Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Trêng đại học sư phạm hà nội Khoa toán Nguyễn thị Hệ thống tập đường đáng ý mặt E Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học p.g.s nguyễn tâm Hà nội - 2013 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lêi cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm người thầy đà trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn đến thầy cô tổ hình học thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đà tạo điều kiện cho em hoàn thành khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa hoc nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô ban Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Khúa lun tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lêi cam ®oan Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm thầy, cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em đà tham khảo số tài liệu đà ghi phần tài liệu tham khảo Em khẳng định kết đề tài Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mục lục Mở đầu Ch¬ng 1: KiÕn thức đường đặc biệt mặt 1.1 §êng chÝnh khóc 1.2 §êng tiƯm cËn 1.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 1.4 Đường trắc địa Ch¬ng 2: HƯ thèng bµi tËp 11 2.1 §êng chÝnh khóc 11 2.2 §êng tiÖm cËn 18 2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 24 2.4 Đường trắc ®Þa 28 KÕt luËn 32 Tài liệu tham khảo 33 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mở đầu Lí chọn đề tài Hình học vi phân nhánh toán học sử dụng công cụ phương pháp phép tính vi phân, tích phân, đại số tuyến tính đại số đa tuyến để nghiên cứu vấn đề hinh học Hình học vi phân phát triển từ đầu kỉ XIX Gauss nhà tiên phong lĩnh vực hinh học vi phân Cuối kỉ XIX, tất nhà nghiên cứu tập hợp hệ thống hoá lại nhà toán học jeangaston darboux luigi bianchi Việc xây dựng hệ thống tập môn hình học vi phân giúp hiểu rõ chất nghiên cứu hình hình học Nhưng thời gian có hạn nên dừng lại việc xây đựng hệ thống tập đường đặc biệt mặt E Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Đối tượng nghiên cứu Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn phạm vi nghiên cứu Giới hạn nội dung: Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn đối tượng: Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn thời gian: tháng Giả thiết khoa học Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt giúp hiểu rõ tính chất đối tượng đặc biệt mặt, đồng thời tài liệu cho bạn sinh viên kho¸ sau -1- Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Ni Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức liên quan đến đường đặc biệt mặt Nghiên cứu dạng tập từ dễ đến khó đường đặc biệt măt Phương pháp nghiên cứu đề tài Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, đọc sách Dự kiến nội dung công trình Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn trình bày hai chương Chương 1: Lý thuyết đường đặc biệt mặt Chương 2: Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt -2- Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni kí hiệu Trong khoá luận này, em ®· sư dơng c¸c kÝ hiƯu sau: ru' : (u, v ) a ru' (u, v ) , rv' : (u, v ) a rv' (u, v ) lµ trường vectơ tiếp xúc dọc theo r " , M = n r " , N = n r " E = ru' ru' , F = ru' rv' , G = rv' rv' , L = n ruu uv vv r r T pS = ( p, a ) : a Ỵ ru' (u , v ), rv' (u , v ) { 0 0 } không gian tiếp xúc với S p ; S mặt hinh học, điểm p ẻ S , r :U đ S ,(u, v ) a r (u, v ) lµ tham số hoá địa phương gần p = r (u , v ) 0 Các vectơ T , N , B phương tiếp tuyến, pháp tun chÝnh, trïng ph¸p tun cđa cung song chÝnh quy K p độ cong Gauss mặt định hướng E k độ cong cung quy k% độ cong pháp dạng mặt định hướng E theo phương hp ánh xạ Weingarten hay ánh xạ dạng mặt định hướng S E -3- Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Ni Chương kiến thức đường đáng ý mặt E Trong chương em trình bày kiến thức đường đáng ý mặt: đường khúc; đường tệm cận; độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa 1.1 Đường khúc Định nghĩa 1.1: Cho mặt định hướng S E Một đường có phương tiếp tuyến điểm r S r phương S gọi đường khúc Tính chất 1.1: Nếu điểm S điểm rốn đường S đường khúc Thật vậy, giả sử điểm p ẻ S điểm rốn Khi đó, % k% 1( p) = k2( p) nên p phương phương Do phương tiếp xúc p phương Do p nên đường S đường khóc TÝnh chÊt 1.2: r : J ® S , t a r (t ) đường khúc mặt định hướng S (n o r )' Pr ' , với n trường pháp vectơ đơn vị S Chứng minh: Gọi k%(t ) độ cong S r (t ) r đường khúc chØ r '(t ) chØ ph¬ng chÝnh cđa S , tøc hp (r '(t )) = k%(t ).r '(t ) (1) -4- Khúa lun tt nghip Mặt khác, theo Trng HSP H Ni định nghĩa ánh xạ Vaigacten ta cã: hp (r '(t )) = - (n o r )'(t ) (2) Tõ (1) vµ (2), suy (n o r )'(t ) Pr '(t ) Tính chất 1.3: Cho mặt định hướng S E , điểm p ẻ S , tham số hoá địa phương gần p r :U đ S , (u, v ) a r (u, v) t¬ng thÝch híng S p , đường r S có tham số hoá r : J đ S , t a r (t ) Khi đó, r đường khúc gần p v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t) E F G =0 L M N Chứng minh: Do r tham số hoá địa phương tương thích gần p nên ta có: r (t ) = r (u(t ), v(t )) , r '(t ) = u '(t ).ru' + v '(t ).rv' Hơn nữa, r khúc gần p r ' (t ) phương S r (t ) áp dụng công thức tìm phương suy r khúc gần p v'2(t) - u'(t).v'(t) u'2(t) E L 1.2 F M G =0 N §êng tiƯm cËn §Þnh nghÜa 1.2: Cho S Ì E định hướng, p ẻ S , v ẻ TpS , v gọi vectơ phương tiệm cận độ cong pháp dạng % k(v) = -5- Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ta gọi v phương tiệm cận S p Đường r S đường tiệm cận S tiếp tuyến điểm có phương phương tiệm cận, hay p ẻ S ta ' có r (t ) ph¬ng tiƯm cËn TÝnh chÊt 1.4: Cho S Ì E định hướng xác định trường pháp vectơ đơn vị n Đường r S có tham số hoá địa phương n đường tiệm cận S vµ chØ (n o r )' ^ r ' Chứng minh: r đường tiệm cận k%(r '(t )) = Û hp (r ' ).r ' = Û - (n o r )'.r ' = Û (n o r )'.r ' = Û (n o r )' ^ r ' Ta cã ®iỊu phải chứng minh Tính chất 1.5: Đường song quy mặt định hướng S è E đường tiệm cận mặt phẳng mặt tiếp r điểm tiếp diện S điểm Chứng minh: Giả sử r có tham số hoá gần p ẻ S là: r : s ® r (s ) theo tham sè hoá tự nhiên s -6- Khúa lun tt nghip Trường ĐHSP Hà Nội Cung v = v0 cã v '(t ) = , thay vào phương trình vi phân đường tiệm cận (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = ta (u '(t ))2.L = chØ L = VËy v = v0 đường tiệm cận L = Tương tự, u = u đường tiƯm cËn vµ chØ N = Bài 2.13: Trong E với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số hoá r : Ă Ă đ E xác định r (u, v) = (cos v, sin v, u ) HÃy tìm đường tiệm cận S Giải Giả sử đường tiệm cận S có phương trình vi phân là: (u '(t ))2.L + 2.u '(t ).v '(t ).M + (v '(t ))2.N = (1) Ta cã: ru' = (0, 0, 1) rv' = (- sin v, cos v, 0) '' = (0, 0, 0) ruu '' = (0, 0, 0) ruv rvv'' = (- cos v, - sin v, 0) r ' Ùrv' = (- cos v, - sin v, 0) u r ' Ùrv' = u r ' Ùr ' n = ru' rv' = (- cos v, - sin v, 0) ru Ùrv L = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = M = (- cos v, - sin v, 0).(0, 0, 0) = N = (- cos v, - sin v, 0).(- cos v, - sin v, 0) = Thay L, N , M vào (1) ta được: v '2(t ) = v '(t ) = Û v(t ) = c Vậy họ đường tiệm cận v = c Bài 2.14: Cho tham số hoá mặt Enneper 3 r (u, v ) = (u - u + uv 2, v - v + vu 2, u - v ) 3 Chøng minh r»ng: C¸c đường u v = const đường tiệm cËn Gi¶i Ta cã: ru' = (1 - u + v 2, 2uv, 2u ) - 19 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội rv' = (2uv, - v + u 2, - 2v) '' = (- 2u, 2v, 2) ruu '' = (2v, 2u, 0) ruv rvv'' = (2u, - 2v, - 2) ru' Ùrv' = (- 2uv - 2u - 2u 3, 2u 2v + 2v + 2v 3, - 2u 2v - u - v ) 3 2 4 n = ( - 2uv -' 2u' - 2u , 2u v +' 2v +' 2v , - 2u v' - u' - v ) ru Ùrv ru Ùrv ru Ùrv 2 L = 4u + 2u + 4u' v +' 4v + 2v + ru Ùrv M= - (4u + 2u + 4u 2v + 4v + 2v + 2) N= ru' Ùrv' Thay L, N , M vào phương trình vi phân đường tiệm cận ta ®ỵc: Û Û Û é '2 (t ) ëê é '2 (t ) êë ù v ' 2(t )úú.L = û ù v ' 2(t ) ú= éu ' = v ' ê ê ê ' ' = - v êë éu - v = c ê ê + v = c ê êë ú û (do L > " (u, v )) Như đường u v = const đường tiệm cận Bài 2.15: Xác định đường khúc mặt Helicoid xác định tham sè ho¸ r (u, v ) = (cos u sin v, sin u sin v, cu ) c ¹ Ta cã: ru' Gi¶i = (- sin u sin v, cos u sin v, c) rv' = (cos uco s v, sin uco s v, 0) r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0) uu '' ruv = (- sin uco s v, cos uco s v, 0) r " = (- cos u sin v, - sin u sin v, 0) vv - 20 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội r ' Ùrv' = (- c sin u cos v, c cos u cos v, - sin u cos v) u ru' Ùrv' = cos v c + sin v n= ổ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ çè L= M= cos u 2 c + sin v , sin u 2 c + sin v ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ sin v ø÷÷ sin v , c2 + c cos v c + sin v N =0 Thay L, N , M vào phương trình vi phân đường tiệm cận ta được: 2.u '(t ).v '(t ) Û Û é ' êv = ê ê ' = ê ê êcos v = ê ë éu = u ê ê êv = v ë c cos v 2 c + sin v =0 Vậy đường tiệm cận mặt Helicoid lµ v = v0, u = u Bài 2.16: Xác định đường tiệm cận mặt Catenoid xác định tham số hoá r (u, v ) = (cos v cos u, cos v sin u, v) Ta cã: ru' Gi¶i = (- cos v sin u, cos v cos u, 0) rv' = (- sin v cos u, - sin v sin u, 1) r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0) uu '' ruv = (- sin v sin u, sin v cos u, 0) r " = (- cos v cos u, - cos v sin u, 0) vv r ' Ùrv' = (cos v cos u, cos v sin u, cos v sin v) u ru' Ùrv' = cos v + sin v - 21 - Khúa lun tt nghip n= L= ổ ỗỗ çç çç çç çè cos u 1+ sin v Trường ĐHSP Hà Nội , sin u 1+ sin v , ư÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ sin v ÷÷ø sin v 1+ cos v 1+ sin v M=0 - cos v N= 1+ sin v Thay vào phương trình vi phân ®êng tiƯm cËn ta ®ỵc: cos v é '2 ù (t ) - v ' 2(t ) ú =0 ú ëê û 1+ sin v éu ' = v ' ê ê Û êêu ' = - v ' êcos v = ê Û ë é - v = c ê ê + v = c ê ê p ê + k p, k ờv = ờở ẻ  Bài 2.17: Cho mét ®êng song chÝnh quy r E víi mơc tiªu Frene (T , N , B ) däc theo r Giả sử r đường tiệm cận mặt r S è E đinh hướng trường pháp vectơ đơn vị n S Gọi t độ xoắn r Chøng minh r»ng: a) h(T ) = ± t N b) K ( p) = - t 2( p), " p ẻ r Giải a) Lấy tham số hoá tự nhiên địa phương r s đ r (s ) Do r đường tiêm cận S nên theo công thức Meusnier ta có: = k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = k%(r '(s )), k (s ) độ cong r p = r (s ) Vì r song quy nên k (s ) nªn tõ k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = , suy N (s ).(n o r )(s ) = , hay (n o r )(s ) ^ N (s ) Mặt khác: (n o r )(s ) ^ T (s ) Do ®ã, (n o r )(s ) P(T (s ) Ù N (s )) = B (s ) - 22 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do n , B hai vectơ đơn vị, phương nên (n o r )(s ) = B (s ) Khi ®ã, ta cã: hp (T (s )) = - (n o r )'(s ) = ± B (s ) = ± t (s ).N (s ) VËy h(T ) = ± t N b) §Ĩ tÝnh K p ta tÝnh qua ma trËn cđa hp sở T pS ta đà chứng minh N (s ) ^ (n o r )(s ) L¹i cã T (s ) ^ (n o r )(s ) Do ®ã T (s ), N (s ) ẻ T pS (T , N ) sở T pS Ta cã thÓ khai triÓn hp (N (s )) = aT (s ) + b.N (s ) Khi ®ã, hp (N (s )).T (s ) = (aT (s ) + b.N (s )).T (s ) = a Mặt khác, hp (N (s )).T (s ) = hp (T (s )).N (s ) = N (s ).(± t (s ).N (s )) = ± t (s ) Suy ra, a = ± t (s ) Do ®ã, ta cã hp (T ) = ± t N , hp (N ) = ± t T + b.N V× vËy ma trËn cđa hp là: A= ổ0 ỗỗ ỗỗ ỗỗ t ố t ÷ư÷ ÷ ÷ b ÷÷÷ø Do ®ã, K p = A = - t Bµi 2.18: Trong E cho mặt S định hướng trường pháp vectơ r đơn vị n dọc theo S đường song chÝnh quy r trªn S Chøng minh r»ng r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận r nằm tiếp diện cđa S däc theo r Gi¶i Gi¶ sư r : s đ r (s ) tham số hoá tự nhiên địa phương r Điều kiện cần: Giả sử r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận Khi đó, h(r '(s )) Pr '(s ) vµ k%(r '(s )) = Do ®ã h(r '(s )) Pr '(s ) vµ k%(r '(s )) = h(r '(s )) r '(s ) = Suy h(r '(s )) Pr '(s ) vµ h(r '(s )) ^ r '(s ) VËy h(r '(s )) = , suy (n o r )'(s ) = Do vËy (n o r )(s ) = const lân cận p = r (s ) Mặt khác, theo công thức Meusnier ta cã: k%(r '(s )) = k (s ).N (s ).(n o r )(s ) = Vì r song quy nên k (s ) ®ã N (s ).(n o r )(s ) = , hay (n o r )(s ) ^ N (s ) Mặt khác: (n o r )(s ) ^ T (s ) Do ®ã, (n o r )(s ) P(T (s ) Ù N (s )) = B (s ) - 23 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do n , B lµ hai vectơ đơn vị, phương nên (n o r )(s ) = ± B (s ) , suy B (s ) = const (tại lân cận p = r (s ) ) Khi ®ã, B (s ) = - t (s ).N (s ) = , suy t (s ) = VËy r cung phẳng lân cận p = r (s ) vµ thc vµo tiÕp diƯn cđa S däc theo r lân cận p = r (s ) Điều kiện đủ: Giả sử r nằm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc theo r (n o r )(s ) = const nªn (n o r )'(s ) = , suy h(r '(s )) = Khi ®ã, h(r '(s )) Pr '(s ) vµ k%(r '(s )) = VËy r vừa đường khúc vừa đường tiệm cận Bài 2.19: Trong E cho đường cong quy g Gọi S mặt kẻ tạo bëi c¸c ph¸p tun chÝnh cđa g Chøng minh g đường tiệm cận S Giải Giả sử g có tham số hoá tự nhiên địa phương r :J đ E , u đ r (u ) có vectơ pháp tuyến N (u ) Khi mặt kẻ S có tham số hoá địa phương xác định r (u, v) = r (u ) + v.N (u ) Ta cã: ru' = r ' + v.N ' = r ' + v.(- k T + t B ) = T + v.(- k T + t B ) = (1 - k v ).T + v.t B rv' = N (s ) ru' Ù rv' = é(1- k.v).T + v.t B ùÙ N (s ) = (1 - k v ).B - t vT êë úû ru' Ù rv' = (1- k v)2 + v t Lấy hướng S xác định trường pháp vectơ đơn vị : r ' r ' (1- k v ).B - t vT n o r = u' v' = ru Ù rv 2 (1- k v) + v t Ta cã: (n o r )(s ) = B (s ) nªn (n o r )'(s ) = B '(s ) = - t N (s ) Suy độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến g là: h (T ).T - (n o r )(s ).T k%(T ) = p = = t N T = 1 T Hay phương tiếp tuyến điểm S phương tiệm cận Vậy g đường tiệm cận 2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa Bài 2.20: Mọi cung thẳng mặt S è E cung tiền trắc địa Thật vậy, cung thẳng cã ®é cong k (t ) = Do ®ã kg (t ) = 0, " t Ỵ J - 24 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP H Ni Vậy cung thẳng cung tiền trắc địa Bài 2.21: Trong E , mặt S nằm mặt phẳng, r cung quy định hướng S Chứng minh rằng: độ cong trắc địa r độ cong cung phẳng r Giải Lấy mục tiêu trực chuẩn oxyz E cho S nằm mặt phẳng oxy Giả sử r có tham số hoá r (t ) = (x (t ), y(t ), 0) Ta cã: r '(t ) = (x '(t ), y '(t ), 0) r "(t ) = (x "(t ), y "(t ), 0) r '(t ) Ù r "(t ) = (0, 0, x '(t ).y "(t ) - x "(t ).y '(t )) (n o r )(t ) = (0, 0, 1) , (chØ híng oz , r '(t ) = x ' 2(t ) + y ' 2(t ) ) Suy ra: kg (t ) = (r '(t ) Ù r "(t )).(n o r )(t ) r '(t ) = x ' (t ).y "(t )- x "(t ).y ' (t ) '2 '2 (x (t ) + y (t )) = k(t ) Bµi 2.22: Trong E cho đường đinh ốc tròn r nằm mặt trụ tròn xoay S Với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz E phương trình S x + y = a (a > 0) Phương trình tham số cđa r lµ r (u ) = (a cos u, a sin u, bu ) Tính độ cong trắc ®Þa cđa r Ta cã: r '(t ) = Gi¶i (- a sin u, a cos u, b) r "(t ) = (- a cos u, - a sin u, 0) V× ỉ- a sin u - a sin u a cos u a cos u b ửữữ ỗ ữ = a nên rank ỗỗỗ = ữ ữ ỗỗ- a cos u - a sin u 0÷ - a cos u - a sin u ÷ ố ứ Do r cung song quy, hay r có đọ cong trắc địa Măt trụ S cã thĨ tham sè ho¸ bëi r (u, v ) = (a cos u, a sin u, bv ) ru' = (- a sin u, a cos u, 0) rv' = (0, 0, v ) ru' Ùrv' = (ab cos u, ab sin u, 0) - 25 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ru' Ùrv' = ab Lấy hướng S xác định (n o r ) = ru' Ùrv' ru' Ùrv' = (cos u, sin u, 0) r ' Ù r " = (ab sin u, - ab cos u,a ) , r ' = a + b2 kg = (r ' Ù r ").(n o r ) r' =0 Bµi 2.23: Trong E cho mặt cầu S tâm O bán kính R , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị r Op n : p đ n ( p) = ( p; ) R H·y chøng minh rằng, g đường tiến trắc địa S g có ảnh nằm đường tròn lớn S Giải Lấy tham số hoá tự nhiên g r : J đ S , s a r (s ) cho r '(s ) = r r r r Ta cã: O r (s ).O r (s ) = R nªn r (s ).r '(s ) = , đạo hàm hai vế ta được: r r r r (r '(s ))2 + r (s ).r "(s ) = , suy r '' ¹ , hay k (s ) Do g đường tiền trắc địa Vì g đường tiền trắc địa nên N P(n o r ) Do n , N lµ hai vectơ đơn vị nên N = (n o r ) Theo c«ng thøc Frene, k T - t B = N ' = ± (n o r )' = mhp (r ' ) = mhp (T ) Mặt khác, độ cong mặt cầu S điểm R phương tiếp xúc p = r (s ) phương nên hp (T ) = ìT , suy k T - t B = m ìT Khi đó, t = 0, k = m R R R Do ®ã r cung phẳng có độ cong tuyệt đối R s s Ta cã: j (s ) = ò ds = suy ra, r (s ) = ( ò cos ds, ò sin s ds ) , hay R R R R s s r (s ) = (R sin , - R cos ) R R Vậy ảnh r nằm đường tròn tâm tâm O bán kính R ; tức cung trßn lín cđa S - 26 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bµi 2.24: Cho g đường song quy E Chứng minh g đường tiền trắc địa mặt kẻ tạo trùng pháp tuyến g Giải Giả sử r : J đ S , s a r (s ) lµ tham sè hoá tự nhiên g Gọi (T , N , B ) trường mục tiêu Frene g ; k, t độ cong, độ xoắn Khi đó, mặt kẻ tạo trùng pháp tuyến g xác định (s, v ) a r (s, v ) = r (s ) + v.B (s ) Gọi n trường vectơ đơn vị pháp tuyến mặt kẻ Ta có: rs' = r ' + v.B ' = r ' + v.(- t N ) = T - v.t N rv' = B (s ) rs' Ù rv' = (T - v.t N ) Ù B (s ) = - N - v.t T rs' Ù rv' = + v 2.t rs' Ù rv' = - N - v.t T ' ' rs Ù rv + v 2.t Dọc theo g v = nên n o r = - N (s ) L¹i cã, r " = T '(s ) = T '(s ) N (s ) = k (s ).N (s ) Do ®ã r " Pn o r , tøc g lµ n or = đường tiền trắc địa mặt kẻ xét Bài 2.25: Trong E cho mặt S định hướng trường vectơ dơn vị dọc theo S đường song quy r S Chứng minh rằng: r vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa r nằm mặt phẳng trực giao với S dọc theo r Giải Điều kiện cần: Giả sử r có tham số hoá tự nhiên địa phương s a r (s ) , r vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa Khi h(T (s )) P T (s ) vµ kg (s ) = Do ®ã, (n o r )' P T vµ (T Ù N ).(n o r ) = Tõ (T Ù N ).n = suy n ^ B Mặt khác, n ^ T nên n P(B T ) = N Hơn nữa, n , N hai vectơ đơn vị nên n = ± N V× (n o r )'(s ) P T (s ) n = N nên N ' PT , tøc N ' = - k T + t B P T Do ®ã, t = Vậy r cung phẳng r r r r Gọi P mặt phẳng chứa r N Ì P , ®ã n Ì P , suy P^ S - 27 - Khóa luận tốt nghip Trng HSP H Ni Điều kiện đủ: Giả sư r Ì P ^ S (däc theo r ) Khi ®ã, t = , r r r r n Ì P ®ã n = ± N suy (n o r )(s ).B (s ) = Lấy đạo hàm hai vế theo s ta được: (n o r )'(s ).B (s ) - (n o r )(s ).t (s ).N (s ) = Do t = nªn (n o r )'(s ).B (s ) = , suy n ' ^ B Măt khác, (n o r )'(s ) ^ (n o r )(s ) (do (n o r ) = ) suy n ' P T hay h(r '(s )) P r '(s ) Do ®ã r đường r r khúc Hơn nữa, n = ± N nªn k = (T Ù N ).n = Do r đường tiền g trắc địa Bài 2.26: Hai mặt S S% E tiếp xúc doạ theo đường r Chứng minh rằng: r đường tiền trắc địa S đường tiền trắc địa S% Giải Giả sử r đường tiền trắc địa S có tham số hoá t a r (t ) cho r " Pn o r , n trường vectơ đơn vị pháp tun cđa S Do S tiÕp xóc víi S% dọc theo r nên dọc theo r trường vectơ đơn vị pháp tuyến n% S% song song với n Suy r " Pn%o r , hay k (t ) = g Vậy r đường tiền trắc địa S% Bài 2.27: Hai mặt S S% E cắt trực giao dọc đường r Chứng minh rằng: r đường tiệm cận S đường tiền trắc địa S% Giải Giả sử r có tham số hoá tự nhiên s a r (s ) , (T , N , B ) lµ trêng mơc tiêu Frene r Gọi n , n% trường vectơ đơn vị pháp tuyến S , S% V× (n%o r ).(n o r ) = 0, n%.r ' = nªn (n%o r ) P((n o r ) r ' ) Do r đường tiƯm cËn trªn S nªn (n o r )' ^ r ' , tøc (n o r )' P r '' = T ' L¹i cã, n '.n = , ®ã r ''.(n o r ) = Mặt khác, r ".r ' = nên r " P((n o r ) Ù r ' ) VËy (n%o r ) P r " , tøc r đường tiền trắc địa S% 2.4 Đường trắc địa Bài 2.28: Nếu đường tham số r với tham số độ dài cung nằm mặt S nằm mặt phẳng P cắt trực giao với S r đường trắc địa - 28 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giải Gọi n trường pháp vec tơ đơn vị cđa S Do r ' = nªn r " ^ r ' Nhng r ', r " nằm mặt phẳng P cắt trực giao với S vectơ tiếp xúc S nên r " ^ S suy r " Pn VËy r đường trắc địa Bài 2.29: Cho mặt phẳng P E , định hướng trường vectơ pháp r tuyến đơn vị n với n = a = const Tìm tất cung tham số quy trắc địa P Giải Ta đà biết tham số hoá cung thẳng P cung tham số trắc địa Ngược lại, giả sư r : J ® P , t a r (t ) lµ mét cung tham sè chÝnh r r r r r quy trắc địa r " Pn Vì r " ẻ P nên r " ^ n Do ®ã r " = , suy r r r r r ' = v = const o (vì r quy), suy r (t ) = p + t v , p Ỵ r Vậy r tham số hoá cung thẳng Bài 2.30: Cho mặt cầu S bán kính R E , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hoá tự nhiên cung tham số trắc địa Giải Cho cung chÝnh quy r : J ® S , s a r (s ) , víi s lµ tham số hoá tự nhiên Trước hết ta chứng minh S r song quy Thật vậy, r không song quy r '(s ) Ù r "(s ) = Khi ®ã, k (s ) = , suy lân cận r (s ) cung đà cho cung thẳng mặt cầu chứa cung thẳng Vậy r song quy Giả sử r cung tham số quy trắc địa S Khi đó, r tiền trắc địa nên N P n Vì N , n vectơ đơn vị nên N = n Suy N ' = k T - t B = ± (n o r )' = mhp (r ' ), p = r (s ) Mặt khác độ cong mặt cầu S điểm phương tiếp xúc R p = r (s ) phương nên hp (T ) = ×T , suy R k T - t B = m ×T Khi ®ã, t = 0, k = m Do r cung R R phẳng có ®é cong tut ®èi ¹ R s Ta cã: j (s ) = ò ds = suy ra, r (s ) = ( ò cos s ds, ò sin s ds ) , hay R R R R - 29 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội s s , - R cos ) R R Vậy ảnh r nằm đường tròn tâm tâm O bán kính R ; tức cung tròn lớn S Ngược lại, r cung tròn lớn S có tham số hoá tự nhiên r : J đ S , s a r (s ) th× N (s ) P (n o r )(s ) , suy r "(s ) P(n o r )(s ) VËy r r (s ) = (R sin tham số hoá trắc địa Bài 2.31: Cho mặt trụ tròn xoay S E cã trơc quay V , b¸n kÝnh R , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hoá cung trắc địa Giải Lấy mục tiêu trực chuẩn oxyz mà V trục oz Phương trình tham số S cã d¹ng: r (u, v ) = (R cos u, R sin u, v) Gi¶ sư r : J đ S , t a r (t ) cung tham số quy trắc địa S Vì r (J ) ẻ S nên r (t ) = (R cos u(t ), R sin u(t ), v(t )) Lại có r : J đ S , t a r (t ) trắc địa nên r '(t ) = const vµ r " P(n o r ) ^ oz Do r '(t ) = R 2.u ' 2(t ) + v ' 2(t ) = const ®ã : r "(t ) = (R (cos u(t ))", R (sin u(t ))", v "(t )) ^ e3 = (0, 0, 1) (vect¬ e3 chØ ph¬ng oz ) Suy ra, r "(t ).e3 = Do ®ã, v "(t ) = suy v '(t ) = c = const (tại lân cận r (t ) ) suy v(t ) = c.t + d (d = const ) Thay v '(t ) = c vµo r '(t ) = const ta ®ỵc: R 2.u ' 2(t ) + c = const , suy u ' 2(t ) = const Vì u '(t ) nên u '(t ) = A = const , suy u(t ) = a.t + b, (b = const ) Nh vËy t¹i l©n cËn r (t ) ta cã: r (t ) = (R cos(a.t + b), R sin(a.t + b), c.t + d ) Do r chÝnh quy r r nên r ' o , a, c không đồng thời Ta xét trường hợp: Nếu c = lân cận r (t ) , ảnh r nằm vĩ tuyến cđa S NÕu a = 0, c ¹ ảnh r nằm kinh tuyến S Nếu a 0, c ảnh r nằm cung đinh ốc tròn cđa S - 30 - Khóa luận tốt nghiệp Trng HSP H Ni Ngược lại, với a, b, c, d cho a, c không đồng thời b»ng LÊy cung tham sè r (t ) = (R cos(a.t + b), R sin(a.t + b), c.t + d ) ảnh r nằm S r "(t ) = - R a 2(cos(a.t + b), sin(a.t + b), 0) Ta cã: r n = (cos u, sin u, 0) , ®ã r " P(n o r ) Nh vËy, r : J ® S , t a r (t ) lµ cung trắc địa S Tóm lại, cung quy mặt trụ S có tham số hoá trắc địa có ảnh nằm vĩ tuyến, kinh tuyến, cung đinh ốc tròn - 31 - Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đà bắt đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung nhiều Hình học vi phân, cụ thể đường đáng ý mặt, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận này, em đà nghiên cứu cách khái quát hệ thống tập đường đặc biệt mặt, xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến tập đường đặc biệt mặt thành công đề tài Như nói đề tài đà hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đà đặt Để hoàn thành khoá luận tôt nghiệp em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Hình học, thầy cô khoa Toán Mặc dù em đà có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy, cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! - 32 - Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh Hình học vi phân NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2000 Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân NXB Giáo Dục, Hà Nội, 1993 Phạm Đình Đô Hinh học vi phân Nhà xuất Đại học s ph¹m - 33 - ... thức đường đáng ý mặt E Trong chương em trình bày kiến thức đường đáng ý mặt: đường khúc; đường tệm cận; độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa 1.1 Đường khúc Định nghĩa 1.1: Cho mặt. .. lại việc xây đựng hệ thống tập đường đặc biệt mặt E Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tâp đường đặc biệt mặt Đối tượng nghiên cứu Bài tâp đường đặc biệt mặt Giới hạn phạm vi nghiên cứu... th× Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Ni Chương hệ thống tập Trong chương này, em đưa hệ thống tập đường đặc biệt mặt, đồng thời sử dụng kiến thức chương để giải tập 2.1 Đường khúc Bài 2.1: