Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 92 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
92
Dung lượng
1,39 MB
Nội dung
Khóa lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa Toán D ng V n C ng Khai thác t p toán ph n công th c bi n đ i l ng giác tang cotang KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên Ngành: Ph IH C ng pháp d y h c toán Ng ih ng d n khoa h c ThS Nguy n V n Hà hà n i - 2010 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p L IC M N Em xin chân thành c m n th y cô giáo Tr ng i h c S ph m Hà N i 2, th y cô giáo khoa Tốn th y giáo t b mơn ph ng pháp đƣ t n tình giúp đ em trình h c t p t i tr ng t o u ki n cho em th c hi n khoá lu n t t nghi p c bi t, em xin bày t lòng bi t n sơu s c t i th y giáo Nguy n V n Hà, ng i đƣ t n tình h ng d n, ch b o em trình h c t p, nghiên c u hồn thành khố lu n Trong q trình nghiên c u, không tránh kh i nh ng thi u sót h n ch Kính mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô giáo b n đ đ tài đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên D GVHD: Th c s Nguy n V n Hà ng V n C SV: D ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Tơi xin cam đoan đơy cơng trình nghiên c u c a riêng Nh ng s li u k t qu khoá lu n hoàn toàn trung th c tài ch a t ng đ c công b b t c m t cơng trình khoa h c Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên D GVHD: Th c s Nguy n V n Hà ng V n C SV: D ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p M CL C trang U M Lý ch n đ tƠiầầầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.4 M c đích nghiên c uầầầầầầầầầầầầ.ầầầầ ầầ.4 Nhi m v nghiên c uầầầầầầầầầầ ầầầầ ầ.ầầ Ph ng pháp nghiên c uầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.ầ5 C u trúc khoá lu nầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ ầ N I DUNG NG 1: C S Lụ LU N A BƠi toán vƠ l i gi i c a bƠi toán Khái ni mầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.ầầầ V i trò, ý ngh a c a bƠi t p toán h cầầầầầ ầ6 Phơn lo i bƠi toánầầầầầầầầầầầầầầ .8 Ph ng pháp gi i m t bƠi toánầầầầầầầầầầầ ầ.9 B N i dung ch ng trình l ng giác trung h c ph thôngầầầ ầ12 CH NG 2: NG D NG TRONG D Y H C A Các ki n th c c b nầầầầầầầầầầầầầầầầ ầ 13 B Các d ng bƠi t pầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 20 D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc bi t giá tr giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc đóầầ ầ.ầ.20 D ng 2: Ch ng minh đ ng th cầầầầầầầầầầ.ầầ ầ 29 D ng 3: Rút g n bi u th c vƠ tính giá tr c a bi u th cầầầầầ 36 D ng 4: Ph ng trình l ng giácầầầầầầầầầầầầầ 40 D ng 5: Nh n d ng tam giácầầầầầầầầầầầầ ầầ 57 D ng 6: Tích phơnầầầầầầầầầầầầầầầ ầầầầ63 C BƠi t p luy n t pầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầầầ71 CH K T LU N ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ ầ ầ.89 TÀI LI U THAM KH Oầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầầ90 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N I: M U LỦ ch n đ tƠi Nh m i khoa h c khác, l ng giác c ng xu t phát t nhu c u c a đ i s ng Trong nhƠ tr ng ph thông, l ng giác chi m m t th i l ng t ng đ i l n vi c gi ng d y vƠ h c t p b mơn tốn, có m t l ng ki n th c r t l n, có tính h th ng, ch t ch , logic cao c bi t lƠ ph n công th c l ng giác Nó có m t h u h t phơn mơn tốn: Hình h c, đ i s , gi i tích,ầ VƠ ln đ c coi lƠ n i dung tr ng tâm b mơn Tốn nhà tr ng ph thông Th c t th i gian h c t p nhƠ tr ng ph thông c ng nh đ i h c, cho th y: lƠm bƠi t p liên quan t i hƠm s l ng giác m c dù v n có đ c l i gi i cho bƠi toán, nhiên l i gi i nhi u quanh co, vòng Nguyên nhơn lƠ ng i lƠm tốn khơng n m v ng công th c bi n đ i l ng giác, nhìn nh n v n đ khơng đ c thống V i m t bƠi tốn nói chung vƠ bƠi tốn l ng giác nói riêng có nhi u cách gi i khác nhau, có th lƠ ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp vect Trong có m t ph n l n bƠi toán đ i s vƠ gi i tích có th gi i b ng cách l ng giác hoá, ta đ c cách gi i ng n g n, d hi u cho bƠi tốn Vì v y, m i kì thi ln nh ng bƠi toán liên quan t i l ng giác, công th c bi n đ i l ng giác Xu t phát t s say mê c a b n thơn, ham mu n h c h i, tìm tòi, nghiên c u sơu h n v l ng giác, v i mong mu n có đ c ki n th c v ng h n v l ng giác đ chu n b cho vi c gi ng d y sau tr ng, v i s đ ng viên khích l c a th y giáo Nguy n V n Hà mƠ em đƣ ch n đ tƠi : “Khai thác bƠi t p tốn ph n cơng th c l ng giác tang cotang” M c đích nghiên c u M c đích nghiên c u ch y u c a đ tƠi lƠ: - Giúp cho h c sinh h th ng t t h n d ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang cotang - Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v l ng giác, đ ng th i lƠm tƠi li u tham kh o cho h c sinh vƠ giáo viên GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Nhi m v nghiên c u tƠi nghiên c u v i nhi m v : - Nghiên c u lý lu n chung + Bài toán l i gi i c a bƠi tốn + N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thơng - H th ng hóa ph ng pháp gi i d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d i d ng c b n vƠ nơng cao nh m ph c v cho vi c gi ng d y: “L ng giác cho h c sinh ph thông” Ph ng pháp nghiên c u - Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: D a vƠo nh ng tƠi li u s n có, nh ng thƠnh t u c a nhơn lo i nh ng l nh v c khác đ v n d ng vƠo ph ng pháp d y h c mơn Tốn - Ph ng pháp quan sát u tra: LƠ ph ng pháp quan sát m t s v t hi n t ng nƠo đ thu l m nh ng s li u, c th đ c tr ng cho trình di n bi n c a hi n t ng - Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m: Th c ch t lƠ đánh giá vƠ khái quát kinh nghi m, t phát hi n nh ng v n đ c n nghiên c u, ho c khám phá nh ng m i liên h có tính quy lu t c a hi n t ng giáo d c - Ph ng pháp th c nghi m giáo d c: Cho phép ta t o nên nh ng tác đ ng giáo d c, t xác đ nh vƠ đánh giá k t qu c a nh ng tác đ ng C u trúc khố lu n Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung, bao g m ch ng: Ch ng 1: C s lý lu n Ch ng 2: ng d ng d y h c Ph n 3: K t lu n GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N II: N I DUNG CH NG 1: C S Lụ LU N A BÀI TOÁN VÀ L I GI I C A BÀI TOÁN Khái ni m Theo G.POLYA: BƠi toán lƠ vi c đ t s c n thi t tìm ki m mơt cách có ý th c ph ng ti n thích h p đ đ t đ n m t m c đích nh t đ nh trơng th y rõ rƠng, nh ng không th đ t đ c T đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y: BƠi tốn lƠ s đòi h i ph i đ t t i m t m c đích nƠo Nh v y bƠi tốn có th đ ng nh t v i m t s quan ni m khác v bƠi toán nh : đ toán, bƠi t pầ BƠi t p lƠ bƠi toán có nh ng yêu c u đ t cho ng i h c nh m đ t đ c m c đích d y h c nƠo Vai trò, Ủ ngh a c a bƠi t p toán h c a C ng c ki n th c c b n cho h c sinh Trong th c t m t bƠi toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán h c vƠ k t lu n toán h c Khi gi i m t bƠi tốn đòi h i ta ph i phơn tích d ki n c a bƠi toán, huy đ ng ki n th c đƣ cho đ toán vƠ ki n th c đƣ bi t khác có liên quan đ n bƠi tốn, t ng h p l i đ đ ki n th c m i n aầ Cu i cùng, đ n đ c l i gi i c a bƠi toán Nh v y gi i m t bƠi tốn khơng nh ng ch ki n th c đƣ có bƠi tốn mƠ c m t h th ng ki n th c liên quan t i bƠi toán c ng đ c c ng c qua l i nhi u h n b Rèn luy n vƠ phát tri n t cho h c sinh c m n i b t c a mơn tốn lƠ m t mơn khoa h c suy di n, đ c xơy d ng b ng ph ng pháp tiên đ Do l i gi i c a bƠi toán lƠ m t h th ng h u h n thao tác có th t ch t ch đ đ n m t m c đích r t rõ r t Vì v y gi i m t bƠi tốn có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng phép suy lu n h p logic: suy lu n có c n c đúng, suy lu n tuơn theo quy t c suy di nầ Chúng ta bi t r ng khơng th có m t ph ng pháp chung nƠo đ gi i đ c m i bƠi toán GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p M i bƠi toán có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i c a bƠi tốn ph i bi t phơn tích: ph i bi t cách d đoán k t qu , ki m tra k t qu , bi t cách liên h t i v n đ t ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoáầ Nh v y qua vi c gi i bƠi toán n ng l c t sáng t o đ c rèn luy n vƠ phát tri n c Rèn luy n k n ng v n d ng ki n th c toán h c cho h c sinh M t nh ng yêu c u c a vi c n m v ng ki n th c c a b t c c a b môn khoa h c nƠo lƠ hi u, nh vƠ v n d ng ki n th c c a b mơn khoa h c vƠo vi c gi i quy t nhi m v đ t ra, t c lƠ gi i quy t đ c bƠi toán đ t l nh v c khoa h c Trong vi c gi ng d y tốn bƠi tốn l i tham gia vƠo m i tình hu ng c a trình d y h c mơn tốn Trong gi ng d y khái ni m toán h c: BƠi toán đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đ n đ nh ngh a khái ni m Bài toán đ c s d ng đƣ nêu lƠm ví d vƠ ph n ví d minh ho cho khái ni m BƠi toán đ c s d ng đ luy n t p, c ng c v n d ng khái ni m Trong gi ng d y đ nh lý toán h c: BƠi tốn có th đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n n i dung đ nh lý toán h c BƠi tốn có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý lƠ vi c t ch c h ng d n h c sinh t p tìm l i gi i c a m t ch ng nƠo c a mơn h c Trong luy n t p toán h c : BƠi toán lƠ ph ng ti n ch y u ti t luy n t p toán h c Trong ng i giáo viên ph i xơy d ng đ c m t h th ng bƠi t p có liên quan ch t ch v i đ nh m giúp h c sinh c ng c ki n th c vƠ hình thƠnh m t s k n ng c b n nƠo d B i d ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh c bi t c b n tính cách c a ng i lƠ: M i ho t đ ng đ u có m c đích r t rõ rƠng Khi gi ng m t bƠi tốn ta ln có đ nh h ng m c đích r t rõ r t, v y vi c gi i bƠi tốn s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n n ng l c ho t đ ng c a ng i gi i m t bƠi toán nh t lƠ đ i v i bƠi tốn khó ta ph i v t qua r t nhi u khó kh n, ph i kiên trì nh n n i vƠ nhi u ta ph i có quy t tơm r t l n đ gi i bƠi toán GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Nói theo cách c a G.POLYA thì: “Khát v ng vƠ quy t tơm gi i đ c bƠi toán lƠ nhơn t ch y u c a trình gi i m i bƠi toán” Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i tốn lƠ nhơn t ch y u c a trình hình thƠnh vƠ phát tri n nhơn cách c a ng i Phơn lo i bƠi toán Ng i ta phơn lo i bƠi toán theo nhi u cách khác đ đ t đ c m c đích nh t đ nh, th ng lƠ đ s d ng m t cách thu n l i a Phơn lo i theo hình th c bƠi tốn: Ng i ta c n c vƠo k t lu n c a bƠi toán: K t lu n c a bƠi toán đƣ cho hay ch a đ phơn chia bƠi toán thƠnh lo i: - BƠi toán ch ng minh: LƠ bƠi toán mƠ k t lu n c a đƣ đ c đ a m t cách rõ rƠng đ bƠi toán - BƠi toán tìm tòi: LƠ bƠi tốn k t lu n c a ch a s n sƠng đ bƠi toán b Phơn lo i theo ph ng pháp gi i toán: Ng i ta c n c vƠo ph ng pháp gi i toán: BƠi toán nƠy có angơrit gi i hay ch a đ chia bƠi tốn thƠnh hai lo i: - BƠi tốn có angơrit gi i: LƠ bƠi tốn mƠ ph ng pháp gi i c a theo m t angơrit nƠo ho c mang tính ch t angơrit nƠo - BƠi tốn khơng có angơrit gi i: LƠ bƠi tốn mƠ ph ng pháp gi i c a khơng theo m t angơrit nƠo ho c khơng mang tính ch t angơrit nƠo c Phơn lo i theo n i dung bƠi toán: Ng i ta c n c vƠo n i dung c a bƠi toán đ c phát bi u theo thu t ng c a m t hay m t vƠi l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bƠi toán thƠnh lo i khác nh sau: + BƠi toán s h c + BƠi toán đ i s + BƠi tốn hình h c d Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán: Ng i ta d a vƠo ý ngh a c a vi c gi i toán đ phơn lo i bƠi toán: BƠi toán nƠy nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vƠi ki n th c k n ng nƠo đó, hay bƠi tốn nh m phát tri n t Ta có hai lo i bƠi toán nh sau: - BƠi toán c ng c k n ng: LƠ bƠi toán nh m c ng c tr c ti p sau h c ho c m t vƠi ki n th c hay k n ng nƠo GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p - BƠi toán phát tri n t duy: LƠ bƠi toán nh m c ng c m t h th ng ki n th c c ng nh k n ng nƠo ho c đòi h i ph i có m t kh n ng t phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o Ph ng pháp gi i m t bƠi toán Ph ng pháp tìm l i gi i c a bƠi toán: D a theo b c c a G.POLYA a B c 1: Tìm hi u đ Tr c gi i m t bƠi toán ta ph i phơn tích đ bƠi c a bƠi tốn, r i tìm hi u th u đáo n i dung c a bƠi toán b ng nh ng cơu h i sau: - Nh ng đƣ bi t? ch a bi t c a bƠi toán ? - Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ng y u t thay đ i bi n thiên c a bƠi toán - Xác đ nh n vƠ giá tr h ng c a bƠi toán - D ki n c a bƠi tốn có đ đ xác đ nh ch a bi t hay không ? b B c 2: Xơy d ng ch ng trình gi i tìm l i gi i cho bƠi tốn m t cách có hi u qu b c xơy d ng ch ng trình gi i lƠ b c quy t đ nh, đ ng th i c ng lƠ b c khó kh n nh t B c nƠy đòi h i ph i huy đ ng ki n th c đƣ bi t đ nh n xét, so sánh, bác b t m i có th ti p c n t i l i gi i c a bƠi toán Chúng ta có th ti n hƠnh xơy d ng ch ng trình gi i theo ph ng pháp sau: - Ph ng pháp xuôi: Xu t phát t gi thi t c a bƠi toán đ c l y lƠm ti n đ , b ng suy lu n h p logic tìm h qu logic c a ti n đ Ti p t c ch n l c đ l y h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi toán lƠm ti n đ m i L i b ng suy lu n h p logic tìm h qu logic m i g n g i h n v i k t lu n C ti p t c trình y, tìm đ c h qu logic trùng v i k t lu n c a bƠi toán Khi y ta tìm đ c l i gi i c a bƠi tốn Ph ng pháp nƠy đ c mơ t theo s đ sau: A B X (trong A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n ) C D - Ph ng pháp ng c : ó lƠ q trình xu t phát t k t lu n c a bƠi toán B ng suy lu n h p logic ng c lên đ tìm ti n đ logic c a k t lu n nƠy GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 10 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Bài Cho ph ng trình: tan x (2m 1)tan 3x (m 2m)tan 2x (m m 1)tan x m (1) a Gi i ph ng trình v i m 1; b Xác đ nh m đ ph ng trình có nghi m phơn bi t thu c kho ng ; 2 L i gi i: k , k ng trình (1) tr thƠnh: * i u ki n: cos x x * t tan x t , ph t (2m 1)t (m 2m)t (m m 1)t m (2) Ta có: (2) (t 1)(t 2mt m t m 1) (t 1)(t 2mt m t m 1) + t (I) 2 t 2mt m t m (3) ti p t c phơn tích (3) ta vi t l i (3) d i d ng: t m2 (2t 1)m t , coi m lƠ n t lƠ tham s , ta đ c ph ng trình b c hai đ i v i m vƠ t ta suy : m t m t t t Do (3) đ c chuy n v d ng: (t m 1)[t (m 1)t 1] + Khi đó: t (I) t m g(t) t (m 1)t a V i m 1 (II) tr thƠnh: (II) (4) GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 78 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p t t t t t + Do ta có: tant x k , k tant x arctan2 k - V y ph ng trình (1) có hai h nghi m lƠ: x k x arctan2 k , k b V i cách đ t tan x t ng v i m i m t s th c t cho ta m t h nghi m x Do ph ng trình (1) có nghi m phơn bi t thu c kho ng ; (4) có nghi m phơn bi t t1 , t tho mƣn: 2 'g m 2m t1 m, t m m m g(1) t1 1, t 2m g(1 m) 1 m m 3 m m 3 - V y v i m( , 3) (1, )\ ph ng trình có nghi m phơn 2 bi t Bài Cho ph a Gi i ph ng trình: (m 1)tan x 3m(1 tan x).tan x 4m 0 cos x (1) ; 37 ng trình có nghi m khác k , k ng trình v i m b Tìm m đ ph L i gi i: - i u ki n: cosx x k , k (*) - Ta có: (1) (m 1)tan x 3m(1 tan x).tan x 4m(1 tan x) + Chia c hai v c a ph ng trình (2) cho (1 tan x) ta đ GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 79 (2) c ph ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p trình: tan x tan x (m 1) 3m tan x 4m tan x + tan x , v i t Khi ph tan x (m 1)t 3mt 4m (4) t t a V i m ph 37 (3) ng trình (3) tr thƠnh: ng trình (4) tr thƠnh: t 28t 27t 36 t nên t , suy ra: t 12 tan x tan x tan x tan x x - V y ph k , k (tho mƣn u ki n (*)) ng trình (1) có h nghi m lƠ: x k x k , k b Xét hai tr ng h p: * Tr ng h p 1: N u m hay m 1 (4) 3t t (lo i t 1) ph ng trình (1) vơ nghi m * Tr ng h p 2: N u m 1 ph ng trình (1) có nghi m khác k , k ph ng trình (4) có nghi m t 0;1 ph ng trình (4) có m t nghi m ho c hai nghi m thu c kho ng 0;1 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 80 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p 4m(2m 1) f(0).f(1) m 16m³0 4m(m 1) a.f(0) m (m 1)(2m 1) a.f(1) S 3m 1 0 0 2(m 1) * V y v i m ph ng trình có nghi m khác k , k Bài 10 Gi i ph ng trình tan 3x cot2x tan x 4 4 L i gi i: - i u ki n: x cos 3x 3x k 4 2x k x sin2x cos x x k x k k , k k (*) 3x 3t - t tx 2x 2t Khi ph ng trình đƣ cho tr thƠnh: tant tan3t tan2t tant 2 3tant tan t 2tant tant 3tan t tan t (1) tant tan t tan t (2) 0 1 3tan t tan t tan 3t cot 2t GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 81 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p + (1) tan x x k x k , k (tho mƣn (*)) 4 4 + (2) 4tan t tan t 2tan t 3tan t 2tan t 6tan t 3 17 3+ 17 3+ 17 tant t arctan 2 tan t 3tan t tan 2t k , k 3 17 k arctan (tho mƣn (*)) x ng trình có h nghi m lƠ: x k , 17 k , k x arctan - V y ph Bài 11 Gi i ph ng trình 4cos x 3tan x 3cos x 3tanx (1) L i gi i: Ta có: (1) (2cos x 3) ( 3tan x 1) x k2 cos x tan x x k x k2 , k V y ph Bài 12 Cho ph ng trình (1) có m t h nghi m lƠ x k2 , k ng trình tan 3x cot 3x 3(tan 2x cot 2x) 3(tan x cot x) m GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 82 (1) ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p a Gi i ph ng trình v i m 4; b Bi n lu n theo m s nghi m thu c kho ng 0; c a ph 2 L i gi i: sin x k - i u ki n: (*) sin2x x , k cosx - ng trình t tan x cot x t , suy ra: tan x cot x t tan 3x cot 3x (tan x cot x) 3tan x cot x.(tan x cot x) t 3t Khi ph ng trình (1) tr thƠnh: t 3t 3(t 2) 3t m t 3t m (2) a V i m = ph ng trình (2) tr thƠnh: t 3t (t 1)(t 4t 4) t 1 (t 1)(t 2) t tan x cot x 1 cot 2x tan x cot x cot 2x 1 1 k x arccot 2x arccot k ,k (đ u tho mƣn k x 2x k u ki n (*)) - V y, v i m ph ng trình (1) có hai h nghi m lƠ: 1 k x arccot 2 k x , v i k b V i m i nghi m t c a ph ng trình (2) ta có ph ng trình: tan x cot x t cot2x t0 - M t khác, x 0; 2x 0; 2 (3) nên t GVHD: Th c s Nguy n V n Hà (3) ta có v i m i nghi m t SV: D 83 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p c m t nghi m x 0; c a (1) (**) 2 - S nghi m c a (2) b ng s giao m c a đ ng th ng y m (song song c a (2) ta có đ v i tr c hoƠnh), v i đ th hƠm s y t 3t -Xét hƠm s y t 3t + Ta có: y' 3t 6t t y' t + B ng bi n thiên: t y’ + + y 4 * T b ng bi n thiên vƠ t nh n xét (**) ta có: V i m ho c m 4 ph ng trình (1) có nh t m t nghi m thu c 0; ; 2 V i m ho c m 4 ph V i 4 m ph ng trình (1) có hai nghi m thu c 0; ; 2 ng trình (1) có ba nghi m thu c 0; 2 Bài 13 Ch ng minh r ng n u tam giác ABC có: C C acot bcot atanA BtanB 2 ABC tam giác cân L i gi i: C C Ta có: acot bcot atanA BtanB 2 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 84 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p AB AB acot bcot atanA btanB 2 2 AB AB atan btan atanA btanB 2 AB AB a tan tanA b tan tanB 2 BA AB sin sin 2 2RsinA 2RsinB 0 AB AB cos cosA cos cosB 2 AB sin sinB sinA sin A B tanB tanA A B cosB cosB cos AB sin 0 tanB tanA AB A B A B thì: Vì , nên ta có - V i sin 2 2 2 2 AB A B tam giác ABC t i đ nh C - V i tanB tanA thì: A, B nên ta có B A tam giác ABC t i đ nh C * Nh v y, n u tam giác ABC có: acot C C bcot atanA BtanB 2 ABC tam giác cân Bài 14 Tính tích phân x 1dx L i gi i: t x tant , v i t ; , suy ra: 2 dt dx (1 tan t)dt cos t GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 85 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p v i x t 0, x t Khi đó, ta có x 1dx tan t 0 4 dt dt costdt d(sint) cos t cos3t cos t (1 sin t) t u sint , suy ra: v i t x 0, t x 2 Khi đó: x 1dx 2 2 1 du 2 (1 u ) 2 2 du 1 u 1 u (1 u)2 (1 u)2 (1 u)(1 u) du 2 1 d(1 u) (1 u) 2 1 d(1 u) (1 u) 2 1 u u du 2 1 1 u ln 4(1 u) 4(1 u) 1 u 0 V y 2 2u 1 u 2 ln(3 2) ln 2 4 1 u 1 u 0 x 1dx 2 ln(3 2) Bài 15 ( H Thái Nguyên_2001-2002) Tính tích phân I 1+ x2 dx x4 x L i gi i: * Ta có GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 86 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p I 1+ * t tx x 1 dx x4 x 1+ 1 x2 x 1 x dx 1+ 2 1 d x x 1 x 1 x , suy x 1 t 1 dt * Khi đó, ta có: I t 1 v i x t 0, x + t t tanu, u ; , suy 2 v i t u 0, t u 4 d(tanu) cos 2u du du u Do I tan u 0 cos u 4 *V y I Bài 16 ( H Giao Thông V n T i _2001-2002) 5cos x 4sinx dx (cos x sinx) Tính I L i gi i: t t x dx dt; V i x 0 t , x t 2 Khi đó, ta có: 5sint 4cost 5cos x 4sinx 5sint 4cost dx ( dt) (cos t sint)3 (cos t sint)3 dt (cos x sinx) 0 I GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 87 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p 5sinx 4cos x dt (cos x sinx) Nh v y ta c ng có I 5sinx 4cos x 5cos x 4sinx dx (cos x sinx)3 dt (cos x sinx) 0 T suy 2I 2 5cos x 4sinx 5sinx 4cos x cos x sinx dx dx 3 (cos x sinx) (cos x sinx) (cos x sinx) 2 dx (cos x sinx) cos x sinx cos x cos x dx 2 d(tanx 1) 1 tanx 2 cos x 1 tanx cos x sinx 0 V y I Bài 17 (HV K thu t Quơn S _2001) a x2 Tính tích phân I dx ( a, b tham s d 2 (a x ) b ng cho tr c) L i gi i: t x a tant, t ; 2 , ta đ V i x t 0, x b t c dx (tant a dt cos t b tan , 0; ) a 2 Khi đó, ta có: acos2t cos t a a x a(1 tan t) cos t a x a(1 tan t) GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 88 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p acos2t ax a cos t I dx dt cos2t dt 2 2 a cos t a0 (a x ) cos t 1 sin2t sin2 a a b Vì sin2 2tan tan b a 2b a nên I b b2 b a a b2 1 a V y v i a, b lƠ tham s d ng cho tr GVHD: Th c s Nguy n V n Hà c ta có I b a b2 SV: D 89 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N III: K T LU N Qua th i gian nghiên c u bƠi toán liên quan t i ph n công th c bi n đ i l ng giác, đ c bi t lƠ bƠi toán liên quan t i ph n công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang đƣ h th ng đ c d ng bƠi t p: D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc bi t giá tr giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc D ng 2: Ch ng minh đ ng th c D ng 3: Rút g n bi u th c vƠ tính giá tr c a bi u th c D ng 4: Ph ng trình l ng giác D ng 5: Nh n di n tam giác D ng 6: Tích phơn Các bƠi t p m i d ng đ c đ a t d cho đ n khó vƠ theo phơn ph i ch ng trình c a sách giáo khoa ph thông Trong m i d ng bƠi t p đ c chia lƠm hai ph n: ph n bƠi t p c b n vƠ ph n bƠi nơng cao Ph n bƠi t p c b n giúp cho ng i đ c bi t đ c lo i t p m i d ng Ph n bƠi t p nơng cao ph n bƠi t p luy n t p giúp cho ng i đ c c ng c nh ng ki n th c m i d ng, đ ng th i có m t kh n ng t phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o Tôi mong mu n r ng, đ tƠi s đem l i hi u qu vi c nơng cao ch t l ng d y vƠ h c l ng giác nhƠ tru ng ph thơng C ng vi c nghiên c u đ tƠi nƠy s giúp n m v ng h n nh ng ki n th c v l ng giác ó c ng lƠ u ki n đ sau nƠy tơi có th truy n th ki n th c cho h c sinh đ c t t h n Tôi c ng mong mu n r ng, đơy lƠ tƠi li u tham kh o h u ích cho ngu i đ c, giúp cho ng i đ c h th ng t t h n d ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c l ng giác tang vƠ cotang GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 90 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O V Qu c Anh (2007), Nh n Di n Tam Giác, NXB i H c Qu c Gia Hà N i V Qu c Anh (2007), Tuy n T p 589 Bài Toán L ng Giác, NXB i H c Qu c Gia Hà N i Doãn Minh C ng (2004), Gi i thi u đ thi n sinh vào đ i h c n m h c 1997-1998 đ n n m 2003-2004, NXB i H c Qu c Gia Hà N i Nguy n Huy oan (Ch biên) - Ph m Th B ch Ng c - oàn Qu nh ng Hùng Th ng - L u Xuân Tình (2009), Bài T p i S 10 Nâng Cao, NXB Giáo D c Nguy n Huy oan (Ch biên) - Nguy n Xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ồn Qu nh - Ngơ Xuân S n - ng Hùng Th ng - L u Xuân Tình (2009), Bài T p i S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo D c Nguy n V n Hà (2009), Giáo Trình D y H c Tốn Tìm T p H p Và Tốn D ng Hình Tr ng Ph Thơng Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S 10, NXB Giáo D c Tr n V n H o (T ng ch biên) - V tu n (Ch biên) ậ Doãn Minh C ng M nh Hùng - Nguy n Ti n Tài (2007), i S 10 (Sách giáo viên), NXB Giáo D c Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S Và Gi i Tích 11, NXB Giáo D c 10.Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S Và Gi i Tích 11 (Sách giáo viên) NXB Giáo D c 11.Phan Huy Kh i (2009), Chuyên đ L ng Giác, NXB Giáo D c 12 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng Th ng (2009), i S 10 Nâng Cao , NXB Giáo D c GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 91 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p 13 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Th ng (2009), i - Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo D c 14 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng Th ng (2009), i S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao (Sách giáo viên), NXB Giáo D c 15 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) - Tr n Ph ng Dung - Nguy n xuân Liêm - ng Hùng Th ng (2009), Gi i Tích 12 Nâng Cao , NXB Giáo D c 16.V Tu n (Ch biên) - Doãn Minh C ng - Tr n V n H o M nh Hùng - Ph m Phu - Nguy n Ti n Tài (2009), Bài T p i S 10, NXB Giáo D c 17 V Tu n (Ch biên) - Tr n V n H o - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n V Vi t Yên (2009), Bài T p i S Và Gi i Tích 11, NXB Giáo D c GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 92 ng V n C ng ... TRỊNH L NG GIÁC TRUNG H C PH THƠNG Ch ng ( S10NC): Góc l ng giác vƠ công th c l ng giác Bài 1: Góc vƠ cung l ng giác Bài 2: Giá tr l ng giác c a góc (cung) l ng giác Bài 3: Giá tr l ng giác c a... chung + Bài toán l i gi i c a bƠi tốn + N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thông - H th ng hóa ph ng pháp gi i d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d... ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang cotang - Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v l ng giác, đ ng th i lƠm