Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
67
Dung lượng
0,98 MB
Nội dung
PH N I - M U 1.1 Lí ch n đ tƠi Ho t đ ng gi i toán lƠ ho t đ ng mƠ thông qua gi i bƠi t p, h c sinh ph i th c hi n nh ng ho t đ ng nh t đ nh bao g m c nh n d ng vƠ th hi n đ nh ngh a, đ nh lí, quy t c hay ph ng pháp, nh ng ho t đ ng toán h c ph c h p, nh ng ho t đ ng trí tu ph bi n Tốn h c Do v y địi h i ng ch đ o ho t đ ng d y h c ph i có ph i th y giáo - ng i gi vai trò ng pháp d y h c thích h p nh m nơng cao hi u qu trình nh n th c c a h c sinh, đáp ng yêu c u vƠ m c tiêu d y h c góp ph n lƠm đ c u đó, giáo viên c n l a ch n nh ng ki n th c c b n, tr ng tơm t ng bƠi h c, xơy d ng h th ng cơu h i, bƠi t p c ng c ki n th c, đ a h c sinh vƠo tình hu ng có v n đ Hình h c lƠ phơn mơn có tính h th ng r t ch t ch , có tính lơgic vƠ tính tr u t ng hóa cao h n so v i phơn mơn khác c a Tốn h c, có th nói hình h c lƠ phơn mơn khó mơn Tốn đ i v i nhi u h c sinh, đ c bi t lƠ ph n hình h c khơng gian l p 11, có ch ng “Quan h vng góc” V m t lí thuy t, đ nh ngh a vƠ tính ch t c a phơn mơn hình h c rõ rƠng, ng n g n, xác Tuy nhiên đ lƠm bƠi t p h c sinh lúng túng, ng nh n Vì v y c n đ a cho h c sinh nh ng bƠi t p v n d ng đ giúp h c sinh c ng c lí thuy t, rèn luy n k n ng, sáng t o m i c s nh ng u đƣ bi t Vì nh ng lí mƠ em ch n đ tƠi lƠ : “Khai thác bƠi t p ch đ “Quan h vng góc” (Hình h c 11)” 1.2 M c tiêu - nhi m v nghiên c u 1.2.1 M c tiêu nghiên c u - Nghiên c u lí lu n chung v bƠi t p toán h c - Nghiên c u ch đ quan h vng góc c a hình h c không gian l p 11 THPT - Khai thác bƠi t p ch đ “Quan h vng góc” 1.2.2 Nhi m v nghiên c u - Nghiên c u c s lí lu n nh m xơy d ng h th ng bƠi t p ph c v gi ng d y ch ng " Quan h vng góc" hình h c khơng gian l p 11 THPT PH N II – N I DUNG CH NG 1: C S Lí LU N 2.1.1 BƠi t p toán h c Bài t p toán h c có vai trị quan tr ng mơn Toán i u c n b n lƠ bƠi t p có vai trị giá mang ho t đ ng c a h c sinh Thông qua gi i bƠi t p, h c sinh ph i th c hi n nh ng ho t đ ng nh t đ nh bao g m c nh n d ng vƠ th hi n đ nh ngh a, đ nh lí, quy t c hay ph ng pháp, nh ng ho t đ ng Toán h c ph c h p, nh ng ho t đ ng trí tu ph bi n Toán h c Ho t đ ng c a h c sinh liên h m t thi t v i m c tiêu, n i dung vƠ ph đ ng pháp d y h c, v y vai trị c a bƠi t p tốn h c c th hi n c ba bình di n nƠy: Th nh t, bình di n m c tiêu d y h c, bƠi t p toán h c tr ng ph thông lƠ giá mang nh ng ho t đ ng mƠ vi c th c hi n ho t đ ng th hi n m c đ đ t m c tiêu M t khác, nh ng bƠi t p c ng th hi n nh ng ch c n ng khác h ng đ n vi c th c hi n m c tiêu d y h c mơn Tốn, c th lƠ: + Hình thƠnh c ng c tri th c, k n ng, k x o nh ng khơu khác c a trình d y h c, k c k n ng ng d ng Toán h c vƠo th c ti n + Phát tri n n ng l c trí tu : Rèn luy n nh ng ho t đ ng t duy, hình thƠnh nh ng ph m ch t trí tu +B id đ c c a ng ng th gi i quan v t bi n ch ng, hình thƠnh nh ng ph m ch t đ o i lao đ ng m i Th hai, bình di n n i dung d y h c, nh ng bƠi t p Toán h c lƠ giá mang ho t đ ng liên h v i nh ng n i dung nh t đ nh, m t ph đ hoƠn ch nh hay b sung cho nh ng tri th c nƠo đƣ đ ng ti n cƠi đ t n i dung c trình bƠy ph n lí thuy t Th ba, bình di n ph đ ng đ ng ng pháp d y h c, bƠi t p toán h c lƠ giá mang ho t i h c ki n t o nh ng tri th c nh t đ nh vƠ c s th c hi n m c tiêu d y h c khác Khai thác t t nh ng bƠi t p nh v y s góp ph n t ch c cho h c sinh h c t p ho t đ ng vƠ b ng ho t đ ng t giác, tích c c, ch đ ng vƠ sáng t o đ c th c hi n đ c l p ho c giao l u Trong th c ti n d y h c, bƠi t p s d ng v i nh ng d ng ý khác v ph ng pháp d y h c: m b o trình đ xu t phát, g i đ ng c , lƠm vi c v i n i dung m i, c ng c ho c ki m tra,… c bi t lƠ v m t ki m tra, bƠi t p lƠ ph ng ti n đ đánh giá m c đ , k t qu d y vƠ h c, kh n ng lƠm vi c đ c l p vƠ trình đ phát tri n c a h c sinh,… 2.1.2 Vai trò, ý ngh a c a bƠi t p toán 2.1.2.1 C ng c ki n th c c b n cho h c sinh Trong th c t , mơt bƠi t p tốn h c ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán h c vƠ k t lu n toán h c Khi gi i m t bƠi t p đòi h i ta ph i phơn tích d ki n c a bƠi t p, huy đ ng ki n th c đƣ cho đ bƠi vƠ ki n th c đƣ bi t có liên quan đ n bƠi t p, t ng h p l i đ đ ki n th c m i VƠ c nh v y ki n th c m i đ c tìm l i ki n th c đƣ bi t tr cđ c phơn tích, t ng h p l i đ đ ki n th c m i n a Cu i đ n đ cl i gi i bƠi t p Nh v y, gi i m t bƠi t p tốn h c khơng nh ng ch ki n th c đƣ có bƠi t p, mƠ c m t h th ng ki n th c liên quan t i bƠi t p c ng đ c c ng c qua l i nhi u l n 2.1.2.2 Rèn luy n phát tri n t cho h c sinh c m n i b t c a mơn tốn lƠ m t môn khoa h c suy di n, đ b ng ph c xơy d ng ng pháp tiên đ Do v y, l i gi i c a bƠi t p toán h c lƠ m t h th ng h u h n thao tác có th t ch t ch đ đ n m t m c đích rõ r t Vì v y gi i m t bƠi t p có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng suy lu n lơgic : Suy lu n có c n c đúng, suy lu n theo quy t c suy di n Chúng ta bi t r ng khơng có m t ph ng pháp chung nƠo đ gi i đ c m i bƠi t p toán h c M i bƠi t p có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i bƠi t p ph i bi t phơn tích, ph i bi t cách d đoán k t qu , bi t cách ki m tra d đoán, bi t cách liên h v i v n đ t ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p, khái quát hoá Nh v y, qua vi c gi i bƠi t p toán h c, n ng l c t sáng t o đ c rèn luy n vƠ phát tri n 2.1.2.3 Rèn luy n k n ng v n d ng ki n th c toán h c cho h c sinh M t nh ng yêu c u c a vi c n m v ng ki n th c c a b t c b môn khoa h c nƠo lƠ hi u, nh vƠ v n d ng ki n th c c a b mơn khoa h c vƠo vi c gi i quy t nhi m v đ t ra, t c lƠ gi i quy t đ c bƠi t p đ t l nh v c khoa h c Trong d y h c khái ni m toán h c: BƠi t p toán h c đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng nh m d n d t h c sinh có th đ n đ nh ngh a khái ni m, bƠi t p đ c s d ng đ lƠm ví d ho c ph n ví d minh h a cho khái ni m; BƠi t p toán h c đ c s d ng đ luy n t p, c ng c , v n d ng khái ni m Trong d y h c đ nh lý toán h c: BƠi t p tốn h c có th s d ng đ t ch c gơy tình hu ng d n d t h c sinh phát tri n n i dung đ nh lí tốn h c; BƠi t p có th s d ng đ h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ vi c t ch c h ng d n hoc sinh t p tìm l i gi i cho m t bƠi t p c b n, có nhi u ng d ng m t ph n hay m t ch ng nƠo c a môn h c Trong luy n t p toán h c: BƠi t p toán h c lƠ ph ng ti n ch y u ti t luy n t p, ơn t p Trong đó, giáo viên ph i xơy d ng đ c h th ng bƠi t p có liên quan ch t ch v i nhau, nh m giúp h c sinh c ng c ki n th c vƠ hình thƠnh m t s k n ng c b n nƠo 2.1.2.4 B id ng phát tri n nhân cách cho h c i m c b n tính cách ng rƠng gi i bƠi t p ta ln có đ nh h i lƠ : M i ho t đ ng đ u có m c đích rõ ng m c đích rõ r t, v y vi c gi i bƠi t p s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n n ng l c ho t đ ng c a ng m t bƠi t p nh t lƠ đ i v i bƠi t p khó, ng i gi i ph i v i gi i t qua nhi u khó kh n, ph i kiên trì, nh n n i vƠ nhi u ph i quy t tơm r t l n m i gi i đ c m t bƠi t p Ho t đ ng gi i bƠi t p lƠ nhơn t ch y u c a trình hình thành phát tri n nhơn cách ng 2.1.3 Ph i ng pháp tìm l i gi i bƠi t p toán h c 2.1.3.1 Ph ng pháp xuôi Xu t phát t gi thi t c a bƠi t p toán h c đ c l y lƠm ti n đ B ng suy lu n h p lơgic tìm h qu lôgic c a ti n đ Ti p t c ch n l c đ l y h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi t p lƠm ti n đ m i L i b ng suy lu n h p lôgic tìm h qu h p lơgic m i g n g i v i k t lu n C ti p t c q trình tìm đ c a bƠi t p tốn h c Khi y ta tìm đ Ph ng pháp nƠy đ c h qu lôgic trùng v i k t lu n c l i gi i cho bƠi t p c mô t theo s đ sau: A C X B D (trong A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n) 2.1.3.2 Ph ng pháp ng c ó lƠ q trình xu t phát t k t lu n c a bƠi t p B ng suy lu n h p lơgic ng c lên đ tìm ti n đ logic c a k t lu n Ti p t c, ch n l c đ l y ti n đ g n g i v i gi thi t m i c a k t lu n m i nƠy Quá trình y đ trùng v i gi thi t c a bƠi t p, ta đ Ph ng pháp nƠy đ c ti p di n ta tìm đ c ti n đ lôgic c l i gi i c a bƠi t p c mô t theo s đ sau: C A X D B A (trong A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n) 2.1.3.3 Ví d Ta c n ch ng minh m nh đ sau đơy : “ N u t di n ABCD ta có AB AC BD ta có AD H C CD D BC” Gi i: + Dùng ph ng pháp ng X B c Hình Mu n ch ng minh AD BC, ta ch c n tìm đ c m t m X cho AX BC va DX BC N u g i H tr c tâm c a tam giác ABC ta có AH BC Ta th xem DH có vng góc v i BC hay khơng? Chú ý r ng CH AB theo gi thi t CD AB v y DH AB; BH AC theo g a thi t BD AC, v y DH AC T suy DH BC, t ta có m nh đ đ c ch ng minh + Dùng ph ng pháp xuôi G i H tr c tâm c a tam giác ABC, ta có DH AC, ngồi theo gi thi t BD AC, v y DH AC Ta l i có CD AB theo gi thi t CD AB, v y DH AB DH AC DH AB nên DH BC Ta l i AH BC, AD BC + K t h p c hai ph Thông th xuôi vƠ ng 2.1.4 Ph ng pháp ng đ gi i đ oc bƠi t p, ta ph i k t h p c hai ph nng pháp c ng pháp chung đ gi i m t bƠi t p toán h c D a nh ng t t ng t ng quát v i nh ng g i ý chi ti t c a Pôlya (1975) v cách th c gi i bƠi t p toán h c đƣ đ c ki m nghi m th c ti n, ta có ph ng pháp chung đ gi i bƠi t p toán h c nh sau: - B c 1: Tìm hi u n i dung đ bƠi + Phát bi u đ bƠi d i nh ng d ng th c khác đ hi u rõ n i dung bƠi t p + Phơn bi t đƣ cho vƠ ph i tìm, ph i ch ng minh + Có th dùng cơng th c, kí hi u, hình v đ h tr cho vi c di n t đ bƠi - B c 2: Cách tìm l i gi i + Tìm tịi, phát hi n cách gi i nh nh ng suy ngh có tính ch t tìm đốn: bi n đ i đƣ cho, bi n đ i ph i tìm hay ph i ch ng minh, liên h đƣ cho ho c ph i tìm v i nh ng tri th c đƣ bi t, liên h bƠi t p c n gi i v i m t bƠi t p c t t , m t tr ng ng h p riêng, m t bƠi t p t ng quát h n hay m t bƠi t p nƠo có liên quan, s d ng nh ng ph ng pháp đ c thù v i t ng d ng toán nh ch ng minh ph n ch ng, quy n p toán h c, toán d ng hình, tốn qu tích v.v, + Ki m tra l i gi i b ng cách xem l i k t ng b qu tìm đ c th c hi n ho c đ c bi t hóa k t c ho c đ i chi u k t qu v i m t s tri th c có liên quan, + Tìm tịi nh ng cách gi i khác, so sánh chúng đ ch n đ - B c 3: Trình bƠy l i gi i T cách gi i đƣ đ g m b - B c cách gi i h p lí nh t c phát hi n, s p x p vi c ph i lƠm thƠnh m t ch c theo m t trình t thích h p vƠ th c hi n b ng trình c c 4: Nghiên c u sơu l i gi i + Nghiên c u kh n ng ng d ng k t qu c a l i gi i + Nghiên c u gi i bƠi t p t ng t , m r ng hay l t ng cv nđ Ví d : Cho hình chóp S.ABCD, SA (ABCD), ABCD hình vng, AE SB, AF SD Ch ng minh: SC (AEF) Gi i: +B c 1: Tìm hi u n i dung đ bƠi: Gi thi t: Cho hình chóp S.ABCD, SA mp(ABCD), ABCD hình vng, S AE SB, AF SD K t lu n: SC mp (AEF) +B c 2: S đ phơn tích tìm l i gi i : F D SC mp(AEF) SC AE AE mp(SBC) (Gi thi t) C E SC AF A B Hình AF mp(SBC) BC mp(SAB) BC AB BC SA (Gi thi t) +B SA mp(ABCD) c 3: Trình bƠy l i gi i: ( B ng ph ng pháp ch ng minh phân tích lên) Ta có : AE Mà Hoàn toàn t SC (1) ng t ta có SC AF (2) T (1) (2) ta có SC (AEF) +B c 4: Nghiên c u sơu l i gi i 2.1.5 Các cách khai thác bƠi t p toán 2.1.5.1 C u t o c a m t t p toán : g m có ba b ph n: - Nh ng đƣ cho - Cái ph i tìm - Các m i quan h S đ m it ng quan gi a ba b ph n c a bƠi t p toán vƠ ba b ph n c a phép Cái cho Thành ph n Cái ph i tìm K t qu Quan h 2.1.5.2 Các ph Phép tính gi i BƠi t p tính gi i ng pháp gi i Khai thác t p m i c s t p có 2.1.5.2.1 Các bƠi t p m i t ng t v i bƠi t p đƣ gi i - Sau h c sinh gi i xong m i bƠi t p, giáo viên có th d a vƠo bƠi t p mƠ ngh bƠi t p t ng t v i bƠi t p v a gi i Giáo viên l p đ toán theo ki u nƠy lƠ m t bi n pháp r t t t đ h c sinh n m v ng cách gi i bƠi toán lo i, giúp h c sinh n m rõ h n m i quan h gi a đ i l ng vƠ nh ng quan h b n ch t m i lo i toán Nh th mƠ h c sinh hi u bƠi t p nƠy sơu s c h n r t nhi u - BƠi t p có th đ c l p m i t bƠi t p đƣ cho thông qua cách sau: + Thay đ i s li u đƣ cho + Thay đ i đ i t ng đ toán +Thay đ i quan h đ toán + T ng ho c gi m đ i t ng đ toán +Thay m t nh ng ch đƣ cho b ng m t u ki n gián ti p + Thay đ i cơu h i c a bƠi t p b ng m t cơu h i khó h n - Ví d : A Bài t p 31/sgk nâng cao hình h c 11/trang 117: Cho hình l p ph B ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng BC’ vƠ CD’ D Gi i: C G’ A’ Ta có CD’ (ACD’) vƠ BC’ (A’BC’), mƠ (ACD’) // (A’BC’) vƠ CD’, BC’ G B’ D’ chéo nên kho ng cách gi a hai (ACD’) C’ Hình vƠ (A’BC’) b ng kho ng cách gi a BC’ vƠ CD’ M t khác, B’D c t hai (ACD’) vƠ (A’BC’) l n l DG = GG’ = G’B’ ng th ng B’D có hình chi u (ABCD) lƠ DB mƠ AC DB nên theo đ nh lí ba đ ng vng góc DB’ AC; c ng t ta có BD’ AD’ Suy DB’ (ACD’) Nh v y d(BC’, CD’) = - Các t p m i t t t i G vƠ G’ vƠ DB ' a 3 ng t : + Thay đ i s li u cho: ng t nh Cho hình l p ph hai đ ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 2a Tính kho ng cách gi a ng th ng BC’ vƠ CD’ ( Gi i t ng t vƠ ta có k t qu d(BC’, CD’) = + Thay đ i đ i t Cho hình l p ph đ DB ' 2a ) 3 ng đ tốn: ng EFGH.E’F’G’H’ có c nh b ng a Tính kho ng cách gi a hai ng th ng FG’ vƠ GH’ ( Gi i t ng t vƠ ta thay BC’ b ng FG’ vƠ CD’ b ng GH’ có k t qu d(FG’, GH’) = HF ' a ) 3 + T ng (ho c gi m) đ i t Cho hình l p ph ng đ tốn: ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a, m O lƠ giao c a AC vƠ BD,O’ lƠ giao c a A’C’ vƠ B’D’ Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng BC’ vƠ CD’ ( Gi i gi ng nh bƠi t p ban đ u vƠ ch thêm m O vƠ O’ vƠo hình v ta c ng có k t qu lƠ d(BC’, CD’) = DB ' a ) 3 + Thay m t nh ng ch cho b ng m t u ki n gián ti p: Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a Tìm đ ng vng góc chung c a đ ng th ng AC’ vƠ CD’ Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng y Gi i: Vì c nh đ u b ng a nên CD’ C’D.M t khác AD (CDD’C’) nên CD’ AC’ vƠ CD’ (AC’D) A D K IJ vng góc v i AC’ t i J IJ đ ng vng góc chung c a AC’ vƠ CD’ B C Ta tính kho ng cách gi a AC’ vƠ CD’ D th y I C'D IJ IC ' Suy IJ AD AC ' AD AC ' 10 A’ B’ J D’ C’ T ng t SO AC SO ( ABCD) SO BD T c lƠ SO (đpcm) b Theo ch ng minh cơu a SO SO AB L i có SH AB AB SOH (đpcm) Hình 10 Bài t p 3/Sgk c b n Hình h c 11/ Trang 113: Trong m t ph ng cho tam giác ABC vuông B M t đo n th ng AD vng góc v i m t ph ng t i A Ch ng minh r ng: a ABD lƠ góc gi a hai m t ph ng (ABC) vƠ (DBC) b M t ph ng (ABD) vng góc v i m t ph ng (BCD) Gi i: ( Hình 11) a D xác đ nh góc gi a hai m t ph ng ta xác K đ nh m t m t ph ng vng góc v i giao n H c a hai m t ph ng ban đ u Góc gi a hai giao A n c a m t ph ng th ba v i hai m t ph ng C ban đ u lƠ góc c n xác đ nh B Ta th y : Hình 11 BC lƠ giao n c a m t ph ng (ABC) vƠ m t ph ng (DBC) M t khác: AD ABC AD BC Do AB BC BC ABD 53 tam giác ABC vuông B Giao n c a m t ph ng (ABD) v i m t ph ng (ABC) vƠ (DBC) l n l t AB vƠ BD V y góc gi a hai m t ph ng (ABC) vƠ (DBC) lƠ góc ABD (đpcm) b Theo ch ng minh BC ABD mà BC BCD ABD BCD c Trong m t ph ng (ABC) v AH BD ( H BD) Trong m t ph ng (DBC) v HK / / BC ( K DC ) Ta s ch ng minh m t ph ng (AHK) lƠ m t ph ng (P) mƠ bƠi đƣ cho Th t v y, Theo ch ng minh BC ABD HK / / BC ( cách d ng) HK ( ABD) HK BD M t khác AH BD ( cách d ng) , t suy BD ( AHK ) m t ph ng (AHK) lƠ m t ph ng (P) hay nói cách khác HK / / BC v i H, K lƠ giao m c a (P) v i DB vƠ DC Bài t p 6/Sgk c b n Hình h c 11/ Trang 114: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD lƠ m t hình thoi c nh a vƠ có SA SB SC a Ch ng minh r ng: d M t ph ng (ABCD) vng góc v i m t ph ng (SBD) e Tam giác SBD tam giác vng S Gi i: ( Hình 12) a Vì ABCD hình thoi AC BD (1) G i O lƠ giao m c a AC vƠ BD D O lƠ trung m c a AC C Vì SA SC SAC đ nh S SO AC (2) O A T (1) vƠ (2) AC ( SBD) 54 B mà AC ( ABCD) ( ABCD) ( SAC ) (đpcm) Hình 12 b Ta có: BOC vuông t i O OB2 OC BC a (1) SOC vuông t i O OS OC SC a (2) T (1) vƠ (2) OB2 OS OB OS BD MƠ O lƠ trung m c a BD nên tam giác SBD có trung n SO b ng n a c nh đáy BD V y tam giác SBD vuông S (đpcm) Bài t p 11/Sgk c b n Hình h c 11/ Trang 114: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD lƠ m t hình thoi tơm I c nh a vƠ có góc A b ng 60 , c nh SC a vƠ SC vuông v i m t ph ng (ABCD) a Ch ng minh m t ph ng (SBD) vng góc v i m t ph ng (ABCD) b Trong tam giác SCA k IK vng góc v i SA t i K Hƣy tính đ dƠi IK 900 vƠ t suy m t ph ng (SAB) vng góc v i m t c Ch ng minh BKD ph ng (SAD) Gi i: ( Hình 13) a Vì ABCD hình thoi AC BD (1) Theo gi thi t SC ( ABCD) SC BD (2) S T (1) vƠ (2) BD (SAC ) Mà BD (SBD) (SAC ) ( SBD) (đpcm) K b Vì ABCD lƠ hình thoi c nh a vƠ có A 600 600 ; B D 1200 C D A AC BC BA2 BC.BA.cos1200 =2a a 3a I AC a C Trong tam giác vng CSA có: B Hình 13 55 SA2 SC CA2 SA 6a 18a 3a 4 3a 2 a a AI IK AI SC a Vì AIK ASC ( g.g ) IK AS SC AS 3a 2 V y IK a c Vì A 600 AB AD a ABD đ u BD a Tam giác KBD có KI IB ID Nh n xét : BD ( SAC ) a 600 KBD vuông t i K hay KBD SA ( SAC ) BD SA mà H n n a IK SA SA ( KBD) lƠ góc gi a m t ph ng MƠ SA lƠ giao n c a (SAB) vƠ (SAD) suy BKD (SAB) vƠ m t ph ng (SAD) V y ( SAB) ( SAD) (đpcm) Bài t p 28/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 112: Cho tam giác ABC vƠ m t ph ng (P) Bi t góc gi a m t ph ng (P) vƠ m t ph ng (ABC) 900 ; hình chi u c a tam giác ABC m t ph ng (P) lƠ tam giác A’B’C’ Ch ng minh r ng: SA' B'C ' SABC cos , đơy kí hi u SA' B 'C ' SABC l n l t lƠ di n tích tam giác A’B’C’ vƠ tam giác ABC A Gi i: + Tr ng h p 1: Tam giác ABC có m t c nh, ch ng h n BC n m m t ph ng (P)(Hình 14a) G i A’ lƠ hình chi u c a A m t ph ng (P) K đ A’ ng cao A’H c a tam giác A’BC ( H BC ) AH lƠ đ B ng cao c a tam giác ABC H P 56 C AHA' , A' H AH cos 2 Ta có : SA' BC BC AH ' BC AH cos SABC cos + Tr Hình 14 a ng h p 2: c nh BC c a tam giác ABC song song v i m t ph ng (P) (Hình A 14b).Xét m t ph ng (Q) ch a BC vƠ song song v i m t ph ng (P), g i giao m c a AA’ v i m t ph ng (Q) lƠ A” Khi đó, d th y: B A’’ H A" BC A' B ' C ' ; C góc gi a m t ph ng(ABC) vƠ m t ph ng (Q) b ng Do đó: B’ SA' B'C ' SA" BC SABC cos + Tr C’ P ng h p : Tam giác ABC khơng có A’ c nh nƠo song song hay n m m t ph ng (P) Hình 14 b Ta có th gi s m t ph ng (P) qua m A cho đ nh B, C v m t phía đ i v i m t ph ng (P) (Hình 14c) G i D lƠ giao m c a đ (P) ; B’, C’ l n l Khi theo tr ng th ng BC vƠ m t ph ng t lƠ hình chi u c a B, C m t ph ng (P) B’C’ qua D ng h p ta có: C SADC ' SADC cos SAB 'C SADB cos B SAB'C ' SABC cos Nh v y m i tr C’ A Tr t ng v c a hai đ ng th c ta có: P ng h p, ta đ u có : D B’ Hình 14 c SA' B'C ' SABC cos Bài t p 27/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 112: Cho hai tam giác ACD, BCD n m hai m t ph ng vng góc v i vƠ AC AD BC BD a , CD 2x G i I, J l n l t lƠ trung m c a AB vƠ CD a Tính AB, IJ theo a x b V i giá tr nƠo c a x hai m t ph ng 57 (ABC) (ABD) vng góc? Gi i: ( Hình 15) a Vì J lƠ trung m c a CD mƠ AC = AD nên AJ CD Do mp( ACD) mp( BCD) nên AJ mp( BCD) M t khác AC = AD = BC = BD nên A tam giác AJB vuông cân, suy AB AJ , AJ a x2 hay AJ a x2 I V y AB 2(a x2 ) v i a x D C Do IA = IB, tam giác AJB vuông t i J nên JI AB , t c lƠ JI J (a x2 ) B b Rõ rƠng CI vƠ DI vng góc v i AB Hình 15 900 IJ CD V y ( ABC ) ( ABD) CID 1 a a x2 x x 2 Bài t p 23/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 111: Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a a Ch ng minh r ng AC’ vng góc v i hai m t ph ng (A’BD) vƠ (B’CD’) b C t hình l p ph ng b i m t ph ng trung tr c c a AC’ Ch ng minh thi t di n t o thƠnh lƠ m t l c giác đ u Tính di n tích thi t di n Gi i: ( Hình 16) B M C a Ta có: AC ' AB AD AA' BD AD AB V y AC '.BD AB AD AA' AD AB T D A S ng t ta có AC '.BA' V y AC ' ( A' BD) B’ P R Do A' BD / / B ' CD ' nên AC ' ( B ' CD ') 58 A’ Q D’ C’ b G i M lƠ trung m c a BC MA = MC’ ( b ng T l ph Hình 16 a ) nên M thu c m t ph ng trung tr c c a AC’ ng t , ta ch ng minh đ c N, P, Q, R, S c ng có tính ch t (N, P, Q, R, S l n t lƠ trung m c a CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B.) V y thi t di n c a hình l p ng b c t b i lƠ MNPQRS D th y lƠ tam giác đ u có c nh b ng a T ta tính đ oc di n tích c a thi t di n lƠ : 2 a 2 3 S a Bài t p 25/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 111: Cho hai m t ph ng vng góc (P) vƠ (Q) có giao n L y A, B thu c vƠ l y C P , D Q cho AC AB, BD AB AB AC BD Xác đ nh thi t di n c a t di n ABCD c t b i m t ph ng đI qua m A vƠ vng góc v i CD Tính di n tích thi t di n AB AC BD a Gi i: ( Hình 17) a G i I lƠ trung m c a BC AI BC Do BD ( ABC ) nên AI CD ( đ nh lí ba đ ng vng góc) Trong m t ph ng (CDB) ,k IJ vng góc v i CD ( J CD ) m t ph ng (AIJ) lƠ m t ph ng D vƠ thi t di n ph i tìm lƠ tam giác AIJ Q D th y AIJ lƠ tam giác vuông t i I A V y S AIJ B J AI IJ I P C 59 Ta có AI BC V y S a Hình 17 a a a2 AIJ 2 12 Bài t p 10/Sgk c b n Hình h c 11/ Trang 114: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh bên vƠ c nh đáy đ u b ng a g i O lƠ tơm c a hình vng ABCD a Tính đ dƠi đo n th ng SO b G i M lƠ trung m c a đo n SC ch ng minh hai m t ph ng (MBD) vƠ SAC vng góc v i S a2 IJ CI CI a IJ DB DB CD CD a c Tính đ dƠi đo n OM vƠ tính góc gi a M hai m t ph ng (MBD) vƠ (ABCD) Gi i: ( Hình 18) D a Ta có : AC BD a AO a 2 C O B A SO SA2 AO a Hình 18 2a a b Vì c nh bên vƠ c nh đáy đ u b ng a nên tam giác SBC vƠ SDC lƠ tam giác đ u.M lƠ trung DM SC SC MBD ; 60 m c a SC BM SC Mà SC SAC MBD SAC (đpcm) c Vì BM lƠ đ ng cao c a tam giác đ u c nh a BM a Trong tam giác vuông OMH ta có: OM MB2 OB2 L i th y : 3a 2a a 4 AC BD BD SAC ; mƠ BD lƠ giao n c a m t ph ng (MBD) SO AC vƠ m t ph ng (ABCD) nên góc MOC lƠ góc gi a hai m t ph ng (MBD) vƠ (ABCD) Trong tam giác vng OSC có : OM MS MC SC a 2 450 MOC tam giác vuông cân MOC Bài t p 24/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 111: cho hình chóp S.ABCD có đáy lƠ hình vng c nh a vƠ SA ( ABCD), SA x Xác đ nh x đ hai m t ph ng (SBC) vƠ (SDC) t o v i góc 60 Gi i: ( Hình 19) G i O lƠ giao m c a AC vƠ BD S Trong m t ph ng (SAC) k O O1 vng góc v i SC, d th y m t ph ng (B O1 D) vng góc v i SC V y góc gi a hai m t ph ng (SBC) vƠ (SDC) b ng góc gi a hai đ O1 A ng th ng B O1 D O1 M t khác O O1 BD, O O1 < OC mà D O O 450 OC = OB nên BO B 61 C T O 450 , t c BO D 900 ng t DO 1 Hình 19 Nh v y, hai m t ph ng (SBC) vƠ (SDC) t o v i góc 60 vƠ ch D 1200 BO O 600 ( BO D t i O ) BO 1 1 BO OO1 tan 600 BO OO1 Ta l i có OO1 OC sin OCO OC sin ACS OC Nh v y BO OO1 BO 3.OC SA SC SA SC 3.SA SC x2 2a 3.x x a V y x = a hai m t ph ng (SBC) vƠ (SDC) t o v i góc 60 Bài t p 34/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 118: Cho hình chóp S.ABCD có đáy lƠ hình ch nh t vƠ AB 2a , BC a Các c nh bên c a hình chóp b ng vƠ b ng a a Tính kho ng cách t S đ n m t ph ng đáy (ABCD) b G i E vƠ F l n l thu c đ t lƠ trung m c a c nh AB vƠ CD; K lƠ m b t kì ng th ng AD Ch ng minh r ng kho ng cách gi a hai đ ng th ng EF vƠ SK không ph thu c vƠo K, hƣy tính kho ng cách theo a Gi i: ( Hình 20) a Vì SA SB SC SD a nên hình chi u c a m S m t ph ng (ABCD) lƠ m H mà HA HB HC HD Do ABCD lƠ hình ch nh t nên H lƠ giao m c a AC vƠ BD Kho ng cách S t S đ n m t ph ng (ABCD) b ng SH Ta có: J 62 F D C I K H A B E AC AB2 BC = 2a 4a a 3a 2 = 2a 4 SH SA2 T c lƠ SH a Hình 20 b.Vì EF = AD nên EF // (SAD), m t khác SK n m m t ph ng (SAD) nên kho ng cách gi a EF vƠ SK lƠ kho ng cách gi a EF vƠ m t ph ng (SAD), c ng lƠ kho ng cách t H đ n m t ph ng (SAD) V y kho ng cách gi a EF vƠ SK khơng ph thu c vƠo v trí c a m K đ ng th ng AD Tính d(EF; SK): G i O lƠ trung m c a AD, k đ ng cao HJ c a tam giác vng SHI HI ( SAD) , d(H; (SAD)) = HJ Ta có: HJ SI SH HI SI SA2 AI 2a a 7a 4 a a SH HI a 21 T HJ SI a Nh v y, kho ng cách gi a EF vƠ SK khơng ph thu c vƠo v trí c a m K đ ng th ng AD vƠ b ng a 21 Bài t p 5/Sgk c b n Hình h c 11/ Trang 119: Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ a Ch ng minh r ng B’D vng góc v i m t ph ng (BA’C’) 63 b Tính kho ng cách gi a hai m t ph ng (BA’C’) vƠ (ACD’) c Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng BC’ vƠ CD’ Gi i: ( Hình 21) a Vì ABB’A’ lƠ hình vng nên A' B AB' l i th y AD ( ABB ' A') AD A' B A' B ADB ' A' B DB ' B (1) Do A’B’C’D’ lƠ hình vng A D A' C ' B ' D ', DD ' ( A' B ' C ' D ') DD ' A' C ' A' C ' ( DB ' D ') A' C ' B ' D (2) K B’ T (1) (2) suy B ' D ( A' C ' B) b G i H vƠ K l n l t lƠ giao m c a B’D v i m t ph ng (BA’C’) vƠ m t ph ng (ACD’) Ta đƣ ch ng minh đ C C’ H A’ D’ Hình 21 c B ' D ( BA' C ') ( BA' C ') / /( ACD ') DK ( ACD ') B ' H ( BA' C ') D th y AC AD ' CD ' a gi ( s DK ( ACD) DK T c nh c a hình l p ph ng lƠ a) vƠ 1 1 1 1 2 2 2 DK DA DC DD ' DK a a a a a 3 ng t ta c ng có B ' H a 3 Mà B ' D a HK B ' D DK a a a a 3 V y kho ng cách gi a hai m t ph ng (ACD’) vƠ (BA’C’) b ng HK a c Vì BC ' ( BA' C ') CD ' ( ACD ') , bên canh ( ACD ') / /( BA' C ') suy kho ng cách t BC’ đ n CD’ b ng kho ng cách gi a (ACD’) vƠ (BA’C’) vƠ b ng a 64 Bài t p 35/Sgk nâng cao Hình h c 11/ Trang 118: Cho t di n ABCD Ch ng minh r ng n u AC BD, AD BC đ chung c a AB vƠ CD lƠ đ ng vng góc ng th ng n i chung m c a AB vƠ CD i u ng c l i có khơng? Gi i: Vì AC BD, AD BC nên tam giác ACD b ng tam giác BDC, t hai trung n t ng ng AJ vƠ BJ b ng ( J lƠ trung m c a CD) G i I trung m c a AB ta có JI AB T đ ng t nh ta c ng có JI CD V y IJ lƠ ng vuông góc chung c a AB vƠ CD i u ng c l i c a k t lu n nêu bƠi toán c ng đúng, t c lƠ n u JI AB , JI CD AC BD, AD BC Th y v y, JI AB , I lƠ trung m c a AB nên AJ BJ M t khác: CD 2 CD BC BD BJ AC AD AJ T ta có : AC AD BC BD T (1) ng t ta c ng có : CB2 CA2 DB2 DA2 (2) T (1) (2) ta suy AD2 BC BC DA2 , t c lƠ DA BC vƠ t (1) ta c ng có AC BD 65 PH N III : K T LU N Ho t đ ng gi i bƠi t p toán g n li n v i trình h c t p, tìm hi u vƠ ti p thu ki n th c c a h c sinh q trình h c mơn Tốn Hình h c khơng gian lƠ m t phơn mơn mang tính tr u t ng hố cao vƠ yêu c u h c sinh c n ph i n m ch c ki n th c lí thuy t c ng nh nh ng k n ng gi i bƠi t p đ v n d ng vƠo vi c gi i bƠi t p i v i h u h t h c sinh hình h c khơng gian lƠ phơn mơn khó, b i v y h c sinh g p r t nhi u khó kh n q trình lƠm bƠi t p Vi c đ a hình h c khơng gian vƠo ch thi u đ c Nó giúp cho h c sinh th y đ ng trình tốn ph thơng lƠ không th c m i quan h ph n t m t s v t có hình nh th t c a H c phân mơn giúp cho h c sinh phát tri n trí tu , t lơ gíc suy lu n ch t ch vƠ có trí t Nh m góp ph n đ đ t đ ng t ng không gian phong phú c nh ng m c tiêu Lu n v n nƠy đƣ b cđ u nghiên c u : - C s lí lu n v bƠi toán, bƠi t p toán h c - N i dung ki n th c c b n c a ch - Khai thác bƠi t p ch ng “Quan h vng góc” ng “Quan h vng góc” Qua trình nghiên c u đ tƠi nƠy em đƣ l nh h i đ ch ng trình tốn PTTH nói chung vƠ đ c bi t em đ c nhi u ki n th c v c nghiên c u v quan h vng góc c a hình h c không gian l p 11 Trong th i gian s p t i vƠ sau nƠy em s c g ng đ nghiên c u sơu h n v n i dung nƠy Do lƠ m t sinh viên nên kinh nghi m gi ng d y th c t cịn ít, ch a n m b t h t đ c k n ng gi ng d y c a ng i giáo viên vƠ kh n ng nh n th c th c t c a h c sinh nên đ tƠi nƠy c a em không tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong nh n đ đ c s đóng góp c a th y giáo đ em có th v ng b ng c a m t ng i giáo viên vƠ s nghi p tr ng ng Em xin chơn thƠnh c m n ! 66 i ch n TƠi li u tham kh o [1].Tr n Th Vơn Anh - 2009 - Ph gian - NXB ng pháp gi i toán t lu n hình h c khơng i h c qu c gia HƠ N i [2].Nguy n M ng Hy - 2007 - Hình h c 11 - NXB Giáo d c [3].Nguy n M ng Hy – 2009 - BƠi t p hình h c 11- NXB Giáo d c [4].Lê c H ng – 2007 - h c t t hình h c c b n vƠ nơng cao 11 - NXB Hà N i [5].Nguy n Bá Kim; V Duy Th y – 1994 - Ph ng pháp d y h c mơn tốn - NXB Giáo d c [6] oƠn Qu nh - 2009 - Hình h c 11 nơng cao - NXB Giáo d c [7] oƠn Qu nh – 2009 - BƠi t p hình h c 11 nơng cao - NXB Giáo d c [8].Ph m ình Th c – 1999 - Ph ng pháp sáng tác đ đ toán Giáo d c 67 ti u h c - NXB ... "Quan h vng góc" (Hình h c 11) 2.1.6.1 Ch N i dung ch ng trình ng: Vect khơng gian Quan h vng góc khơng gian ( ti t ) Bài Vect không gian 15 Bài Hai đ ng th ng vuông góc ( ti t ) ng th ng vng góc. .. có k n ng khai thác đ toán m i t ng t v i đ tốn đƣ cho mƠ cịn ph i khai thác bƠi toán hoƠn toƠn m i d a m t s cách th c sau: + Khai thác đ bƠi t p t n i dung th c t đƣ đ nh tr c + Khai thác đ bƠi... (OAH) b Ch ng minh r ng góc c a tam giác ABC đ u nh n (Cách gi i t ng t nh trên) 2.1.5.2.4 Khai thác bƠi toán b ng cách khái quát hóa - Có m t h tr ng quan tr ng đ khai thác bƠi toán m i lƠ d