Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Khoá lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hà n i KHoa Toán ******** Tr n th la khai thác t p tốn ph n cơng th c bi n đ i l ng giác Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Ph Ng ng pháp d y h c mơn Tốn ih ng d n khoa h c Th.S Nguy n V n HƠ Hà N i - 2010 Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p L IC M N Trong th i gian nghiên c u hồn thành khóa lu n tơi nh n đ giúp đ nhi t tình c a th y cô giáo t ph cs ng pháp b n sinh viên khoa Qua mu n g i l i c m n sâu s c t i th y cô giáo t ph ng pháp , đ c bi t th y Nguy n V n HƠ ng i đ nh h ng cho l a ch n đ tài, d n d t ch b o t n tình chu đáo giúp tơi hồn thành nhanh chóng khóa lu n c a Xin c m n t t c th y cô giáo ! Sinh viên Tr n Th La Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p M CL C L ic m n Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung Ch ng I: C s lý lu n Bài toán l i gi i toán Ý ngh a c a toán Phân lo i tốn 12 Ph ng pháp tìm l i gi i c a toán: D a theo b c c a Polia Các phép suy lu n quy n p toán h c Ch ng II: ng d ng d y h c 18 21 H th ng hóa ki n th c 21 Các d ng t p 22 D ng 1: Tính giá tr c a m t góc b t k bi t giá tr hàm l 14 22 ng giác khác có liên quan đ n góc Tính giá tr bi u th c D ng 2: Rút g n bi u th c 34 D ng 3: Ch ng minh đ ng th c 44 D ng 4: Nh n d ng tam giác 63 D ng 5: Ph 74 ng trình l Ph n 3: K t lu n Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 ng giác 90 Khoá lu n t t nghi p PH N I: M U Lý ch n đ tài Trong ch ng trình Tốn trung h c ph thơng, l ng giác m t nh ng m ng ki n th c r t c b n quan tr ng Cu i ch 10 h c sinh đ sinh đ c h c v ph n l ng trình Tốn l p ng giác Ki n th c c b n đ u tiên h c c h c m t lo t cơng th c bi n đ i l ng giác nh : công th c c ng, công th c nhân đôi, công th c bi n đ i t ng thành tích, cơng th c bi n đ i tích thành t ng Song song v i nó, h c sinh l n l tđ quen v i d ng t p có liên quan ch ng h n: tính giá tr l ng giác c a c làm m t góc, ch ng minh đ ng th c, nh n d ng tam giác, rút g n bi u th c Sang đ n l p 11 l i có thêm ph n ph l ng trình l ng giác, vi c gi i ph ng giác c ng s d ng công th c bi n đ i l ng trình ng giác Nh m c ng c ki n th c, rèn luy n k n ng s d ng công th c bi n đ i l ng giác th y giáo đ t đ tài cho “ Khai thác t p toán ph n công th c bi n đ i l ng giác ’’ N i dung ch y u c a đ tài vi c phân chia d ng t p có liên quan đ n vi c s d ng công th c bi n đ i l ng giác sin, cosin, đ a m t lo t d ng t p giúp c ng c kh c sâu rèn luy n k n ng gi i toán cho h c sinh M c đích nghiên c u - Nghiên c u lý lu n v toán, vi c phân lo i tốn ph ng pháp tìm l i gi i tốn nh m m c đích xây d ng h th ng t p đa d ng phong phú, đáp ng yêu c u gi ng d y ph n công th c bi n đ i l giác tr ng ng ph thông - Xây d ng khai thác h th ng t p sách giáo khoa góp ph n nâng cao ch t l Sv: ng d y h c toán Tr n Th La -SP Toán 32 tr ng ph thơng Khố lu n t t nghi p Nhi m v nghiên c u tài nghiên c u n i dung : - C s lý lu n v toán, l i gi i toán, ý ngh a c a toán, phân lo i toán, ph ng pháp gi i tốn Tốn h c - Nghiên c u cơng th c bi n đ i l ng giác l p 10 tr ng ph thông Phân lo i d ng toán, khai thác xây d ng t p tốn có liên quan đ n công th c l Ph - ng pháp nghiên c u Nghiên c u lý lu n chung v toán l i gi i toán, ý ngh a toán, phân lo i toán, ph công th c bi n đ i l - ng giác sin, cosin ng pháp tìm l i gi i toán, ng giác Quan sát u tra th c ti n vi c gi i t p tốn ph n cơng th c bi n đ i l ng giác - T ng k t kinh nghi m - Th c nghi m giáo d c C u trúc khóa lu n Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung Bao g m ch ng là: Ch ng 1: C s lý lu n Ch ng 2: ng d ng d y h c Ph n 3: K t lu n Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p PH N II: N I DUNG CH NG I: C c lý lu n BƠi toán vƠ l i gi i c a bƠi toán 1.1 Bài toán Theo G.POLYA: Bài toán vi c đ t s c n thi t tìm ki m m t cách có ý th c ph ng ti n thích h p đ đ t đ n m t m c đích nh t đ nh trông th y rõ ràng, nh ng không th đ t đ c Trên c s đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y r ng: Bài toán s đòi h i ph i đ t t i m c đích Nh v y tốn có th đ ng nh t v i m t s quan ni m khác v toán: đ toán, t p 1.2 Các y u t c b n c a bƠi toán Trong đ nh ngh a v tốn ta th y có hai y u t h p thành c a m t tốn : S đòi h i c a tốn m c đích c a tốn Ví d : Cho đ ng tròn (O), (O’) c t thay đ i quay quanh B c t đ A B M t cát n ng tròn (O), (O’) l n l t t i M, N a Ch ng minh r ng trung tr c c a MN qua m c đ nh b Tìm t p h p trung m P c a MN Trong toán y u t c b n h p thành là: S đòi h i c a toán th hi n qua c m t "Ch ng minh r ng", “ Tìm t p h p’’ Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p M c đích c a tốn th hi n qua: '' Trung tr c c a MN qua m c đ nh ''; “ T p h p trung m P c a MN’’ Ví d : '' Ch ng minh r ng ph ng trình b c 3: x3 + ax2 + bx + c = ln có nghi m '' S đòi h i c a toán th hi n qua c m t " Ch ng minh r ng " M c đích c a tốn th hi n qua: '' ph ng trình b c 3: x3 + ax2 + bx + c = ln có nghi m '' 1.3 L i gi i c a bƠi toán L i gi i c a toán đ c hi u t p s p th t thao tác c n th c hi n đ đ t t i m c đích đ t Nh v y ta th ng nh t l i gi i, gi i, cách gi i, đáp án c a tốn M t tốn có th có : M t l i gi i Khơng có l i gi i Nhi u l i gi i Gi i đ c m t tốn đ c hi u tìm trình bày nh t m t l i gi i c a toán tr ng h p tốn có l i gi i, ho c lý gi i đ c tr c toán khơng gi i đ ng h p khơng có l i gi i Ví d : Bài tốn có nhi u l i gi i: '' Trong gi v a th v a gà M t tr m c ng b n ba đ u Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p H i có m y gà m y th ?'' Cách 1: Ph ng trình n G i x s gà (x nguyên d Ta có ph Gi i ph ng) Do s th 43-x ng trình là: 2.x + 4.(43 - x) = 100 ng trình ta đ c x=36 Tr l i: S gà 36 con, s th Cách 2: H ph ng trình n G i x s gà (x nguyên d G i y s th (y nguyên d Ta có h ph Gi i h ph ng) ng)  x + y = 43 ng trình :   2x  4y = 100 ng trình ta đ c x= 36, y= Tr l i: S gà 36 con, s th Cách 3: Gi thi t t m Gi s 43 v t đ u gà c V y s chân c a 43 v t là:  43= 86 (chân) S chân h t là: 100 - 86 = 14 (chân) S chân h t so v i u ki n cho ta gi s t t c 43 v t đ u gà c , t c ta b t m i chó chân V y s th là: 14 : = (con), s gà là: 43 - = 36 (con) Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p Tr l i: S gà 36 con, s th Cách 4: Gi thi t t m Gi s 43 v t đ u th c V y s chân c a 43 v t là:  = 172 (chân) S chân d là: 172 - 100 = 72 (chân) S chân d so v i u ki n cho ta gi s t t c 43 v t đ u th c , t c ta thêm vào cho m i gà chân V y s gà là: 72 : = 36 (con), s chó là: 43 - 36 = (con) Tr l i: S gà 36 con, s th Cách 5: Gi thi t t m Gi s c 43 v t gà c ng nh th đ u chân Do s chân c a 43 v t s là:  43 = 129 (chân) S chân d : 129 - 100 = 29 (chân) S chân d 29 chân ta gi s gà chó đ u chân, t c ta t ng lên cho m i gà chân đ ng th i gi m m i th chân V y 29 chân d s gà l n h n s th 29 Do ta có: S th : (43 - 29) : = (con) S gà : + 29 = 36 (con) Tr l i: S gà 36 con, s th Ủ ngh a c a bƠi toán Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 Khoá lu n t t nghi p 2.1 C ng c ki n th c c b n cho h c sinh Trong th c t m t toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán h c k t lu n toán h c Khi gi i m t tốn đòi h i ta ph i phân tích d ki n c a toán, huy đ ng ki n th c cho đ toán ki n th c bi t khác có liên quan t i tốn, t ng h p l i đ đ ki n th c m i Và c nh v y ki n th c m i tìm l i ki n th c bi t tr cđ c phân tích, t ng h p l i đ đ ki n th c m i n a Cu i đ n đ c l i gi i c a toán Nh v y gi i m t tốn khơng nh ng ch ki n th c có toán mà c m t h th ng ki n th c liên quan t i tốn c ng đ Ví d : c c ng c qua l i nhi u l n Tìm m đ đ th sau ti p xúc nhau: cos x  cosx  y  xsinx  m y  Gi i đ th ti p xúc ch khi: 1  cos x  cosx   xsinx  m 2    cosxsinx  sinx  xcos x  sinx 1  cos x  cosx   xsinx  m  2  cosx(x  sinx)   1  cos x     Sv:  cosx   xsinx  m  cosx    x  sinx  Tr n Th La -SP Toán 32 10 Khoá lu n t t nghi p Khi (1)  5(sinx + (cosx – sinx )( + 2sin2x) ) = + cos2x + 2sin2x  5(sinx – sinx + cosx) = + 2cos2x –  2cos2x – 5cosx + =  cosx     cosx    cosx   x    2k (k  Z) Do x  (0 , ) nên x = , Bài 5: Gi i ph ng trình 5sinx – = 3(1 – sinx )tan2x ( T H ậ B ậ 2004 ) sin2x + cos2x – 3sinx – cosx + = ( T C GTVT ậ 2007 ) Gi i k: cosx   sinx   1 Ta có: 5sinx – = 3(1 – sinx )tan2x sin2x  5sinx – = 3(1 – sinx ) cos2x sin2x  5sinx – = + sinx  sin x + 3sinx – =  sinx = Sv: (tho mãn u ki n sinx ≠ ±1) Tr n Th La -SP Toán 32 81 Khoá lu n t t nghi p   x   2k   x   2k  (k Z) sin2x + cos2x – 3sinx – cosx + =  2sinxcosx + – 2sin x – 3sinx – cosx + =  (2sinx - 1) (cosx – sinx - 2) = si nx     co sx si nx   sinx    x   2k   (k Z)  x   2k  Bài 6: Gi i ph ng trình: cos23x cos2x - cos2x = ( T H - A ậ 2005 ) Gi i cos23x cos2x - cos2x =  (1 + cos6x)cosx – (1 + cos2x) =  cos6xcosx – =  cos8x + cos4x – =  2cos 4x + cos4x – =  cos x    cos x    Sv:  cos4x   x  Tr n Th La -SP Toán 32 k (k Z) 82 Khoá lu n t t nghi p BƠi 7: (SBT S 11 trang 14) Dùng công th c bi n đ i tích thành t ng đ gi i ph ng trình: sinx sin7x = sin3x sin5x sin5x cos3x = sin9x cos7x cosx cos3x - sin2x sin6x - sin4x sin6x = sin4x sin5x + sin4x sin5x – sin2x sinx = Gi i sinx sin7x = sin3x sin5x  cos6x – cos8x = cos2x – cos8x  cos6x = cos2x  x = k (k Z) sin5x cos3x = sin9x cos7x  sin8x + sin2x = sin16x + sin2x  sin16x = sin8x k   x    k x   24 12  (k  Z) cosx cos3x - sin2x sin6x - sin4x sin6x =  cos4x + cos2x – (cos4x – cos8x ) – ( cos2x - cos10x) =  cos10x = cos8x Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 83 Khoá lu n t t nghi p  x   k   k x   18  (k Z) sin4x sin5x + sin4x sin5x – sin2x sinx =  sin4x sin5x + (cosx – cos7x + cos3x – cosx ) =  sin4x sin5x + sin5x sin2x =  sin5x ( sin4x + sin2x ) =  sin5x    sin4x   sin2x k   x   k   x    x    k  II (k  Z ) BÀI T P LUY N T P, M Bài 1: Gi i ph R NG, NÂNG CAO ng trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = (2) Gi i Ta có: 5x 3x x 5x (2)  2cos cos + 2cos cos =  2cos Sv: 5x 3x x (cos + cos 2 2) = Tr n Th La -SP Toán 32 84 Khoá lu n t t nghi p  cos 5x x cos 2 cosx = 5x  cos   x   cos   cosx    Bài 2: Gi i ph 2k  x     x   2k  x   k  (kZ) ng trình: 1 sin(x + ) – sin(2x - ) = 2 4(sin4x + cos4x) + cos4x + sin2x = Gi i 1 sin(x + ) – sin(2x - ) =  sin(x +  ) = sin(2x - ) + sin sin(x + ) = 2sinx cos(x - )  (1 - sinx ) cos(x - 6) =  sinx    cos(x  )   Tr Sv:   x   2k   x  k  (k   ) c h t ta có : Tr n Th La -SP Tốn 32 85 Khoá lu n t t nghi p sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - sin2x cos2x = - sin 22x nên 4(sin4x + cos4x) + cos4x + sin2x =  - sin 2x + cos4x + sin2x = 2  - sin 2x + - sin 2x + sin2x =  sin 2x - sin2x – = sin2x      sin2x   Bài : Gi i ph  sinx    x   k (kZ) ng trình : sin3x + cos3x + 2cosx = cos2x + = 2(2 – cosx)(sinx – cosx) cos3x sin3x + sin3x cos3x + 3 cos4x = sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – Gi i sin3x + cos3x + 2cosx =  3sinx – 4sin x + cos x – 3cosx + 2cosx =  3sinx – 4sin3x + cos3x – cosx = Vì cosx = khơng nghi m nên chia c v cho cos3x ta đ c: 3tanx (1 + tan2x) - 4tan3x + – (1 + tan2x) =  tan x + tan x – 3tanx - = Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 86 Khoá lu n t t nghi p  (tanx + 1)(tan x - 3) =  x    k   x    k   tanx    tanx   ( k  Z) cos2x + = 2(2 – cosx)(sinx – cosx)  (cos x – sin x) + = 2(2 – cosx)(sinx – cosx) 2  (sinx  cosx) 2(2  cosx)  sinx  cosx     (sinx – cosx) ( sinx - cosx + 4) – = t t = sinx – cosx = Ph ng trình cho tr thành:  t + 4t – = t(t + 4) – =  t 1  t  5 2 sin( x - ) =  sin( x - ) = Hay   x   2k x   2k  ( v it≤ 2) sin( x - ) ( k  Z) cos3x sin3x + sin3x cos3x + 3 cos4x =  (4cos x – 3cosx) sin x + (- 4sin x + 3sinx) cos x + 3 cos4x = 3  3 - 12cosx sin3x + 12sinx cos3x + 3 cos4x = 2  cosx sinx (cos x - sin x) +  2sin2x cos2x + Sv: 3 cos4x = cos4x = Tr n Th La -SP Toán 32 87 Khoá lu n t t nghi p  sin4x cos  sin(4x + + cos4x sin = cos k   x   24    k  x    ) = sin (k   ) sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4  sinx cosx – (1 – 2sin x) = 7sinx + 2cosx –  cosx (2sinx - 1) + (2sinx - 1) (sinx - 3) =  (2 cosx + sinx - 3) (2sinx - 1) = 2sinx     2cosx  sinx    sinx =    x   2k  x   2k   2sinx – = ( k  Z) BƠi 4: (SBT S 10 trang 14) Dùng công th c h b c d gi i ph sin2x + sin 22x + sin23x = ng trình 2 sin23x + sin 24x = sin25x + sin26x cos4 x = + cos4x cos22x – 3sin2x + cos2x = Gi i Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 88 Khoá lu n t t nghi p sin2x + sin 22x + sin23x =  3 (1 - cos2x + - cos4x + – cos6x) = 2  cos2x + cos4x + cos6x =  ( cos2x + 1) cos4x = k  x     x    k   2cos4x cos2x + cos4x = cos4x     cos2x   ( k  Z) sin23x + sin 24x = sin25x + sin26x  - cos6x + – cos8x = – c0s10x + - cos12x  cos6x + cos8x = c0s10x + cos12x  cos7x cosx = cos11x cosx cosx     cos7x  cos11x k  x    x  k  ( k  Z) cos4 x = + cos4x  2(1 + cos2x)2 = 2cos22x  + 2cos2x  x =  k =0 ( k  Z) cos22x – 3sin2x + cos2x = Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 89 Khoá lu n t t nghi p  cos 2x - (1 – cos2x) + (1 + cos2x) = 2  cos 2x + 2cos2x - = cos2x      cos2x   ( cos Bài 5: Gi i ph  =  x  x     k  k ( k  Z) ) ng trình cos10x cos20x cos5x cosx + cos2x + cos4x = sin5x sin10x sin20x cosx + cos2x + cos4x = tanx + tan2x + tan4x Gi i Tr c h tt ch ng minh công th c l ng giác sau: cos5x = (cos5x + cos3x) – (cos3x + cosx) + cosx  cos5x cosx = 2cos4x - 2cos2x + (1) sin5x = (sin5x + sin3x) – (sin3x + sinx) + sinx  sin5x cosx = 2sin4x - 2sin2x + tanx (2) K: cosx ≠ ; cos2x ≠ ; cos4x ≠ Áp d ng công th c (1) ta đ Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 c: 90 Khoá lu n t t nghi p (2cos4x - 2cos2x + 1) + (2cos8x - 2cos4x + 1) + (2cos16x - 2cos8x + 1) =  (cos4x - cos16x) + (cos8x - cos4x) + (cos16x - cos8x) =  cos16x = cos2x k  x    x  k  (k Z) K: cosx ≠ ; cos2x ≠ ; cos4x ≠ Áp d ng công th c (2) ta đ c: (2sin4x - 2sin2x + tanx) + (2sin4x - 2sin2x + tanx) + (2sin4x - 2sin2x + tanx) = tanx + tan2x + tan4x  (sin4x - sin2x) + (sin8x - sin4x) + (sin16x - sin8x) = k   x   sin16x - sin2x =  sin16x  sin2x   k x    18 Bài 6: Gi i ph ng trình: 12sin3x 4sinx 1 + 2cos2x + + 2cos6x ( k  Z) 36sin9x 27 + + 2cos18x = sin27x - 2cos2x - 4cos6x - 8cos18x -12 + + = cos3x cos9x cos27x cos27x Gi i Tr c h t ta ch ng minh công th c l ng giác sau: Ta có: 4sin3x = 3sinx - sin3x Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 91 Khoá lu n t t nghi p sin3x  = sinx sin3x sin3x sinx 4sinx = sin3x sinx + 2cos2x (3)  T ng t ta có: k: 2cos2x - = cosx cos3x cos3x (4) 1 sin27x ≠ ; cos2x ≠ - ; cos6x ≠- ; cos8x ≠ - Áp d ng cơng th c (3) ph ng trình cho t ng đ ng v i: 3 ( sin3x - sinx ) + 3( sin9x - sin3x ) + 9( sin27x - sin9x ) = 27 sin27x -  sinx =  x = 2 + 2k (kZ ) k: cos27x ≠ Áp d ng công th c (4) ph ng trình cho t ng đ ng v i: 2 (cosx - cos3x ) + 2( cos3x - cos9x ) + 4( cos9x - cos27x ) = - cos27x  cosx =  x = 2k Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 (kZ) 92 Khoá lu n t t nghi p PH N III: K T LU N N i dung ch y u c a đ tài vào vi c nghiên c u c s lý lu n v toán l i gi i toán, ti p theo vi c phân chia thành d ng t p có ng d ng công th c bi n đ i l t p c b n có ch đ ng giác sin, cosin tài ch vào d ng ng trình ph thơng Trong m i d ng t p l i c phân thành d ng t p c b n v i m c đích c ng c kh c sâu ki n th c v ph n công th c bi n đ i l ng giác cho h c sinh , t p luy n t p, m r ng, nâng cao v i m c đích rèn luy n k n ng, k x o, s linh ho t nhanh nh y vi c l a ch n công th c bi n đ i l ng giác sin, cosin đ tránh nh ng bi n đ i không c n thi t Hy v ng r ng thơng qua đ tài c a có th ph n giúp h c sinh h c t t h n ph n l đ n công th c bi n đ i l ng giác liên quan ng giác sin, cosin, đ ng th i v i b n thân có thêm t li u đ sau gi ng d y t p toán Do l n đ u tiên đ c ti p xúc nghiên c u v m t đ tài toán h c, đ ng th i v i kh n ng có h n c a b n thân ch c ch n s có nh ng thi u xót khơng th tránh kh i R t mong đ b n đ đ tài ngày đ Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 c s đóng góp c a t t c th y c hồn thi n h n 93 Khoá lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O Sách đ i s gi i tích 10 – 11 c b n nâng cao Sách t p đ i s gi i tích 10 – 11 c b n nâng cao Nguy n c ng - Nguy n V n V nh – 23 ph đ ng th c toán c c tr l Tr ng giác – NXB tr ng Quang Linh – ph luy n thi đ i h c b i d ng pháp chuyên đ b t ng pháp m i gi i toán l ng giác – Tài li u ng HS gi i - NXB HQG TPHCM – 2001 Nguy n Thành Minh - Tr n Quang Ngh a – Lâm V n Tri u – D Qu c Tu n - Gi i toán l ng ng giác – NXBGD PGS.TS Nguy n V n L c - Tr n Quang Tài - Nguy n H u T i Nguy n Trung Kiên - Ki m tra, đánh giá tr c nghi m t lu n toán 10, 11 (ban khoa h c t nhiên) – NXB HQG TPHCM Tr n Tu n i p – Ngô Long H u - Nguy n Phú Tr thi n sinh vào ng - Gi i thi u đ H, cao đ ng toàn qu c t n m h c 2002 – 2003 đ n n m h c 2009 – 2010 môn toán – NXBGD Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 94 Khoá lu n t t nghi p Sv: Tr n Th La -SP Toán 32 95 ... lý lu n v toán, l i gi i toán, ý ngh a c a toán, phân lo i toán, ph ng pháp gi i toán Toán h c - Nghiên c u công th c bi n đ i l ng giác l p 10 tr ng ph thơng Phân lo i d ng tốn, khai thác xây... c n c vào k t lu n c a toán: K t lu n c a toán cho hay ch a đ phân chia toán thành lo i: - Bài toán ch ng minh: Là toán k t lu n c a đ c đ a m t cách rõ ràng đ toán - Bài tốn tìm tòi: Là tốn... i toán Ng i ta d a vào ý ngh a c a vi c gi i toán đ phân lo i toán: Bài toán nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vài ki n th c k n ng đó, tốn nh m phát tri n t Ta có hai lo i toán nh sau: Bài toán