0  , v  t0    p  : J  U t  u t , v t Đẳng thức ruu t0   rvv  t0  chøng tá r»ng  cã täa ®é  u  t0  , v t0 sở ru , rv Tp S Theo định nghÜa: h p     D n    n  r     t0     n  r      t0     n  r u u  t0    n  r v v  t0  V×   n  r u vµ   n  r v hai vectơ cố định Tp S nên từ h p      n  r u u  t0    n  r v v  t0  dÔ thÊy h p  tự đồng cấu tuyến tính Tp S 1.1.4.2: Với tham số hóa địa phương r : U S điểm p , ta có: h p  ru  rv  nu  rv  n  ruv h p  rv  ru  nv  ru  n  rvu  h p  ru  ru  nu  ru  n  ruu h p  rv  rv  nv  rv  n  rvv Chøng minh: V× n  rv nªn  n  r   rv Lấy đạo hàm hai vế theo u ta được: n r u rv n  r   ruv  , ®ã   n  r u rv   n r ruv Mặt khác: h p  ru    Dr n    n  r u Suy ra: h p  ru  rv  nu  rv  n  ruv u T­¬ng tù ta cã: h p  rv  ru  nv  ru  n  rvu L¹i cã: h p  rv    Dr n    n  r v v Gọi k1 , k2 hai độ cong chÝnh cña S k1  k2  H  Ta cã:  k1  k2  K Gi¶i hệ ta được: k1 , k2 cox  cos y  1 tan x  tan y  NhËn xÐt: MỈt e z  cos x cos y mặt tối tiểu Nó gọi mặt Scherk Bài 2.2.16: Trong E , cho mặt đinh ốc đứng S xác ®Þnh bëi tham sè hãa täa ®é trùc chuÈn  x, y, z  : r  u , v    u  cos v, u  sin v, av  (a  0) H·y tÝnh ®é cong Gauss độ cong trung bình S theo h­íng tù chän cđa S Gi¶i: Ta cã:  ru   cos v,sin v,0   rv   u  sin v, u  cos v, a   ruu   0,0,0   rvv   u  cos v,  u  sin v,0   ruv    sin v,cos v,0     ru  rv   a sin v,  a cos v, u     ru  rv  a  u 38  r  r   a sin v, a cos v, u Định hướng S bởi: n  u v  2 ru  rv a u Khi ®ã: E 1, L0 , Do ®ã: K  a G  a2  u2 F 0 , M a 2 u  2 a a u , N 0 ; H 0 Bµi 2.2.17: Trong E , cho mặt S xác định bëi tham sè hãa:   r  u , v      u   v    u  , víi  :J  E lµ mét cung song chÝnh quy H·y tính độ cong Gauss độ cong trung bình S theo mét h­íng tù chän cđa S Gi¶i: Ta cã: ru     v  rv    ruu     v   rvv  ruv     ru  rv   v      ru  rv  u      Định hướng S bởi: n       ( chän dÊu  hay độ cong trung bình phụ thuộc vào dấu chọn) 39 Khi đó: E 2  v  2  2v    , F   2  v   , G   2 L v   ,  ,    ,      M 0, N 0 L¹i cã: v   ,  ,    EN  FM  GL  GL        EG  F    2  v  2  2v      2    2  v       v  2  2       Do vËy: K  ; H     v       2 v  2   ,  ,    v      Chó ý: Giả sử cung có độ cong k độ xoắn từ k    ,  ,     ta được: H       , v u tham số hóa tự nhiên cña  2 v k  v  nên H  v k Bµi 2.2.18: Chøng minh r»ng điểm p điểm rốn mặt S E vµ chØ K p  H p Chứng minh: Điểm p điểm rốn S hai độ cong k1 k2 S p 40 Nghĩa là:   k1  k2  k1  k2   k1  k2    k1  k2    k 2  k  4k1k2      k1k2    H p  K p (đpcm) Bài 2.2.19: Cho mặt định hướng S E , điểm p S c¬ së trùc k    k    chuÈn  ,   cña Tp S Chøng minh r»ng H p  Chøng minh: Gäi k1 , k2 hai độ cong S p e1 , e2 hai vectơ đơn vị phương ứng với k1 , k2 cho e1  e2 NÕu k1  k2 th× bắt buộc e1 e2 , k1 k2 phương p phương nên lấy hai vectơ đơn vị e1 , e2 trực giao Khi e1 , e2 sở trực chuẩn Tp S khai triển được: a1e1  a2e2 víi a12  a2    b1e1  b2e2 víi b12  b2  Hơn nữa: a1b1 a2b2 KÕt hỵp víi a12b12  a2 2b2 , a12  a2  b12  b2  Suy ra: a12  b12 , a2  b2 41 Do ®ã, theo conng thøc Euler ta cã:    k    k     k1a12  k2 a2  k1b12  k2b2   k1  a12  b12   k2  a2  b2   k1  a12  a2   k2  b12  b2   k1  k2  H p VËy: H p  k k (đpcm) Bài 2.2.20: Tìm phương độ cong tương ứng mặt đinh ốc đứng r u , v    u  cos v, u  sin v, av (a 0) Giải: Theo 2.2.16 ta cã: E 1, L0 , G  a2  u2 F 0 , M a a u , N 0 Vect¬ v   ru   rv phương khi: 2 E L  F M 2   a 2 G 0  N 2 a2  u  0 a2  u2    a  u          a2 u2 ( theo giả thiết suy   ) 42 LÊy       a  u Vậy có hai phương xác định hai vectơ: v1  a  u  ru  rv , v2   a  u  ru  rv Gäi k1 , k2 lµ hai ®é cong chÝnh øng víi v1 , v2 th×: h  v1  v1 h    k1  k  v1   v12   a   a  u  ru  rv     a  u  ru  rv a  u  ru  rv a  u  h  ru   h  rv   a  u  ru  rv  a  u  ru  rv     u   h  ru   rv  a  u  h  ru   rv  h  ru   rv  a  u   r  a  u  r  r  r a u   L  a u  M  N a u   E  a u  F  G 2   2 u 2 2 u v v 2 2 a a2  u  h  v2  v2 a  2 k2  k  v2  v2 a u Tương tự tính được: Theo tạo độ Đêcác ta có: ru cos v,sin v,0  rv   u sin v, u cos v, a  Thay vµo biĨu thøc cđa v1 , v2 ta được: a u cos v  u sin v, a  u  sin v  u cos v,0 v    a  u  cos v  u sin v,  a  u  sin v  u cos v,0  v1  2 2 2 2 43 Bài 2.2.21: Tìm phương độ cong tương ứng mặt tròn xoay: r u , v    x  u  cos v, x  u  sin v, z  u   ( víi x  u   , z u const ) Hướng mặt hướng xác định trường pháp vectơ đơn vị tắc tham số hóa đà cho Gi¶i:  Ta cã: ru   x  u  cos v, x  u  sin v, z  u    rv    x  u  sin v, x  u  cos v,0     ru  rv    xz cos v,  xz sin v, xx     ru  rv  x x2  z2  L¹i cã: ruu   x  u  cos v, x  u  sin v, z  u    ruv    x sin v, x cos v,0   rvv    x cos v,  x sin v,0   r r Định hướng S bởi: n u v     z cos v,  z sin v, x  2 ru  rv x z Lấy hướng mặt xác định trường pháp vectơ n u , v thì: E  x2  z2 , L xz  xz x2  z2 , F 0 , M 0, G  x2 N xz x2  z2 Vect¬ v  ru rv phương chØ 2  x2  z2 xz  xz 2 x     xz  x2  z2   x  xz  xz    xz    z  x2  z2   x  xz xz (*) 44 Đẳng thức (*) xảy có hai trường hợp sau xảy ra: Trường hợp 1: , r u , v có hai phương xác định hai vectơ phương v ru ( øng víi  1,   ) vµ v  rv (øng víi   0,  1 ) Phương v ru phương (tiếp xúc) kinh tun v  v0 , ph­¬ng cđa v  rv phương (tiếp xúc) vĩ tuyến u u0 Tr­êng hỵp 2: z  x2  z2   x  xz  xz   , cặp số ,   0,0  ®Ịu tháa m·n (*)   Do vectơ v ru  rv  t¹i r  u , v phương S r u , v Từ hai trường hợp suy rằng: Trên mặt tròn xoay S tất đường kinh tuyến vĩ tuyến đường khúc Mọi đường S có phương trình tham sè:  p  t   x  u  t    cos v  t  , x  u  t    sin v  t  , z  t   tháa m·n z  x2  z2   x xz xz đường khúc Đặc biệt, xét S mặt cầu bán kÝnh a ta lÊy x  u   u , z  u   a sin u , hay xét S mặt phẳng, ta lấy x u   u , z  const ta ®Ịu thÊy z  x2  z2   x  xz xz Do mặt cầu mặt phẳng đường quy đường khúc 45 Điều thấy mặt cầu mặt phẳng điểm điểm cầu hay điểm dẹt Do đó, phương mặt cầu hay mặt phẳng phương Gọi k1 , k2 hai độ cong theo phương kinh tuyến vĩ tuyến L xz  xz   N z , k2  k  rv    k1  k  ru    E G x2  z2 x2 z2 Đối với mặt cầu bán kính a độ cong a Đối với mặt phẳng độ cong Bài 2.2.22: Tìm phương độ cong mặt yên ngựa x2 y z   ( E ) gốc tọa độ 0,0,0 Hướng mặt xách định a b x2 y trường pháp vectơ đơn vị t¾c n cđa tham sè hãa r  x, y    x, y,   a b Giải: Gốc tọa độ điểm r 0,0 Tính cụ thể ta được: rx  0,0   1,0,0   ry  0,0    0,1,0   n  0,0    0,0,1 2   rxx   0,0,  a     2 ryy   0,0,  b    rxy   0,0,0  46 Vµ E 1, F  , G  , L  2 , M  , N  ( t¹i ®iĨm  0,0  ) a b Vect¬ v   rx  0,0    ry  0,0 phương r 0,0  vµ chØ 2 a2  0 2      b VËy t¹i r  0,0 có hai phương xác định hai vectơ chØ ph­¬ng     v  rx  0,0   1,0,0   e1 ,   ry  0,0    0,1,0   e2 §é cong chÝnh k1 , k2 øng víi  phương v , xác định sau: h  rx   rx L k1  k  v   0,0     E a rx k2  k    h  ry   ry ry 47  0,0   N  G b KÕt luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em đà bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung nhiều hình học vi phân, cụ thể ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E , đồng thời thấy phong phú, lí thú Toán học Đặc biệt, khóa luận em đà nghiên cứu cách khái quát hệ thống tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E , cã thĨ xem nh­ lµ mét tµi liệu tham khảo cho người quan tâm đến ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt Đó cính thành công đề tài Như vậy, nói đề tài đà hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đà đặt Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em xin chân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình Học, thầy cô khoa Toán Mặc dù em đà có gắng nhiều, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo Hình học vi phân Đoàn Quỳnh NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000 Bài tập hình học vi phân Đoàn Quỳnh( chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993 Hình học vi phân Phạm Bình Đô NXB Đại học sư phạm 49 MC LC mở đầu 1 Lý chän ®Ị tµi: Mục đích nghiên cứu ®Ị tµi: Đối tượng nghiên cứu đề tài: Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tµi: Gi¶ thiÕt khoa häc: NhiƯm vơ nghiên cứu đề tài: Phương pháp nghiên cứu: Dự kiến nội dung chương trình nghiên cøu Néi dung Ch­¬ng 1: lý thuyÕt 1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten) 1.1.1: Bỉ ®Ị 1.1.2: Bỉ ®Ị 1.1.3: Định nghĩa 1.1.4: TÝnh chÊt 1.2: C¸c loại độ cong mặt định hướng E 1.2.1: Định nghĩa: 1.2.2: Công thức tính độ cong 1.2.3: Công thức tìm phương độ cong tương ứng 12 1.2.4: Độ cong pháp dạng 15 1.2.5: Liên hệ độ cong pháp dạng theo v độ cong cung mặt 16 1.2.6: Tính độ cong pháp dạng theo hai ®é cong chÝnh 17 50 Chương 2: hệ thống tập 19 2.1: ¸nh x¹ Weingarten 19 2.2: Độ cong mặt E 21 KÕt luËn 48 Tài liệu tham khảo 49 51 52 ... tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Mục đích nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Đối tượng nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu dạng tập cho ánh xạ Weingarten. .. thức ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E 18 Chương 2: hệ thống tập Trong chương giải số tập từ dễ đến khó ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E sử dụng kiến thức đà nêu chương 2.1: ánh xạ Weingarten. .. nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong môn hình học vi phân em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm ánh xạ Weingarten loại độ cong mặt E Và để xây dựng hệ thống tập cho ánh xạ Weingarten loại độ cong